8 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 1: Phép biến hình có đáp án

Câu 1:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chứng tỏ quy tắc đặt tương ứng điểm $M (x; y)$ với điểm $M' (y; - x)$ là một phép biến hình.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Với mỗi điểm $M (x; y)$ , theo quy tắc trên thì luôn tồn tại điểm M’ sao cho $F (M) = M' (y; - x)$ .

Như vậy, với mọi điểm M thì luôn tồn tại ảnh là M’. (1)

Giả sử qua quy tắc trên, điểm $M (x; y)$ có hai ảnh là $M' (x'; y')$ và $M'' (x''; y'')$

Ta có $\{\begin{cases} x' = y \\ y' = - x \end{cases}$ và $\{\begin{cases} x'' = y \\ y'' = - x \end{cases}$

Suy ra $x' = x''; y' = y'' \Rightarrow M' \equiv M'' (2)$

Từ (1) và (2), suy ra: quy tắc trên là một phép biến hình.

Câu 2:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép biến hình sau: $F (M (x; y)) = M' (x'; y')$ với $\{\begin{cases} x' = - x \\ y' = y + 1 \end{cases}$

a) Xác định ảnh của điểm qua phép biến hình F.

Xem đáp án

a, $M' (x'; y') = F (M) \Leftrightarrow \{\begin{cases} x' = - x = - 1 \\ y' = y + 1 = 2 + 1 = 3 \end{cases} \Rightarrow M' (- 1; 3)$

Câu 3:

b, Xác định phương trình đường thẳng $Δ'$ là ảnh của đường thẳng $Δ : x - y + 1 = 0$ qua phép biến hình F.

Xem đáp án

b, $M (x; y) \in Δ$ thì $F (M) = M' (x' y') \in Δ'$

Suy ra $\{\begin{cases} x' = - x \\ y' = y + 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - x' \\ y = y' - 1 \end{cases}$

Lúc đó $M (- x'; y' - 1) \in Δ$ nên $(- x') - (y' - 1) + 1 = 0 \Leftrightarrow - x' - y' + 2 = 0 \Leftrightarrow x' + y' - 2 = 0$

Vậy $Δ' : x' + y' - 2 = 0$ là ảnh của đường thẳng $∆$ qua phép biến hình F.

Câu 4:

c, Xác định phương trình đường tròn $(C')$ là ảnh của đường tròn $(C)$ qua phép biến hình F: $(C) : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 1 = 0$

Xem đáp án

c, Gọi $M (x; y) \in (C) \Rightarrow F (M) = M' (x'; y') \in (C')$

Suy ra $\{\begin{cases} x' = - x \\ y' = y + 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - x' \\ y = y' - 1 \end{cases}$

Mà $M \in (C)$ nên ${(- x')}^{2} - {(y' - 1)}^{2} + 2 (x') - 4 (y' - 1) + 1 = 0 \Leftrightarrow {(x')}^{2} + {(y')}^{2} + 2 x' - 6 y' + 6 = 0$

Vậy $(C') : x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + 6 = 0$ là ảnh của đường tròn $(C)$ .

Câu 5:

Quy tắc nào dưới đây là phép biến hình?

A. Điểm O cho trước đặt tương ứng với O, còn nếu M khác O thì M ứng với M’ sao cho $\vec{O M} - \vec{O M'} = \vec{0}$ .

B. Điểm O cho trước ứng với điểm O, còn M khác O thì M ứng với M’ sao cho tam giác OMM’ là tam giác vuông cân đỉnh O.

C. Điểm O cho trước ứng với điểm O, còn M khác O thì M ứng với M’ sao cho tam giác MM’ là tam giác đều.

D. Điểm O cho trước đặt tương ứng với O, còn M khác O thì M ứng với M’ sao cho

O M' = 2 O M

.

Xem đáp án

Ta có $\vec{O M} - \vec{O M'} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{M M'} = \vec{0} \Leftrightarrow M' \equiv M$ . Quy tắc đặt này là phép đồng nhất. Do đó chọn A.

Các quy tắc còn lại không là phép biến hình.

+ Đáp án B, C do không nói góc vuông là góc lượng giác nên luôn tồn tại hai ảnh của M.

+ Yếu tố thẳng hàng hay không thẳng hàng đủ để thấy rõ ảnh của M không duy nhất.

Câu 6:

Cho phép biến hình F đặt tương ứng điểm $M (x_{M}; y_{M})$ , điểm $M' (x'; y')$ theo công thức $F : \{\begin{cases} x' = x_{M} - 1 \\ y' = y_{M} + 2 \end{cases}$ . Ảnh của điểm $A (1; 2)$ qua phép biến hình F là:

A. $A' (1; 4)$

B. $A' (2 : 0))$

C. $A' (1; - 2)$

D. $A' (0; 4)$

Xem đáp án

Theo công thức, ta có: $\{\begin{cases} x' = x_{M} - 1 = 1 - 1 = 0 \\ y' = y_{M} + 2 = 2 + 2 = 4 \end{cases} \Rightarrow A' (0; 4)$

Câu 7:

Cho phép biến hình F đặt tương ứng điểm

M (x_{M}; y_{M})

với điểm

M' (x'; y')

theo công thức .

F : \{\begin{cases} x' = x_{M} + 1 \\ y' = y_{M} - 1 \end{cases}

Tính độ dài đoạn thẳng PQ với P, Q tương ứng là ảnh của điểm và

(E) : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1

qua phép biến hình F.

A. $P Q = \sqrt{2}$

B. $P Q = 2 \sqrt{5}$

C. $P Q = 3 \sqrt{2}$

D. $P Q = 4 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Theo công thức $\{\begin{cases} x' = x_{M} \\ y' = y_{M} + 1 \end{cases}$ , ta có: $P (1; - 1), Q (- 1; 3) \Rightarrow \vec{P Q} = (- 2; 4) \Rightarrow P Q = 2 \sqrt{5}$ .

Câu 8:

Cho phép biến hình F đặt tương ứng điểm

M (x_{M}; y_{M})

với điểm

M' (x'; y')

theo công thức

F : \{\begin{cases} x' = x_{M} + 1 \\ y' = y_{M} - 1 \end{cases}

. Viết phương trình elip (E') là ảnh của elip

(E) : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1

qua phép biến hình F.

A. $(E') : \frac{{(x - 1)}^{2}}{9} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{4} = 1$

B. $(E') : \frac{{(x - 1)}^{2}}{9} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4} = 1$

C. $(E') : \frac{{(x - 1)}^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

D. $(E') : \frac{{(x - 1)}^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Xem đáp án

Gọi $M (x_{M}; y_{M}) \in (E) : \frac{x_{M}^{2}}{9} + \frac{y_{M}^{2}}{4} = 1 (1)$

Với $F (M) = M' (x'; y') \in (E')$ , theo công thức $\{\begin{cases} x' = x_{M} + 1 \\ y' = y_{M} - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{M} = x' - 1 \\ y_{M} = y' + 1 \end{cases}$

Thay vào (1) ta có $\frac{{(x' - 1)}^{2}}{9} + \frac{{(y' + 1)}^{2}}{4} = 1$

Phương trình của (E') là $\frac{{(x' - 1)}^{2}}{9} + \frac{{(y' + 1)}^{2}}{4} = 1$