9 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài toán tổng hợp về khối đa diện, khối tròn xoay

Câu 1:

Cho một khối trụ có chiều cao bằng 8cm, bán kính đường tròn đáy bằng 6cm. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 4cm. Diện tích của thiết diện được tạo thành là :

A. $32 \sqrt{3} (c m^{2})$

B. $16 \sqrt{3} (c m^{2})$

C. $32 \sqrt{5} (c m^{2})$

D. $16 \sqrt{5} (c m^{2})$

Xem đáp án

Ta có mặt phẳng $(A^{'} A B) / / O^{'} O$

Kẻ $A^{'} B^{'} / / A B$ ⇒ thiết diện tạo thành là hình chữ nhật ABB′A′

Kẻ $O H ⊥ A B, O H ⊥ A^{'} A \Rightarrow O H ⊥ (A^{'} A B)$

\Rightarrow d (O^{'} O, (A^{'} A B)) = d (O, (A^{'} A B B^{'})) = O H = 4

Mà $A H = \sqrt{O A^{2} - O H^{2}} = 2 \sqrt{5} \Rightarrow A B = 4 \sqrt{5} \Rightarrow S_{A B B^{'} A^{'}} = 32 \sqrt{5}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 2:

Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác với độ dài cạnh đáy lần lượt 5cm,13cm,12cm. Một hình trụ có chiều cao bằng 8cm ngoại tiếp lăng trụ đã cho có thể tích bằng

A. $V = 338 π c m^{3}$

B. $V = 386 π c m^{3}$

C. $V = 507 π c m^{3}$

D. $V = 338 c m^{3}$

Xem đáp án

Đáy là tam giác với độ dài cạnh đáy lần lượt là 5cm;12cm;13cm nên đáy là tam giác vuông với độ dài cạnh huyền là 13cm. Suy ra hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ đứng có đáy là đường tròn bán kính là $\frac{13}{2} c m$

Vậy thể tích hình trụ đó là $V = π {(\frac{13}{2})}^{2} .8 = 338 π (c m^{3})$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 3:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.

A. $V = \frac{π a^{2} h}{9}$

B. $V = \frac{π a^{2} h}{3}$

C. $V = 3 π a^{2} h$

D. $V = \frac{π a^{2} h}{27}$

Xem đáp án

Khối trụ ngoại tiếp lăng trụ tam giác đều có hình tròn đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác đáy của lăng trụ, và chiều cao bằng chiều cao lăng trụ.

Tam giác đều cạnh a có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng $\frac{\sqrt{3} a}{3}$

Vậy thể tích của khối trụ cần tìm là $V = h . S = h . π . {(\frac{\sqrt{3} a}{3})}^{2} = \frac{π a^{2} h}{3}$ (đvtt).

Đáp án cần chọn là: B

Câu 4:

Cho hình hộp chữ nhật $A B C D . A' B' C' D'$ có $A B = a, A D = 2 a v à A A' = 2 a$ . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB′C′.

A. $R = 3 a$

B. $R = \frac{3 a}{4}$

C. $R = \frac{3 a}{2}$

D. $R = 2 a$

Xem đáp án

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB′C′ cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′

Do đó bán kính là $R = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + {(2 a)}^{2} + {(2 a)}^{2}} = \frac{3 a}{2}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C); S A = a$ đáy ABC là tam giác vuông tại $B, \hat{B A C} = 60^{0}$ và $A B = \frac{a}{2}$ . Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Tìm mệnh đề sai.

A.Diện tích của (S) là $\frac{2 π a^{2}}{3}$ .

B.Tâm của (S) là trung điểm SC.

C.(S) có bán kính $\frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

D.Thể tích khối cầu là

\frac{\sqrt{2} π a^{3}}{3}

Xem đáp án

Gọi N,M lần lượt là trung điểm của AC;SC.

ABC là tam giác vuông tại $B, \hat{B A C} = 60^{o}$ và $A B = \frac{a}{2}$ nên $N A = N B = N C$

A C = a \Rightarrow S C = a \sqrt{2} \Rightarrow M C = \frac{a \sqrt{2}}{2}

NM là đường trung bình của tam giác SAC nên

N M / / S A \Rightarrow N M ⊥ (A B C) \Rightarrow MS = MC = MA = MB

⇒M là tâm của (S) có bán kính $M C = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

\Rightarrow V_{_{(S)}} = \frac{4}{3} π {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{3} = \frac{\sqrt{2} π a^{3}}{3}

Diện tích của $(S) : S = 4 π r^{2} = 4 π {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2} = 2 π a^{2} .$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 6:

Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón theo a.

A. $\frac{2 a}{\sqrt{3}}$

B. $\frac{a}{3 \sqrt{3}}$

C. $\frac{2 a}{3 \sqrt{3}}$

D. $\frac{a}{\sqrt{3}}$

Xem đáp án

Ta có đường cao hình nón $h = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow R = \frac{2}{3} h = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 7:

Một cái cột có hình dạng như hình bên (gồm một khối nón và một khối trụ ghép lại). Chiều cao đo được ghi trên hình, chu vi đáy là $20 \sqrt{3} π$ cm. Thể tích của cột bằng:

Media VietJack

A. $13 000 π (c m^{3})$

B. $5000 π (c m^{3})$

C. $15 000 π (c m^{3})$

D. $52000 π (c m^{3})$

Xem đáp án

Gọi rr là bán kính đường tròn đáy của hình trụ và hình nón.

Theo bài ra ta có: Chu vi đáy là $C = 2 π r = 20 \sqrt{3} π \Rightarrow r = 10 \sqrt{3} (c m)$

Thể tích khối nón là $V_{1} = \frac{1}{3} π r^{2} . h_{1} = \frac{1}{3} π . {(10 \sqrt{3})}^{2} .10 = 1000 π (c m^{3})$

Thể tích khối trụ là $V_{2} = π r^{2} . h_{2} = π . {(10 \sqrt{3})}^{2} .40 = 12000 π (c m^{3})$

Thể tích của cột là $V = V_{1} + V_{2} = 13000 π (c m^{3})$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 8:

Ca (Canxi) có cấu trúc lập phương tâm diện, mỗi nguyên tử Ca có dạng hình cầu bán kính R. Một ô cơ sở của mạng tinh thể Ca là một hình lập phương có cạnh bằng a, mỗi mặt của hình lập phương chứa $\frac{1}{2}$ nguyên tử Ca và mỗi góc chứa $\frac{1}{8}$ nguyên tử Ca khác (Hình a, b)

Media VietJack

A.68%

B.74%

C.72%

D.54%

Xem đáp án

Bước 1: Tính số nguyên tử Ca có trong một ô cơ sở

Số nguyên tử Ca trong một ô cơ sở gồm: 6 mặt mỗi mặt có $\frac{1}{2}$ khối cầu+8 góc $\frac{1}{8}$ khối cầu. Như thế số nguyên tử Ca là: $6. \frac{1}{2} + 8. \frac{1}{8} = 4$ nguyên tử.

Bước 2: Tính thể tích chiếm chỗ của Ca trong một ô cơ sở và thể tích của ô cơ sở.

Thể tích của 4 nguyên tử Ca là: $V_{C a} = 4. \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{16}{3} π R^{3}$

Thể tích của một khối lập phương là $V_{l p} = a^{3}$

Bước 3: Tính R theo a và độ đặc khít

Theo hình vẽ ta thấy cạnh huyền: 4R, các cạnh góc vuông đều bằng a.

Theo định lý Pitago ta có:

{(4 R)}^{2} = a^{2} + a^{2}

\begin{array}{l} \Leftrightarrow 16 R^{2} = 2 a^{2} \Leftrightarrow a^{2} = 8 R^{2} \\ \Leftrightarrow a = 2 R \sqrt{2} \Rightarrow \frac{R}{a} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \end{array}

\Rightarrow \frac{V_{C a}}{V_{l p}} = \frac{\frac{16}{3} π . R^{3}}{a^{3}} = \frac{16}{3} π . {(\frac{R}{a})}^{3} = \frac{16 π}{3} . {(\frac{1}{2 \sqrt{2}})}^{3} \approx 0, 74 = 74 %

Đáp án cần chọn là: B

Câu 9:

Cho khối trụ có hai đáy là hình tròn (O;R) và (O′;R), $O O' = 4 R$ . Trên đường tròn tâm O lấy (O) lấy hai điểm A,B sao cho $A B = R \sqrt{3}$ . Mặt phẳng (P) đi qua A,B cắt OO′ và tạo với đáy một góc bằng 60⁰. (P) cắt khối trụ theo thiết diện là một phần của elip. Diện tích thiết diện đó bằng:

A. $(\frac{4 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}) R^{2}$

B. $(\frac{2 π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}) R^{2}$

C. $(\frac{4 π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}) R^{2}$

D. $(\frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}) R^{2}$

Xem đáp án

Gọi M là trung điểm của AB ta có:

$O M = \sqrt{O A^{2} - {(\frac{A B}{2})}^{2}} = \sqrt{R^{2} - \frac{3 R^{2}}{4}} = \frac{R}{2}$

Giả sử mặt phẳng (P) cắt trục OO’ tại I. Ta có : IA = IB nên $Δ I A B$ cân tại I, do đó $M I ⊥ A B$

Do đó góc giữa (P) và mặt đáy bằng $\hat{I M O} = 60^{0}$

Xét tam giác vuông IMO có : $O I = O M . \tan 60 = \frac{R \sqrt{3}}{2} < \frac{O O^{'}}{2} = 2 R$

⇒I nằm giữa O và O’. Do đó (P) không cắt đáy còn lại.Vậy hình chiếu của (P) trên (O;R′) là phần diện tích của hình quạt cung lớn AB và $Δ O A B$ (phần gạch chéo).

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác OAB có :

$\cos \hat{A O B} = \frac{O A^{2} + O B^{2} - A B^{2}}{2. O A . O B} = \frac{R^{2} + R^{2} - 3 R^{2}}{2 R^{2}} = - \frac{1}{2} \Rightarrow \hat{A O B} = 120^{0}$

$\Rightarrow S_{Δ O A B} = \frac{1}{2} O A . O B . \sin 120 = \frac{1}{2} R^{2} \frac{\sqrt{3}}{2} = R^{2} \frac{\sqrt{3}}{4}$

Gọi $S_{\overset{⏜}{O A B}}$ là diện tích hình quạt $\Rightarrow S_{\overset{⏜}{O A B}} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2 π} . π R^{2} = \frac{2}{3} π R^{2}$

\Rightarrow S_{h c} = S_{\overset{⏜}{O A B}} + S_{Δ O A B} = \frac{2}{3} π R^{2} + R^{2} \frac{\sqrt{3}}{4}

Vậy diện tích phần thiết diện cần tìm là :

S_{h c} = S . \cos 60 \Rightarrow S = \frac{S_{h c}}{\cos 60} = 2 (\frac{2}{3} π R^{2} + R^{2} \frac{\sqrt{3}}{4}) = (\frac{4}{3} π R^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} R^{2}) = (\frac{4}{3} π + \frac{\sqrt{3}}{2}) R^{2}

Đáp án cần chọn là: C