10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp có đáp án (Vận dụng)

Câu 1:

Cho tập A={2;5}Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 10 chữ số, các chữ số lấy từ tập A sao cho không có chữ số 2 nào đứng cạnh nhau?

A. 144 số.

B. 143 số.

C. 1024 số.

D. 512 số.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: A

TH1: Có 10 chữ số 5: Chỉ có duy nhất 1 số.

TH2: Có 9 chữ số 5 và 1 chữ số 2 .

Xếp 9 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 10 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 1 chữ số 2 vào 10 vách ngăn đó, có 10 cách.

Vậy trường hợp này có 10 số.

TH3: Có 8 chữ số 5 và 2 chữ số 2.

Xếp 8 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách.

Khi đó ta sẽ tạo nên 9 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 2 chữ số 2 vào 9 vách ngăn đó, có $C_{9}^{2} = 36$ cách.

Vậy trường hợp này có 36 số.

TH4: Có 7 chữ số 5 và 3 chữ số 2 .

Xếp 7 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách.

Khi đó ta sẽ tạo nên 8 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 3 chữ số 2 vào 8 vách ngăn đó, có $C_{8}^{3} = 56$ cách.

Vậy trường hợp này có 56 số.

TH5: Có 6 chữ số 5 và 4 chữ số 2 .

Xếp 6 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 7 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 4 chữ số 2 vào 7 vách ngăn đó, có $C_{7}^{4}$ cách.

Vậy trường hợp này có 35 số.

TH6: Có 5 chữ số 5 và 5 chữ số 2.

Xếp 5 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 6 vách ngăn.

Việc còn lại là xếp 5 chữ số 2 vào 6 vách ngăn đó, có $C_{6}^{5} = 6$ cách.

Vậy trường hợp này có 6 số.

Theo quy tắc cộng ta có tất cả: 1+10+36+56+35+6=144 số.

Chú ý

Nguyên tắc vách ngăn: Khi xếp n phần tử sẽ tạo ra n+1vách ngăn. Rất nhiều học sinh mắc sai lầm là chỉ tạo ra nn vách ngăn.

Câu 2:

Một thầy giáo có 10 cuốn sách khác nhau trong đó có 4 cuốn sách Toán, 3 cuốn sách Lí, 3 cuốn sách Hóa. Thầy muốn lấy ra 5 cuốn và tặng cho 5 em học sinh A,B,C,D,E mỗi em một cuốn. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách tặng cho các em học sinh sao cho sau khi tặng xong, mỗi một trong ba loại sách trên đều còn ít nhất một cuốn.

A. 204 cách.

B. 24480 cách.

C. 720 cách.

D. 2520 cách.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: B

Ta tìm số cách sao cho sau khi tặng sách xong có 1 môn hết sách.

TH1: Môn Toán hết sách:

Số cách chọn 4 cuốn sách Toán là 1 cách.

Số cách chọn 1 cuốn trong 6 cuốn còn lại là 6 cách.

Vậy có 6 cách chọn sách.

Số cách tặng 5 cuốn sách đó cho 5 em học sinh là $A_{5}^{5}$ =120 cách.

Vậy có 6.120=720 cách.

TH2: Môn Lí hết sách:

Số cách chọn 3 cuốn sách Lí là 1 cách.

Số cách chọn 2 cuốn trong 7 cuốn còn lại là $C_{7}^{2}$ cách.

Vậy có 21 cách chọn sách.

Số cách tặng 5 cuốn sách đó cho 5 em học sinh là $A_{5}^{5}$ =120 cách.

Vậy có 21.120=2520 cách.

TH3: Môn Hóa hết sách: Tương tự trường hợp 2 thì có 2520 cách.

Số cách chọn 5 cuốn bất kì trong 10 cuốn và tặng cho 5 em là $C_{10}^{5} A_{5}^{5}$ =30240 cách.

Vậy số cách chọn sao cho sau khi tặng xong, mỗi loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn là 30240−720−2520−2520=24480 cách.

Chú ý

HS có thể sẽ quên không xét đến công đoạn sau khi chọn sách còn công đoạn tặng sách nữa. Do các bạn A,B,C,D,E là khác nhau nên mỗi cách tặng sách các môn cho các bạn là khác nhau, nên ta phải xét thêm công đoạn đó.

Câu 3:

Với k,n∈N,2≤k≤n thì giá trị của biểu thức $A = C_{k}^{n} + 4 C_{n}^{k - 1} + 6 C_{n}^{k - 2} + 4 C_{n}^{k - 3} + C_{n}^{k - 4} - C_{n + 4}^{k} + 1$ bằng?

A. A=0.

B. A=1.

C. A=3.

D. A=-1.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: B

Trước hết ta chứng minh công thức $C_{k}^{n} + C_{n}^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}$

$V T = C_{n}^{k} + C_{n}^{k + 1} = \frac{n!}{k! (n - k)!} + \frac{n!}{(k + 1)! (n - k - 1)!} = \frac{n!}{k! (n - k - 1)!} (\frac{1}{n - k} + \frac{1}{k + 1}) = \frac{n!}{k! (n - k - 1)!} . \frac{k + 1 + n - k}{(n - k) (k + 1)} = \frac{n! (n + 1)}{k! (k + 1) (n - k - 1)! (n - k)} = \frac{(n + 1)!}{(k + 1)! (n - k)!} = C_{n + 1}^{k + 1} = V P$

Ta tính giá trị của biểu thức B sau đây:

$B = C_{n}^{k} + 4 C_{n}^{k - 1} + 6 C_{n}^{k - 2} + 4 C_{n}^{k - 3} + C_{n}^{k - 4} = C_{n}^{k} + C_{n}^{k - 1} + 3 (C_{n}^{k - 1} + C_{n}^{k - 2}) + 3 (C_{n}^{k - 2} + C_{n}^{k - 3}) + C_{n}^{k - 3} + C_{n}^{k - 4} = C_{n + 1}^{k} + 3 C_{n + 1}^{k - 1} + 3 C_{n + 1}^{k - 2} + C_{n + 1}^{k - 3} = C_{n + 1}^{k} + C_{n + 1}^{k - 1} + 2 (C_{n + 1}^{k - 1} + C_{n + 1}^{k - 2}) + C_{n + 1}^{k - 2} + C_{n + 1}^{k - 3} = C_{n + 2}^{k} + 2 C_{n + 2}^{k - 1} + C_{n + 2}^{k - 2} = (C_{n + 2}^{k} + C_{n + 2}^{k - 1}) + (C_{n + 2}^{k - 1} + C_{n + 2}^{k - 2}) = C_{n + 3}^{k} + C_{n + 3}^{k - 1} = C_{n + 4}^{k}$

$\Rightarrow A = B - C_{n + 4}^{k} + 1 = C_{n + 4}^{k} - C_{n + 4}^{k} + 1 = 1$

Câu 4:

Hai đơn vị thi đấu cờ tướng A và B lần lượt có 5 người và 6 người. Cần chọn ra mỗi đơn vị 3 người để ghép cặp thi đấu với nhau. Hỏi có bao nhiêu cách thực hiện như thế?

A. 1200.

B. $C_{5}^{3} . C_{6}^{3}$ .

C. $A_{5}^{3} . C_{6}^{3} .$

D. $C_{5}^{3} . A_{6}^{3}$ .

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Số cách chọn 3 người từ đơn vị A là $C_{5}^{3}$ cách.

Số cách chọn 3 người từ đơn vị B là $C_{6}^{3}$ cách.

Lấy 1 người trong đơn vị A đi ghép cặp đấu với 1 trong 3 người ở đơn vị B, ta được 3 cách.

Lấy 1 người trong 2 người còn lại ở đơn vị A đi ghép cặp đấu với 1 trong 2 người còn lại ở đơn vị B, ta được 2 cách.

Vậy có $C_{5}^{3} . C_{6}^{3} . 3.2 = 1200$ cách thực hiện việc ghép cặp thi đấu.

Câu 5:

Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số khác nhau mà hai chữ số chẵn đứng kề nhau?

A. 6!.

B. 2.6!.

C. 7!.

D. 2.7!.

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Số số có 7 chữ số khác nhau lập từ các chữ số đã cho: 7!

Xếp 4 chữ số lẻ trên 1 hàng ngang với vị trí bất kì: 4! Cách.

Ở đây giữa sẽ tạo thành 5 khoảng trống (bao gồm 3 khoảng trống giữa hai chữ số lẻ và 2 khoảng trống tại vị trí đầu và cuối). Ở mỗi khoảng trống, ta sẽ điền các chữ số chẵn 2, 4, 6 vào không kể thứ tự sao cho mỗi khoảng trống chỉ có 1 chữ số chẵn: $A_{5}^{3}$

Cách xếp này cũng chính là số số thỏa yêu cầu đề: $A_{5}^{3} . 4! = 2.6!$ .

Câu 6:

Một chồng sách gồm 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Vật lý, 5 quyển sách Hóa học. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các quyển sách trên thành một hàng ngang sao cho 4 quyển sách Toán đứng cạnh nhau, 3 quyển Vật lý đứng cạnh nhau?

A. 128900 cách.

B. 5040 cách.

C. 725760 cách.

D. 144 cách.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C

+) Ta buộc 4 quyển toán với nhau – coi như 1 phần tử, số cách xếp 4 quyển toán này là:

4! cách.

+) Tương tự ta cũng “buộc” 3 quyển sách Lý lại với nhau, thì số cách xếp cho bộ Lý này là 3! cách.

+) Lúc này ta sẽ đi xếp vị trí cho 7 phần tử trong đó có:

+ 1 buộc Toán.

+ 1 buộc Lý.

+ 5 quyển Hóa.

Thì sẽ có 7! cách xếp.

Vậy theo quy tắc nhân ta có 7!.4!.3!=725760 cách xếp.

Chú ý

Một số em có thể sẽ chọn nhầm đáp án B vì quên mất đếm số cách xếp các quyển sách trong cùng 1 bộ.

Câu 7:

Một nhóm học sinh có 3 em nữ và 7 em trai. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 em này thành một hàng ngang sao cho giữa hai em nữ bất kì đều không có một em nam nào?

A. 241920.

B. 30240.

C. 5040.

D. 840.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: A

Coi 3 bạn nữ là 1 phần tử X , cùng với 7 em trai , ta có 8 phần tử :

Bước 1: Xếp 3 em nữ thành một nhóm thì số cách đổi vị trí các em nữ trong nhóm đó là 3!cách.

Bước 2: Sau khi nhóm 3 em nữ thì ta chỉ còn 8 phần tử. Số cách xếp 8 phần từ này là 8! cách.

Theo quy tắc nhân thì có 3!.8!=241920 cách.

Câu 8:

Có 6 học sinh và 3 thầy giáo A ,B,C. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 9 người đó ngồi trên một hàng ngang có 9 ghế sao cho mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh?

A. 43200.

B. 720.

C. 60.

D. 4320.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: A

Ta sử dụng phương pháp tạo "vách ngăn".

Bước 1: Xếp vị trí cho 6 học sinh có 6! cách.

Bước 2: Do đề yêu cầu mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh nên ta chỉ tính 5 vách ngăn được tạo ra giữa 6 học sinh.

+) Thầy A có 5 cách xếp chỗ.

+) Thầy B có 4 cách xếp chỗ.

+) Thầy C có 3 cách xếp chỗ.

Vậy theo quy tắc nhân thì có: 6!.5.4.3 = 43200 cách.

Câu 9:

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau từng đôi một và chia hết cho 6. Kết quả cần tìm là:

A. 12.

B. 20.

C. 10.

D. 8.

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Ta có $a b c ⋮ 6 \Leftrightarrow \{\begin{cases} a b c ⋮ 2 \Rightarrow \begin{array}{rcl} c & = & 2 \\ c & = & 4 \end{array} \\ a b c ⋮ 3 \Leftrightarrow (a + b + c) ⋮ 3 \end{cases}$

+TH1. $c = 2 \Rightarrow (a; b) = \{(1; 3), (3; 1), (3; 4), (4; 3)\}$

+TH2. $c = 4 \Rightarrow (a; b) = \{(2; 3), (3; 2), (3; 5), (5; 3)\}$

Câu 10:

Cho các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số thỏa mãn số đó chia hết cho 2 và chữ số 4, 5 phải luôn đứng cạnh nhau?

A. 300 số.

B. 114 số.

C. 225 số.

D. 120 số.

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Ta có $\bar{a b c d} ⋮ 2 \Rightarrow c \in \{2; 4; 6; 8\}$ .

Với $d = 4 \Rightarrow c = 5$ , chọn a có 7 cách, chọn b có 7 cách nên có 7.7 = 49 số thỏa mãn.

Với $d = 2$

+) Dạng $45 c 2$ chọn c có 6 cách nên có 6 số thỏa mãn.

+) Dạng $a 452$ chọn a có 6 cách nên có 6 số thỏa mãn.

Đổi chỗ 4 và 5 thì có $2 . (6 + 6) = 24$ số thỏa mãn.

Tương tự với $d = 5, d = 8 \Rightarrow$ có tất cả $42 + 3.24 = 114$ số thỏa mãn.