13 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 1: Xác định ảnh một hình qua phép vị tự có đáp án

Câu 1:

Tìm ảnh A’ của điểm A(1,4) qua phép vị tự tâm $I (2; 5), k = 2$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $V_{(I; 2)} (A) = A'$ . Áp dụng biểu thức tọa độ của phép vị tự, ta có: $\{\begin{cases} x' = k x + (1 - k) x_{0} \\ y' = k y + (1 - k) y_{0} \end{cases}$

Suy ra:

\{\begin{cases} x' = 2.3 + (1 - 2) .2 = 4 \\ y' = 2.4 + (1 - 2) .5 = 3 \end{cases} \Rightarrow A' (4; 3)

.

Câu 2:

Cho $M (- 3; 5), M' (4; 6)$ . Tìm tâm I của phép vị tự biến M thành M’ có tỉ số k=2.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có: $V_{(I; 2)} : M \to M' \Rightarrow \{\begin{cases} 4 = (- 3) .2 + (1 - 2) . a \\ 6 = 5.2 + (1 - 2) . b \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} a = - 10 \\ b = 4 \end{cases} \Rightarrow I (- 10; 4)$

Câu 3:

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn $(C) : x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 12 = 0$ . Tìm phương trình đường tròn (C') là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm tỉ số $k = - \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

(C) có tâm $A (3; - 2)$ , bán kính R=2

(C') có tâm $A' (x'; y')$ , bán kính $R' = \frac{5}{2}$

Vì A’ là ảnh của A qua phép vị tự tâm I, tỉ số $k = - \frac{1}{2} \Rightarrow \vec{I A'} = - \frac{1}{2} \vec{I A}$ .

Mà $\vec{I A} = (x' - 2; y' - 1); \vec{I A} = (1; - 3)$

Suy ra $A' (\frac{3}{2}; \frac{5}{2}) \Rightarrow (C') : x^{2} + y^{2} - 3 x - 5 y + \frac{9}{4} = 0$ .

Câu 4:

Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d’. Có bao nhiêu phép vị tự biến d thành đường thẳng d’?

A. 0

B. 1

C. 2

D. vô số

Xem đáp án

Không có phép vị tự nào biến d thành d’ vì qua phép vị tự, đường thẳng biến thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

Câu 5:

Cho hai đường tròn bằng nhau $(O; R)$ và $(O'; R')$ với tâm O và O’ phân biệt. Có bao nhiêu phép vị tự biến $(O; R)$ thành $(O'; R')$ ?

A. 0

B. 1

C. 2

D. vô số

Xem đáp án

Phép vị tự có tâm là trung điểm OO’, tỉ số vị tự bằng -1.

$V_{(I; k)} (C) = C' \Rightarrow \{\begin{cases} \vec{I O'} = k . \vec{I O} \\ R' = |k| . R \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} \vec{I O'} = k . \vec{I O} \\ k = \pm \frac{R}{R'} = \pm 1 (d o R = R') \end{cases}$

Ta có O khác O’ nên $k = - 1$ và I là trung điểm của OO’.

Câu 6:

Cho $4 \vec{I A} = 5 \vec{I B}$ . Tỉ số vị tự k của phép vị tự tâm I, biến A thành B là:

A. $k = \frac{4}{5}$

B. $k = \frac{3}{5}$

C. $k = \frac{5}{4}$

D. $k = \frac{1}{5}$

Xem đáp án

Vậy $4 \vec{I A} = 5 \vec{I B} \Leftrightarrow \vec{I B} = \frac{4}{5} \vec{I A}$ Vậy có tỉ số $k = \frac{4}{5}$

Câu 7:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm $A (3; 2)$ Ảnh của A qua phép vị tự tâm O tỉ số $k = - 1$ là:

A. $(3; 2)$

B. $(2; 3)$

C. $(- 2; - 3)$

D. $(- 3; - 2)$

Xem đáp án

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép vị tự.

V_{(O; - 1)} (A) = A' \Rightarrow A' : \{\begin{cases} x' = k x + (1 - k) x_{0} \\ y' = k y + (1 - k) y_{0} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x' = - 3 \\ y' = - 2 \end{cases}

Vậy

A' (- 3; - 2)

Câu 8:

Tìm A để điểm $A' (1; 2)$ là ảnh của A qua phép vị tự tâm $I (1; 3), k = - 2$ là:

A. $A (1; 13)$

B. $A (1; \frac{7}{2})$

C. $A (- 1; - \frac{7}{2})$

D. $A (- 1; - 13)$

Xem đáp án

Ta có: $A' (1; 2)$

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép vị tự, ta có: $\{\begin{cases} 1 = x . (- 2) + (1 + 2) .1 \\ 2 = y . (- 2) + (1 + 2) .3 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = \frac{7}{2} \end{cases} \Rightarrow A (1; \frac{7}{2})$

Câu 9:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm $M (1; 2), M' (- 2; - 4)$ và số k=2. Phép vị tự tỉ số k=2 biến điểm M thành điểm M’ có tâm vị tự là:

A. $I (- 4; 8)$

B. $I (4; - 8)$

C. $I (- 4; - 8)$

D. $I (4; 8)$

Xem đáp án

Gọi $I (x; y)$ là tâm vị tự. Theo định nghĩa, ta có: $\vec{I M'} = 2. \vec{I M}$

Suy ra $\{\begin{cases} - 2 - x = 2 (1 - x) \\ - 4 - y = 2 (2 - y) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 4 \\ y = 8 \end{cases}$ .

Vậy tâm vị tự là $I (4; 8)$ .

Câu 10:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $d : 2 x + y - 4 = 0, I (- 1; 2)$ . Ảnh của d qua phép vị tự tâm I tỉ số k=-2 là:

A. $2 x - y + 4 = 0$

B. $- 2 x + y + 8 = 0$

C. $2 x + y + 8 = 0$

D. $x + \frac{1}{2} y + 2 = 0$

Xem đáp án

$V_{(I; - 2)} (d) = d'$ nên d’ có dạng $2 x + y + c = 0$

Chọn điểm $M (2; 0) \in d$ .

Ta có: $V_{(I; - 2)} (M) = M' (x; y) \in d' \Rightarrow \{\begin{cases} x' = 5 \\ y' = - 2 \end{cases}$ .

Thế vào d’, ta có $10 - 2 + c = 0 \Rightarrow c = 8$ .

Vậy $d' : 2 x + y + 8 = 0$ .

Câu 11:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng

d : \frac{x}{2} - \frac{y}{4} = 1

và

d' : 2 x - y - 6 = 0

. Phép vị tự

V_{(O; k)} (d) = d'

. Tìm k.

A. $k = \frac{3}{2}$

B. $k = - \frac{2}{3}$

C. $k = \frac{1}{3}$

D. $k = \frac{- 1}{3}$

Xem đáp án

Ta có $d : 2 x - y - 4 = 0 \Rightarrow d / / d'$

Chọn $M (2; 0) \in d \Rightarrow V_{(O; k)} (M) = M' (x'; y') \Rightarrow \{\begin{cases} x' = 2 k \\ y' = 0 \end{cases}$

Do $M' \in d'$ nên $2.2 k - 0 - 6 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{3}{2}$ .

Câu 12:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn $(C) : {(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 5$ . Ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm I(1,2) và tỉ số k=-2 là:

A. $x^{2} + y^{2} + 6 x - 16 y + 4 = 0$

B. $x^{2} + y^{2} - 6 x + 6 y - 4 = 0$

C. ${(x + 3)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = 20$

D. ${(x - 3)}^{2} + {(y + 8)}^{2} = 20$

Xem đáp án

Đường tròn (C) có tâm $I (8; 1)$ . Gọi (C') là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I, tỉ số k=-2.

Ta có $V_{(I; - 2)} (J) = J' (x'; y') \Leftrightarrow \vec{I J'} = - 2 \vec{I J} \Rightarrow \{\begin{cases} x' = - 3 \\ y = 8 \end{cases} \Rightarrow J' (- 3; 8)$ là tâm của đường tròn (C').

Bán kính $R' = |k| . R = 2 \sqrt{5}$

Vậy phương trình đường tròn (C') là ${(x + 3)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = 20$ .

Câu 13:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn

(C') : {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 16

và

I (1; 2)

điểm . Biết đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm I, tỉ số k=-2. Điểm nào sau đây thuộc đường tròn (C)?

A. $M (3; 4)$

B. $N (- 2; 3)$

C. $P (2; 0)$

D. $Q (3; 2)$

Xem đáp án

Ta có đường tròn (C') có tâm $K' (3; 0)$ và bán kính R'=4.

Gọi $K (x; y)$ và R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C).

Khi đó $\begin{array}{l} V_{(I; - 2)} (C) = (C') \Leftrightarrow V_{(I; - 2)} (K) = (K') \Leftrightarrow \vec{I K'} = - 2 \vec{I K} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} x' - 1 = - 2 (x - 1) \\ y' - 2 = - 2 (y - 2) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 - 1 = - 2 x + 2 \\ 0 - 2 = - 2 y + 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ y = 3 \end{cases} \end{array}$ . Vậy $K (0; 3)$ .

Lại có $R' = |k| . R \Leftrightarrow R = \frac{R'}{|k|} = \frac{4}{2} = 2$ .

Vậy đường tròn $(C) : x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$

Ta thấy, thay tọa độ của điểm $N (- 2; 3)$ vào đường tròn (C) thấy thỏa mãn.

Vậy N thuộc đường tròn (C).