22 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Các dạng toán về viết phương trình mặt phẳng

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng qua điểm M(2,−3,4) và nhận $\vec{n} = (- 2,4,1)$ làm vectơ pháp tuyến.

A. $2 x - 3 y + 4 z + 12 = 0$

B. $2 x - 4 y - z - 12 = 0$

C. $2 x - 4 y - z + 10 = 0$

D.

- 2 x + 4 y + z + 11 = 0

Xem đáp án

Phương trình mặt phẳng qua điểm M(2,−3,4) và nhận $\vec{n} = (- 2,4,1)$ làm vectơ pháp tuyến là:

$- 2 (x - 2) + 4 (y + 3) + (z - 4) = 0 \Leftrightarrow - 2 x + 4 y + z + 12 = 0 \Leftrightarrow 2 x - 4 y - z - 12 = 0$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 2:

Trong không gian với hệ trục Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm A(1,3,−2) và song song với mặt phẳng $(P) : 2 x - y + 3 z + 4 = 0$ là:

A. $2 x - y + 3 z + 7 = 0$

B. $2 x + y - 3 z + 7 = 0$

C. $x - 3 y + 2 z + 7 = 0$

D.

2 x - y + 3 z - 7 = 0

Xem đáp án

Ta có: $(P) : 2 x - y + 3 z + 4 = 0 \Rightarrow \vec{n_{P}} = (2; - 1; 3)$

Mặt phẳng (Q) đi qua A(1,3,−2) và nhận $\vec{n_{P}} = (2; - 1; 3)$ làm VTPT nên $(Q) : 2 (x - 1) - 1 (y - 3) + 3 (z + 2) = 0 \Leftrightarrow 2 x - y + 3 z + 7 = 0$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4,−1,2),B(2,−3,−2) . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

A. $x + y + 2 z - 1 = 0$

B. $2 x + y + z - 1 = 0$

C. $x + y + 2 z = 0$

D.

x + y + 2 z + 1 = 0

Xem đáp án

Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và nhận $\vec{A B}$ làm vectơ pháp tuyến.

Có I(3,−2,0) và $\vec{A B} = (- 2, - 2, - 4)$ .Chọn $\vec{n} = (1,1,2)$ là vectơ pháp tuyến ta có phương trình

$(x - 3) + (y + 2) + 2 z = 0 \Leftrightarrow x + y + 2 z - 1 = 0$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1,−3,2),B(1,0,1),C(2,3,0). Viết phương trình mặt phẳng (ABC) .

A. $- x - 3 y = 0$

B. $3 x + y + 3 z - 6 = 0$

C. $15 x - y - 3 z - 12 = 0$

D.

y + 3 z - 3 = 0

Xem đáp án

Phương trình mặt phẳng (ABC) qua B(1,0,1) và nhận $\vec{n} = [\vec{A B}, \vec{A C}]$ là vectơ pháp tuyến.

Ta có $\vec{A B} = (0,3, - 1)$ và $\vec{A C} = (1,6, - 2)$ .Suy ra $\vec{n} = [\vec{A B}, \vec{A C}] = (0, - 1, - 3)$

Quan sát đáp án bài cho, ta chọn ngay đáp án D.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 5:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1,0,0),B(0,1,0) và C(0,0,1). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A,B,C là:

A. $x + y + z = 0$

B. $2 x + y + z - 2 = 0$

C. $x + 2 y + z - 2 = 0$

D.

x + y + z - 1 = 0

Xem đáp án

Ta sử dụng phương trình đoạn chắn $\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 6:

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;0;−2) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q),(R) cho trước với $(Q) : x + 2 y - 3 z + 1 = 0$ và $(R) : 2 x - 3 y + z + 1 = 0$ .

A. $2 x + 4 y + z = 0$

B. $x + 2 y - z - 3 = 0$

C. $x + y + z + 1 = 0$

D.

x + y + z - 1 = 0

Xem đáp án

Có $\vec{n_{Q}} = (1,2, - 3)$ và $\vec{n_{R}} = (2, - 3,1)$ .Suy ra $\vec{n} = (- 7, - 7, - 7)$ .Chọn ${\vec{n}}^{'} = (1,1,1)$ làm vectơ pháp tuyến.

Ta có phương trình (P) là

$(x - 1) + (y - 0) + (z + 2) = 0 \Leftrightarrow x + y + z + 1 = 0$

Cách tính tích có hướng bằng CASIO fx 570 vn plus:

Bước 1: Nhập các vecto

MODE 8->1->1. Nhập vecto thứ nhất vào.

MODE 8->2->1. Nhập vecto thứ nhất vào.

Bước 2: Tính tích có hướng

Ấn AC để ra màn hình. Ấn (SHIFT 5 -> 3) và (SHIFT 5 ->4) và ấn “=”

Đáp án cần chọn là: C

Câu 7:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P) : x + 2 y + 2 z + 11 = 0$ và $(Q) : x + 2 y + 2 z + 2 = 0$ . Tính khoảng cách giữa (P) và (Q).

A.9

B.6

C.5

D. 3

Xem đáp án

Nhận xét (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song.

Chọn A(−11,0,0) thuộc (P) . Ta có

$d ((P), (Q)) = d (A, (Q)) = \frac{| - 11 + 2.0 + 2.0 + 2 |}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} = \frac{9}{3} = 3$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 8:

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P) : 3 x - m y - z + 7 = 0, (Q) : 6 x + 5 y - 2 z - 4 = 0$ . Hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau khi m bằng

A. $m = 4$

B. $m = - \frac{5}{2}$

C. $m = - 30$

D.

m = \frac{5}{2}

Xem đáp án

Yêu cầu bài toán tương đương với $\frac{3}{6} = \frac{- m}{5} = \frac{- 1}{- 2} \neq \frac{7}{- 4}$

$\Leftrightarrow \frac{- m}{5} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = - \frac{5}{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 9:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : a x + b y + c z - 27 = 0$ qua hai điểm A(3,2,1),B(−3,5,2) và vuông góc với mặt phẳng $(Q) : 3 x + y + z + 4 = 0$ . Tính tổng $S = a + b + c$ .

A.S=−2

B.S=2

C.S=−4

D.S=−12

Xem đáp án

A,B thuộc (P) nên ta có hệ phương trình $\{\begin{matrix} 3 a + 2 b + c - 27 = 0 \\ - 3 a + 5 b + 2 c - 27 = 0 \end{matrix}$

(P) vuông góc với (Q) nên ta có điều kiện $3 a + b + c = 0$ .

Giải hệ $\{\begin{matrix} 3 a + 2 b + c - 27 = 0 \\ - 3 a + 5 b + 2 c - 27 = 0 \\ 3 a + b + c = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a = 6 \\ b = 27 \\ c = - 45 \end{matrix}$

Suy ra $S = - 12$ .

Đáp án cần chọn là: D

Câu 10:

Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng $(P) : x + y + z - 1 = 0, (Q) : 2 x + m y + 2 z + 3 = 0$ và $(R) : - x + 2 y + n z = 0$ . Tính tổng m+2nm+2n, biết $(P) ⊥ (R)$ và $(P) / / (Q)$

A.−6

B.1

C.0

D.6

Xem đáp án

Bước 1: Tìm VTPT của (P), (Q), (R)

$+) (P) : x + y + z - 1 = 0$ có VTPT $\vec{a} = (1; 1; 1)$

+) $(Q) : 2 x + m y + 2 z + 3 = 0$ có VTPT $\vec{b} = (2; m; 2)$

+) $(R) : - x + 2 y + n z = 0$ có VTPT $\vec{c} = (- 1; 2; n)$

Bước 2: Tính m+2n

$(P) ⊥ (R) \Leftrightarrow \vec{d} \cdot \vec{c} = 0 \Leftrightarrow n = - 1$

$(P) / / (Q) \Leftrightarrow \frac{2}{1} = \frac{m}{1} = \frac{2}{1} \Leftrightarrow m = 2$

Vây $m + 2 n = 2 + 2 (- 1) = 0$

Câu 11:

Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng $(Q) : x + y - z - 2 = 0$ và cách (Q) một khoảng là $2 \sqrt{3}$ .

A.x+y−z+4=0 hoặc x+y−z−8=0 .

B.x+y−z−4=0 hoặc x+y−z+8=0 .

C.x+y−z+4=0 hoặc x+y−z+8=0 .

D.x+y−z−4=0 hoặc x+y−z−8=0 .

Xem đáp án

Vì (P) song song với (Q) nên $(P) : x + y - z + c = 0$ với $c \neq - 2$

Chọn A(2,0,0) thuộc (Q)ta có

$d ((P), (Q)) = d (A, (P)) = \frac{| 2 + c |}{\sqrt{3}} = 2 \sqrt{3} \Leftrightarrow | 2 + c | = 6$

Suy ra c = 4 hoặc c = −8.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 12:

Trong hệ trục toạ độ không gian Oxyz, cho A(1,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c), biết b,c>0, phương trình mặt phẳng (P):y−z+1=0 . Tính $M = c + b$ biết $(A B C) ⊥ (P), d (O, (A B C)) = \frac{1}{3}$

A.2

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{5}{2}$

D. 1

Xem đáp án

Theo giả thiết $(A B C) ⊥ (P)$ nên ta có $0. b c + 1. c - 1. b = 0 \Leftrightarrow c - b = 0 \Leftrightarrow b = c$

Với giả thiết $d (O, (A B C)) = \frac{1}{3}$ ta có $\frac{| - b c |}{\sqrt{b^{2} c^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \frac{1}{3}$

Vì $b, c > 0$ nên có

$\sqrt{b^{2} c^{2} + b^{2} + c^{2}} = 3 b c \Leftrightarrow b^{2} c^{2} + b^{2} + c^{2} = 9 b^{2} c^{2} \Leftrightarrow b^{2} + c^{2} = 8 b^{2} c^{2}$

Thay $b = c > 0$ vào ta được $2 b^{2} = 8 b^{4} \Leftrightarrow b^{2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow b = \frac{1}{2}$ , suy ra $c = \frac{1}{2}$

Vậy $M = b + c = 1$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 13:

Cho mặt phẳng (P) có phương trình x+3y−2z+1=0 và mặt phẳng (Q) có phương trình $x + y + 2 z - 1 = 0$ . Trong các mặt phẳng tọa độ và mặt phẳng (Q) , xác định mặt phẳng tạo với (P) góc có số đo lớn nhất.

A.Mặt phẳng (Oxy)

B.Mặt phẳng (Oyz)

C.Mặt phẳng (Oxz)

D.Mặt phẳng (Q)

Xem đáp án

(P) có $\vec{n_{P}} = (1,3, - 2), (Q)$ có $\vec{n_{Q}} = (1,1,2)$ , mặt phẳng (Oxy) có $\vec{n_{1}} = (0,0,1)$

mặt phẳng (Oxz) có $\vec{n_{2}} = (0,1,0)$ , mặt phẳng (Oyz) có $\vec{n_{3}} = (1,0,0)$

Có $\cos ((P), (Q)) = |\cos (\vec{n_{P}}, \vec{n_{Q}})| = \frac{|\vec{n_{P}} . \vec{n_{Q}}|}{| \vec{n_{P}} | . | \vec{n_{Q}} |} = 0$ (1)

Có $\cos ((P), (O x y)) = |\cos (\vec{n_{P}}, \vec{n_{1}})| = \frac{|\vec{n_{P}} . \vec{n_{3}}|}{| \vec{n_{P}} | . | \vec{n_{1}} |} = \frac{2}{\sqrt{14}}$ (2)

Có $\cos ((P), (O x y)) = |\cos (\vec{n_{P}}, \vec{n_{1}})| = \frac{|\vec{n_{P}} . \vec{n_{3}}|}{| \vec{n_{P}} | . | \vec{n_{1}} |} = \frac{2}{\sqrt{14}}$ (3)

Có $\cos ((P), (O y z)) = |\cos (\vec{n_{P}}, \vec{n_{3}})| = \frac{|\vec{n_{P}} . \vec{n_{3}}|}{| \vec{n_{P}} | . | \vec{n_{3}} |} = \frac{1}{\sqrt{14}}$ (4)

Trong $[0; 90^{0}]$ góc có cô sin càng nhỏ thì càng lớn.

Do đó góc giữa (P) và (Q) lớn nhất.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 14:

Cho điểm A(1,2,−1) và điểm B(2,−1,3). Kí hiệu (S) là quỹ tích các điểm M(x,y,z) sao cho $M A^{2} - M B^{2} = 2$ . Tìm khẳng định đúng.

A.(S) là mặt phẳng có phương trình $x - 3 y + 4 z - 5 = 0$ .

B.(S) là mặt phẳng có phương trình $x - 3 y + 4 z - 2 = 0$ .

C.(S) là mặt phẳng có phương trình $x - 3 y + 4 z + 4 = 0$ .

D.(S) là mặt phẳng có phương trình $x - 3 y + 4 z - 3 = 0$ .

Xem đáp án

Ta có $\vec{M A} = (1 - x,2 - y, - 1 - z)$ và $\vec{M B} = (2 - x, - 1 - y,3 - z)$

Theo giả thiết $M A^{2} - M B^{2} = 2 \Leftrightarrow M A^{2} = 2 + M B^{2}$ nên ta có

${(1 - x)}^{2} + {(2 - y)}^{2} + {(- 1 - z)}^{2} = 2 + {(2 - x)}^{2} + {(- 1 - y)}^{2} + {(3 - z)}^{2}$

$\Leftrightarrow - 2 x - 4 y + 2 z + 6 = - 4 x + 2 y - 6 z + 16$

$\Leftrightarrow 2 x - 6 y + 8 z - 10 = 0$

$\Leftrightarrow x - 3 y + 4 z - 5 = 0$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 15:

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(3;4;1) và giao tuyến của hai mặt phẳng $(Q) : 19 x - 6 y - 4 z + 27 = 0 v à (R) : 42 x - 8 y + 3 z + 11 = 0$ là:

A. $3 x + 2 y + 6 z - 23 = 0$

B. $3 x - 2 y + 6 z - 23 = 0$

C. $3 x + 2 y + 6 z + 23 = 0$

D.

3 x + 2 y + 6 z - 12 = 0

Xem đáp án

Mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của (Q),(R) nên có phương trình dạng

$m (19 x - 6 y - 4 z + 27) + n (42 x - 8 y + 3 z + 11) = 0$ với $m^{2} + n^{2} > 0.$

Do (P) đi qua M(3;4;1) nên $56 m + 108 n = 0 \Rightarrow \frac{m}{n} = - \frac{27}{14} .$

Chọn $m = 27, n = - 14$ thì:

$\begin{array}{l} (P) : 27. (19 x - 6 y - 4 z + 27) - 14. (42 x - 8 y + 3 z + 11) = 0 \\ \Leftrightarrow - 75 x - 50 y - 150 z + 575 = 0 \\ \Leftrightarrow 3 x + 2 y + 6 z - 23 = 0 \end{array}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 16:

Cho hai điểm M(1;−2;−4),M′(5;−4;2). Biết M′ là hình chiếu của M lên mặt phẳng (P). Khi đó, phương trình (P) là:

A. $2 x - y + 3 z + 20 = 0$

B. $2 x - y + 3 z + 12 = 0$

C. $2 x - y + 3 z - 20 = 0$

D.

2 y + y - 3 z + 20 = 0

Xem đáp án

Ta có: $\vec{M M^{'}} = (4; - 2; 6) \Rightarrow \vec{n} = \frac{1}{2} \vec{M M^{'}} = (2; - 1; 3)$

Mặt phẳng (P) đi qua M′ và nhận $\vec{n} = (2; - 1; 3)$ làm VTPT nên có phương trình:

$2 (x - 5) - 1 (y + 4) + 3 (z - 2) = 0 \Leftrightarrow 2 x - y + 3 z - 20 = 0$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 17:

Cho mặt phẳng $(α)$ đi qua hai điểm M(4;0;0) và N(0;0;3) sao cho mặt phẳng $(α)$ tạo với mặt phẳng (Oyz) một góc bằng 60⁰. Tính khoảng cách từ điểm gốc tọa độ đến mặt phẳng $(α)$

A.1

B. $\frac{3}{2}$

C. $\frac{2}{\sqrt{3}}$

D. 2

Xem đáp án

Gọi $\vec{n_{(α)}} = (a; b; c)$ là 1 VTPT của $(α)$

Ta có $\vec{n_{(O y z)}} = (1; 0; 0)$ nên góc giữa $(α)$ và (Oyz) bằng 60⁰

^{$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos 60^{0} = \frac{|\vec{n_{(α)}} . \vec{n_{(O y z)}}|}{|\vec{n_{(α)}}| . |\vec{n_{(O y z)}}|} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{|a .1 + b .0 + c .0|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} . \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 0^{2}}} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{|a|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} \end{array}$}

$(α)$ đi qua M(4;0;0) và nhận $\vec{n_{(α)}} = (a; b; c)$ làm VTPT nên $(α)$ có phương trình tổng quát là:

$a (x - 4) + b (y - 0) + c (z - 0) = 0 \Leftrightarrow a x + b y + c z - 4 a = 0$

Suy ra khoảng cách từ O đến $(α)$ là:

$d (O, (α)) = \frac{|a .0 + b .0 + c .0 - 4 a|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \frac{|4 a|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = 4. \frac{|a|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = 4. \frac{1}{2} = 2$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 18:

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Côsin góc giữa hai mặt phẳng $(A' B C)$ và $(A B C')$ bằng:

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

C. 0

D.

\frac{1}{2}

Xem đáp án

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, coi hình lập phương có cạnh bằng 1 ta có:

$A (0; 0; 0), B (1; 0; 0), C (1; 1; 0), A^{'} (0; 0; 1), C^{'} (1; 1; 1)$

Ta có: $\vec{A^{'} B} = (1; 0; - 1), \vec{B C} = (0; 1; 0) \Rightarrow [\vec{A^{'} B}; \vec{B C}] = (1; 0; 1) \Rightarrow (A^{'} B C)$ có 1 VTPT là $\vec{n_{1}} = (1; 0; 1)$

$\vec{A B} = (1; 0; 0), \vec{A C^{'}} = (1; 1; 1) \Rightarrow [\vec{A B}; \vec{A C^{'}}] = (0; - 1; 1) \Rightarrow (A B C^{'})$ có 1 VTPT là $\vec{n_{2}} = (0; - 1; 1)$

Gọi $α$ là góc giữa hai mặt phẳng (A′BC) và (ABC′) ta có:

$\cos α = \frac{|\vec{n_{1}} . \vec{n_{2}}|}{|\vec{n_{1}}| . |\vec{n_{2}}|} = \frac{|1.0 + 0. (- 1) + 1.1|}{\sqrt{1^{2} + 0^{2} + 1^{2}} . \sqrt{0^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{2}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 19:

Trong không gian Oxyz, hai mặt phẳng $4 x - 4 y + 2 z - 7 = 0$ và $2 x - 2 y + z + 4 = 0$ chứa hai mặt của hình lập phương. Thể tích khối lập phương đó là:

A. $V = \frac{125}{8}$

B. $V = \frac{81 \sqrt{3}}{8}$

C. $V = \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

D.

V = \frac{27}{8}

Xem đáp án

Ta có: $(P) : 4 x - 4 y + 2 z - 7 = 0$ có VTPT là: $\vec{n_{P}} = (4; - 4; 2) = 2 (2; - 2; 1)$

$(Q) : 2 x - 2 y + z + 4 = 0$ có VTPT là: $\vec{n_{Q}} = (2; - 2; 1)$

$\Rightarrow \vec{n_{P}} / / \vec{n_{Q}} \Rightarrow (P) / / (Q)$

Lấy điểm $A (0; 2; 0) \in (Q)$

$\Rightarrow d ((P); (Q)) = d (A; (P)) = \frac{|4.0 - 4.2 + 2.0 - 7|}{\sqrt{4^{2} + {(- 4)}^{2} + 2^{2}}} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}$

Mà hai mặt phẳng (P),(Q) chứa hai mặt của hình lập phương đã cho

⇒ Độ dài cạnh của hình lập phương là $d ((P); (Q)) = \frac{5}{2} .$

$\Rightarrow V = {(\frac{5}{2})}^{3} = \frac{125}{8} .$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 20:

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình $x + 2 y - 2 z + 1 = 0$ và $x - 2 y + 2 z - 1 = 0$ . Gọi (S) là quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q). Tìm khẳng định đúng.

A.(S) là mặt phẳng có phương trình $x = 0$ .

B.(S) là mặt phẳng có phương trình $2 y - 2 z + 1 = 0$ .

C.(S) là đường thẳng xác định bởi giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình x=0 và $2 y - 2 z + 1 = 0$ .

D.(S) là hai mặt phẳng có phương trình x=0 và

2 y - 2 z + 1 = 0

Xem đáp án

Giả sử M(x,y,z) là điểm cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q). Ta có

$\frac{| x + 2 y - 2 z + 1 |}{3} = \frac{| x - 2 y + 2 z - 1 |}{3}$

$\Leftrightarrow | x + 2 y - 2 z + 1 | = | x - 2 y + 2 z - 1 |$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x + 2 y - 2 z + 1 = x - 2 y + 2 z - 1 \\ x + 2 y - 2 z + 1 = - (x - 2 y + 2 z - 1) \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow [\begin{matrix} 4 y - 4 z + 2 = 0 \\ 2 x = 0 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix} 2 y - 2 z + 1 = 0 \\ x = 0 \end{matrix} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 21:

Với mỗi giá trị của tham số m, xét mặt phẳng (Pm) xác định bởi phương trình $m x + m (m + 1) y + {(m - 1)}^{2} z - 1 = 0$ . Tìm tọa độ của điểm thuộc mọi mặt phẳng (Pm).

A.(1,−2,1)

B.(0,1,1)

C.(3,−1,1)

D.Không có điểm như vậy.

Xem đáp án

Giả sử $M (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ là điểm thuộc $(P_{m})$ ta có

$m x_{0} + m (m + 1) y_{0} + {(m - 1)}^{2} z_{0} - 1 = 0, \forall m$

$\Leftrightarrow m x_{0} + m 2 y_{0} + m y_{0} + m^{2} z_{0} - 2 m z_{0} + z_{0} - 1 = 0, \forall m$

$\Leftrightarrow (y_{0} + z_{0}) m^{2} + (x_{0} + y_{0} - 2 z_{0}) m + z_{0} - 1 = 0, \forall m$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} y_{0} + z_{0} = 0 \\ x_{0} + y_{0} - 2 z_{0}^{} = 0 \\ z_{0} - 1 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} z_{0} = 1 \\ y_{0} = - 1 \\ x_{0} = 3 \end{matrix} \Leftrightarrow M (3, - 1,1)$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 22:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;1;2). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục $x' O x, y' O y, z' O z$ lần lượt tại các điểm A,B,C sao cho $O A = O B = O C \neq 0$ ?

A.3.

B.1.

C.4.

D.8.

Xem đáp án

Gọi $A (a; 0; 0); B (0; b; 0); C (0; 0; c)$ là giao điểm của mặt phẳng (P) với các trục tọa độ, khi đó phương trình mặt phẳng (P) là : $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

$M \in (P) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{2}{c} = 1 (1) .$

Lại có $O A = O B = O C \Leftrightarrow |a| = |b| = |c|$

Suy ra $[\begin{matrix} a = b = c \\ a = - b = c \end{matrix}$ và $[\begin{matrix} a = b = - c \\ a = - b = - c \end{matrix}$ mà $a = b = - c$ không thỏa mãn điều kiện (1).

Vậy có 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A