30 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 11 Bài 3: Nhị thức Niu- tơn có đáp án (Mới nhất)

Câu 1:

Tìm hệ số của $x^{12}$ trong khai triển ${(2 x - x^{2})}^{10}$

A. $C_{10}^{8}$

B. $C_{10}^{2} 2^{8}$

C. $C_{10}^{2}$

D. $- C_{10}^{2} 2^{8} .$

Xem đáp án

Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có

${(2 x - x^{2})}^{10} =_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} . {(2 x)}^{10 ‐ k} . {(- x^{2})}^{k}$

$=_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} . (2) x^{1} =_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} . {(2)}^{10 ‐ k} . x^{10 + k}$

Hệ số của $x^{12}$ ứng với $10 + k = 12 \Leftrightarrow k = 2 \to$

hệ số cần tìm $C_{10}^{2} 2^{8}$ . ChọnB.

Câu 2:

Khai triển đa thức $P (x) = {(5 x - 1)}^{2007}$ ta được $P (x) = a_{2007} x^{2007} + a_{2006} x^{2006} + \dots + a_{1} x + a_{0} .$

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $a_{2000} = - C_{2007}^{7} {.5}^{7}$

B. $a_{2000} a_{2000}$

C. $a_{2000} - C_{2007}^{2000} 5^{2000}$

D. $a_{2000 =} C_{2007}^{7} 5^{7}$

Xem đáp án

Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có

${(5 x - 1)}^{2007} =_{k = 0}^{2017} C_{2017}^{k} . {(5 x)}^{2017 ‐ k} . {(- 1)}^{k}$

$=_{k = 0}^{2017} C_{2017}^{k} . {(5)}^{2017 ‐ k} . {(- 1)}^{k} . x^{2017 ‐ k}$

Hệ số của $x^{2000}$ ứng với $2017 - k = 2000 \Leftrightarrow k = 7$

$\to$ hệ số cần tìm $- C_{2017}^{7} . {(5)}^{2000} = - C_{2007}^{2000} {.5}^{2000}$ . Chọn C.

Câu 3:

Đa thức $P (x) = 32 x^{5} - 80 x^{4} + 80 x^{3} - 40 x^{2} + 10 x - 1$ là khai triển của nhị thức

nào dưới đây?

A. ${(1 - 2 x)}^{5}$

B. ${(1 + 2 x)}^{5}$

C. ${(2 x - 1)}^{5}$

D. ${(x - 1)}^{5}$

Xem đáp án

Lời giải. Nhận thấy $P (x)$ có dấu đan xen nên loại đáp án B.

Hệ số của $x^{5}$ bằng 32 nên loại đáp án D và còn lại hai đáp án A và C thì chỉ có C phù hợp (vì khai triển số hạng đầu tiên của đáp án C là $32 x^{5} .$ ) Chọn C.

Câu 4:

Tìm số hạng chứa $x^{7}$ trong khai triển ${(x - \frac{1}{x})}^{13}$

A. $- C_{13}^{4} x^{7}$

B. $- C_{13}^{3}$

C. $- C_{13}^{3} x^{7}$

D. $C_{13}^{3} x^{7} .$

Xem đáp án

Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có

${(x - \frac{1}{x})}^{13} =_{k = 0}^{13} C_{13}^{k} . x^{13 ‐ k} . {(- \frac{1}{x})}^{k}$

Hệ số của $x^{7}$ ứng với $13 - 2 k = 7 \Leftrightarrow k = 3 \to$ số hạng cần tìm $- C_{13}^{3} x^{7}$ . Chọn C

Câu 5:

Tìm số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển ${(x + \frac{1}{2 x})}^{9}$

A. - $\frac{1}{8} C_{9}^{3} x^{3}$

B. $\frac{1}{8} C_{9}^{3} x^{3}$

C. $- C_{9}^{3} x^{3}$

D. $C_{9}^{3} x^{3} .$

Xem đáp án

Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có

${(x + \frac{1}{2 x})}^{9} =_{k = 0}^{9} C_{9}^{k} . x^{9 ‐ k} . {(\frac{1}{2 x})}^{k}$

$=_{k = 0}^{9} C_{9}^{k} . {(\frac{1}{2})}^{k} . x^{9 ‐ 2 k}$

Hệ số của $x^{3}$ ứng với $9 - 2 k = 3 \Leftrightarrow k = 3 \to$ số hạng cần tìm $\frac{1}{8} C_{9}^{3} x^{3}$ . Chọn B.

Câu 6:

Tìm số hạng chứa $x^{31}$ trong khai triển ${(x + \frac{1}{x^{2}})}^{40}$

A. $- C_{40}^{37} x^{31}$

B. $C_{40}^{37} x^{31}$

C. $C_{40}^{2} x^{31}$

D. $C_{40}^{4} x^{31} .$

Xem đáp án

Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có

${(x + \frac{1}{x^{2}})}^{40} =_{k = 0}^{40} C_{40}^{k} . x^{40 ‐ k} {(\frac{1}{x^{2}})}^{k}$

$=_{k = 0}^{40} C_{40}^{k} . x^{40 ‐ 3 k}$

Hệ số của $x^{31}$ ứng với $40 - 3 k = 31 \Leftrightarrow k = 3 \to$ số hạng cần tìm $C_{40}^{37} x^{31}$ . Chọn B.

Câu 7:

Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${(x^{2} + \frac{2}{x})}^{6}$

A. $2^{4} C_{6}^{2}$

B. $2^{2} C_{6}^{2}$

C. $- 2^{4} C_{6}^{4}$

D. $- 2^{2} C_{6}^{4} .$

Xem đáp án

Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có

$(x^{2} + {\frac{2}{x}}^{6}) =_{k = 0}^{6} C_{6}^{k} . {(x^{2})}^{6 - k} . {(\frac{2}{x})}^{k}$

$=_{k = 0}^{6} C_{6}^{k} . {(2)}^{k} . x^{12 ‐ 3 k}$

Số hạng không chứa x ứng với $12 - 3 k = 0 \Leftrightarrow k = 4$

$\to$ số hạng cần tìm $C_{6}^{4} {.2}^{4} = 2^{4} C_{6}^{2}$ . Chọn A.

Câu 8:

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

{(x y^{2} - \frac{1}{x y})}^{8}

A. $70 y^{4}$

B. $60 y^{4}$

C. $50 y^{4}$

D. $40 y^{4} .$

Xem đáp án

Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có

${(x y^{2} - \frac{1}{x y})}^{8} =_{k = 0}^{8} C_{8}^{k} . {(x y^{2})}^{8 ‐ k} . {(- \frac{1}{x y})}^{k}$

$=_{k = 0}^{8} C_{8}^{k} . {(- 1)}^{k} . x^{8 ‐ 2 k} . y^{16 ‐ 3 k}$

Số hạng không chứa x ứng với $8 - 2 k = 0 \Leftrightarrow k = 4$

$\to$ số hạng cần tìm $C_{8}^{4} y^{4} = 70 y^{4}$ . ChọnA.

Câu 9:

Tìm số hạng chứa $x^{3} y$ trong khai triển ${(x y + \frac{1}{y})}^{5}$

A. $3 x^{3} y$

B. $5 x^{3} y$

C. $10 x^{3} y$

D. $4 x^{3} y .$

Xem đáp án

Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có

${(x y + \frac{1}{y})}^{5} =_{k = 0}^{5} C_{5}^{k} . {(x y)}^{5 ‐ k} . {(\frac{1}{y})}^{k}$

$=_{k = 0}^{5} C_{5}^{k} . x^{5 ‐ k} . y^{5 ‐ 2 k}$

Hệ số của $x^{3} y$ ứng với $\{\begin{cases} 5 - k = 3 \\ 5 - 2 k = 1 \end{cases} \Leftrightarrow k = 2 \to$ số hạng cần tìm $C_{5}^{2} x^{3} y = 10 x^{3} y .$

Chọn C.

Câu 10:

Tìm hệ số của $x^{6}$ trong khai triển ${(\frac{1}{x} + x^{3})}^{3 n + 1}$ với $x \neq 0$ , biết n là số nguyên

dương thỏa mãn $3 C_{n + 1}^{2} + n P_{2} = 4 A_{n}^{2} .$

A. $210 x^{6}$

B. $120 x^{6}$

C. 120

D. 210

Xem đáp án

Lời giải. Từ phương trình $3 C_{n + 1}^{2} + n P_{2} = 4 A_{n}^{2} \to n = 3.$

Với $n = 3$ , ta có ${(\frac{1}{x} + x^{3})}^{3 n + 1} = {(\frac{1}{x} + x^{3})}^{10} =$

$_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} . {(\frac{1}{x})}^{10 ‐ k} . {(x^{3})}^{k} =_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} . x^{4 k ‐ 10}$

Hệ số của $x^{6}$ ứng với $4 k - 10 = 6 \Leftrightarrow k = 4$

$\to$ hệ số cần tìm $C_{10}^{4} = 210$ . Chọn D.

Câu 11:

Tìm hệ số của $x^{9}$ trong khai triển ${(1 - \sqrt{3} x)}^{2 n}$ , biết n là số nguyên dương thỏa mãn $\frac{2}{C_{n}^{2}} + \frac{14}{3 C_{n}^{3}} = \frac{1}{n} .$

A. $- C_{18}^{9} {(\sqrt{3})}^{9}$

B. $- C_{18}^{9} {(\sqrt{3})}^{9} x^{9}$

C. $C_{18}^{9} {(\sqrt{3})}^{9} x^{9}$

D. $C_{18}^{9} {(\sqrt{3})}^{9}$

Xem đáp án

Lời giải. Từ phương trình $\frac{2}{C_{n}^{2}} + \frac{14}{3 C_{n}^{3}} = \frac{1}{n} \to n = 9.$

Với $n = 9$ , ta có ${(1 - \sqrt{3} x)}^{2 n} = {(1 - \sqrt{3} x)}^{18} =$

$_{k = 0}^{18} C_{18}^{k} . {(- \sqrt{3} x)}^{k} =_{k = 0}^{18} C_{18}^{k} . {(- \sqrt{3})}^{k} . x^{k}$

Hệ số của $x^{9}$ ứng với $k = 9 \to$ hệ số cần tìm $- C_{18}^{9} {(\sqrt{3})}^{9}$ . Chọn A.

Câu 12:

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ${(2 x - \frac{3}{\sqrt[3]{x}})}^{2 n}$ với $x \neq 0$ , biết n là số nguyên dương thỏa mãn $C_{n}^{3} + 2 n = A_{n + 1}^{2} .$

A. $- C_{16}^{12} {.2}^{4} {.3}^{12}$

B. $C_{16}^{0} 2^{16}$

C. $C_{16}^{12} {.2}^{4} {.3}^{12}$

D. $C_{16}^{16} {.2}^{0} .$

Xem đáp án

Lời giải. Từ phương trình $C_{n}^{3} + 2 n = A_{n + 1}^{2} \to n = 8.$

Với $n = 8$ , ta có

${(2 x - \frac{3}{\sqrt[3]{x}})}^{2 n} = {(2 x - \frac{3}{\sqrt[3]{x}})}^{16}$

$=_{k = 0}^{16} C_{16}^{k} . {(2 x)}^{16 ‐ k} . {(- \frac{3}{\sqrt[3]{x}})}^{k}$

$=_{k = 0}^{16} C_{16}^{k} {.2}^{16 ‐ k} . {(- 3)}^{k} . x^{16 - \frac{4 k}{3}} .$

Số hạng không chứa x ứng với $16 - \frac{4 k}{3} = 0 \Leftrightarrow k = 12$

\to

số hạng cần tìm

C_{16}^{12} {.2}^{4} {.3}^{12}

. Chọn C.

Câu 13:

Tìm hệ số của $x^{7}$ trong khai triển ${(3 x^{2} - \frac{2}{x})}^{n}$ với $x \neq 0$ , biết hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển bằng 1080.

A. 1080.

B. −810.

C. 810

D. 810.

Xem đáp án

Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có

${(3 x^{2} - \frac{2}{x})}^{n} =_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} . {(3 x^{2})}^{n ‐ k} . {(- \frac{2}{x})}^{k}$

$=_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} {.3}^{n ‐ k} {(- 2)}^{k} . x^{2 n ‐ 3 k}$

Số hạng thứ 3 ứng với $k = 2$ , kết hợp với giả thiết ta có

$C_{n}^{2} {.3}^{n ‐ 2} .4 = 1080 \Leftrightarrow n (n - 1) {.3}^{n} = {4.5.3}^{5} \Leftrightarrow n = 5.$

Hệ số của $x^{7}$ ứng với $2 n - 3 k = 7 \Leftrightarrow 10 - 3 k = 7 \Leftrightarrow k = 1$

$\to$ hệ số cần tìm $C_{5}^{1} 3^{4} (- 2) = - 810$ . Chọn B.

Câu 14:

Tìm số tự nhiên n, biết hệ số của số hạng thứ 3 theo số mũ giảm dần của x trong khai triển ${(x - \frac{1}{3})}^{n}$ bằng 4.

A. 8

B. 17

C. 9

D. 4

Xem đáp án

Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có

${(x - \frac{1}{3})}^{n} = C_{n}^{0} x^{n} + C_{n}^{1} (- \frac{1}{3}) x^{n ‐ 1}$

$+ C_{n}^{2} {(- \frac{1}{3})}^{2} x^{n ‐ 2} + \dots + C_{n}^{n} {(- \frac{1}{3})}^{n}$

$\to$ số hạng thứ 3 theo số mũ giảm dần của x là $C_{n}^{2} {(- \frac{1}{3})}^{2} x^{n ‐ 2}$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow C_{n}^{2} {(- \frac{1}{3})}^{2} = 4$

$\Leftrightarrow \frac{n!}{2! (n - 2)!} . \frac{1}{9} = 4 \to n = 9$

Do $n \in ℕ$ nên ta chọn $n = 9$ thỏa mãn. Chọn C.

Câu 15:

Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển ${(x^{3} + x y)}^{21} .$

A. $C_{21}^{10} x^{40} y^{10}$

B. $C_{21}^{10} x^{43} y^{10} .$

C. $C_{21}^{11} x^{41} y^{11}$

D. $C_{21}^{10} x^{43} y^{10}$ , $C_{21}^{11} x^{41} y^{11} .$

Xem đáp án

Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có

${(x^{3} + x y)}^{21} =_{k = 0}^{21} C_{21}^{k} . {(x^{3})}^{21 - k} . {(x y)}^{k}$

$=_{k = 0}^{21} C_{21}^{k} . x^{63 ‐ 2 k} . y^{k}$

Suy ra khai triển ${(x^{3} + x y)}^{21}$ có 22 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số hạng

thứ 11 (ứng với k=10) và số hạng thứ 12 (ứng với k=11).

Vậy hai số hạng đứng giữa cần tìm là $C_{21}^{10} x^{43} y^{10}$ ; $C_{21}^{11} x^{41} y^{11}$ . Chọn D.

Câu 16:

Tính tổng Stất cả các hệ số trong khai triển ${(3 x - 4)}^{17}$

A. $S = 1$

B. $S = - 1$

C. $S = 0$

D. $S = 8192.$

Xem đáp án

Lời giải. Tính tổng các hệ số trong khai triển $\to$ cho $x = 1.$

Khi đó $S = {(3.1 - 4)}^{17} = - 1$ . Chọn B.

Câu 17:

Khai triển đa thức $P (x) = {(2 x - 1)}^{1000}$ ta được

$P (x) = a_{1000} x^{1000} + a_{999} x^{999} + \dots + a_{1} x + a_{0} .$

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $a_{1000} + a_{999} + \dots + a_{1} = 2^{n} .$

B. $a_{1000} + a_{999} + \dots + a_{1} = 2^{n} - 1.$

C. $a_{1000} + a_{999} + \dots + a_{1} = 1$

D. $a_{1000} + a_{999} + \dots + a_{1} = 0$

Xem đáp án

Lời giải. Ta có $P (x) = a_{1000} x^{1000} + a_{999} x^{999} + \dots + a_{1} x + a_{0} .$

Cho $x = 1$ ta được $P (1) =$ $a_{1000}$ $+ a_{999} + \dots + a_{1} + a_{0} .$

Mặt khác $P (x) = {(2 x - 1)}^{1000} \to P (1) = {(2.1 - 1)}^{1000} = 1.$

Từ đó suy ra $a_{1000} + a_{999} + \dots + a_{1} + a_{0} = 1$

$\to a_{1000} + a_{999} + \dots + a_{1} = 1 - a_{0} .$

Mà là số hạng không chứa x trong khai triển $P (x) = {(2 x - 1)}^{1000} P (x) = {(2 x - 1)}^{1000}$ nên

$a_{0} = C_{1000}^{1000} {(2 x)}^{0} {(- 1)}^{1000} = C_{1000}^{1000} = 1.$

Vậy $a_{1000} + a_{999} + \dots + a_{1} = 0$ . Chọn D.

Câu 18:

Tìm hệ số của

x^{5}

trong khai triển

P (x) = x {(1 - 2 x)}^{5} + x^{2} {(1 + 3 x)}^{10}

A. 80

B. 3240

C. 3320

D. 259200

Xem đáp án

Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có

$x {(1 - 2 x)}^{5} = x ._{k = 0}^{5} C_{5}^{k} . {(- 2 x)}^{5 - k}$

$=_{k = 0}^{5} C_{5}^{k} . {(- 2)}^{5 - k} . x^{6 - k}$

$\to$ số hạng chứa $x^{5}$ tương ứng với $6 - k = 5 \Leftrightarrow k = 1.$

Tương tự, ta có $x^{2} {(1 + 3 x)}^{10} = x^{2} ._{l = 0}^{10} C_{10}^{l} . {(3 x)}^{10 ‐ l}$

$=_{l = 0}^{10} C_{10}^{l} {.3}^{10 ‐ l} . x^{12 ‐ l}$

$\to$ số hạng chứa $x^{5}$ tương ứng với $12 - l = 5 \Leftrightarrow l = 7.$

Vậy hệ số của $x^{5}$ cần tìm $P (x)$ là $C_{5}^{1} . {(2)}^{4} + C_{10}^{7} {.3}^{3} = 3320$ . Chọn C.

Câu 19:

Tìm hệ số chứa $x^{10}$ trong khai triển $f (x) = {(\frac{1}{4} x^{2} + x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{3 n}$ với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức $A_{n}^{3} + C_{n}^{n - 2} = 14 n .$

A. $2^{5} C_{19} 10$

B. $2^{5} C_{19}^{10} x^{10}$

C. $2^{9} C_{19} 10$

D. $2^{9} C_{19}^{10} x^{10} .$

Xem đáp án

Lời giải. Từ phương trình $A_{n}^{3} + C_{n}^{n ‐ 2} = 14 n \to n = 5.$

Với $n = 5$ , ta có $f (x) = {(\frac{1}{4} x^{2} + x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{3 n}$

$= \frac{1}{16} {(x + 2)}^{4} {(x + 2)}^{15} = \frac{1}{16} {(x + 2)}^{19}$

Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có $f (x) = \frac{1}{16} {(x + 2)}^{19} = \frac{1}{16}_{k = 0}^{19} C_{19}^{k} {.2}^{k} . x^{19 ‐ k}$

Số hạng chứa $x^{10}$ trong khai triển tương ứng với $19 - k = 10 \Leftrightarrow k = 9.$

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{10}$ trong khai triển là $\frac{1}{16} C_{19}^{10} 2^{9} = 2^{5} C_{19}^{10}$ . Chọn A.

Câu 20:

Tìm hệ số của $x^{4}$ trong khai triển $P (x) = {(1 - x - 3 x^{3})}^{n}$ với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức $C_{n}^{n ‐ 2} + 6 n + 5 = A_{n + 1}^{2} .$

A. 210

B. 840

C. 480

D. 270

Xem đáp án

Lời giải. Từ phương trình $C_{n}^{n ‐ 2} + 6 n + 5 = A_{n + 1}^{2} \to n = 10.$

Với $n = 10$ , khi đó $P (x) = {(1 - x - 3 x^{3})}^{n} = {(1 - x - 3 x^{3})}^{10} .$

Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có

$P (x) = {(1 - x - 3 x^{3})}^{10} = {(1 - (x + 3 x^{3}))}^{10} =_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} {(- 1)}^{k} {(x + 3 x^{3})}^{k}$

$=_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} {(- 1)}^{k} x^{k} {(1 + 3 x^{2})}^{k} =_{k = 0}^{10} C_{10}^{k}_{l = 0}^{k} C_{k}^{l} {(- 1)}^{k} 3^{l} x^{k + 2 l}$

Số hạng chứa $x^{4}$ trong khai triển tương ứng với $\{\begin{cases} k + 2 l = 4 \\ 0 \leq k \leq 10 \Leftrightarrow (k; l) = \{(4; 0), (2; 1)\} \\ 0 \leq l \leq k \end{cases}$

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{4}$ trong khai triển là $C_{10}^{4} C_{4}^{0} + C_{10}^{2} C_{2}^{1} 3 = 480$ . ChọnC.

Câu 21:

Tìm hệ số của $x^{10}$ trong khai triển ${(1 + x + x^{2} + x^{3})}^{5}$

A. 5

B. 50

C. 101

D. 105

Xem đáp án

Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có

${(1 + x + x^{2} + x^{3})}^{5} = {(1 + x)}^{5} {(1 + x^{2})}^{5}$

$=_{k = 0}^{5} C_{5}^{k} x^{k} ._{l = 0}^{5} C_{5}^{l} {(x^{2})}^{l} =_{k = 0}^{5} C_{5}^{k} ._{l = 0}^{5} C_{5}^{l} . x^{k + 2 l}$

Số hạng chứa $x^{10}$ trong khai triển tương ứng với $k + 2 l = 10 \Leftrightarrow k = 10 - 2 l .$

Kết hợp với điều kiện ta có hệ $\{\begin{cases} k + 2 l = 10 \\ k, l \in ℕ \end{cases} \Leftrightarrow 0 \leq k \leq 5, 0 \leq l \leq 5$

$\Leftrightarrow (k; l) = \{(0; 5), (2; 4), (4; 3)\} .$

Vậy hệ số cần tìm là $C_{5}^{0} . C_{5}^{5} + C_{5}^{2} . C_{5}^{4} + C_{5}^{4} . C_{5}^{3} = 101$ . Chọn C.

Câu 22:

Tìm hệ số của $x^{5}$ trong khai triển $P (x) = (1 + x) + 2 {(1 + x)}^{2} + \dots + 8 {(1 + x)}^{8}$

A. 630

B. 635

C. 636

D. 637

Xem đáp án

Lời giải. Các biểu thức $(1 + x)$ , ${(1 + x)}^{2}, ...., {(1 + x)}^{4}$ không chứa số hạng chứa $x^{5} .$

Hệ số của số hạng chứa $x^{5} .$ trong khai triển 5 ${(1 + x)}^{5}$ là $5 C_{5}^{5} .$

Hệ số của số hạng chứa $x^{5} .$ trong khai triển 6 ${(1 + x)}^{6}$ là $6 C_{6}^{5} .$

Hệ số của số hạng chứa $x^{5} .$ trong khai triển 7 ${(1 + x)}^{7}$ là $7 C_{7}^{5} .$

Hệ số của số hạng chứa $x^{5} .$ trong khai triển 8 ${(1 + x)}^{8}$ là $8 C_{8}^{5} .$

Vậy hệ số của $x^{5} .$ trong khai triển $P (x)$ là $5 C_{5}^{5} + 6 C_{6}^{5} + 7 C_{7}^{5} + 8 C_{8}^{5} = 636$ . Chọn C.

Câu 23:

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{1} + . . + C_{2 n}^{n} = C_{2 n}^{n + 1} + C_{2 n}^{n + 2} + . . . + C_{2 n}^{2 n} .$

B. $C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{1} + \dots + c_{2 n}^{n - 2} = C_{2 n}^{n + 1} + C_{2 n}^{n + 2} + . . . + C_{2 n}^{2 n} .$

C. $C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{1} + \dots + c_{2 n}^{n - 1} = C_{2 n}^{n + 1} + C_{2 n}^{n + 2} + . . . + C_{2 n}^{2 n} .$

D. $C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{1} + \dots + c_{2 n}^{n + 1} = C_{2 n}^{n + 1} + C_{2 n}^{n + 2} + . . . + C_{2 n}^{2 n} .$

Xem đáp án

Lời giải. Áp dụng công thức $C_{n}^{k} = C_{n}^{n ‐ k}$ , ta có $\{\begin{cases} C_{2 n}^{0} = C_{2 n}^{2 n} \\ C_{2 n}^{1} = C_{2 n}^{2 n ‐ 1} \\ \dots \\ C_{2 n}^{n 1} = C_{2 n}^{n + 1} \end{cases}$

Cộng vế theo vế, ta được $C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{1} + \dots + C_{2 n}^{n ‐ 1} =$

$C_{2 n}^{n + 1} + C_{2 n}^{n + 2} + \dots + C_{2 n}^{2 n}$ . Chọn B.

Câu 24:

Tính tổng $S = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \dots + C_{n}^{n} .$

A. $S = 2^{n} - 1$

B. $S = 2^{n}$

C. $S = 2^{n ‐ 1} S = 2^{n ‐ 1}$

D. $S = 2^{n} + 1.$

Xem đáp án

Lời giải. Khai triển nhị thức Niu‐tơn của ${(1 + x)}^{n}$ , ta có

${(1 + x)}^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} x + C_{n}^{2} x^{2} + ... + C_{n}^{n} x^{n} .$

Cho x=1, ta được $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + ... + C_{n}^{n} = {(1 + 1)}^{n} = 2^{n}$ . Chọn B.

Câu 25:

Tính tổng $S = C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{2} + \dots + C_{2 n}^{2 n} .$

A. $S = 2^{2 n}$

B. $S = 2^{2 n} - 1$

C. $S = 2^{n}$

D. $S = 2^{2 n} + 1.$

Xem đáp án

Lời giải. Khai triển nhị thức Niu‐tơn của ${(1 + x)}^{2 n}$ , ta có

${(1 + x)}^{2 n} = C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{1} x + C_{2 n}^{2} x^{2} + ... + C_{2 n}^{2 n} x^{2 n} .$

Cho x=1, ta được $C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{2} + ... + C_{2 n}^{2 n} =$

${(1 + 1)}^{2 n} = 2^{2 n}$ . Chọn A.

Câu 26:

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn

C_{2 n + 1}^{1} + C_{2 n + 1}^{2} + \dots + C_{2 n + 1}^{n} = 2^{20} - 1.

A. $n = 8$

B. n=9

C. $n = 10$

D. $n = 11.$

Xem đáp án

Lời giải.

Ta có ${(1 + 1)}^{2 n + 1} = C_{2 n + 1}^{0} + C_{2 n + 1}^{1} + \dots + C_{2 n + 1}^{2 n + 1}$ . ( 11)

Lại có $C_{2 n + 1}^{0} = C_{2 n + 1}^{2 n + 1}$ ; $C_{2 n + 1}^{1} = C_{2 n + 1}^{2 n}$ ;

$C_{2 n + 1}^{2} = C_{2 n + 1}^{2 n ‐ 1}$ ; ...; $C_{2 n + 1}^{n} = C_{2 n + 1}^{n + 1}$ . (2)

Từ ( 1) và (2) , suy ra $C_{2 n + 1}^{0} + C_{2 n + 1}^{1} + \dots + C_{2 n + 1}^{n} = \frac{2^{2 n + 1}}{2}$

$\Leftrightarrow C_{2 n + 1}^{1} + \dots + C_{2 n + 1}^{n} = 2^{2 n} - 1 \Leftrightarrow 2^{20} - 1 = 2^{2 n} - 1 \Leftrightarrow n = 10.$

Vậy $n = 10$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.

Câu 27:

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn

C_{2 n + 1}^{1} + C_{2 n + 1}^{3} + \dots + C_{2 n + 1}^{2 n + 1} = 1024.

A. $n = 5$

B. $n = 9$

C. $n = 10$

D. $n = 4$

Xem đáp án

Lời giải. Xét khai triển ${(x + 1)}^{2 n + 1} = C_{2 n + 1}^{0} x^{2 n + 1} + C_{2 n + 1}^{1} x^{2 n} + \dots + C_{2 n + 1}^{2 n + 1} .$

Cho x=1, ta được $2^{2 n + 1} = C_{2 n + 1}^{0} + C_{2 n + 1}^{1} + \dots + C_{2 n + 1}^{2 n + 1}$ . ( 11)

Cho $x = - 1$ , ta được $0 = - C_{2 n + 1}^{0} + C_{2 n + 1}^{1} - \dots + C_{2 n + 1}^{2 n + 1}$ . (2)

Cộng ( 1) và (2) vế theo vế, ta được

$2^{2 n + 1} = 2 (C_{2 n + 1}^{1} + C_{2 n + 1}^{3} + \dots + C_{2 n + 1}^{2 n + 1}) \Leftrightarrow 2^{2 n + 1} = 2.1024 \Leftrightarrow n = 5$ . Chọn A.

Câu 28:

Tính tổng

S = C_{n}^{0} + 3 C_{n}^{1} + 3^{2} C_{n}^{3} + \dots + 3^{n} C_{n}^{n} .

A. $S = 3^{n}$

B. $S = 2^{n}$

C. $S = {3.2}^{n}$

D. $S = 4^{n} .$

Xem đáp án

Lời giải. Khai triển nhị thức Niu‐tơn của ${(1 + x)}^{n}$ , ta có

${(1 + x)}^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} x + C_{n}^{2} x^{2} + ... + C_{n}^{n} x^{n} .$

Cho x=3, ta được $C_{n}^{0} + 3 C_{n}^{1} + 3^{2} C_{n}^{3} + \dots + 3^{n} C_{n}^{n} = {(1 + 3)}^{n} = 4^{n}$ . Chọn D.

Câu 29:

Khai triển đa thức $P (x) = {(1 + 2 x)}^{12} = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{12} x^{12}$ . Tìm hệ số $a_{k}$ $(0 \leq k \leq 12)$ lớn nhất trong khai triển trên.

A. $C_{12}^{8} 2^{8}$

B. $C_{12}^{9} 2^{9}$

C. $C_{12}^{10} 2^{10}$

D. $C_{12}^{10} 2^{10}$

Xem đáp án

Lời giải. Khai triển nhị thức Niu‐tơn của ${(1 + 2 x)}^{12}$ , ta có

${(1 + 2 x)}^{12} =_{k = 0}^{12} C_{12}^{k} {(2 x)}^{k} =_{k = 0}^{12} C_{12}^{k} 2^{k} x^{k}$

Suy ra $a_{k} = C_{12}^{k} 2^{k} .$

Hệ số $a_{k}$ lớn nhất khi $\{\begin{cases} a_{k} \geq a_{k + 1} \\ a_{k} \geq a_{k ‐ 1} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2^{k} . c_{12}^{k} \geq 2^{k + 1} C_{12}^{k + 1} \\ 2^{k} c_{12}^{k} \geq 2^{k ‐ 1} C_{12}^{k ‐ 1} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{1}{12 - k} \geq \frac{2}{k + 1} \\ \frac{2}{k} \geq \frac{1}{12 - k + 1} \end{cases} \Leftrightarrow \frac{23}{3} \leq k \leq \frac{26}{3}$

$\frac{0 \leq k \leq 12}{k \in ℕ} \Rightarrow k = 8$

Vậy hệ số lớn nhất là $a_{8} = C_{12}^{8} {.2}^{8}$ . Chọn B.

Câu 30:

Khai triển đa thức $P (x) = {(\frac{1}{3} + \frac{2}{3} x)}^{10} = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{9} x^{9} + a_{10} x^{10}$ . Tìm hệ số $a_{k}$ lớn nhất trong khai triển trên.

A. $1 + \frac{2^{7}}{3^{10}} C_{10}^{7}$

B. $\frac{2^{7}}{3^{10}} C_{10}^{7}$

C. $\frac{2^{6}}{3^{10}} C_{10}^{6}$

D. $\frac{2^{8}}{3^{10}} C_{10}^{8} .$

Xem đáp án

Lời giải. Khai triển nhị thức Niu‐tơn của ${(\frac{1}{3} + \frac{2}{3} x)}^{10}$ , ta có

${(\frac{1}{3} + \frac{2}{3} x)}^{10} =_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} {(\frac{1}{3})}^{10 ‐ k} {(\frac{2}{3} x)}^{k}$

$=_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} {(\frac{1}{3})}^{10 ‐ k} {(\frac{2}{3})}^{k} x^{k} .$

Suy ra $a_{k} = C_{10}^{k} {(\frac{1}{3})}^{10 ‐ k} {(\frac{2}{3})}^{k}$

Giả sử $a_{k}$ là hệ số lớn nhất, khi đó $\{\begin{cases} a_{k} \geq a_{k + 1} \\ a_{k} \geq a_{k ‐ 1} \end{cases}$

$\{\begin{cases} C_{10}^{k} {(\frac{1}{3})}^{10 - k} {(\frac{2}{3})}^{k} \geq C_{10}^{k + 1} {(\frac{1}{3})}^{10 - (k + 1)} {(\frac{2}{3})}^{k + 1} \\ C_{10}^{k} {(\frac{1}{3})}^{10 - k} {(\frac{2}{3})}^{k} \geq C_{10}^{k - 1} {(\frac{1}{3})}^{10 - (k - 1)} {(\frac{2}{3})}^{k - 1} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} k \geq \frac{19}{3} \\ k \leq \frac{22}{3} \end{cases}$ $\to_{k \in ℕ}^{0 \leq k \leq 10} k = 7$

Vậy hệ số lớn nhất là $a_{7} = \frac{2^{7}}{3^{10}} C_{10}^{7}$ . Chọn B.