22 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Cấp số cộng có đáp án (phần 2)

Câu 1:

Dãy số (u_n) có phải là cấp số cộng không ? Nếu phải hãy xác định số công sai d, biết rẳng $u_{n} = 2 n + 3$

A. $d = - 2$

B. $d = 3$

C. $d = 5$

D. $d = 2$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có:

$\begin{array}{l} u_{n + 1} - u_{n} \\ = 2 (n + 1) + 3 - (2 n + 3) \\ = 2 \end{array}$

là hằng số

Suy ra dãy (u_n) là cấp số cộng với công sai d= 2.

Câu 2:

Dãy số (u_n) có phải là cấp số cộng không ? Nếu phải hãy xác định số công sai d, biết rẳng $u_{n} = - 3 n + 1$

A. $d = - 2$

B. $d = 3$

C. $d = - 3$

D. $d = 1$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có:

$\begin{array}{l} u_{n + 1} - u_{n} \\ = - 3 (n + 1) + 1 - (- 3 n + 1) \\ = - 3 \end{array}$

là hằng số

Suy ra dãy (u_n) là cấp số cộng với công sai d= -3.

Câu 3:

Dãy số (u_n) có phải là cấp số cộng không ? Nếu phải hãy xác định số công sai d, biết rẳng $u_{n} = n^{2} + 1$

A.Không phải cấp số cộng

B. $d = 3$

C. $d = - 3$

D. $d = 1$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

$\begin{array}{l} u_{n + 1} - u_{n} \\ = {(n + 1)}^{2} + 1 - (n^{2} + 1) \\ = 2 n + 1 \end{array}$

phụ thuộc vào n.

Suy ra dãy (u_n) không phải là cấp số cộng.

Câu 4:

Dãy số (u_n) có phải là cấp số cộng không ? Nếu phải hãy xác định số công sai d, biết rẳng $u_{n} = \frac{2}{n}$

A.Không phải cấp số cộng

B. $d = \frac{1}{2}$

C. $d = - 3$

D. $d = 1$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

$\begin{array}{l} u_{n + 1} - u_{n} = \frac{2}{n + 1} - \frac{2}{n} \\ = \frac{2 n - 2 (n + 1)}{n (n + 1)} \\ = \frac{- 2}{n (n + 1)} \end{array}$

phụ thuộc vào n

Vậy dãy (u_n) không phải là cấp số cộng.

Câu 5:

Cho cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu bằng 3, số hạng cuối bằng 24. Tính tổng các số hạng này

A. 105

B. 27

C. 108

D. 111

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $u_{1} = 3; u_{8} = 24; n = 8$

$S = \frac{(3 + 24) .8}{2} = 108$

Câu 6:

Cho một cấp số cộng có $u_{1} = - 3; u_{6} = 27$ . Tìm d ?

A. d= 5

B. d= 7

C. d =6

D. d= 8

Xem đáp án

Chọn C

$\begin{array}{l} u_{6} = 27 \\ \Leftrightarrow u_{1} + 5 d = 27 \\ \Leftrightarrow - 3 + 5 d = 27 \\ \Leftrightarrow 5 d = 30 \\ \Leftrightarrow d = 6 \end{array}$

Câu 7:

Cho 4 số lập thành cấp số cộng. Tổng của chúng bằng 22. Tổng các bình phương của chúng bằng 166. Tổng các lập phương của chúng bằng :

A. 22

B. 166

C. 1752

D. 1408

Xem đáp án

Đáp án là D

Gọi 4 số lập thành cấp số cộng là u₁,u₂,u₃,u₄ và công sai là d

Ta có: u₂ = u₁ + d; u₃= u₁ + 2d; u₄ = u₁ + 3d

Theo giả thiết ta có:
$\begin{array}{l} \{\begin{matrix} u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4} = 22 \\ u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2} + u_{4}^{2} = 166 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow \{\begin{matrix} u_{1} + u_{1} + d + u_{1} + 2 d + u_{1} + 3 d = 22 \\ u_{1}^{2} + {( u_{1} + d)}^{2} + {( u_{1} + 2 d)}^{2} + {(u_{1} + 3 d)}^{2} = 166 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 4 u_{1} + 6 d = 22 \\ 4 u_{1}^{2} + 12 u_{1} d + 14 d^{2} = 166 \end{matrix} \\ \Rightarrow \{\begin{matrix} 2 u_{1} + 3 d = 11 (1) \\ 2 u_{1}^{2} + 6 u_{1} d + 7 d^{2} = 83 (2) \end{matrix} \end{array}$

Từ (1) suy ra: $u_{1} = \frac{11 - 3 d}{2}$ thế vào (2) ta được:

$\begin{array}{l} 2. {(\frac{11 - 3 d}{2})}^{2} + 6. \frac{11 - 3 d}{2} . d + 7 d^{2} = 83 \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix} d = 3 \Rightarrow u_{1} = 1 \\ d = - 3 \Rightarrow u_{1} = 10 \end{matrix} \end{array}$

Vậy 4 số đó là 1,4,7,10 hoặc 10,7,4,1

Tổng các lập phương của chúng:

$1^{3} + 4^{3} + 7^{3} + 10^{3} = 1408$

Câu 8:

Cho cấp số cộng (u_n) có: $u_{1} = - 0,1; d = 0,1$ . Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là:

A. 1,6

B. 6

C. 0,5

D. 0,6

Xem đáp án

Chọn C

Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) là:

$\begin{array}{l} u_{n} = u_{1} + (n - 1) .0,1 \\ \Rightarrow u_{7} = - 0,1 + (7 - 1) .0,1 = 0,5 \end{array}$

Câu 9:

Cho cấp số cộng (u_n) thỏa $\{\begin{matrix} u_{2} - u_{3} + u_{5} = 10 \\ u_{4} + u_{6} = 26 \end{matrix}$

Xác định công thức tổng quát của cấp số

A. $u_{n} = 3 n - 2$

B. $u_{n} = 3 n - 4$

C. $u_{n} = 3 n - 3$

D. $u_{n} = 3 n - 1$

Xem đáp án

Chọn A

Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có:

$\{\begin{matrix} u_{2} - u_{3} + u_{5} = 10 \\ u_{4} + u_{6} = 26 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{cases} (u_{1} + d) - (u_{1} + 2 d) + (u_{1} + 4 d) = 10 \\ (u_{1} + 3 d) + (u_{1} + 5 d) = 26 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} + 3 d = 10 \\ 2 u_{1} + 8 d = 26 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} = 1 \\ d = 3 \end{cases}$

Ta có công sai d= 3 và số hạng tổng quát : $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d = 3 n - 2$

Câu 10:

Cho hai cấp số cộng (u_n): 4,7,10,13,16,...và (v_n):1,6,11,16,21,...Hỏi trong 100 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số cộng , có bao nhiêu số hạng chung?

A.10

B. 20

C. 30

D. 40

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Ta có: u_n = 4+ (n - 1).3 = 3n + 1, (1 $\leq n \leq 100$ )

v_k = 1+ (k - 1).5 = 5k - 4, (1 $\leq k \leq 100$ )

Để một số là số hạng chung của hai cấp số cộng ta phải có:

3n +1 = 5k - 4 ⇔3n = 5(k-1)⇒ n $⋮$ 5 tức là n = 5t.

Khi đó; 3.5t = 5(k - 1) hay 3t = k - 1 nên k =1 + 3t, t $\in Z$

Vì 1 $\leq n \leq 100$ nên $1 \leq t \leq 20$ . Mà $t \in Z \Rightarrow t \in \{1; 2; 3; . . .; 19; 20\}$

Ứng với 20 giá trị của t cho 20 giá trị của n và 20 giá trị của k.

Vậy có 20 số hạng chung của hai dãy

Câu 11:

Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn $\{\begin{cases} u_{5} + 3 u_{3} - u_{2} = - 21 \\ 3 u_{7} - 2 u_{4} = - 34 \end{cases}$

Tính số hạng thứ 100 của cấp số

A. - 243

B. - 295

C. - 231

D. - 294

Xem đáp án

Chọn B

Từ giả thiết bài toán, ta có:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} u_{1} + 4 d + 3 (u_{1} + 2 d) - (u_{1} + d) = - 21 \\ 3 (u_{1} + 6 d) - 2 (u_{1} + 3 d) = - 34 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 3 u_{1} + 9 d = - 21 \\ u_{1} + 12 d = - 34 \end{matrix} \end{array}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} + 3 d = - 7 \\ u_{1} + 12 d = - 34 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} = 2 \\ d = - 3 \end{cases}$

Số hạng thứ 100 của cấp số

$u_{100} = u_{1} + 99 d = 2 + 99. (- 3) = - 295$

Câu 12:

Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn $\{\begin{cases} u_{5} + 3 u_{3} - u_{2} = - 21 \\ 3 u_{7} - 2 u_{4} = - 34 \end{cases}$

Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số

A. - 244

B. - 274

C. - 253

D. - 285

Xem đáp án

Chọn D

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} u_{1} + 4 d + 3 (u_{1} + 2 d) - u_{1} - d = - 21 \\ 3 (u_{1} + 6 d) - 2 (u_{1} + 3 d) = - 34 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 u_{1} + 9 d = - 21 \\ u_{1} + 12 d = - 34 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} = 2 \\ d = - 3 \end{cases} \end{array}$

Tổng của 15 số hạng đầu:

$S_{15} = \frac{(2.2 + 14. (- 3)) .15}{2} = - 285$

Câu 13:

Ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng có tổng bằng -9 và tổng các bình phương của chúng bằng 29. Tìm số hạng đầu tiên

A. -3 hoặc – 6

B. – 4 hoặc -2

C. -1 hoặc -5

D. -4 hoặc - 7

Xem đáp án

Chọn B

Gọi ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng là a - 2x; a ; a+2x với công sai d=2x.

Theo giả thiết ta có:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} a - 2 x + a + a + 2 x = - 9 \\ {(a - 2 x)}^{2} + a^{2} + {(a + 2 x)}^{2} = 29 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 3 a = - 9 \\ 3 a^{2} + 8 x^{2} = 29 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 3 \\ 8 x^{2} = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 3 \\ x = \pm \frac{1}{2} \end{cases} \end{array}$

với

$x = \frac{1}{2} \Rightarrow u_{1} = a - 2 x = - 3 - 2. \frac{1}{2} = - 4$

với

$x = - \frac{1}{2} \Rightarrow u_{1} = a - 2 x = - 3 - 2. \frac{- 1}{2} = - 2$

Vậy số hạng đầu tiên là -4 hoặc -2

Câu 14:

Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có góc nhỏ nhất bằng 25^o. Tìm 2 góc còn lại?

A. 65^o ; 90^o

B. 75^o ; 80^o

C. 60^o ; 95^o

D. 55^o; 100^o

Xem đáp án

Chọn C

Gọi số đo ba góc ba góc lập thành cấp số cộng là 25; 25+ d ; 25 +2d có công sai d.

Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180⁰ nên :

$\begin{array}{l} u_{1} + u_{2} + u_{3} = 180 \\ \Leftrightarrow 25 + 25 + d + 25 + 2 d = 180 \\ \Leftrightarrow 3 d = 105 \\ \Leftrightarrow d = 35 \end{array}$ .

Vâỵ

$\begin{array}{l} u_{2} = 25 + 35 = 60; \\ u_{3} = 25 + 2 . 35 = 95. \end{array}$

Câu 15:

Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. $a^{2} + c^{2} = 2 a b + 2 b c$

B. $a^{2} - c^{2} = 2 a b - 2 b c$

C. $a^{2} + c^{2} = 2 a b - 2 b c$

D. $a^{2} - c^{2} = a b - b c$

Xem đáp án

Chọn B

Để 3 số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:

$\begin{array}{l} b - a = c - b \\ \Leftrightarrow {(b - a)}^{2} = {(c - b)}^{2} \\ \Leftrightarrow b^{2} - 2 a b + a^{2} = c^{2} - 2 b c + b^{2} \\ \Leftrightarrow a^{2} - c^{2} = 2 a b - 2 b c \end{array}$ .

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 16:

Tìm x để 3 số : 1-x; x² ; x+1 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?

A. Không có giá trị nào của x

B. $x = \pm 2$ .

C. $x = \pm 1$

D.x=0

Xem đáp án

Đáp án C

Ba số: $1 - x; x^{2}; 1 + x$ lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi:

$x^{2} = \frac{1 - x + 1 + x}{2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 x^{2} = 2 \\ \Leftrightarrow x = \pm 1 \end{array}$

Câu 17:

Cho các dãy số (u_n) sau :

1. $u_{n} = 3 n + 1$

2. $u_{n} = 4 - 5 n$

3. $u_{n} = \frac{2 n + 3}{5}$

4. $u_{n} = \frac{n + 1}{n}$

Hỏi có bao nhiêu dãy số là cấp số cộng ?

A. 1

B. 2

C.3

D.4

Xem đáp án

Chọn C

1. $u_{n} = 3 n + 1$ 2. $u_{n} = 4 - 5 n$

3. $u_{n} = \frac{2 n + 3}{5}$ 4. $u_{n} = \frac{n + 1}{n}$

* Xét dãy số: $u_{n} = 3 n + 1$

Ta có:

$u_{n + 1} - u_{n} = 3 (n + 1) + 1 - 3 n - 1 = 3$

Dãy số này là cấp số cộng có công sai d= 3.

* Xét dãy số $u_{n} = 4 - 5 n$ .

Ta có:

$u_{n + 1} - u_{n} = 4 - 5 (n + 1) - (4 - 5 n) = - 5$

Dãy số này là cấp số cộng có công sai d = -5

* Xét dãy số $u_{n} = \frac{2 n + 3}{5}$

Ta có:

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{2 (n + 1) + 3}{5} - \frac{2 n + 3}{5} = \frac{2}{5}$ .

Dãy (u_n) là cấp số cộng có công sai $d = \frac{2}{5}$

* Xét dãy số $u_{n} = \frac{n + 1}{n}$

Ta có:

$\begin{array}{l} u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n + 1 + 1}{n + 1} - \frac{n + 1}{n} \\ = \frac{(n + 2) . n - {(n + 1)}^{2}}{n . (n + 1)} \\ = - \frac{1}{n (n + 1)} \\ \Rightarrow (u_{n}) \end{array}$

không là cấp số cộng

Câu 18:

Viết ba số xen giữa các số 2 và 22 để được cấp số cộng có 5 số hạng.

Tính tổng của ba số viết xen giữa đó ?

A. 36.

B. 30

C.39

D. 34

Xem đáp án

Chọn A

Theo giả thiết ta có: $\{\begin{cases} u_{1} = 2 \\ u_{5} = 22 \end{cases}$

Mà u₅ = u₁ + 4d nên 22 = 2 + 4d

$\Rightarrow 20 = 4 d \Leftrightarrow d = 5$

$\Rightarrow \{\begin{cases} u_{2} = 2 + 5 = 7 \\ u_{3} = 2 + 2.5 = 12 \\ u_{4} = 2 + 3.5 = 17 \end{cases}$

Vậy tổng ba số viết xen giữa là: 7 +12 +17 = 36

Câu 19:

Cho tứ giác ABCD biết 4 góc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và góc A nhỏ nhất bằng 30^o. Tìm công sai d ?

A. 40

B. 30

C. 35

D. 45

Xem đáp án

Chọn A

Gọi số đo các góc của tứ giác ABCD lần lượt là :

$\begin{array}{l} u_{1} = A = 30; \\ u_{2} = 30 + d; \\ u_{3} = 30 + 2 d; \\ u_{4} = 30 + 3 d \end{array}$

Tổng bốn góc của tứ giác bằng 360⁰ nên:

$\begin{array}{l} u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4} = 360 \\ \Leftrightarrow 30 + 30 + d + 30 + 2 d + 30 + 3 d = 360 \\ \Leftrightarrow 6 d = 240 \Leftrightarrow d = 40 \end{array}$ .

Vây công sai d = 40.

Câu 20:

Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn $\{\begin{matrix} u_{2} - u_{3} + u_{5} = 10 \\ u_{4} + u_{6} = 26 \end{matrix}$

Xác định công sai?

A. d=3

B. d=5

C. d=6

D. d=4

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $\{\begin{matrix} u_{2} - u_{3} + u_{5} = 10 \\ u_{4} + u_{6} = 26 \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} + d - (u_{1} + 2 d) + u_{1} + 4 d = 10 \\ u_{1} + 3 d + u_{1} + 5 d = 26 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} + 3 d = 10 \\ 2 u_{1} + 8 d = 26 \end{cases} \end{array}$

$\Leftrightarrow u_{1} = 1, d = 3$

Câu 21:

Cho dãy số (u_n) có d = –2; S₈ = 72. Tính u₁ ?

A. $u_{1} = - 8$

B. $u_{1} = 16$

C. $u_{1} = 4$

D. $u_{1} = 8$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $S_{8} = \frac{n}{2} . [2 u_{1} + (n - 1) d]$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 72 = \frac{8}{2} . [2. u_{1} + (8 - 1) . (- 2)] \\ \Leftrightarrow {72 = 4 . (2u}_{1} - 14) \\ \Leftrightarrow 18 = 2 u_{1} - 14 \\ \Leftrightarrow 2 u_{1} = 32 \\ \Leftrightarrow u_{1} = 16 \end{array}$

Câu 22:

Cho dãy số (u_n) có $u_{1} = - 1; d = 2; S_{n} = 483.$ Tính số các số hạng của cấp số cộng?

A. n =20

B. n = 21

C. n = 22

D. n = 23

Xem đáp án

Chọn D.

$S_{n} = \frac{n [2 u_{1} + (n - 1) d]}{2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2.483 = n . [2. (- 1) + (n - 1) .2] \\ \Leftrightarrow 966 = n ( 2 n - 4) \\ \Leftrightarrow 2 n^{2} - 4 n - 966 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} n = 23 \\ n = - 21 \end{array} \end{array}$