13 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 Bài 3 (Có đáp án): Nhị thức Niu-tơn

Câu 1:

Khai triển biểu thức ${(x - m^{2})}^{4}$ thành tổng các đơn thức:

A. $x^{4} - x^{3} m + x^{2} m^{2} + m^{4}$

B. $x^{4} - x^{3} m^{2} + x^{2} m^{4} - x m^{6} + m^{8}$

C. $x^{4} - 4 x^{3} m + 6 x^{2} m^{2} - 4 x m + m^{4}$

D. $x^{4} - 4 x^{3} m^{2} + 6 x^{2} m^{4} - 4 x m^{6} + m^{8}$

Xem đáp án

Sử dụng nhị thức Niuton với a = x, b = - m2

$\begin{array}{l} {(x - m^{2})}^{4} = {[x + (- m^{2})]}^{4} \\ = C_{4}^{0} . x^{4} + C_{4}^{1} . x^{3} . (- m^{2}) + C_{4}^{2} . x^{2} . {(- m^{2})}^{2} + C_{4}^{3} . x . {(- m^{2})}^{3} + C_{4}^{4} . {(- m^{2})}^{4} \\ = x^{4} - 4 x^{3} m^{2} + 6 x^{2} m^{4} - 4 x . m^{6} + m^{8} \end{array}$

Chọn đáp án D

Nhận xét: học sinh có thể nhầm khi áp dụng sai công thức để dẫn đến các kết quả A,B và C

Câu 2:

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ${(3 x - \frac{1}{3 x^{2}})}^{9}$

A. 2268

B. -2268

C. 84

D. -27

Xem đáp án

Câu 3:

Xác định hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển ${(x^{2} - \frac{2}{x})}^{n}$ nếu biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển đó bằng 49.

A. 160

B. -160

C. $160 x^{3}$

D. $- 160 x^{3}$

Xem đáp án

Ta có

Câu 4:

Tính tổng $S = 3^{2015} . C_{2015}^{0} - 3^{2014} C_{2015}^{2} + 3^{2013} C_{2015}^{2} - \dots + 3 C_{2015}^{2014} - C_{2015}^{2015}$

A. $2^{2015}$

B. $- 2^{2015}$

C. $3^{2015}$

D. $4^{2015}$

Xem đáp án

Theo nhị thức Newton ta có:

${(3 + x)}^{2015} = C_{2015}^{0} . 3^{2015} + C_{2015}^{1} {.3}^{2014} . x + C_{2015}^{2} {.3}^{2013} . x^{2} + .... + C_{2015}^{2014} .3. x^{2014} + C_{2015}^{2015} . x^{2015}$

Thay x = -1 ta được:

${(3 - 1)}^{2015} = C_{2015}^{0} . 3^{2015} - C_{2015}^{1} {.3}^{2014} + C_{2015}^{2} {.3}^{2013} - .... + C_{2015}^{2014} .3 - C_{2015}^{2015}$

Suy ra, $S = 2^{2015}$

Ta chọn đáp án A

Câu 5:

Số hạng chính giữa trong khai triển ${(5 x + 2 y)}^{4} l à$

A. $6 x^{2} y^{2}$

B. $24 x^{2} y^{2}$

C. $60 x^{2} y^{2}$

D. $600 x^{2} y^{2}$

Xem đáp án

Số hạng thứ k+1 trong khai triển ${(5 x + 2 y)}^{4} l à C_{4}^{k} {(5 x)}^{4} . {(2 y)}^{k}$

Số hạng chính giữa là số hạng thứ ba ứng với k+1=3↔k=2 nên là C42(5x)2.(2y)2=600x2y2

Chọn D

Câu 6:

Cho n là số tự nhiên thoả mãn $C_{n}^{n} + C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n - 2} = 79$

Hệ số của $x^{5}$ trong khai triển của ${(2 x - 1)}^{n}$ là

A. -41184

B. 41184

C. -25344

D. 23344

Xem đáp án

Điều kiện n∈N,n≥2

Ta có: $C_{n}^{n} + C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n - 2} = 79$

$\Leftrightarrow 1 + n + \frac{n . (n - 1)}{2} = 79 \Leftrightarrow 2 + 2 n + n (n - 1) = 79 . 2 \Leftrightarrow n^{2} + n - 156 = 0$

Suy ra; n = -13 ( loại ) hoặc n = 12 ( thỏa mãn ).

Số hạng tổng của khai triển (2x-1)12 là

$C_{12}^{k} . {(2 x)}^{12 - k} . {(- 1)}^{k} = {(- 1)}^{k} . C_{12}^{k} . 2^{12 - k} . x^{12 - k}$

Để số hạng này chứa $x^{5}$ thì 12- k = 5 ↔k=7

Vậy hệ số $x^{5}$ trong khai triển (2x-1)12 là (-1)7. C127.25= -25344

Chọn C

Câu 7:

Tìm số hạng thứ năm trong khai triển của ${(x - \frac{2}{x})}^{11}$

mà trong khai triển đó số mũ của x giảm dần:

A. $- 5280 x^{3}$

B. $5280 x^{3}$

C. 14784x

D. -14784x

Xem đáp án

Số hạng thứ năm ứng với k = 4.

Số hạng thứ 5 trong khai triển đã cho là:

$C_{11}^{4} . x^{11 - 4} . {(\frac{- 2}{x})}^{4} = C_{11}^{4} . x^{7} . \frac{{(- 2)}^{4}}{x^{4}} = C_{11}^{4} . {(- 2)}^{4} . x^{3} = 5280 x^{3}$

Nhận xét. Học sinh có thể nhầm số hạng thứ 5 ứng với k=5 nên là

Hoặc tính nhầm dẫn đến chọn A, hoặc chọn C

Chọn B

Câu 8:

Tìm hệ số của $x^{6} y^{14}$ trong khai triển ${(x + 5 y)}^{20}$

A. $5^{6} C_{20}^{6}$

B. $5^{14} C_{20}^{14}$

C. $5^{6} C_{20}^{14}$

D. $5^{14}$

Xem đáp án

Số hạng thứ k + 1 trong khai triển đã cho là:

$C_{20}^{k} . x^{20 - k} . {(5 y)}^{k} = C_{20}^{k} . 5^{k} . x^{20 - k} . y^{k}$

Để số hạng này chứa $x^{6} . y^{14}$ thì:

$\{\begin{array}{l} 20 - k = 6 \\ k = 14 \end{array} \Leftrightarrow k = 14$

Vây hệ số chứa $x^{6} . y^{14}$ trong khai triển đã cho là

$C_{20}^{14} . 5^{14}$

Chọn B

Câu 9:

Tìm hệ số của $x^{5}$ trong khai triển đa thức của $x {(1 - 2 x)}^{5} + x^{2} {(1 + 3 x)}^{10}$

A. 61204

B. 3160

C. 3320

D. 61268

Xem đáp án

+ Xét khai triển x ${(1 - 2 x)}^{5}$

${(1 - 2 x)}^{5} = \sum_{k = 0}^{5} C_{5}^{k} . 1^{5 - k} . {(- 2 x)}^{k} = \sum_{k = 0}^{5} C_{5}^{k} . {(- 2)}^{k} . x^{k} \Rightarrow x . {(1 - 2 x)}^{5} = \sum_{k = 0}^{5} C_{5}^{k} . {(- 2)}^{k} . x^{k + 1}$

Hệ số của x5 trong khai triển x(1-2x)5 ( ứng với k= 4) là $C_{5}^{4} . {(- 2)}^{4}$

+Xét khai triển $x^{2} {(1 + 3 x)}^{10}$

${(1 + 3 x)}^{10} = \sum_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} . 1^{10 - k} . {(3 x)}^{k} = \sum_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} . 3^{k} . x^{k} \Rightarrow x^{2} . {(1 + 3 x)}^{10} = \sum_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} . 3^{k} . x^{k + 2}$

Hệ số của x5 trong khai triển $x^{2} {(1 + 3 x)}^{10}$ ( ứng với k= 3) là $C_{10}^{3} . 3^{3}$

Do đó hệ số của x5 trong khai triển x(1-2x)5+ x2(1+3x)10 là

(-2)4.C54 + 33.C103= 3320

Chọn C

Câu 10:

Tìm a trong khai triển $(1 + a x) {(1 - 3 x)}^{6}$ , biết hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ là 405

A. 3

B. 7

C. -3

D. -7

Xem đáp án

Số hạng tổng quát trong khai triển ${(1 - 3 x)}^{6}$ là : $C_{6}^{k} . 1^{6 - k} . {(- 3 x)}^{k} = C_{6}^{k} . {(- 3)}^{k} . x^{k}$

Số hạng tổng quát trong khai triển $(1 + a x) {(1 - 3 x)}^{6}$ là

$(1 + a x) C_{6}^{k} . {(- 3)}^{k} . x^{k} = C_{6}^{k} . {(- 3)}^{k} . x^{k} + a x . C_{6}^{k} . {(- 3)}^{k} . x^{k} = C_{6}^{k} . {(- 3)}^{k} . x^{k} + a . C_{6}^{k} . {(- 3)}^{k} . x^{k + 1}$ .

Hệ số chứa $x^{3}$ trong khai triển là

$C_{6}^{3} . {(- 3)}^{3} + a . C_{6}^{2} . {(- 3)}^{2} = - 540 + 135 a = 405$

$\Rightarrow a = 7$

Chọn B

Câu 11:

Tìm số tự nhiên n, biết $3^{n} C_{n}^{0} - 3^{n - 1} C_{n}^{1} + 3^{n - 2} C_{n}^{2} - 3^{n - 3} C_{n}^{3} + ... + {(- 1)}^{n} . C_{n}^{n} = 2048$

A. 9

B. 10

C. 11

D. một kết quả khác

Xem đáp án

Chọn C

Vế trái của đẳng thức bằng (3-1)n =2n.

Do đó 2n = 2048=211,

Suy ra n=11

Câu 12:

Tính tổng $C_{n}^{0} - 2 C_{n}^{1} + 2^{2} C_{n}^{2} - \dots + {(- 1)}^{n} 2^{n} C_{n}^{n}$

A. 1

B. -1

C. ${(- 1)}^{n}$

D. $3^{n}$

Xem đáp án

Chọn C

+ Áp dụng khai triển nhị thức niu ton với a = 1; b = - 2 ta được :

$C_{n}^{0} - 2 C_{n}^{1} + 2^{2} C_{n}^{2} - \dots + {(- 1)}^{n} 2^{n} C_{n}^{n} = {(1 - 2)}^{n} = {(- 1)}^{n}$

Nhận xét Học sinh dễ mắc những sai lầm :

Coi (-1)n = -1 ( chọn B) hoặc (-1)n= 1 ( chọn A)

Hoặc tính tổng trên bằng (1+2)n = 3n ( chọn D)

Câu 13:

Cho đa thức: $P (x) = {(1 + x)}^{8} + {(1 + x)}^{9} + {(1 + x)}^{10} + {(1 + x)}^{11} + {(1 + x)}^{12}$ . Khai triển và rú gọn ta được đa thức: $P (x) = a_{o} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + . . . + a_{12} x^{12}$ . Tìm hệ số $a_{8}$

A. 700

B. 715

C. 720

D. 730

Xem đáp án

Chọn B

Hệ số chứa $x^{8}$ trong khai triển ${(1 + x)}^{8}$ là $C_{8}^{8}$

Hệ số chứa $x^{8}$ trong khai triển ${(1 + x)}^{9}$ là $C_{9}^{8}$

Hệ số chứa $x^{8}$ trong khai triển ${(1 + x)}^{10}$ là $C_{10}^{8}$

Hệ số chứa $x^{8}$ trong khai triển ${(1 + x)}^{11}$ là $C_{11}^{8}$

Hệ số chứa $x^{8}$ trong khai triển ${(1 + x)}^{12}$ là $C_{12}^{8}$

Ta có a8= C88+C98+C108+C118+C128= 1+9+45+165+495= 715