34 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Giới hạn của hàm số có đáp án (phần 2)

Câu 1:

Tìm $\lim_{x \to 2} (x^{3} - 3 x^{2} + 4)$

A.0

B.2

C. $+ \infty$

D. $- \infty$

Xem đáp án

Chọn A

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 2} (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \\ = 2^{3} - {3.2}^{2} + 4 \\ = 8 - 3.4 + 4 = 0 \end{array}$

Câu 2:

Tìm $\lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{x - 6}$

A. $\frac{23}{3}$

B. $+ \infty$

C. $\frac{- 23}{3}$

D. $- \infty$

Xem đáp án

Chọn C

$\lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{x - 6} = \frac{{3.3}^{2} - 4}{3 - 6} = \frac{- 23}{3}$

Câu 3:

Tìm $\lim_{x \to 1} \sqrt{x^{3} + 3 x + 12}$

A.1

B.2

C.3

D.4

Xem đáp án

Chọn D

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 1} \sqrt{x^{3} + 3 x + 12} \\ = \sqrt{1^{3} + 3.1 + 12} = 4 \end{array}$

Câu 4:

tìm $\lim_{x \to 3} (x - 3) \sqrt{x^{2} + 3 x}$

A.0

B.1

C.2

D. $3 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Chọn A

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 3} (x - 3) \sqrt{x^{2} + 3 x} \\ = (3 - 3) . \sqrt{3^{2} + 3.3} \\ = 0. \sqrt{18} = 0 \end{array}$

Câu 5:

Giá trị đúng của $\lim_{x \to + \infty} \frac{x^{4} + 7}{x^{4} + 1}$

A.-1

B.1

C.7

D. $+ \infty .$

Xem đáp án

Chọn B

$\lim_{x \to + \infty} \frac{x^{4} + 7}{x^{4} + 1} = \lim_{x \to + \infty} \frac{1 + \frac{7}{x^{4}}}{1 + \frac{1}{x^{4}}} = \frac{1 + 0}{1 + 0} = 1$

Câu 6:

Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của $\lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1}{2 x^{3} + 2}$

A. $- \infty$

B.0

C. $\frac{1}{2}$

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Chọn B

$\lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1}{2 x^{3} + 2}$ $= \lim_{x \to - 1} \frac{{(x + 1)}^{2}}{2 (x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

$= \lim_{x \to - 1} \frac{x + 1}{2 (x^{2} - x + 1)} = \frac{- 1 + 1}{2 (1 + 1 + 1)} = 0$

Câu 7:

Tìm giới hạn $B = \lim_{x \to 2} \frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{x^{3} - 8}$

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. $- \frac{1}{6}$

D.1

Xem đáp án

Chọn D

$\begin{array}{l} B = \lim_{x \to 2} \frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{x^{3} - 8} \\ = \lim_{x \to 2} \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 4)}{x^{3} - 2^{3}} \end{array}$

$= \lim_{x \to 2} \frac{(x^{2} - 1) (x - 2) (x + 2)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

$\begin{array}{l} = \lim_{x \to 2} \frac{(x^{2} - 1) (x + 2)}{x^{2} + 2 x + 4} \\ = \frac{(2^{2} - 1) . (2 + 2)}{2^{2} + 2.2 + 4} = 1 \end{array}$

Câu 8:

$\lim_{x \to - \infty} \frac{1 + 3 x}{\sqrt{2 x^{2} + 3}}$ bằng?

A. $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

D. $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Xem đáp án

chọn A

$\begin{array}{l} \lim_{x \to - \infty} \frac{1 + 3 x}{\sqrt{2 x^{2} + 3}} = \lim_{x \to - \infty} \frac{1 + 3 x}{|x| \sqrt{2 + \frac{3}{x^{2}}}} \\ = \lim_{x \to - \infty} \frac{1 + 3 x}{- x \sqrt{2 + \frac{3}{x^{2}}}} \\ = \lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x} + 3}{- \sqrt{2 + \frac{3}{x^{2}}}} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \end{array}$

Câu 9:

$\lim_{x \to 1^{+}} \frac{\sqrt{x^{2} - x + 3}}{2 |x| - 1}$ bằng:

A.3

B. $\frac{1}{2}$

C.1

D. $\sqrt{3}$

Xem đáp án

Chọn D

$\lim_{x \to 1^{+}} \frac{\sqrt{x^{2} - x + 3}}{2 |x| - 1} = \frac{\sqrt{1^{2} - 1 + 3}}{2. |1| - 1} = \sqrt{3}$

Câu 10:

Tìm giới hạn $F = \lim_{x \to - \infty} x (\sqrt{4 x^{2} + 1} - x)$

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. $\frac{4}{3}$

D.0

Xem đáp án

Chọn B

$\begin{array}{l} F = \lim_{x \to - \infty} x (\sqrt{4 x^{2} + 1} - x) = \lim_{x \to - \infty} x (|x| \sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}} - x) \\ = \lim_{x \to - \infty} x^{2} (- \sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}} - 1) = - \infty \end{array}$

Vì:

$\begin{array}{l} \lim_{x \to - \infty} x^{2} = + \infty; \\ \lim_{x \to - \infty} (- \sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}} - 1) = - \sqrt{4 + 0} - 1 = - 3 < 0 \end{array}$

Câu 11:

Tìm giới hạn $B = \lim_{x \to - \infty} (x - \sqrt{x^{2} + x + 1})$

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. $\frac{4}{3}$

D.0

Xem đáp án

Chọn B

$\begin{array}{l} B = \lim_{x \to - \infty} (x - \sqrt{x^{2} + x + 1}) \\ = \lim_{x \to - \infty} (x - |x| \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}) \\ = \lim_{x \to - \infty} x (1 + \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}) = - \infty \end{array}$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to - \infty} x = - \infty; \\ \lim_{x \to - \infty} (1 + \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}) = 2 > 0 \end{array}$

Câu 12:

Tìm giới hạn $C = \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{2 x + 3} - x}{x^{2} - 4 x + 3}$

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. $- \frac{1}{3}$

D.1

Xem đáp án

Chọn C

$\begin{array}{l} C = \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{2 x + 3} - x}{x^{2} - 4 x + 3} = \lim_{x \to 3} \frac{2 x + 3 - x^{2}}{(x - 3) . (x - 1) . (\sqrt{2 x + 3} + x)} \\ = \lim_{x \to 3} \frac{- (x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x - 1) (\sqrt{2 x + 3} + x)} \\ = \lim_{x \to 3} \frac{- (x + 1)}{(x - 1) (\sqrt{2 x + 3} + x)} \\ = \frac{- (3 + 1)}{(3 - 1) . (\sqrt{2.3 + 3} + 3)} = \frac{- 1}{3} \end{array}$

Câu 13:

Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi $x \to 2$

$f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + a x + 2 khi x > 2 \\ 2 x^{2} - x + 1 khi x \leq 2 \end{cases}$

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. $\frac{1}{2}$

D.1

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có:

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 2^{+}} f (x) \\ = \lim_{x \to 2^{+}} (x^{2} + a x + 2) = 2 a + 6 \end{array}$ .

$\lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} (2 x^{2} - x + 1) = 7$ .

Hàm số có giới hạn khi $x \to 2 \Leftrightarrow \lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} f (x)$ $\Leftrightarrow 2 a + 6 = 7 \Leftrightarrow a = \frac{1}{2}$ .

Vậy $a = \frac{1}{2}$ là giá trị cần tìm.

Câu 14:

Tìm giới hạn $A = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 x + 1} - \sqrt[3]{2 x + 1}}{x}$

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. $\frac{4}{3}$

D.0

Xem đáp án

Chọn C

$A = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 x + 1} - 1}{x} - \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{2 x + 1} - 1}{x}$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 x + 1} - 1}{x} \\ = \lim_{x \to 0} \frac{4 x}{x (\sqrt{4 x + 1} + 1)} \\ = \lim_{x \to 0} \frac{4}{\sqrt{4 x + 1} + 1} = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{2 x + 1} - 1}{x} \\ = \lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x [\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}} + \sqrt[3]{2 x + 1} + 1]} = \frac{2}{3} \end{array}$

Vậy $A = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

Câu 15:

Chọn kết quả đúng của $\lim_{x \to 0^{-}} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}})$

A. $- \infty$

B. $+ \infty$

C.0

D. Không tồn tại

Xem đáp án

Chọn B

$\lim_{x \to 0^{-}} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}) = \lim_{x \to 0^{-}} (\frac{x - 2}{x^{3}})$

$\lim_{x \to 0^{-}} (x - 2) = - 2 < 0; \lim_{x \to 0^{-}} x^{3} = 0$

khi $x \to 0^{-} \Rightarrow x < 0 \Rightarrow x^{3} < 0$

vậy $\lim_{x \to 0^{-}} (\frac{x - 2}{x^{3}}) = + \infty$

Câu 16:

$\lim_{x \to 1^{+}} \frac{\sqrt{x^{3} - x^{2}}}{\sqrt{x - 1} + 1 - x}$ bằng

A.-1

B.0

C.1

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Chọn C.

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 1^{+}} \frac{\sqrt{x^{3} - x^{2}}}{\sqrt{x - 1} + 1 - x} \\ = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{\sqrt{x^{2} (x - 1)}}{\sqrt{x - 1} - \sqrt{{(x - 1)}^{2}}} \\ = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{x \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1} (1 - \sqrt{x - 1})} \\ = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{x}{(1 - \sqrt{x - 1})} = \frac{1}{1 - 0} = 1. \end{array}$

Câu 17:

Giá tri đúng của $\lim_{x \to 3} \frac{|x - 3|}{x - 3}$

A. Không tồn tại

B. 0

C. 1

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Chọn A

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \lim_{x \to 3^{+}} \frac{|x - 3|}{x - 3} = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{x - 3}{x - 3} = 1 \\ \lim_{x \to 3^{-}} \frac{|x - 3|}{x - 3} = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{- x + 3}{x - 3} = - 1 \end{array}\} \\ \Rightarrow \lim_{x \to 3^{+}} \frac{|x - 3|}{x - 3} \neq \lim_{x \to 3^{-}} \frac{|x - 3|}{x - 3} \end{array}$

Vậy không tồn tại giới hạn trên

Câu 18:

Cho hàm số $f (x) = \frac{1}{x^{3} - 1} - \frac{1}{x - 1}$ . Chọn kết quả đúng của $\lim_{x \to 1^{+}} f (x)$ :

A. $- \infty$

B. $- \frac{2}{3}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Chọn A

$\begin{array}{l} \frac{1}{x^{3} - 1} - \frac{1}{x - 1} \\ = \frac{1}{(x - 1) . (x^{2} + x + 1)} - \frac{1}{x - 1} \\ = \frac{1 - (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) . (x^{2} + x + 1)} \\ = \frac{- x^{2} - x}{(x - 1) . (x^{2} + x + 1)} \\ = \frac{- x^{2} - x}{x^{3} - 1} \end{array}$

$\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (\frac{- x^{2} - x}{x^{3} - 1})$

$\lim_{x \to 1^{+}} (- x^{2} - x) = - 2; \lim_{x \to 1^{+}} (x^{3} - 1) = 0$

khi $x \to 1^{+} \Rightarrow x > 1 \Rightarrow x^{3} - 1 > 0$

vậy $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = - \infty$

Câu 19:

Giới hạn của hàm số $f (x) = \sqrt{x^{2} - x} - \sqrt{4 x^{2} + 1}$ khi $x \to - \infty$ bằng

A. $- \infty$

B. $+ \infty$

C.-1

D.3

Xem đáp án

Chọn A

ta có:

Mà và

Vậy

Câu 20:

Giới hạn $\lim_{x \to 4} \frac{1 - x}{{(x - 4)}^{2}}$ bằng

A.0

B.-3

C. $- \infty$

D. $+ \infty$

Xem đáp án

chọn đáp án C

Ta có

và

với mọi $x ≢ 4$ nên

Câu 21:

Giả sử $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + a x} - 1}{2 x} = L$ . Hệ số a bằng bao nhiêu để L = 3 ?

A.-6

B.6

C.-12

D. 12

Xem đáp án

Chọn D

Câu 22:

Giới hạn $\lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - x} - \sqrt{4 x^{2} + 1}}{2 x + 3}$ bằng

A. $\frac{- 1}{2}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $- \infty$

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 23:

Giới hạn $\lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x} (\frac{1}{x + 1} - 1)$ bằng

A.0

B.-1

C.1

D. $- \infty$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 24:

Giới hạn $\lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) \sqrt{\frac{x}{x^{2} - 4}}$ bằng

A.0

B.-1

C.1

D. $- \infty$

Xem đáp án

chọn đáp án A

Với mọi x> 2 ta có

Do đó

Câu 25:

Giới hạn $\lim_{x \to 2^{+}} (\frac{1}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x - 2})$ bằng

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. -3

D. -2

Xem đáp án

chọn B

Ta có

vì

với mọi x> 2 nên

Câu 26:

$\underset{x \to + \infty}{l i m} \frac{2 x^{4} + 3 x^{3} - 2 x^{2} - 7}{x - 2 x^{4}}$ bằng:

A. 0

B. -1

C. 3/5

D. +∞

Xem đáp án

Chọn B

Câu 27:

$\underset{x \to - 2}{l i m} \sqrt{\frac{x^{4} - 4 x^{2} + 8}{7 x^{2} + 9 x - 2}}$ bằng:

A. 1

B. $\sqrt{5}$

C. $\sqrt{2 / 11}$

D. +∞

Xem đáp án

Chọn A

Câu 28:

$\underset{x \to 0^{+}}{l i m} \frac{2 x + 7 \sqrt{x}}{5 x - \sqrt{x}}$ bằng:

A. +∞

B. 2/5

C. -7

D. -∞

Xem đáp án

Chọn C

$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x + 7 \sqrt{x}}{5 x - \sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x} (2 \sqrt{x} + 7)}{\sqrt{x} (5 \sqrt{x} - 1)} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{(2 \sqrt{x} + 7)}{(5 \sqrt{x} - 1)} = \frac{2.0 + 7}{5.0 - 1} = - 7$

Câu 29:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{2 x}{\sqrt{1 - x}} v ớ i x < 1 \\ \sqrt{3 x^{2} + 1} v ớ i x \geq 1 \end{cases}$

Khi đó $\underset{x \to 1^{+}}{l i m} f (x)$ bằng:

A. -∞

B. 2

C. 4

D. +∞

Xem đáp án

Chọn B

Câu 30:

$\underset{x \to 5}{l i m} \frac{x^{2} - 12 x + 35}{3 x - 15}$ bằng:

A. +∞

B. 1/3

C. 2/3

D. -2/3

Xem đáp án

Chọn D

$\lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 12 x + 35}{3 x - 15} = \lim_{x \to 5} \frac{(x - 5) (x - 7)}{3 (x - 5)} = \lim_{x \to 5} \frac{x - 7}{3} = - \frac{2}{3}$

Câu 31:

$\underset{x \to + \infty}{l i m} (\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 7})$ bằng:

A. +∞

B. 4

C. 0

D. -∞

Xem đáp án

Chọn C

Câu 32:

$\underset{x \to - \infty}{l i m} \frac{\sqrt{x^{2} + 2 x} + 3 x}{\sqrt{4 x^{2} + 1} - x + 7}$ bằng:

A. 2/3

B. 1/2

C. (-2)/3

D. -1/2

Xem đáp án

Chọn C

Câu 33:

$\underset{x \to + \infty}{l i m} x (\sqrt{x^{2} + 16} - x)$ bằng:

A. $\sqrt{5}$

B. 8

C. 5/2

D. +∞

Xem đáp án

Chọn B

$\lim_{x \to + \infty} x (\sqrt{x^{2} + 16} - x) = \lim_{x \to + \infty} x \frac{x^{2} + 16 - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 16} + x} = \lim_{x \to + \infty} \frac{16 x}{\sqrt{x^{2} + 16} + x} = \lim_{x \to + \infty} \frac{16}{\sqrt{1 + \frac{16}{x^{2}}} + 1} = \frac{16}{1 + 1} = 8$

Câu 34:

$\underset{t \to a}{l i m} \frac{t^{4} - a^{4}}{t - a}$ bằng:

A. $4 a^{2}$

B. $3 a^{3}$

C. $4 a^{3}$

D. +∞

Xem đáp án

Chọn C

$\lim_{t \to a} \frac{t^{4} - a^{4}}{t - a} = \lim_{t \to a} \frac{(t^{2} - a^{2}) . (t^{2} + a^{2})}{t - a} = \lim_{t \to a} \frac{(t - a) . (t + a) . (t^{2} + a^{2})}{t - a} = \lim_{t \to a} \frac{(t - a) (t^{3} + a t^{2} + a^{2} t + a^{3})}{t - a} = a^{3} + a . a^{2} + a^{2} . a + a^{3} = 4 a^{3}$