15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 2: Xác định ảnh của điểm, đường thẳng qua phép quay có đáp án

Câu 1:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép quay tâm O góc quay 90 độ biến điểm $M (1; 2)$ thành điểm nào?

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Biểu thức tọa độ của phép quay

$Q_{(O; 90 °)} : M (x; y) \to M' (x'; y') \Rightarrow \{\begin{cases} x' = - y \\ y' = x \end{cases}$

Với $M (1; 2)$ , ta có: $\{\begin{cases} x' = - y = - 2 \\ y' = x = 1 \end{cases}$

Vậy

M' (- 2; 1)

Câu 2:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng

d' : 5 x - 3 y + 15 = 0

Tìm ảnh d’ của d qua phép quay

Q_{(O; 90 °)}

với O là gốc tọa độ?

Xem đáp án

Chọn $A (0; 5) \in d, B (- 3; 0) \in d$

$\begin{array}{l} Q_{(O; 90 °)} (A) = A' (- 5; 0) \in d'; \\ Q_{(O; 90 °)} (B) = B' (0; - 3) \in d' \end{array}$

Đường thẳng d’ là đường thẳng có phương trình là:

A' B' : 3 x + 5 y + 15 = 0

Câu 3:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn $(C) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ .

Tìm ảnh (C') của đường tròn (C) qua $Q_{(O; 90 °)}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Với mọi $M (x; y) \in (C)$ thì

$Q_{(O; 90 °)} (M) = M' (x'; y') \in (C')$

Biểu thức tọa độ $\{\begin{cases} x' = - y \\ y' = x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} y = - x' \\ x = y' \end{cases}$

Thay tọa độ vào đường tròn (C) , ta có:

${(y' - 1)}^{2} + {(- x' - 2)}^{2} = 4 \Leftrightarrow {(x' + 2)}^{2} + {(y' - 1)}^{2} = 4$

Vậy $(C) : {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$

Câu 4:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép quay tâm O góc quay $90 °$ biến điểm $M (- 3; 5)$ thành điểm nào?

A. $(3; 4)$

B. $(- 5; - 3)$

C. $(5; - 3)$

D. $(- 3; - 5)$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Biểu thức tọa độ $Q_{(O; 90 °)} : M (x; y) \to M' (x'; y') \Rightarrow \{\begin{cases} x' = - y = - 5 \\ y' = x = - 3 \end{cases}$ của phép quay

Suy ra $M' : \{\begin{cases} x' = - 5 \\ y' = 3 \end{cases}$ . Vậy $M' (- 5; - 3)$ .

Câu 5:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(1,1) . Hỏi điểm nào sau đây là ảnh của điểm M qua phép quay tâm $O (0; 0)$ , góc quay $45 °$ ?

A. $M' (\sqrt{2}; 0)$

B. $M' (0; \sqrt{2})$

C. $M' (0; 1)$

D. $M' (1; - 1)$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Xét $Q_{(O; 90 °)} : M (x; y) \to M' (x'; y')$

Biểu thức tọa độ: $\{\begin{cases} x' = x \cos φ - y \sin φ = \frac{\sqrt{2}}{2} x - \frac{\sqrt{2}}{2} y \\ y' = x \sin φ + y \cos φ = \frac{\sqrt{2}}{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} y \end{cases}$

Với M(1,1), ta có: $\{\begin{cases} x' = 0 \\ y' = \sqrt{2} \end{cases} \Rightarrow M' (0; \sqrt{2})$ .

Chọn B.

Câu 6:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm $A (x; y)$ . Biểu thức tọa độ của điểm $A' = Q_{(O; 90 °)} (A)$ là:

A. $\{\begin{cases} x' = y \\ y' = - x \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x' = - y \\ y' = x \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x' = - y \\ y' = - x \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x' = y \\ y' = x \end{cases}$

Xem đáp án

Ta có: $Q_{(O; 90 °)} (A (x; y)) = A' (x'; y') \Rightarrow \{\begin{cases} x' = - y \\ y' = x \end{cases}$

Câu 7:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm $A (x; y)$ . Biểu thức tọa độ của điểm $A' = Q_{(O; - 90 °)} (A)$ là:

A. $\{\begin{cases} x' = y \\ y' = - x \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x' = - y \\ y' = x \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x' = - y \\ y' = - x \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x' = y \\ y' = x \end{cases}$

Xem đáp án

Ta có: $Q_{(O; - 90 °)} (M (x; y)) = M' (x'; y') \Rightarrow \{\begin{cases} x' = y \\ y' = - x \end{cases}$

Câu 8:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm $A (4; 1)$ . Tọa độ của điểm $A' = Q_{(O; - 90 °)} (A)$ là:

A. $A' (- 1; 4)$

B. $A' (1; - 4)$

C. $A' (4; - 1)$

D. $A' (- 4; - 1)$

Xem đáp án

Ta có: $Q_{(O; - 90 °)} (M (x; y)) = M' (x'; y') \Rightarrow \{\begin{cases} x' = y = 1 \\ y' = - x = - 4 \end{cases}$

Câu 9:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm $I (1; 2)$ , biết điểm $A (4; 5)$ . Khi đó với $B (x_{B}; y_{B}), C (x_{C}; y_{C}), D (x_{D}; y_{D})$ thì $x_{B} . x_{C} . x_{D}$ bằng:

A. 12

B. 8

C. 16

D. 32

Xem đáp án

Dựa vào hình vẽ, ta có:

$\{\begin{cases} Q_{(I; 90 °)} (A) = B (- 2; 5) \\ Q_{(I; 180 °)} (A) = C (- 2; - 1) \\ Q_{(I; - 90 °)} (A) = D (4; - 1) \end{cases} \Rightarrow x_{B} . x_{C} . x_{D} = (- 2) . (- 2) .4 = 16$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm I(1,2) , biết điểm A(4,5) . (ảnh 1)

Câu 10:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $d : x + y + 1 = 0$ , điểm $I (1; - 2)$ , phép quay $Q_{(O; 90 °)} (d) = d'$ . Phương trình đường thẳng d’ là:

A. $- x + y - 2 = 0$

B. $x - y - 1 = 0$

C. $x - y + 3 = 0$

D. $x - y - 3 = 0$

Xem đáp án

Với mọi điểm $I (1; - 2) \in d : Q_{(O; 90 °)} (I) = I' (2; 1) \in d'$

Phép quay $Q_{(O; 90 °)} (d) = d' \Rightarrow d ⊥ d'$ .

Do đó $d : x - y + c = 0$ . Mà $I' (2; 1) \in d'$ nên $c = - 1$

Vậy $d' : x - y - 1 = 0$

Câu 11:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm $A (0; 3)$ . Ảnh của A qua phép quay $A' = Q_{(O; - 45 °)}$ là:

A. $A' (\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{3}{\sqrt{2}})$

B. $A' (\frac{3}{4}; \frac{1}{4})$

C. $A' (\frac{- 3}{\sqrt{2}}; \frac{1}{\sqrt{2}})$

D. $A' (\frac{3}{\sqrt{2}}; \frac{2}{\sqrt{2}})$

Xem đáp án

Ta có : $Q_{(O; - 45 °)} (A (x; y)) = A' (x'; y')$

Suy ra $\{\begin{cases} x' = 0. \cos (- 45 °) - 3 \sin (- 45 °) \\ y' = 0. \sin (- 45 °) + 3 \cos (- 45 °) \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x' = \frac{3}{\sqrt{2}} \\ y' = \frac{3}{\sqrt{2}} \end{cases} \Rightarrow A' (\frac{3}{\sqrt{2}}; \frac{3}{\sqrt{2}})$

Câu 12:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $I (2; 1)$ và đường thẳng $d : 2 x + 3 y + 4 = 0$ . Ảnh của d qua $Q_{(I; 45 °)}$ là:

A. $- x + 5 y - 2 + 3 \sqrt{2} = 0$

B. $- x + 5 y - 3 + 10 \sqrt{2} = 0$

C. $x - 5 y + 3 + \sqrt{2} = 0$

D. $- x + 5 y - 3 + 11 \sqrt{2} = 0$

Xem đáp án

Với mọi điểm $M (x; y) \in d$ ta có $Q_{(I; 45 °)} (M) = M' (x'; y') \in d'$ .

Với $I (2; 1)$ , ta có biểu thức tọa độ $\{\begin{cases} x' - 2 = (x - 2) . \cos 45 ° - (y - 1) \sin 45 ° = (x - 2) \frac{\sqrt{2}}{2} - (y - 1) \frac{\sqrt{2}}{2} \\ y' - 1 = (x - 2) . \sin 45 ° + (y - 1) \cos 45 ° = (x - 2) \frac{\sqrt{2}}{2} + (y - 1) \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x - y = 1 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} x' \\ x + y = 3 - \sqrt{2} + \sqrt{2} y' \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x = 2 - \frac{3}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} x' + \frac{1}{\sqrt{2}} y' \\ x = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} x' + \frac{1}{\sqrt{2}} y' \end{cases}$

Thay x và y vào phương trình đường thẳng d ta được $d' : - x + 5 y - 3 + 11 \sqrt{2} = 0$ .

Câu 13:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn $(C) : x^{2} + y^{2} + 6 x + 5 = 0$ . Ảnh đường tròn (C) của (C') qua $Q_{(O; 90 °)}$ là:

A. $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$

B. $x^{2} + y^{2} + 6 y - 6 = 0$

C. $x^{2} + {(y + 3)}^{2} = 4$

D. $x^{2} + y^{2} + 6 y - 5 = 0$

Xem đáp án

Đường tròn (C) có tâm $I (- 3; 0)$ và bán kính R=2.

$Q_{(O; 90 °)} (I (x; y)) = I' (x'; y') \Rightarrow \{\begin{cases} x' = 0 \\ y' = 3 \end{cases} \Rightarrow I' (0; - 3)$ .

Đường tròn (C') có tâm $I' (0; - 3)$ và bán kính $R' = R = 2$ nên có phương trình $x^{2} + {(y + 3)}^{2} = 4$

Câu 14:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phép quay tâm O góc quay $45 °$ . Ảnh của đường tròn $(C) : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ là:

A. ${(x - \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + {(y - \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} = 4$

B. ${(x + \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + {(y + \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} = 4$

C. ${(x - \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + {(y + \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} = 4$

D. $x^{2} + y^{2} + \sqrt{2} x + \sqrt{2} y - 2 = 0$

Xem đáp án

Đường tròn (C) có tâm $I (1; 0)$ và bán kính R=2

Ta có: $Q_{(O; 45 °)} (I (x; y)) = I' (x'; y') \Rightarrow \{\begin{cases} x' = 1. \cos 45 ° - 0 \sin 45 ° \\ y' = 1. \sin 45 ° + 0 \cos 45 ° \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x' = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ y' = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} \Rightarrow I' (\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$

Đường tròn (C) có tâm $I' (\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$ và bán kính $R' = R = 2$ nên có phương trình là: ${(x - \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + {(y - \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} = 4$ .

Câu 15:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình các cạnh AC, BC của

Δ A B C

biết

A (1; 2), B (3; 4)

và

\cos A = \frac{2}{\sqrt{5}}, \cos B = \frac{3}{\sqrt{10}}

A. $A C : x - y - 1 = 0; B C = x - y + 5 = 0$

B. $A C : 3 x - y - 2 = 0; B C = x - 2 y + 3 = 0$

C. $A C : 3 x - y - 1 = 0; B C = x - 2 y + 5 = 0$

D. $A C : 3 x - y - 4 = 0; B C = x - 2 y + 2 = 0$

Xem đáp án

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình các cạnh AC, BC của tam giác ABC biết A(1,2), B(3,4) (ảnh 1)

Đặt $\hat{B A C} = α$ . Khi đó $\sin α = \sqrt{1 - \cos^{2} α} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ .

Xét phép quay $Q_{(A; α)} (B) = B' (x'; y') \in A C$ .

Ta có biểu thức tọa độ $\{\begin{cases} x' - 1 = 2. \cos α - 2. \sin α = 2. \frac{2}{\sqrt{5}} - 2. \frac{1}{\sqrt{5}} \\ y' - 2 = 2. \sin α + 2 \cos α = 2. \frac{2}{\sqrt{5}} + 2. \frac{1}{\sqrt{5}} \end{cases}$

Suy ra $\{\begin{cases} x' = 1 + \frac{2}{\sqrt{5}} \\ y' = 2 + \frac{6}{\sqrt{5}} \end{cases} \Rightarrow B' (1 + \frac{2}{\sqrt{5}}; 2 + \frac{6}{\sqrt{5}})$

Đường thẳng AC qua A và B’ có phương trình là $3 x - y - 1 = 0$

Tương tự. Đặt $\hat{A B C} = β$ . Khi đó $\sin β = \sqrt{1 - \cos^{2} β} = \frac{1}{\sqrt{10}}$ .

Xét phép quay $Q_{(B; β)} (A) = A' (x'; y') \in B C$

Ta có biểu thức tọa độ $\{\begin{cases} x' - 3 = - 2. \cos β + 2. \sin β = - 2. \frac{3}{\sqrt{10}} + 2. \frac{1}{\sqrt{10}} \\ y' - 4 = - 2. \sin β - 2 \cos β = - 2. \frac{1}{\sqrt{10}} - 2. \frac{3}{\sqrt{10}} \end{cases}$

Suy ra $\{\begin{cases} x' = 3 - \frac{4}{\sqrt{10}} \\ y' = 4 - \frac{8}{\sqrt{10}} \end{cases} \Rightarrow B' (3 - \frac{4}{\sqrt{10}}; 4 - \frac{8}{\sqrt{10}})$

Đường thẳng BC qua B và A’ có phương trình là $x - 2 y + 5 = 0$ .