10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Vectơ trong không gian có đáp án

Câu 1:

Cho tứ diện ABCD. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Lấy hai điểm P và Q lần lượt thuộc AD và BC sao cho $\vec{P A} = m \vec{P D}$ và $\vec{Q B} = m \vec{Q C}$ , với m khác 1. Vecto $\vec{M P}$ bằng:

A. $\vec{M B} - m \vec{Q C}$

B. $\vec{M N} - m \vec{P D}$

C. $\vec{M A} - m \vec{P D}$

D. $\vec{M N} - m \vec{Q C}$

Xem đáp án

Có thể loại các phương án A, B và D vì các cặp ba vecto $(\vec{M P}, \vec{M B}, v à \vec{Q C})$ , ( $\vec{M P}, \vec{M N}, \vec{P D}$ ) và ( $\vec{M P}, \vec{M N} v à \vec{Q C}$ ) đều không đồng phẳng.

Phương án C đúng vì : $\vec{M P} = \vec{M A} + \vec{A P} = \vec{M A} - m \vec{P D}$

Đáp án C

Câu 2:

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, và Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, và DA.

Vecto $\vec{M N}$ cùng với hai vecto nào sau đây là ba vecto đồng phẳng?

A. $\vec{M A} v à \vec{M Q}$

B. $\vec{M D} v à \vec{M Q}$

C. $\vec{A C} v à \vec{A D}$

D. $\vec{M P} v à \vec{C D}$

Xem đáp án

Cách 1:

Ta có: M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC
suy ra: MN// AC và $M N = \frac{1}{2} A C$ (1)

Tương tự: QP là đường trung bình của tam giác ACD nên QP // AC và $Q P = \frac{1}{2} A C$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: tứ giác MNPQ là hình bình hành (có các cạnh đối song song và bằng nhau)

* Cách 2:

Tam giác ABC có MN là đường trung bình nên MN // AC và $M N = \frac{1}{2} A C$

$\Rightarrow \vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{A C} = \frac{1}{2} \vec{A C} + 0 . \vec{A D}$

Do đó, 3 vecto $\vec{M N}; \vec{A C}; \vec{A D}$ đồng phẳng

Đáp án C

Câu 3:

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, và Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, và DA.

Vecto $\vec{A C}$ cùng với hai vecto nào sau đây là ba vecto không đồng phẳng?

A. $\vec{A B} v à \vec{A D}$

B. $\vec{M N} v à \vec{A D}$

C. $\vec{Q M} v à \vec{B D}$

D. $\vec{Q P} v à \vec{C D}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 4:

Cho ba vecto $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ . Điều kiện nào sau đây không kết luận được ba vecto đó đồng phẳng.

A. Một trong ba vecto đó bằng $\vec{0}$ .

B. Có hai trong ba vecto đó cùng phương.

C. Có một vecto không cùng hướng với hai vecto còn lại

D. Có hai trong ba vecto đó cùng hướng.

Xem đáp án

Nếu hai trong ba vecto đó cùng hướng thì ba vecto đồng phẳng.

Nếu hai trong ba vecto đó không cùng hướng thì chưa thể kết luận được ba vecto đó đồng phẳng.

Ví dụ. Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AB; AC. Khi đó, vecto $\vec{A D}$ không cùng hướng với hai vecto $\vec{M N}; \vec{A C}$ . Nhưng 3 vecto trên vẫn đồng phẳng.

Đáp án C

Câu 5:

Ba vecto $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ không đồng phẳng nếu?

A. Giá của chúng không cùng một mặt phẳng.

B.Giá của chúng cùng thuộc một mặt phẳng.

C. Giá của chúng không cùng song song với một mặt phẳng.

D. Giá chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Xem đáp án

Đáp án C

Theo định nghĩa sự đồng phẳng của 3 vecto: 3 vecto đồng phẳng

nếu giá của chúng cùng song song với 1 mặt phẳng.

Câu 6:

Cho tứ diện ABCD với G là trọng tâm và các điểm M, N, P, Q, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, AD, AC, BD.

Những vecto khác $\vec{0}$ bằng nhau là:

A. $\vec{M N}, \vec{C I}, \vec{Q P}$

B. $\vec{M I}, \vec{I Q}, \vec{Q M}$

C. $\vec{M Q}, \vec{N P}, 1 / 2 (\vec{C B} - \vec{C D})$

D. $\vec{M Q}, \vec{N P}, 1 / 2 (\vec{C D} - \vec{C B})$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta xét từng phương án:

+) Ta có: MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN // = 1/2 AC

Mà I là trung điểm của AC nên ta có IC = 1/2 AC $\Rightarrow \vec{I C} = \frac{1}{2} \vec{A C}$

Do đó $\vec{M N} = \vec{I C} = - \vec{C I}$

Nên ba vecto $\vec{M N}; \vec{C I}; \vec{Q P}$ không phải là ba vecto bằng nhau, đáp án A sai.

+) Ba vecto $\vec{M I}; \vec{I Q}; \vec{Q M}$ không phải là ba vecto bằng nhau vì chúng không cùng hướng nên đáp án B sai.

+) Ta có MQ là đường trung bình của tam giác ABD $\Rightarrow M Q // = \frac{1}{2} B D$

NP là đường trung bình của tam giác CBD $\Rightarrow N P // = \frac{1}{2} B D$

Suy ra MQ //= NP $\Rightarrow \vec{M Q} = \vec{N P} = \frac{1}{2} \vec{B D}$ (1)

Lại có: $\vec{B D} = \vec{C D} - \vec{C B}$ (quy tắc trừ hai vecto) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\vec{M Q} = \vec{N P} = \frac{1}{2} (\vec{C D} - \vec{C B})$

Nên C sai, D đúng.

Câu 7:

Cho tứ diện ABCD với G là trọng tâm và các điểm M, N, P, Q, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, AD, AC, BD.

$\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D}$ bằng:

A. $4 \vec{A G}$

B. $2 \vec{A G}$

C. $\vec{A G}$

D. $1 / 2 \vec{A G}$

Xem đáp án

Ta có N là trung điểm của BC

Suy ra $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A N}$

Lại có: $\vec{A D} = 2 \vec{A Q}$ (Q là trung điểm của AD)

Do đó $\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D} = 2 \vec{A N} + 2 \vec{A Q}$ $= 2 (\vec{A N} + \vec{A Q})$ (1)

Tạ lại có G là trọng tâm của tứ diện ABCD nên G là trung điểm của NQ (tính chất trọng tâm của tứ diện) $\Rightarrow \vec{A N} + \vec{A Q} = 2 \vec{A G}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D} = 4 \vec{A G}$ .

Đáp án A

Câu 8:

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ với G là trọng tâm của tam giác A’B’C’. Đặt $\vec{A A'} = \vec{a}, \vec{A B} = \vec{b}, \vec{A C} = \vec{c}$

Vecto $\vec{B' C}$ bằng:

A. $\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$

B. $\vec{c} - \vec{a} - \vec{b}$

C. $\vec{b} - \vec{a} - \vec{c}$

D. $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

Xem đáp án

$\vec{B' C} = \vec{A C} - \vec{A B'} = \vec{A C} - (\vec{A A'} + \vec{A B}) = \vec{c} - \vec{a} - \vec{b}$

( áp dụng quy tắc hình bình hành)

Đáp án B

Câu 9:

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ với G là trọng tâm của tam giác A’B’C’. Đặt $\vec{A A'} = \vec{a}, \vec{A B} = \vec{b}, \vec{A C} = \vec{c}$

Vecto $\vec{A G}$ bằng:

A. $\vec{a} + 1 / 6 (\vec{b} + \vec{c})$

B. $\vec{a} + 1 / 4 (\vec{b} + \vec{c})$

C. $\vec{a} + 1 / 2 (\vec{b} + \vec{c})$

D. $\vec{a} + 1 / 3 (\vec{b} + \vec{c})$

Xem đáp án

Gọi M là trung điểm của B'C'

Theo tính chất trọng tâm tam giác và trung điểm của đoạn thẳng ta có :

$\vec{A' G} = \frac{2}{3} \vec{A M} = \frac{2}{3} . \frac{1}{2} (\vec{A' B'} + \vec{A' C')} = \frac{1}{3} (\vec{A' B'} + \vec{A' C')}$

Do đó:

$\vec{A G} = \vec{A A'} + \vec{A' G} = \vec{A A'} + 1 / 3 (\vec{A' B'} + \vec{A' C'}) = \vec{a} + 1 / 3 (\vec{b} + \vec{c})$

Đáp án D

Câu 10:

Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và đều có độ dài là l. Gọi M là trung điểm của các cạnh AB. Góc giữa hai vecto $\vec{O M}$ và $\vec{B C}$ bằng:

A. $0^{o}$

B. $45^{o}$

C. $90^{o}$

D. $120^{o}$

Xem đáp án

Tam giác OAB vuông tại O (OA $⊥$ OB)

Theo định lý Py-ta-go ta có: $A B = \sqrt{O A^{2} + O B^{2}} = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$

Tương tự BC = $\sqrt{2}$

Ta có: OM là trung tuyến của tam giác OAB vuông tại O

Nên OM = 1/2AB = $\frac{1}{2} . \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Đáp án D