32 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Giới hạn của dãy số có đáp án (phần 2)

Câu 1:

Tính $\lim (n^{3} - 2 n + 1)$ ?

A. 0

B. 1

C. $- \infty$

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $l i m (n^{3} - 2 n + 1) = l i m n^{3} (1 - \frac{2}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}})$ .

Vì $l i m n^{3} = + \infty$ và $l i m (1 - \frac{2}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}}) = 1 - 0 + 0 = 1$

Nên theo quy tắc 2, $l i m (n^{3} - 2 n + 1) = + \infty$

Câu 2:

Tính $\lim (5 n - n^{2} + 1)$

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. 5

D. -1

Xem đáp án

Đáp án là B

Ta có $5 n - n^{2} + 1 = n^{2} (\frac{5}{n} - 1 + \frac{1}{n^{2}})$

Vì $l i m n^{2} = + \infty$ và $l i m (\frac{5}{n} - 1 + \frac{1}{n^{2}}) = - 1 < 0$ nên $l i m (5 n - n^{2} + 1) = - \infty$ (theo quy tắc 2).

Câu 3:

Tính $l i m u_{n}$ , với $u_{n} = \frac{5 n^{2} + 3 n - 7}{n^{2}}$ ?

A. 5

B. 0

C. 3

D. -7

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có :

$l i m u_{n} = l i m (\frac{5 n^{2}}{n^{2}} + \frac{3 n}{n^{2}} - \frac{7}{n^{2}}) = l i m (5 + \frac{3}{n} - \frac{7}{n^{2}}) = 5 + 0 - 0 = 5$

Câu 4:

Tính $l i m u_{n}$ với $u_{n} = \frac{2 n^{3} - 3 n^{2} + n + 5}{n^{3} - n^{2} + 7}$ ?

A. -3

B. 1

C. 2

D. 0

Xem đáp án

Đáp án C

Chia cả tử và mẫu của phân thức cho $n^{3}$ ( là lũy thừa bậc cao nhất củan trong phân thức), ta được:

$u_{n} = \frac{2 n^{3} - 3 n^{2} + n + 5}{n^{3} - n^{2} + 7} = \frac{2 - \frac{3}{n} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{5}{n^{3}}}{1 - \frac{1}{n} + \frac{7}{n^{3}}}$ .

Vì $l i m (2 - \frac{3}{n} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{5}{n^{3}}) = 2$ và $l i m (1 - \frac{1}{n} + \frac{7}{n^{3}}) = 1 ≢ 0$ nên $l i m \frac{2 n^{3} - 3 n^{2} + n + 5}{n^{3} - n^{2} + 7} = \frac{2}{1} = 2$ .

Câu 5:

Giới hạn của dãy số ( $u_{n}$ ) với $u_{n} = \frac{n^{3} + 2 n + 1}{n^{4} + 3 n^{3} + 5 n^{2} + 6}$ bằng

A. 1

B. 0

C. $+ \infty$

D. $\frac{1}{3}$

Xem đáp án

Đáp án là B

Chia cả tử và mẫu của phân thức cho $n^{4}$ ( $n^{4}$ là bậc cao nhất của n trong phân thức), ta được

$l i m u_{n} = l i m \frac{n^{3} + 2 n + 1}{n^{4} + 3 n^{3} + 5 n^{2} + 6} = l i m \frac{\frac{1}{n} + \frac{2}{n^{3}} + \frac{1}{n^{4}}}{1 + \frac{3}{n} + \frac{5}{n^{2}} + \frac{6}{n^{3}}} = \frac{0 + 0 + 0}{1 + 0 + 0 + 0} = 0$ .

Câu 6:

Giới hạn của dãy số ( $u_{n}$ ) với $u_{n} = \frac{3 n^{3} + 2 n - 1}{2 n^{2} - n}$ , bằng

A. $\frac{3}{2}$

B. 0

C. $+ \infty$

D. 1

Xem đáp án

Đáp án là C

Chia cả tử và mẫu cho $n^{2}$ ( $n^{2}$ là lũy thừa bậc cao nhất của n trong mẫu thức), ta được :

$u_{n} = \frac{3 n^{3} + 2 n - 1}{2 n^{2} - n} = \frac{3 n + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^{2}}}{2 - \frac{1}{n}}$

Do $l i m (3 n + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^{2}}) = + \infty; l i m (2 - \frac{1}{n}) = 2 > 0$

Vậy $l i m u_{n} = + \infty$

Cách 2: Ta có $l i m u_{n} = l i m \frac{n^{3} (3 + \frac{2}{n^{2}} - \frac{1}{n^{3}})}{n^{2} (2 - \frac{1}{n})} = l i m (n \frac{3 + \frac{2}{n^{2}} - \frac{1}{n^{3}}}{2 - \frac{1}{n}})$

Vì $l i m n = + \infty$ và $l i m \frac{3 + \frac{2}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}}}{2 - \frac{1}{n}} = \frac{3}{2} > 0$ nên theo quy tắc 2, $l i m u_{n} = + \infty$

Câu 7:

$l i m \frac{\sin (n!)}{n^{2} + 1}$ bằng

A. 0

B. 1

C. $+ \infty$

D. 2

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $|\frac{\sin (n!)}{n^{2} + 1}| \leq \frac{1}{n^{2} + 1}$ mà $l i m \frac{1}{n^{2} + 1} = 0$ nên $l i m \frac{\sin (n!)}{n^{2} + 1} = 0$

Câu 8:

Tính giới hạn I $= l i m (\sqrt{n^{2} - 2 n + 3} - n)$

A. I = -1

B. I= 1

C. I = 0

D. I = $+ \infty$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có

I= $l i m (\sqrt{n^{2} - 2 n + 3} - n) = l i m \frac{(\sqrt{n^{2} - 2 n + 3} - n) (\sqrt{n^{2} - 2 n + 3} + n)}{\sqrt{n^{2} - 2 n + 3} + n}$

$= l i m \frac{(n^{2} - 2 n + 3) - n^{2}}{\sqrt{n^{2} - 2 n + 3} + n} = l i m \frac{- 2 n + 3}{\sqrt{n^{2} - 2 n + 3} + n} = l i m \frac{- 2 + \frac{3}{n}}{\sqrt{1 - \frac{2}{n} + \frac{3}{n^{2}}} + 1} = \frac{- 2}{\sqrt{1} + 1} = - 1$

Câu 9:

$l i m (n - \sqrt[3]{8 n^{3} + 3 n + 2})$ bằng:

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. -1

D. 0

Xem đáp án

Đáp án là B

Ta có $l i m (n - \sqrt[3]{8 n^{3} + 3 n + 2}) = l i m n (1 - \sqrt[3]{8 + \frac{3}{n^{2}} + \frac{2}{n^{3}}})$

Vì $l i m n = + \infty$ , $l i m (1 - \sqrt[3]{8 + \frac{3}{n^{2}} + \frac{2}{n^{3}}}) = 1 - \sqrt[3]{8} = - 1 < 0$ nên $l i m (n - \sqrt[3]{8 n^{3} + 3 n + 2}) = - \infty$ .

Câu 10:

$l i m (n^{2} - n \sqrt{4 n + 1})$ bằng:

A. -1

B. 3

C. $+ \infty$

D. $- \infty$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $n^{2} - n \sqrt{4 n + 1} = n^{2} (1 - \sqrt{\frac{4}{n} + \frac{1}{n^{2}}})$

Vì $l i m n^{2} = + \infty$ và $l i m (1 - \sqrt{\frac{4}{n} + \frac{1}{n^{2}}}) = 1 > 0$ nên theo quy tắc 2:

$l i m (n^{2} - n \sqrt{4 n - 1}) = + \infty$

Câu 11:

$l i m (n - \sqrt[3]{n^{3} + 3 n^{2} + 1})$ bằng :

A. -1

B. 1

C. $+ \infty$

D. $- \infty$

Xem đáp án

Đáp án là A

Ta tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp (bậc ba) của $n - \sqrt[3]{n^{3} + 3 n^{2} + 1}$

$l i m \frac{n^{3} - (n^{3} + 3 n^{2} + 1)}{(n^{2} + n \sqrt[3]{n^{3} + 3 n^{2} + 1} + \sqrt[3]{{(n^{3} + 3 n^{2} + 1)}^{2}})}$

$l i m \frac{- 3 n^{2} - 1}{n^{2} + n^{2} \sqrt[3]{1 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^{3}}} + n^{2} . \sqrt[3]{{(1 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^{3}})}^{2}}}$

$= l i m \frac{- 3 - \frac{1}{n^{2}}}{1 + \sqrt[3]{1 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^{3}}} + \sqrt[3]{{(1 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^{3}})}^{2}}} = \frac{- 3 - 0}{1 + 1 + 1} = - 1$

Câu 12:

$l i m (5^{n} - 2^{n})$ bằng :

A. $- \infty$

B. 3

C. $+ \infty$

D. $\frac{5}{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $5^{n} - 2^{n} = 5^{n} (1 - {(\frac{2}{5})}^{n})$

Vì $l i m 5^{n} = + \infty$ và $l i m (1 - {(\frac{2}{5})}^{n}) = 1 > 0$ nên theo quy tắc 2, $l i m (5^{n} - 2^{n}) = + \infty$

Câu 13:

$l i m \frac{4 . 3^{n} + 7^{n + 1}}{2 . 5^{n} + 7^{n}}$ bằng :

A. 1

B. 7

C. $\frac{3}{5}$

D. $\frac{7}{5}$

Xem đáp án

Đáp án B

$l i m \frac{4 . 3^{n} + 7^{n + 1}}{2 . 5^{n} + 7^{n}} = l i m \frac{4 . {(\frac{3}{7})}^{n} + 7}{2 . {(\frac{5}{7})}^{n} + 1} = \frac{4.0 + 7}{2.0 + 1} = 7$

Câu 14:

Số thập phân vô hạn tuần hoàn $0, 32111 . . .$ được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản $\frac{a}{b}$ , trong đó a, b là các số nguyên dương. Tính a-b .

A. 611

B . 27 901

C. - 611

D. -27901.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có:

$0, 32111 . . . = \frac{32}{100} + \frac{1}{10^{3}} + \frac{1}{10^{4}} + \frac{1}{10^{5}} + . . . = \frac{32}{100} + \frac{\frac{1}{10^{3}}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{289}{900}$ .

Vậy $a = 289, b = 900$ . Do đó $a - b = 289 - 900 = - 611$ .

Câu 15:

$l i m \frac{3 + 3^{2} + 3^{3} + . . . + 3^{n}}{1 + 2 + 2^{2} + . . . + 2^{n}}$ bằng:

A. $+ \infty$

B. 3

C. $\frac{3}{2}$

D. $\frac{2}{3}$

Xem đáp án

Đáp án là A

Ta có ở tử thức là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân $(u_{n})$ với $u_{1} = 3$ và q=3 .

Do đó $3 + 3^{2} + 3^{3} + ... + 3^{n} = 3. \frac{3^{n} - 1}{3 - 1} = \frac{3}{2} (3^{n} - 1)$

Mẫu thức là tổng của n+1 số hạng đầu tiền của cấp số nhân $(v_{n})$ với $v_{1} = 1$ và q=2.

Do đó $1 + 2 + 2^{2} + ... + 2^{n} = 1. \frac{2^{n + 1} - 1}{2 - 1} = 2^{n + 1} - 1$

Vậy

$\begin{array}{l} \lim \frac{3 + 3^{2} + 3^{3} + ... + 3^{n}}{1 + 2 + 2^{2} + ... + 2^{n}} \\ = \lim \frac{3}{2} . \frac{3^{n} - 1}{2^{n + 1} - 1} \\ = \lim \frac{3}{2} . \frac{1 - \frac{1}{3^{n}}}{2. {(\frac{2}{3})}^{n} - \frac{1}{3^{n}}} \\ = + \infty \end{array}$

Câu 16:

Giá trị của $\frac{\cos n + \sin n}{n^{2} + 1}$ bằng:

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. $0$

D. 1

Xem đáp án

Đáp án là C

Câu 17:

Kết quả đúng của $l i m (5 - \frac{n \cos 2 n}{n^{2} + 1})$ là:

A. 4

B. 5

C. -4

D. $\frac{1}{4}$

Xem đáp án

Đáp án là B

Ta có: $- 1 \leq \cos 2 n \leq 1$ nên :

$- \frac{n}{n^{2} + 1} \leq \frac{n \cos 2 n}{n^{2} + 1} \leq \frac{n}{n^{2} + 1}$

Ta có $l i m - \frac{n}{n^{2} + 1} = l i m - \frac{\frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n^{2}}} = 0$ ; $l i m \frac{n}{n^{2} + 1} = l i m \frac{\frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n^{2}}} = 0$ ;

$\Rightarrow l i m (\frac{n \cos 2 n}{n^{2} + 1}) = 0 \Rightarrow l i m (5 - \frac{n \cos 2 n}{n^{2} + 1}) = 5 - 0 = 5$ .

Câu 18:

Giá trị của $C = l i m \frac{{(2 n^{2} + 1)}^{4} {(n + 2)}^{9}}{n^{17} + 1}$ bằng:

A. $- \infty$

B. $+ \infty$

C. 16

D. 1

Xem đáp án

Đáp án là C

Ta có: $C = l i m \frac{n^{8} {(2 + \frac{1}{n^{2}})}^{4} n^{9} {(1 + \frac{2}{n})}^{9}}{n^{17} (1 + \frac{1}{n^{17}})} = l i m \frac{{(2 + \frac{1}{n^{2}})}^{4} . {(1 + \frac{2}{n})}^{9}}{1 + \frac{1}{n^{17}}} = \frac{2^{4} . 1}{1 + 0} = 16$

Câu 19:

Cho dãy số $u_{n}$ với $u_{n} = (n - 1) \sqrt{\frac{2 n + 2}{n^{4} + n^{2} - 1}}$ . Chọn kết quả đúng của $l i m u_{n}$ là:

A. $- \infty$

B. 0

C. 1

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Đáp án là B

Ta có: $l i m u_{n} = l i m (n - 1) \sqrt{\frac{2 n + 2}{n^{4} + n^{2} - 1}}$

$= l i m \sqrt{\frac{{(n - 1)}^{2} (2 n + 2)}{n^{4} + n^{2} - 1}}$
$= l i m \sqrt{\frac{2 n^{3} - 2 n^{2} - 2 n + 2}{n^{4} + n^{2} - 1}}$

$= l i m \sqrt{\frac{\frac{2}{n} - \frac{2}{n^{2}} - \frac{2}{n^{3}} + \frac{2}{n^{4}}}{1 + \frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{n^{4}}}} = 0 V i l i m (\frac{2}{n} - \frac{2}{n^{2}} - \frac{2}{n^{3}} + \frac{2}{n^{4}}) = 0 - 0 - 0 + 0 = 0 l i m (1 + \frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{n^{4}}) = 1 + 0 - 0 = 1$

Câu 20:

Tính giới hạn: $\frac{1 + 3 + 5 . . . + (2 n + 1)}{3 n^{2} + 4}$

A. 0

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{2}{3}$

D. 1

Xem đáp án

Đáp án là B

$l i m \frac{1 + 3 + 5 + . . . + (2 n + 1)}{3 n^{2} + 4}$

Ta có: 1+3 + 5+ .... + (2n +1) là tổng của n +1 số hạng 1 cấp số cộng có $u_{1}$ = 1 và công sai d =2.

Nên 1+ 3 + 5+ .. + (2n+1) $= \frac{(n + 1)}{2} . [2.1 + (n + 1 - 1) . 2] = {(n + 1)}^{2}$

$l i m \frac{1 + 3 + 5 + . . . + (2 n + 1)}{3 n^{2} + 4} = l i m \frac{{(n + 1)}^{2}}{3 n^{2} + 4}$

$= l i m \frac{n^{2} + 2 n + 1}{3 n^{2} + 4} = l i m \frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{3 + \frac{4}{n^{2}}} = \frac{1}{3}$

Câu 21:

Giá trị của. $H = l i m (\sqrt{n^{2} + n + 1} - n)$ bằng:

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. $\frac{1}{2}$

D. 1

Xem đáp án

Đáp án là C

Ta có:

Câu 22:

Tính giới hạn: $[\frac{1}{1.3} + \frac{1}{2.4} + . . . + \frac{1}{n (n + 2)}]$

A. $\frac{3}{4}$

B. 1

C. 0

D. $\frac{2}{3}$

Xem đáp án

Đáp án là A

$l i m [\frac{1}{1.3} + \frac{1}{2.4} + . . . + \frac{1}{n (n + 2)}]$

Ta có :

$l i m [\frac{1}{1.3} + \frac{1}{2.4} + . . . + \frac{1}{n (n + 2)}] = l i m \frac{1}{2} . [\frac{2}{1.3} + \frac{2}{2.4} + . . . + \frac{2}{n (n + 2)}]$

$l i m \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} . . . + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2}) = l i m \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 2}) = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} - 0) = \frac{3}{4}$

Câu 23:

Kết quả $l i m (7 n^{4} + 2 n^{2} - 5 n)$ bằng:

A. -∞

B. 4

C. 7

D. +∞

Xem đáp án

Chọn D

Câu 24:

$\lim (- 3 n^{3} + 2 n^{2} - 5)$ bằng :

A. -∞

B. -6

C. 7

D.+∞

Xem đáp án

Chọn A

Câu 25:

$l i m (\sqrt{n + 7} - \sqrt{n})$ bằng:

A. +∞

B. $\sqrt{7} - 1$

C. 7/2

D. 0

Xem đáp án

Chọn D

$\lim (\sqrt{n + 7} - \sqrt{n}) = \lim \frac{n + 7 - n}{\sqrt{n + 7} + \sqrt{n}} = \lim \frac{7}{\sqrt{n + 7} + \sqrt{n}}$ = 0

Câu 26:

Gọi $L = l i m (\sqrt{n^{2} + 2} - \sqrt{n^{2} - 4})$

Khi đó n bằng:

A. +∞

B. 6

C. 0

D. 2

Xem đáp án

Chọn C

Câu 27:

Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng 3?

A. $\underset{n \to + \infty}{l i m} \frac{3 n^{2} - 1}{n}$

B. $\underset{n \to + \infty}{l i m} \frac{3 n^{2} - n^{4}}{n^{2} + 3}$

C. $\underset{n \to + \infty}{l i m} \frac{n^{2} - 3 n^{3}}{n - n^{3}}$

D. $\underset{n \to + \infty}{l i m} \frac{2 n^{2} - 2 n^{3}}{n^{3} - 5 n}$

Xem đáp án

Chọn C

Để giới hạn bằng 1 số thực thì bậc của từ và mẫu bằng nhau

Xét phương án C;

Câu 28:

$l i m 2 n (\sqrt{n^{2} + 1} - \sqrt{n^{2} - 3})$ bằng:

A. +∞

B. 4

C. 2

D. -1

Xem đáp án

Chọn B

$\begin{array}{l} \lim 2 n (\sqrt{n^{2} + 1} - \sqrt{n^{2} - 3}) = \lim 2 n \frac{n^{2} + 1 - n^{2} + 3}{\sqrt{n^{2} + 1} + \sqrt{n^{2} - 3}} \\ = \lim \frac{8 n}{\sqrt{n^{2} + 1} + \sqrt{n^{2} - 3}} = \lim \frac{8 n}{n \sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}}} + n \sqrt{1 - \frac{3}{n^{2}}}} = \lim \frac{8}{\sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}}} + \sqrt{1 - \frac{3}{n^{2}}}} = 4 \end{array}$

Câu 29:

$l i m \frac{2 n + \sin 2 n}{2 n + 5}$ bằng:

A. 2/5

B. 1/7

C. 0

D. 1

Xem đáp án

Chọn D

$\lim \frac{2 n + \sin 2 n}{2 n + 5} = \lim \frac{2 n}{2 n + 5} + \lim \frac{\sin 2 n}{2 n + 5}$

Ta có $\lim \frac{2 n}{2 n + 5} = l i m \frac{2}{2 + \frac{5}{n}} = \frac{2}{2 + 0} = 1$ và

$0 \leq |\frac{\sin 2 n}{2 n + 5}| \leq \frac{1}{2 n + 5}$ mà $\lim \frac{1}{2 n + 5} = 0$

Suy ra $\lim \frac{\sin 2 n}{2 n + 5} = 0$ .

Vậy $\lim \frac{2 n + \sin 2 n}{2 n + 5} = 1 + 0 = 1$

Câu 30:

$l i m \frac{\sqrt{4 n^{2} + 1} - \sqrt{n + 2}}{2 n - 3}$ bằng:

A. 1

B. 3/2

C. 2

D. +∞

Xem đáp án

Chọn A

$\lim \frac{\sqrt{4 n^{2} + 1} - \sqrt{n + 2}}{2 n - 3} = \lim \frac{n \sqrt{4 + \frac{1}{n}} - n \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}}}{n (2 - \frac{3}{n})} = \lim \frac{\sqrt{4 + \frac{1}{n}} - \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}}}{(2 - \frac{3}{n})} = \frac{\sqrt{4 + 0} - \sqrt{0 + 0}}{2 - 0} = 1$

Câu 31:

Tổng của cấp số nhân vô hạn: $- \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; - \frac{1}{8}; . . . . \frac{{(- 1)}^{k}}{2^{n}}; . . . l à$

A. 1/3

B. (-1)/3

C. -2/3

D. -1

Xem đáp án

Chọn B

Ta thấy cấp số nhân với $\{\begin{cases} u_{1} = - \frac{1}{2} \\ q = - \frac{1}{2} \end{cases}$

$S = - \frac{1}{2} . \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = - \frac{1}{3}$

Câu 32:

Tổng của cấp số nhân vô hạn: $\frac{1}{3}; - \frac{1}{9}; \frac{1}{27}; . . . . .; \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{3^{n}}; . . . .$ là:

A. 1/4

B. 1/2

C. 3/4

D. 4

Xem đáp án

Chọn A

Ta thấy cấp số nhân với $\{\begin{cases} u_{1} = \frac{1}{3} \\ q = - \frac{1}{3} \end{cases}$

$S = \frac{1}{3} . \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{4}$