40 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 100 câu trắc nghiệm Vecto trong không gian nâng cao (phần 4)

Câu 1:

Cho tứ diện ABCD có cạnh DA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và AB=3 cm, BC=4 cm, $A D = \sqrt{6} c m$ , AC=5 cm. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) bằng

A. $\frac{12}{5} cm$

B. $\frac{12}{7} cm$

C. $\sqrt{6} cm$

D. $\frac{6}{\sqrt{10}} cm$

Xem đáp án

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, $A B = a \sqrt{2}$ , AD=a, SA vuông góc với đáy và SA=a. Tính góc giữa SC và (SAB).

A. 90⁰.

B. 60⁰.

C. 45⁰.

D. 30⁰.

Xem đáp án

Câu 3:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AD=2a. Cạnh bên SA=2a và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD

A. a

B. 2a

C. $\frac{2 a}{\sqrt{5}}$

D. $a \sqrt{2}$

Xem đáp án

Trong mp(SAD) kẻ $A H ⊥ S D$ thì $A H ⊥ A B$ .

Do đó, AH là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB; SD

Suy ra: d(AB; SD) = AH

Câu 4:

Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau đây?

A. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P) song song hoặc trùng với mặt phẳng (Q).

B. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng (P) thì đường thẳng a song song với đường thẳng b.

C. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng (P) thì đường thẳng a song song hoặc trùng với đường thẳng b.

D. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho

Xem đáp án

Chọn D

Phát biểu D đúng theo định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA=a và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD bằng

A. $\frac{a \sqrt{3}}{4}$

B. $\frac{a \sqrt{6}}{3}$

C. $\frac{a}{2}$

D. $\frac{a \sqrt{6}}{6}$

Xem đáp án

$O I = \frac{S A}{2} = \frac{a}{2}; A C = \sqrt{A D^{2} + D C^{2}} = a \sqrt{2} O C = \frac{A C}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Câu 6:

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD

A. $a \sqrt{2}$

B. $\frac{a}{2}$

C. a

D. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

Xem đáp án

Gọi M là trung điểm của CD.

Hai tam giác ACD và BCD bằng nhau (c.c.c) nên hai đường trung tuyến tương ứng bằng nhau: AM = BM

SUy ra: Tam giác ABM cân tại M.

Gọi N là trung điểm của AB. Khi đó, $M N ⊥ A B$

Chứng minh tương tự , ta có $M N ⊥ C D$

Do đó, MN là đường vuông góc chung của AB và CD: d(AB; CD) = MN.

* Ta có: $B M = \frac{a \sqrt{3}}{2}; B N = \frac{A B}{2} = \frac{a}{2}$

$\Rightarrow M N = \sqrt{B M^{2} - B N^{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Câu 7:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, AA’=2a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A’BC).

A. $2 \sqrt{5} a$

B. $\frac{2 \sqrt{5} a}{5}$

C. $\frac{\sqrt{5} a}{5}$

D. $\frac{3 \sqrt{5} a}{5}$

Xem đáp án

Câu 8:

Cho chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, tam giác ABC vuông tại B. Biết SA=AB=BC. Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC).

A. $30 °$

B. $45 °$

C. $60 °$

D. $a r c \cos \frac{1}{3}$

Xem đáp án

Gọi I là trung điểm của AC.

vì tam giác ABC vuông cân tại A nên: $B I ⊥ A C$ (1)

Câu 9:

Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. H là trọng tâm tam giác ABC

B. H là trung điểm của BC

C. H là trực tâm tam giác ABC

D. H là trung điểm của AC

Xem đáp án

Câu 10:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D; SD vuông góc với mặt đáy (ABCD); AD=2a; $S D = a \sqrt{2} .$ Tính khoảng cách giữa đường thẳng CD và mặt phẳng (SAB).

A. $\frac{2 a}{\sqrt{3}}$

B. $\frac{a}{\sqrt{2}}$

C. $a \sqrt{2}$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Câu 11:

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’, gọi M là trung điểm cạnh bên BB'. Đặt $\vec{C A} = \vec{a}, \vec{C B} = \vec{b}, \vec{C C^{'}} = \vec{c}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\vec{A M} = - \vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

B. $\vec{A M} = \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

C. $\vec{A M} = - \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

D. $\vec{A M} = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$

Xem đáp án

Câu 12:

Cho hình chóp S.ABCD có SA=a, SB=2a, SC=3a, $\hat{A S B} = \hat{B S C} = 60 °$ , $\hat{C S A} = 90 °$ . Gọi α là góc giữa hai đường thẳng SA và BC. Tính cos α.

A. $\cos α = \frac{\sqrt{7}}{7}$

B. $\cos α = - \frac{\sqrt{7}}{7}$

C. $\cos α = 0$

D. $\cos α = \frac{2}{3}$

Xem đáp án

Chọn A

$= \frac{|a . 3 a . \cos 90^{0} - a . 2 a . \cos 60^{0}|}{a . a \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7}$

Trong đó:

$B C^{2} = S B^{2} + S C^{2} - 2 S B . S C . \cos \hat{B S C} = 4 a^{2} + 9 a^{2} - 2 . 2 a . 3 a . \cos 60^{0} = 7 a^{2} \Rightarrow B C = a \sqrt{7}$

Câu 13:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Biết SA vuông góc với đáy và SA=a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBD).

A. $\frac{2 a}{\sqrt{3}}$

B. $\frac{a}{\sqrt{3}}$

C. $\frac{a}{2 \sqrt{3}}$

D. $\frac{a \sqrt{2}}{6}$

Xem đáp án

Câu 14:

Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó cos (AB, DM) bằng

A. $\frac{\sqrt{3}}{6}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{1}{2}$

Xem đáp án

Câu 15:

Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC tạo với mặt đáy các góc bằng nhau và bằng $60 ⁰$ . Biết $B C = a, \hat{B A C} = 45 °$ . Tính khoảng cách h từ đỉnh S đến mặt phẳng (ABC).

A. $h = \frac{a \sqrt{6}}{3}$

B. $h = a \sqrt{6}$

C. $h = \frac{a}{\sqrt{6}}$

D. $h = \frac{a \sqrt{6}}{2}$

Xem đáp án

Câu 16:

Cho tứ diện ABCD có AB=5, các cạnh còn lại bằng 3, khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Câu 17:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, khối chóp S.ABCD có thể tích bằng $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$ . Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBD). Tính cos α.

A. $\cos α = \frac{3}{5}$

B. $\cos α = \frac{\sqrt{6}}{3}$

C. $\cos α = \frac{2 \sqrt{2}}{5}$

D. $\cos α = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Xem đáp án

Câu 18:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SC tạo với mặt phẳng (SAD) một góc 30⁰. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3} .$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{3} .$

C. $V = \sqrt{2} a^{3} .$

D. $V = \frac{2 a^{3}}{3} .$

Xem đáp án

Câu 19:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Tam giác SBC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Số đo của góc giữa đường thẳng SA và (ABC) bằng

A. 45⁰.

B. 60⁰.

C. 30⁰.

D. 75⁰.

Xem đáp án

Câu 20:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết SA=SC và SB=SD. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $C D ⊥ (S B D)$

B. $S O ⊥ (A B C D)$

C. $B D ⊥ S A$

D. $A C ⊥ S D$

Xem đáp án

Câu 21:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60⁰. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SMN) bằng

A. $\frac{a}{3}$

B. $\frac{7 a}{3}$

C. $\frac{3 a}{7}$

D. $\frac{a}{7}$

Xem đáp án

vì $\frac{A N}{G N} = 3$ nên d(A; (SMN)) = 3d(G; (SMN)) = 3GH= $\frac{3 a}{7}$

Câu 22:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và CB’ bằng

A. $\frac{a \sqrt{6}}{3}$

B. $\frac{2 a \sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

$B I = O C = \frac{A C}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Câu 23:

Cho hình chóp S.ABC có các mặt ABC và SBC là các tam giác đều và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Số đo của góc giữa đường thẳng SA và (ABC) bằng

A. 45⁰.

B. 75⁰.

C. 60⁰.

D. 30⁰.

Xem đáp án

Câu 24:

Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại B. Kẻ đường cao AH của tam giác SAB. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $A H ⊥ S C$

B. $A H ⊥ B C$

C. $S A ⊥ B C$

D. $A H ⊥ A C$

Xem đáp án

Câu 25:

Cho hình chóp S.ABC có $\hat{A S B} = 120 °, \hat{B S C} = 60 °, \hat{C S A} = 90 °$ và SA=SB=SC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. I là trung điểm AC

B. I là trọng tâm tam giác ABC

C. I là trung điểm AB

D. I là trung điểm BC

Xem đáp án

Đặt SA = SB = SA = a > 0

Áp dụng định lí cosin vào tam giác SAB ta có:

$A B^{2} = S A^{2} + S B^{2} - 2 S A . S B . \cos \hat{A S B} = a^{2} + a^{2} - 2 a . a \cos 120^{0} = 3 a^{2} \Rightarrow A B = a \sqrt{3}$

Tam giác SBC có: SB = SC và $\hat{B S C} = 60^{0}$ nên đây là tam giác đều: BC = a

Câu 26:

Cho tứ diện S.ABC có các cạnh SA, SB; SC đôi một vuông góc và SA=SB=SC=1. Tính cos α, trong đó α là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)?

A. $\cos α = \frac{1}{\sqrt{2}}$

B. $\cos α = \frac{1}{2 \sqrt{3}}$

C. $\cos α = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

D. $\cos α = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Xem đáp án

Câu 27:

Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 1, cạnh bên bằng 2. Gọi $C_{1}$ là trung điểm của CC’. Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng $B C_{1}$ và A’B’.

A. $\frac{\sqrt{2}}{6}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{4}$

C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$

D. $\frac{\sqrt{2}}{8}$

Xem đáp án

Câu 28:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, $S A ⊥ (A B C D)$ . Tìm khẳng định sai?

A. $A D ⊥ S C$

B. $S C ⊥ B D$

C. $S A ⊥ B D$

D. $S O ⊥ B D$

Xem đáp án

Câu 29:

Cho tứ diện đều ABCD. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là

A. 45⁰.

B. 90⁰.

C. 60⁰.

D. 30⁰.

Xem đáp án

Câu 30:

Cho hình chóp S.ABCD có $S A ⊥ (A B C D)$ , đáy ABCD là hình chữ nhật với $A C = a \sqrt{5}$ và $B C = a \sqrt{2} .$ Tính khoảng cách giữa SD và BC?

A. $\frac{3 a}{4}$

B. $a \sqrt{3}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{2 a}{3}$

Xem đáp án

Câu 31:

Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B có AB=a, AC=2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA=2a. Gọi $φ$ là góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAC), (SBC). Tính $\cos φ$ bằng

A. $\frac{\sqrt{3}}{2} .$

B. $\frac{1}{2} .$

C. $\frac{\sqrt{15}}{5} .$

D. $\frac{\sqrt{3}}{5} .$

Xem đáp án

$A H ⊥ S B$ (2)

Từ (1); (2) ta có: $A H ⊥ (S B C)$

$H K = \sqrt{A K^{2} - A H^{2}} = \frac{a \sqrt{30}}{5}$

$\cos \hat{A K H} = \frac{H K}{A K} = \frac{\sqrt{15}}{5}$

Câu 32:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. $S A ⊥ (A B C D)$ và $S A = a \sqrt{3}$ . Khi đó khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) bằng

A. d(B, (SAC))=a

B. $d (B, (S A C)) = a \sqrt{2}$

C. d(B, (SAC))=2a

D. $d (B, (S A C)) = \frac{\sqrt{2} a}{2}$

Xem đáp án

vì $B D = \sqrt{A B^{2} + A D^{2}} = a \sqrt{2}; B O = \frac{1}{2} B D = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Câu 33:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là điểm trên đoạn SD sao cho SM=2MD.

Tan góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng (ABCD) là

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{1}{5}$

Xem đáp án

Câu 34:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, $S A ⊥ (A B C D)$ và $S A = a \sqrt{3}$ . Gọi α là góc tạo bởi giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC), khi đó α thỏa mãn hệ thức nào sau đây

A. $\cos α = \frac{\sqrt{2}}{8}$

B. $\sin α = \frac{\sqrt{2}}{8}$

C. $\sin α = \frac{\sqrt{2}}{4}$

D. $\cos α = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Xem đáp án

Câu 35:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và $S A = a \sqrt{6}$ (hình vẽ). Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC). Tính sin α ta được kết quả là

A. $\frac{1}{\sqrt{14}}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{1}{5}$

Xem đáp án

Câu 36:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, BA=BC=a, cạnh bên $A A^{'} = a \sqrt{2}$ , M là trung điểm của BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C bằng

A. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{a \sqrt{5}}{5}$

D. $\frac{a \sqrt{7}}{7}$

Xem đáp án

Câu 37:

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Mệnh đề nào sau đây đúng

A. H là trung điểm của AC

B. H là trọng tâm tam giác ABC

C. H là trung điểm của BC

D. H là trực tâm của tam giác ABC

Xem đáp án

Kéo dài AH cắt BC tại K; BH cắt AC tại E và CH cắt AB tại G.

Ta có: $O H ⊥ B C; O A ⊥ B C \Rightarrow B C ⊥ (O A K)$

suy ra: $B C ⊥ A H$ (1)

Chứng minh tương tự ta có: $B H ⊥ A C$ (2)

Tam giác ABC có 2 dường cao AH , BH cắt nhau tại H nên H là trực tâm tam giác ABC

Câu 38:

Cho hình chóp S.ABC có $S C ⊥ (A B C)$ và tam giác ABC vuông tại B. Biết AB=a, $A C = a \sqrt{3}, S C = 2 a \sqrt{6}$ . Sin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SAC) bằng

A. $\sqrt{\frac{2}{3}}$

B. $\frac{3}{\sqrt{13}}$

C. 1

D. $\sqrt{\frac{5}{7}}$

Xem đáp án

Câu 39:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a, gọi α là góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (BB’D’D). Tính sin α.

A. $\frac{\sqrt{3}}{4}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{5}$

D. $\frac{1}{2}$

Xem đáp án

Câu 40:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng 2, cạnh bên SA bằng 3 và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của cạnh bên SB và N là hình chiếu vuông góc của A trên SO. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $A C ⊥ (S D O)$

B. $A M ⊥ (S D O)$

C. $S A ⊥ (S D O)$

D. $A N ⊥ (S D O)$

Xem đáp án

Ta chứng minh phương án D đúng:

Ta có: $B D ⊥ A C; B D ⊥ S A \Rightarrow B D ⊥ (S A C)$

$\Rightarrow B D ⊥ A N$

Mà $A N ⊥ S O$ ( giả thiết)

Suy ra: $A N ⊥ (S B D)$ hay $A N ⊥ (S D O)$