Chọn B

Theo công thức tính của  ta có:

Vậy $C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k = C_n^k (1\le k\le n)$

Chọn B

Ta có: 

Cho x = 1, ta có:

Mà 

Suy ra:

Mà 

Vậy có 1002 số nguyên dương n nghiệm đúng bất phương trình.

Chọn A

Ta có: 

Suy ra: 

 Thay 

 vào giả thiết ta có: 

Chọn B

Ta có ${(1+2x+3x}^{}$²)10 =  a0 + a1x + a2x2 + ... + a20x20

Chọn A

Ta có 

Ta có 

Đạo hàm hai vế ta được: 

Đạo hàm 2 vế ta được: 

Thay x = 1 vào 2 vế : 

Với n = 10, T = $1^2{C}_n^1 + 2^2{C}_n^2 +\hspace{0.17em}.... + n^2{C}_n^n$

Chọn B

Số tập hợp con của A khác rỗng có số phần tử là số chẵn là: 

Để tính M ta xét: 

Thay x = 1 ta có: 

Thay x = -1 ta có: 

Từ (1) và (2) ta có: 

Chọn C

Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton: 

Chọn x = -1 ta có 

Chọn D

Theo định nghĩa biến cố chắc chắn ta có: Với A là biến cố chắc chắn thì n(A) = n($\Omega$)

Suy ra: .

Chọn C

Ta có: $\sum _{k = 0}^{2020}{C}_{2020}^k - \sum _{k = 0}^{2019}{C}_{2019}^k$ 

Vì một đồng xu có hai mặt nên khi gieo 2019 đồng xu phân biệt ta có $2^{2019}$ kết quả có thể xảy ra của phép thử. Vậy số

phần tử của không gian mẫu là n($\Omega$) = $2^{2019}$.

Chọn D

Chọn D

Theo đề bài b là số chấm của con súc sắc nên b$\in${1;2;3;4;5;6}

Để phương trình $x^2$ + 2bx + 4 = 0 có nghiệm thì 

Kết hợp b$\in$[1;6] suy ra  b$\in${2;3;4;5;6} Suy ra xác suất để phương trình

 $x^2$ + 2bx + 4 = 0 có nghiệm là $\frac{5}{6}$

Chọn D

Số phần tử của không gian mẫu 

Gọi biến cố A: “Chọn được 1 bạn nam và 1 bạn nữ để phân công trực nhật.”

Ta có 

Vậy 

Chọn C

Chọn 4 quả cầu từ 10 quả cầu có $C_{10}^4$ (cách ) .

Gọi A là biến cố “4 quả cầu lấy được có đúng 2 quả màu vàng”.

Chọn 4 quả cầu trong đó có đúng 2 quả màu vàng có $C_4^2.C_6^2$ => n(A) = $C_4^2.C_6^2$

Xác suất của biến cố A là: 

Chọn A

Xét phép thử: “Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên trong các số tự nhiên có bốn chữ số”

Ta có 

Biến cố A: “Số được chọn có ít nhất hai chữ số 8 đứng liền nhau”.

Gọi số có 4 chữ số $\overline{abcd}$  là trong đó có ít nhất hai chữ số 8 đứng liền nhau, a$\ne$0

TH1: Có đúng hai chữ số 8 đứng liền nhau.

+) Số có dạng $\overline{88cd}$: có 9.9 = 81 số.

+) Số có dạng $\overline{a88d}$ hoặc $\overline{ab88}$ : mỗi dạng có 8.9 = 72 số.

TH2: Có đúng ba chữ số 8 trong đó có ít nhất hai chữ số 8 đứng liền nhau.

+) Số có dạng $\overline{a888}$: có 8 số.

+) Số có dạng $\overline{8b88}$ hoặc $\overline{88c8}$ hoặc $\overline{888d}$: Mỗi dạng có 9 số.

TH3: Cả 4 chữ số đều là chữ số 8: Có 1 số là số 8888

Do đó n(A) = 81 + 2.72 + 8 + 3.9 + 1 = 261

Xác suất cần tìm 

Chọn B

Số phần tử không gian mẫu là số cách chia 8 đội bóng vào hai bảng sao cho mỗi bảng có 4 đội

Gọi A là biến cố thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có: 

Chọn D

Lấy lần lượt 3 cuốn sách có 15.14.13 = 2730 cách

Lấy 2 cuốn sách đầu là Toán và cuốn còn lại là Văn có 10.9.5 = 450 cách

Xác suất để được hai cuốn sách đầu là Toán, cuốn thứ ba là Văn: 

Chọn D

Xét phép thử: “Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập S = {1;2;3;4;5;6;7;8;9}. Ta có .

Gọi A là biến cố: “trong ba số được chọn ra không chứa hai số nguyên liên tiếp”.

Gọi $a_1, a_2, a_3$ là ba số thỏa mãn .

Không có hai số nguyên liên tiếp nào .

Đặt . Khi đó: .

Số cách chọn bộ ba số   => có $C_7^3$ cách chọn $a_1, a_2, a_3$

Suy ra 

Do đó 

Chọn D

Cách 1:

Gọi các điểm được đánh dấu để chia đều các cạnh của tứ diện đều ABCD như hình vẽ.

+ Gọi S là tập hợp các tam giác có ba đỉnh lấy từ 18 điểm đã đánh dấu.

Số phần tử của S là số cách chọn ra 3 điểm không thẳng hàng trong số 18 điểm đã cho.

Chọn ra 3 điểm trong 18 điểm trên: có $C_{18}^3$ cách.

Chọn ra 3 điểm thẳng hàng trong 18 điểm trên có 6.$C_6^3$ = 6 cách.

Suy ra số tam giác thỏa mãn là $C_{18}^3$ - 6 = 810

+ Gọi T là tập hợp các tam giác lấy từ ABCD sao cho mặt phẳng chứa tam giác đó song song với đúng một cạnh của tứ diện ABCD.

- Chọn 1 cạnh của tứ diện để mặt phẳng chứa tam giác chỉ song song với đúng cạnh đó: có $C_6^1$ cách.

Xét các tam giác mà mặt phẳng chứa nó chỉ song song với cạnh BD, suy ra tam giác đó phải có một cạnh song song với BD.

- Có 6 cách chọn cạnh song song với BD là

- Giả sử ta chọn cạnh $M_2{N}_2$ là cạnh của tam giác. Cần chọn đỉnh thứ 3 của tam giác trong 16 điểm còn lại. 

Do $M_2{N}_2$$\subset$(ABD) mà mặt phẳng chứa tam giác song song với BD nên đỉnh thứ 3 không thể là 7 điểm còn lại nằm trong mp(ABD).

Do mặt phẳng chứa tam giác chỉ song song với BD nên đỉnh thứ 3 không được trùng với một trong ba điểm $E_2, F_2, P_2$. Vậy đỉnh thứ 3 chỉ được chọn trong 16 -7 - 3 = 6 điểm còn lại.

Suy ra có 6 tam giác có 1 cạnh là $M_2{N}_2$ và mặt phẳng chứa nó chỉ song song với BD.

Vậy số tam giác mà mặt phẳng chứa nó chỉ song song với cạnh BD là: 6.6 = 36.

Tương tự cho các trường hợp khác, ta có số tam giác mà mặt phẳng chứa nó chỉ song song với đúng một cạnh của tứ diện ABCD là: 36.6 = 216.

Vậy xác suất cần tìm là 

Cách 2: Lưu Thêm

+) Gọi S là tập hợp các tam giác có ba đỉnh lấy từ 18 điểm đã đánh dấu.

Chọn ra 3 điểm trong 18 điểm trên: có $C_{18}^3$ cách. 

Trong số $C_{18}^3$ đó, có 6 cách chọn ra 3 điểm thẳng hàng trên các cạnh.

Suy ra n(S) = $C_{18}^3$ - 6 = 810

+) Xét phép thử: “Lấy ngẫu nhiên một phần thử thuộc S”. Ta có

+) Gọi T là biến cố: “Mặt phẳng chứa tam giác được chọn song song với đúng một cạnh của tứ diện đã cho”.

Chọn một cạnh của tứ diện: 6 cách, (giả sử chọn AB).

Chọn đường thẳng song song với AB: 6 cách, (giả sử chọn PQ).

Chọn đỉnh thứ 3: 6 cách, (M, N, E, K, F, I).

Suy ra n(T) = 6.6.6 = 216

Vậy 

Chọn A

Đánh số ba bàn tròn có số chỗ ngồi lần lượt là 6, 7, 8 là bàn 1, bàn 2, bàn 3.

+) Xét phép thử: “Xếp ngẫu nhiên 21 học sinh vào ba bàn tròn 1, 2, 3 nói trên”.

Chọn 6 học sinh trong số 21 học sinh và xếp vào bàn 1 có  cách.

Chọn 7 học sinh trong số 15 học sinh còn lại và xếp vào bàn 2 có  cách.

Xếp 8 học sinh còn lại vào bàn 3 có 7! cách.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 

+) Gọi A là biến cố: “ Hai bạn Thêm và Quý luôn ngồi cạnh nhau ”.

Trường hợp 1: Hai bạn Thêm và Quý ngồi bàn 1.

Chọn 4 học sinh từ 19 học sinh còn lại có $C_{19}^4$ cách.

Xếp 4 học sinh vừa chọn và hai bạn Thêm, Quý vào bàn 1 có 4!.2! cách.

Chọn 7 học sinh từ 15  học sinh còn lại và xếp vào bàn 2 có  cách.

Xếp 8 học sinh còn lại vào bàn 3 có 7! cách.

Số cách xếp thỏa mãn trường hợp 1 là: 

Trường hợp 2: Hai bạn Thêm và Quý ngồi bàn 2.

Tương tự như trên, ta có số cách xếp thỏa mãn trường hợp 2 là 

Trường hợp 3: Hai bạn Thêm và Quý ngồi bàn 3.

Tương tự như trên, ta có số cách xếp thỏa mãn trường hợp 3 là: 

= $\frac{C_{19}^4.4!.2!.C_1^7.6!.7! + C_{19}^5.5!.2!.C_{14}^6.5!.7! + C_{19}^6.6!.2!.C_{13}^6.5!.6! \hspace{0.17em}}{C_{21}^6.5!.C_{15}^7.6!.7!}$ = $\frac{1}{10}$

Chọn B

Không gian mẫu là tập hợp tất cả các cách xếp 4 quyển Toán khác nhau và 4 quyển Hóa giống nhau vào 8 trong 10 ô trống.

Khi đó, 

Gọi A là biến cố: “ Bốn quyển sách Toán xếp cạnh nhau và 4 quyển sách Hóa xếp cạnh nhau ”.

Để xếp 4 quyển sách Toán cạnh nhau và 4 quyển sách Hóa gần nhau trên giá sách 10 ô trống ta xem như có 4 vị trí để xếp

Xếp 4 quyển toán cạnh nhau có 4! cách, xếp 4 quyển Hóa có 1 cách, sau đó xếp 2 bộ đó vào 2 trong 4 vị trí.

Do đó: 

Xác suất để 4 quyển sách Toán cạnh nhau và 4 quyển Hóa cạnh nhau là:

Chọn A

+) Không gian mẫu $\Omega$ = “Chọn ngẫu nhiên một số trong các số tự nhiên có 3 chữ số”.=> |$\Omega$| = 9.${10}^2$

+) Biến cố A = “Số tự nhiên được chọn chia hết cho 9 và các chữ số đôi một khác nhau”.

Ta tìm số các số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 9 (tổng các chữ số là một số chia hết cho 9). 

Bộ ba số (a;b;c) với a,b,c $\in$[0;9](a,b,c đôi một khác nhau ) và a + b + c = 9m, m $\in \mathrm{\mathbb{N}}*$  được liệt kê dưới đây:

Vậy có tất cả 10.3! + 4.2.2! = 76 => $\left|{\Omega }_A\right|$ = 76

Xác suất cần tính bằng 

Chọn A

Số cách xếp ngẫu nhiên 6 học sinh vào dãy ghế: $n\left(\Omega \right)$ = 6!.

Gọi M là biến cố “xếp 6 học sinh vào dãy ghế mà không có học sinh lớp C nào ngồi cạnh nhau”.

Gọi $\overline{M}$ là biến cố “xếp 6 học sinh vào dãy ghế mà hai học sinh lớp C ngồi cạnh nhau”.

Ghép 2 học sinh lớp C thành nhóm X.

Xếp nhómX, 2 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B vào dãy ghế: 5!.

Hoán đổi vị trí 2 học sinh lớp C: 2!.

Vậy 

Chọn C

Số phần tử của không gian mẫu là 

Gọi A là biến cố "không có hai học sinh nữ nào đứng cạnh nhau".

Mỗi phần tử của A tương ứng với 1 hàng ngang gồm 11 bạn đã cho mà không có hai nữ xếp cạnh nhau. Để xếp được 1 hàng như vậy ta thực hiện liên tiếp hai bước:

Bước 1: Xếp 6 bạn nam thành một hàng ngang, có 6!= 720 cách

Bước 2: Xếp 5 bạn nữ vào 7 vị trí xen giữa hai nam hoặc ngoài cùng (để 2 nữ không cạnh nhau), có $A_7^5$ = 2520 cách.

Vậy n(A) =720.2520 = 1814400

Xác suất cần tìm là 

Chọn A                         

Cách 1:

Số phần tử không gian mẫu là 6! = 720.

Xếp bạn nam thứ nhất có 6 cách, bạn nam thứ 2 có 4 cách, bạn nam thứ 3 có 2 cách.

Xếp 3 bạn nữ vào ba ghế còn lại có  cách.

Vậy xác suất cần tìm là . Đáp án A.

Chọn D

Số phần tử của không gian mẫu là 

Gọi số cần tìm là 

* Trường hợp $a_2$ = 0:  Khi đó $a_1, a_3$ lẻ nên có $A_5^2$ cách xếp, hai chữ số lẻ còn lại có $C_3^2{A}_6^2$ cách xếp, 4 chữ số chẵn còn lại có 4! cách xếp. Vậy theo quy tắc nhân có 

$A_5^2$$C_3^2{A}_6^2$.4! = 43200 (số)

Vậy xác suất cần tính là: 

Chọn C

Không gian mẫu $\Omega$:” Chia 12 đội thành 3 bảng mỗi bảng 4 đội”

.

Gọi biến cố A:” 3 đội Việt Nam ở 3 bảng đấu khác nhau”.

+ Có 3! cách xếp 3 đội Việt Nam vào 3 bảng đấu.

+ Có $C_9^3{C}_6^3$ cách xếp 9 đội nước ngoài vào 3 bảng đấu.

. Vậy xác suất cần tìm là .

Chọn D

$\Omega$ “Xếp 10 học sinh thành một hàng ngang” => n($\Omega$) = 10!

A “Không có học sinh khối 11 nào xếp giữa hai học sinh khối 10”.

Trường hợp I (2 học sinh khối 10 đứng cạnh nhau):

Bước 1: Buộc 2 học sinh khối 10 thành một phần tử X và đổi chỗ 2 học sinh đó có 2! cách.

Bước 2: Xếp phần tử X và 8 học sinh còn lại thành một hàng ngang có 9! cách.

Vậy, có 9!.2! cách.

Trường hợp II (giữa 2 học sinh khối 10 có 1 học sinh khối 12):

Bước 1: Chọn 1 học sinh khối 12 trong 3 học sinh có $C_3^1$ cách.

Bước 2: Buộc 2 học sinh khối 10 và học sinh khối 12 đã chọn thành một phần tử X rồi đổi chỗ 2 học sinh khối 10 có 2! cách.

Bước 3: Xếp phần tử X và 7 học sinh còn lại thành một hàng ngang có 8! cách.

Vậy, có $C_3^1$.2!.8! cách.

Trường hợp III (giữa 2 học sinh khối 10 có 2 học sinh khối 12):

Bước 1: Chọn 2 học sinh khối 12 trong 3 học sinh có $C_3^2$ cách.

Bước 2: Buộc 2 học sinh khối 10 và 2 học sinh khối 12 đã chọn thành một phần tử X rồi đổi chỗ 2 học sinh khối 10, đổi chỗ 2 học sinh khối 12 có 2!.2! cách.

Bước 3: Xếp phần tử X và 6 học sinh còn lại thành một hàng ngang có 7! cách.

Vậy, có $C_3^2$.2!.2!.7!cách.

Trường hợp IV (giữa 2 học sinh khối 10 có 3 học sinh khối 12):

Bước 1: Buộc 2 học sinh khối 10 và 3 học sinh khối 12 đã chọn thành một phần tử X rồi đổi chỗ 2 học sinh khối 10, đổi chỗ 3 học sinh khối 12 có 2!.3! cách.

Bước 2: Xếp phần tử X và 5 học sinh còn lại thành một hàng ngang có 6! cách.

Vậy, có 2!.3!.6! cách.

Theo quy tắc cộng, ta được 

Chọn B

* Số các số tự nhiên nhỏ hơn 300 là 300 số. Lấy ngẫu nhiên một số tự nhiên nhỏ hơn 300 có suy ra n($\Omega$) = 300

* Gọi A là biến cố “số được chọn không chia hết cho 4”, khi đó $\overline{A}$ là biến cố “số được chọn

chia hết cho 4”.

* Gọi số tự nhiên nhỏ hơn 300 và chia hết cho 4 là 4n (n $\in \mathrm{\mathbb{N}}$) 

* Ta có suy ra  Do đó 

Chọn A

- Bổ đề: Cho , ta có:

“Số nghiệm nguyên không âm của phương trình 

Thật vậy: Đặt 

Khi đó  và 

Hiển nhiên số nghiệm nguyên không âm của (1) bằng số nghiệm nguyên dương của (2)

- Xếp m + n chữ số 1 thành một hàng: có 1 cách.

- Xếp n - 1 dấu gạch ngang "-" vào trong m + n -1 khoảng trống giữa các chữ số 1 (mỗi khoảng trống nhiều nhất một dấu gạch ngang) để chia dãy m + n  chữ số 1 thành n phần (mỗi phần có ít nhất một chữ số 1): có $C_{m+n-1}^{n-1}$ cách.

Mỗi phần được chia ra có tổng các chữ số 1 lần lượt là 

và cho ta một nghiệm nguyên dương của phương trình (2).

Do đó số nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là 

Suy ra số nghiệm nguyên không âm của phương trình (1) là $C_{m+n-1}^{n-1}$ (đpcm)

Bây giờ ta sẽ áp dụng kết quả của bổ đề để giải bài toán đã cho:

- Tính số phần tử của tập S:

Gọi phần tử của S là $\overline{abc}$  vơí và a + b + c = 9 (*)

Theo bổ đề thì số nghiệm nguyên không âm của (*) là 

Vậy n(S) = 55

- Tính số các phần tử của S có chữ số hàng trăm bằng 4.

Khi đó a= 4 và b + c = 5 (**).

Theo bổ đề thì số nghiệm nguyên không âm của (**) là

Vậy có tất cả 6phần tử của S có chữ số hàng trăm bằng 4.

- Xét phép thử: “Lấy ngẫu nhiên một số từ tập S” và biến cố A: “Số lấy ra có chữ số hàng trăm bằng 4” 

Ta có 

Vậy xác suất của biến cố A là  

Chọn A

Ta có 

Chọn B

Số phần tử không gian mẫu khi xếp ngẫu nhiên 7 miếng bìa là: $n\left(\Omega \right)$ = 7!

Số cách xếp để được dòng chữ “HỌC TẬP VÌ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP” là  n(A) = 1

Chọn C

Gọi A là biến cố “ Súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm”

Chọn B

Không gian mẫu là: 

Gọi A là biến cố: “Mặt có số chấm chẵn xuất hiện”.

Xác suất để mặt có số chấm chẵn xuất hiện là: 

Chọn D

Gọi A là biến cố “4 học sinh được gọi có cả nam và nữ”, suy ra $\overline{A}$  là biến cố “4 học sinh được gọi toàn là nam hoặc toàn là nữ”

Số phần tử của không gian mẫu là 

Ta có 

Vậy xác suất của biến cố A là

Chọn B

Ta có: 

Gọi A là biến cố: “Chọn được một học sinh nữ”.

Xác suất để chọn được một học sinh nữ là: 

Chọn A

Gọi x là số lần viên bi đỏ được chọn.

Gọi y là số lần viên bi xanh được chọn.

TH1. 1$\le$x$\le$6.

Có 6 cách chọn viên đỏ.

Có 5 cách chọn viên xanh.

=> Có 5.6 = 30 cách.

TH2. x = 7.

Có 6 cách chọn viên xanh.

=> Có 6 cách.

Vậy có 36 cách chọn. 

Chọn D

Số phần tử của không gian mẫu: 

Gọi biến cố A: “5 quả lấy ra có đủ hai màu”. Suy ra biến cố $\overline{A}$: “5 quả lấy ra chỉ có 1 màu”.

TH1: Lấy ra từ hộp 5 quả cầu xanh, có $C_{10}^5$ = 252 cách.

TH2: Lấy ra từ hộp 5 quả cầu đỏ, có $C_5^5$ = 1 cách.

Suy ra: 

Xác suất để được 5 quả có đủ hai màu là: 

Vậy xác suất cần tìm là $\frac{250}{273}$

Chọn B

Số cách chọn 2 học sinh trong 10 học sinh là $C_{10}^2$.

Nên số phần tử của không gian mẫu là .

Gọi A : “ Biến cố chọn được hai học sinh đều là học sinh nữ”.

Số cách chọn 2 học sinh nữ trong 3 học sinh nữ là $C_3^2$.

Khi đó số phần tử của biến cố A là n(A) = $C_3^2$ = 3.

Vậy xác suất để chọn được hai học sinh đều là nữ là

Chọn A

Số phần tử của không gian mẫu: .

Gọi A là biến cố “Số lấy được là bình phương của một số tự nhiên”.

Bình phương của một số tự nhiên có dạng:

Ta có .

Vậy .