10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 5: Giải quyết một số vấn đề thực tiễn liên quan đến cấp số cộng có đáp án

Câu 1:

Một người muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra làm các thanh ngang của một cái thang. Biết rằng chiều dài các thanh ngang của cái thang đó (từ bậc dưới cùng) lần lượt là: 45 cm; 43 cm; 41 cm; …; 31 cm. Hỏi cái thang đó có bao nhiêu bậc?

A. 8;

B. 9;

C. 10;

D. 7.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Dãy số 45; 43; 41; ...; 31 là một cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 45 và công sai d = –2. Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng trên là:

u_n = 45 + (n – 1)(– 2) = 47 – 2n, " n Î ℕ*.

Thanh cuối cùng có độ dài là 31 cm nên để tìm thang có bao nhiêu bậc tương ứng với tìm thanh ngang cuối cùng là số hạng thứ bao nhiêu trong cấp số cộng trên.

Ta có u_n = 47 – 2n = 31 Û n = 8.

Vậy cái thang có 8 bậc.

Câu 2:

Khi một vận động viên nhảy dù nhảy ra khỏi máy bay, giả sử quãng đường người ấy rơi tự do (tính theo feet) trong mỗi giây liên tiếp theo thứ tự trước khi bung dù lần lượt là: 16; 48; 80; 112; 144;… (các quãng đường này tạo thành cấp số cộng). Tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10 giây đầu tiên là

A. 1600 feet;

B. 1500 feet;

C. 1700 feet;

D. 2000 feet.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Cấp số cộng có số hạng đầu tiên là u₁ = 16 và công sai d = 32.

Khi đó công thức số hạng tổng quát là: u_n = 16 + (n – 1).32 = 32n – 16.

Sau 10 giây buông dù quãng đường người đó rơi tự do là:

u₁₀ = 32.10 – 16 = 304 (feet).

Tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10 giây đầu tiên cũng chính là tổng của 10 số hạng đầu tiên trong cấp số cộng và bằng:

$S_{10} = \frac{10. (16 + 304)}{2} = 1600$ .

Vậy tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10 giây đầu tiên là 1 600 feet.

Câu 3:

Ở một loài thực vật lưỡng bội, tính trạng chiều cao cây do hai gene không alen là A và B cùng quy định theo kiểu tương tác cộng gộp. Trong kiểu gene nếu cứ thêm một alen trội A hay B thì chiều cao cây tăng thêm 5 cm . Khi trưởng thành, cây thấp nhất của

loài này với kiểu gene aabb có chiều cao 100 cm . Hỏi cây cao nhất với kiểu gene AABB có chiều cao bao nhiêu?

A. 100;

B. 110;

C. 120;

D. 150.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Chiều cao của các cây lập thành một cấp số cộng un

Cây thấp nhất có kiểu gene aabb nên u₁ = 100.

Nếu cứ thêm một alen trội A hay B thì chiều cao cây tăng thêm 5 cm do đó công sai của cấp số cộng là d = 5.

Vậy cây cao nhất với kiểu gene AABB có chiều cao là: 100 + 5.4 = 120 (cm).

Câu 4:

Giá của một chiếc xe ô tô lúc mới mua là 680 triệu đồng. Cứ sau mối năm sử dụng, giá của chiếc xe ô tô giảm 55 triệu đồng. Hỏi giá còn lại của chiếc xe sau 5 năm sử dụng là bao nhiêu?

A. 460 triệu đồng;

B. 360 triệu đồng;

C. 500 triệu đồng;

D. 400 triệu đồng.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Giá trị của chiếc xe ô tô trong từng năm lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu là u₁ = 680 và công sai d = – 55 (do giá xe giảm).

Do đó, giá trị còn lại của chiếc ô tô sau 5 năm sử dụng là

u₅ = u₁ + (5 – 1)d = 680 + 4 . (– 55) = 460 (triệu đồng).

Vậy giá còn lại của chiếc xe sau 5 năm sử dụng là 460 triệu đồng.

Câu 5:

Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba, và cứ như vậy (số ghế ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ở hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư đó phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế?

A. 18;

B. 20;

C. 19;

D. 17.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Số ghế ở mỗi hàng của hội trường lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 15 và công sai d = 3.

Giả sử cần thiết kế tối thiếu n hàng ghế để hội trường có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi.

Ta có: $S_{n} = \frac{n}{2} [2 u_{1} + (n - 1) d] = \frac{n}{2} [2 . 15 + (n - 1) . 3] \geq 870$

Do đó, n(30 + 3n – 3) ≥ 1740

Û n(3n + 27) – 1740 ≥ 0

Û 3n² + 27n – 1740 ≥ 0

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} n \leq - 29 \\ n \geq 20 \end{array}$ .

Vậy cần thiết kế tối thiểu 20 hàng ghế để thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 6:

Vào năm 2020, dân số của một thành phố là khoảng 1,2 triệu người. Giả sử mỗi năm, dân số của thành phố này tăng thêm khoảng 30 nghìn người. Theo giả sử này, dân số của thành phố này vào năm 2030 là bao nhiêu?

A. 1,7 triệu người;

B. 1,1 triệu người;

C. 1,8 triệu người;

D. 1,5 triệu người.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Dân số mỗi năm của thành phố từ năm 2020 đến năm 2030 lập thành một cấp số cộng, gồm 11 số hạng (2030 – 2020 + 1 = 11), với số hạng đầu u₁ = 1 200 và công sai d = 30.

Ta có: u₁₁ = u₁ + (11 – 1)d = 1 200 + 10 . 30 = 1 500.

Vậy dân số của thành phố này vào năm 2030 khoảng 1 500 nghìn người hay 1,5 triệu người.

Câu 7:

Ruộng bậc thang là một hình thức canh tác có nhiều ở khu vực Tây Bắc và Đông Bắc Việt Nam. Hình ảnh ruộng bậc thang thể hiện nét đẹp văn hóa, là công trình nghệ thuật độc đáo của đồng bào vùng cao phía Bắc. Ruộng bậc thang ở một số nơi đã trở thành những địa chỉ tham quan du lịch đầy hấp dẫn của du khách trong nước và quốc tế. Một ruộng bậc thang có thửa thấp nhất nằm ở độ cao 1 250 m so với mực nước biểu, độ chênh lệch giữa thửa trên và thửa dưới trung bình là 1,2 m. Hỏi thửa ruộng ở bậc thứ 10 có độ cao là bao nhiêu so với mực nước biển?

A. 1260,8 m;

B. 1261,8 m;

C. 1026,8 m;

D. 1206,8 m.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có thửa ruộng thấp nhất có độ cao u₁ = 1 250 m so với mực nước biển.

• Thửa ruộng ở bậc thứ hai cao hơn so với mực nước biển là:

u₂ = 1 250 + 1,2 (m).

• Thửa ruộng ở bậc thứ ba cao hơn so với mực nước biển là:

u₃ = 1 250 + 1,2 + 1,2 = 1 250 + 2.1,2 (m).

...

• Thửa ruộng ở bậc thứ 10 cao hơn so với mực nước biển là:

u₁₀ = 1 250 + 9.1,2 = 1260,8 (m).

Vậy thửa ruộng ở bậc thứ 10 có độ cao là 1260,8 m so với mực nước biển.

Câu 8:

Bác Tư vào làm cho một công ty với hợp đồng về tiền lương mỗi năm như sau:

Năm thứ nhất: 240 triệu;

Từ năm thứ hai trở đi: Mỗi năm tăng thêm 12 triệu.

Hỏi số tiền lương một năm của bác Tư vào năm thứ 11 là bao nhiêu?

A. 390 triệu đồng;

B. 306 triệu đồng;

C. 360 triệu đồng;

D. 300 triệu đồng.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Gọi u_n là số tiền lương của bác Tư nhận được vào năm thứ n.

Khi đó, dãy số (u_n) tạo thành cấp số cộng có u₁ = 240 và d = 12.

Ta có u₁₁ = u₁ + 10d = 240 + 10.12 = 360.

Vậy vào năm thứ 11, số tiền lương một năm của bác Tư là 360 triệu đồng.

Câu 9:

Một rạp hát có 20 hàng ghế. Hàng thứ nhất có 20 ghế, số ghế ở các hàng sau đều hơn số ghế ngay trước đó một ghế. Cho biết rạp hát đã bán hết vé với giá mỗi vé là 60 nghìn đồng. Hỏi tổng số tiền vé thu được của rạp hát là bao nhiêu?

A. 35 000 000 đồng.

B. 30 540 000 đồng.

C. 30 400 000 đồng

D. 35 400 000 đồng.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Gọi u_n là số ghế ở hàng thứ n.

Khi đó, dãy số (u_n) tạo thành cấp số cộng với u₁ = 20 và d = 1.

Tổng số ghế có trong rạp hát là: $S_{20} = \frac{20. [2.20 + (20 - 1) .1]}{2} = 590$ .

Tổng số tiền vé thu được là: 590 . 60 000 = 35 400 000 (đồng).

Câu 10:

Chuông đồng hồ ở một toà tháp đánh số tiếng đúng bằng số giờ và cứ mỗi 30 phút không phải là giờ đúng thì đánh 1 tiếng chuông. Hỏi bắt đầu từ lúc 1 giờ đêm đến 12 giờ trưa, chuông đồng hồ đó đã đánh tất cả bao nhiêu tiếng?

A. 90;

B. 91;

C. 89;

D. 92.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Lúc 1 giờ đêm, toà tháp đánh 1 tiếng chuông; lúc 2 giờ đêm, toà tháp đánh 2 tiếng chuông, ...; lúc 12 giờ trưa, toà tháp đánh 12 tiếng chuông.

Ngoài ra, mỗi 30 phút không phải là giờ đúng thì đánh 1 tiếng chuông (có 11 lần như thế từ 1 giờ đến 12 giờ).

Vậy tổng số tiếng chuông là:

S = (1 + 2 + 3 + ...+ 12) + 1 . 11 = = $\frac{(1 + 12) .12}{2}$ +11 = 89 (tiếng chuông).

Vậy bắt đầu từ lúc 1 giờ đêm đến 12 giờ trưa, chuông đồng hồ đó đã đánh tất cả 89 tiếng.