15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp có đáp án (Thông hiểu)

Câu 1:

Từ các số 0,1,2,7,8,9 tạo được bao nhiêu số lẻ có 5 chữ số khác nhau?

A. 288.

B. 360.

C. 312.

D. 600.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: A

Gọi $a b c d e$ là số cần tìm.

Chọn e có 3 cách.

Chọn a≠0và a≠e có 4 cách.

Chọn 3 trong 4 số còn lại sắp vào b,c,d có $A_{4}^{3}$ cách.

Vậy có 3.4. $A_{4}^{3}$ =288 số.

Câu 2:

Số cách chia 10 học sinh thành 3 nhóm lần lượt gồm 2, 3, 5 học sinh là:

A. $C_{10}^{2} + C_{10}^{3} + C_{10}^{5}$ .

B. $C_{10}^{2} . C_{8}^{3} . C_{5}^{5}$ .

C. $C_{10}^{2} + C_{8}^{3} + C_{5}^{5}$ .

D. $C_{10}^{5} + C_{5}^{3} + C_{2}^{2}$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: B

+ Nhóm 1 có 2 người: Chọn 2 trong 10 học sinh có: $C_{10}^{2}$ cách.

+ Nhóm 2 có 3 người: Chọn 3 trong 8 học sinh còn lại có: $C_{8}^{3}$ cách.

+ Nhóm 3 có 5 người: Chọn 5 trong 5 học sinh còn lại có $C_{5}^{5}$ cách.

Vậy có $C_{10}^{2} . C_{8}^{3} . C_{5}^{5}$ cách.

Câu 3:

Có bao nhiêu số tự nhiên có các chữ số đôi một khác nhau nhỏ hơn 1000 được lập từ năm chữ số 0,1,2,3,4?

A. 48.

B. 68.

C. 69.

D. 125.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C

Số nhỏ hơn 1000 là số có nhiều nhất 3 chữ số.

TH1: Ta đưa về bài toán: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ năm chữ số 0,1,2,3,4?

Gọi số cần tìm có dạng (a≠0,a≠b≠c)suy ra có 4 cách chọn a, có 4 cách chọn b, có 3 cách chọn c .

Vậy có 4.4.3=48số.

TH2: Số có hai chữ số khác nhau lập từ các số 0,1,2,3,4?

Có 4.4=16 số.

TH3: Số có 1 chữ số lập từ các số 0,1,2,3,4?

Có 5 số.

Vậy có có tất cả : 48+ 16+ 5 = 69 số.

Câu 4:

Từ các số 0,1,2,7,8,9 tạo được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau?

A. 120.

B. 216.

C. 312.

D. 360.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C

Gọi $a b c d e$ là số cần tìm.

*Trường hợp 1: Nếu e=0, chọn 4 trong 5 số còn lại sắp vào các vị trí a,b,c,d có =120 cách.

*Trường hợp 2: Nếu e≠0, chọn e có 2 cách.

Chọn a≠0 và a≠e có 4 cách.

Chọn 3 trong 4 số còn lại sắp vào các vị trí b,c,d có cách.

Như vậy có: $A_{5}^{4} + 2.4 . A_{4}^{3} = 312$ số.

Câu 5:

Một hội đồng gồm 5 nam và 4 nữ được tuyển vào một ban quản trị gồm 4 người. Biết rằng ban quản trị có ít nhất một nam và một nữ. Hỏi có bao nhiêu cách tuyển chọn?

A. 240.

B. 260.

C. 126.

D. Kết quả khác.

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Số cách chọn ban quản trị gồm 1 nam và 3 nữ là $C_{5}^{1} . C_{4}^{3}$ cách.

Số cách chọn ban quản trị gồm 2 nam và 2 nữ là $C_{5}^{2} . C_{4}^{2}$ cách.

Số cách chọn ban quản trị gồm 3 nam và 1 nữ là $C_{5}^{3} . C_{4}^{1}$ cách.

Vậy tổng số cách chọn cần tìm là $C_{5}^{1} . C_{4}^{3} + C_{5}^{2} . C_{4}^{2} + C_{5}^{3} . C_{4}^{1}$ =120 cách.

Câu 6:

Từ 12 người, người ta thành lập một ban kiểm tra gồm 2 người lãnh đạo và 3 ủy viên. Hỏi có bao nhiêu cách thành lập ban kiểm tra?

A. $C_{12}^{2} C_{10}^{3}$ .

B. $C_{10}^{2} C_{12}^{5}$ .

C. $C_{12}^{2} C_{12}^{5}$ .

D. Kết quả khác.

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Số cách chọn 2 lãnh đạo từ 12 người đã cho: $C_{12}^{2}$

Số cách chọn 3 ủy viên từ 10 người còn lại: $C_{10}^{3}$

Tổng số cách thành lập ban kiểm tra: $C_{12}^{2} C_{10}^{3}$ .

Câu 7:

Trong tủ sách có tất cả 10 cuốn sách được đánh số tử 1 đến 10. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho quyển thứ nhất ở kề quyển thứ hai:

A. 10!.

B. 725760.

C. 9!.

D. 9!-2!.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: B

Gom 2 quyển sách thứ nhất và thứ hai thành 1 quyển nên coi như lúc này chỉ có 9 quyển sách.

Hoán vị hai quyển sách có 2!=2 cách.

Sắp 9 quyển sách (trong đó có bộ 2 quyển sách vừa gom) vào 9 vị trí, có 9! cách.

Vậy có 2.9!=725760 cách.

Câu 8:

Một nhóm 4 đường thẳng song song cắt một nhóm 5 đường thẳng song song khác. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành?

A. 20.

B. 60.

C. 12.

D. 126.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: B

Cứ hai đường thẳng song song trong nhóm này và 2 đường thẳng song song trong nhóm kia cắt nhau tạo thành một hình bình hành.

Chọn 2 đường thẳng song song trong nhóm 4 đường thẳng song song có $C_{4}^{2}$ = 6 cách.

Chọn 2 đường thẳng song song trong nhóm 4 đường thẳng song song có $C_{5}^{2}$ = 10 cách.

Vậy có tất cả 6.10=60 hình bình hành được tạo thành.

Câu 9:

Từ 5 bông hoa hồng vàng, 3 bông hoa hồng trắng và 4 bông hoa hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn một bó hồng gồm 7 bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hoa hồng vàng và 3 bông hoa hồng đỏ?

A. 10 cách.

B. 20 cách.

C. 120 cách.

D. 150 cách.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: D

TH1: Chọn được 3 bông hoa hồng vàng và 4 bông hoa hồng đỏ.

Số cách chọn 3 bông hồng vàng là $C_{5}^{3} = 10$ cách.

Số cách chọn 4 bông hồng đỏ là $C_{4}^{4}$ cách.

Theo quy tắc nhân thì có 10.1=10 cách.

TH2: Chọn được 4 bông hoa hồng vàng và 3 bông hoa hồng đỏ.

Tương tự TH1 ta có số cách chọn là $C_{5}^{4} . C_{4}^{3} = 20$ cách.

TH3: Chọn được 3 bông hoa hồng vàng, 3 bông hoa hồng đỏ và 1 bông hoa hồng trắng.

Tương tự TH1 ta có số cách chọn là $C_{5}^{3} . C_{4}^{3} . C_{3}^{1} = 120$ cách.

Vậy theo quy tắc cộng ta có 10+20+120=150 cách.

Câu 10:

Một tổ gồm 7 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 em đi trực sao cho có ít nhất 2 nữ?

A. $(C_{7}^{2} + C_{6}^{5}) + (C_{7}^{1} + C_{6}^{3}) + C_{6}^{4}$ .

B. $(C_{7}^{2} . C_{6}^{2}) + (C_{7}^{1} . C_{6}^{3}) + C_{6}^{4}$ .

C. $C_{11}^{2} . C_{12}^{2}$ .

D. $(C_{7}^{2} . C_{6}^{5}) + (C_{7}^{3} . C_{6}^{1}) + C_{7}^{4}$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: B

Trường hợp 1: Chọn nhóm gồm 2 nam, 2 nữ, có $C_{7}^{2} . C_{6}^{2}$ cách.

Trường hợp 2: Chọn nhóm gồm 1 nam, 3 nữ, có $C_{7}^{1} . C_{6}^{3}$ cách.

Trường hợp 3: Chọn nhóm gồm 4 nữ, có $C_{6}^{4}$ cách

Vậy có: $(C_{7}^{2} . C_{6}^{2}) + (C_{7}^{1} . C_{6}^{3}) + C_{6}^{4}$ cách.

Câu 11:

Trong một túi đựng 10 viên bi đỏ, 20 viên bi xanh và 15 viên bi vàng. Các viên bi có cùng kích thước. Số cách lấy ra 5 viên bi và xếp chúng vào 5 ô sao cho 5 ô đó có ít nhất 1 viên bi đỏ là:

A. 146611080.

B. 38955840.

C. 897127.

D. 107655240.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: D

Bước 1: Chọn bi

Chọn 5 viên bi bất kì có $C_{45}^{5}$ cách.

Số cách chọn ra 5 viên bi trong đó không có viên bi nào màu đỏ là $C_{35}^{5}$ cách.

Vậy số cách chọn ra 5 viên bi trong đó có ít nhất 1 viên bi màu đỏ là $C_{45}^{5} - C_{35}^{5}$ cách.

Bước 2: Sắp xếp các viên bi.

Số cách xếp 5 viên bi vào 5 ô là 5! cách.

Theo quy tắc nhân ta có 5!( $C_{45}^{5} - C_{35}^{5}$ )=107655240 cách.

Chú ý

Sau khi chọn được 5 viên bi mà trong đó có ít nhất 1 viên bi có màu đỏ ta phải sắp xếp chúng vào 5 ô khác nhau.

Câu 12:

Nếu tất cả các đường chéo của đa giác đều 12 cạnh được vẽ thì số đường chéo là:

A. 121.

B. 66.

C. 132.

D. 54.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: D

Cứ 2 đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một đoạn thẳng (bao gồm cả cạnh đa giác và đường chéo).

Khi đó có $C_{12}^{2}$ = 66 đoạn thẳng.

Trong 66 đoạn thẳng trên có 12 đoạn thẳng là cạnh của đa giác nên:

Số đường chéo là: 66−12=54

Câu 13:

Một nhóm đoàn viên thanh niên tình nguyện về sinh hoạt tại một xã nông thôn gồm có 21 đoàn viên nam và 15 đoàn viên nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân chia 3 nhóm về 3 ấp để hoạt động sao cho mỗi ấp có 7 đoàn viên nam và 5 đoàn viên nữ?

A. $3 C_{36}^{12}$ .

B. $2 C_{36}^{12}$ .

C. $3 C_{21}^{7} C_{15}^{5}$ .

D. $C_{21}^{7} C_{15}^{5} C_{14}^{7} C_{10}^{5}$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: D

Bước 1: Chọn 7 nam trong 21 nam và 5 nữ trong 15 nữ cho ấp thứ nhất.

Số cách chọn là $C_{21}^{7} C_{15}^{5}$ cách.

Bước 2: Chọn 7 nam trong 14 nam còn lại và 5 nữ trong 10 nữ còn lại cho ấp thứ hai

Số cách chọn là $C_{14}^{7} C_{10}^{5}$ cách.

Bước 3: Chọn 7 nam trong 7 nam còn lại và 5 nữ trong 5 nữ còn lại cho ấp thứ ba.

Số cách chọn là $C_{7}^{7} C_{5}^{5}$ =1 cách.

Áp dụng quy tắc nhân ta có: $C_{21}^{7} C_{15}^{5} C_{14}^{7} C_{10}^{5}$ cách.

Chú ý

Nhiều bạn học sinh áp dụng nhầm quy tắc cộng ở bài toán này.

Rõ ràng để thực hiện xong công việc ta phải thực hiện qua 3 bước: Chọn người cho ấp thứ nhất, sau đó chọn người cho ấp thứ hai và cuối cùng là chọn người cho ấp thứ ba.

Câu 14:

Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

A. 120.

B. 90.

C. 270.

D. 225.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: D

Số cách chọn 4 học sinh bất kì từ 12 học sinh là $C_{12}^{4} = 495$ cách.

Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một em được tính như sau:

TH1: Lớp A có hai học sinh, các lớp B,C mỗi lớp có 1 học sinh:

Chọn 2 học sinh trong 5 học sinh lớp A có $C_{5}^{2}$ cách.

Chọn 1 học sinh trong 4 học sinh lớp B có $C_{4}^{1}$ cách.

Chọn 1 học sinh trong 3 học sinh lớp C có $C_{3}^{1}$ cách.

Suy ra số cách chọn là $C_{5}^{2} . C_{4}^{1} . C_{3}^{1} = 120$ cách.

TH2: Lớp B có 2 học sinh, các lớp A,C mỗi lớp có 1 học sinh:

Tương tự ta có số cách chọn là $C_{5}^{1} . C_{4}^{2} . C_{3}^{1} = 90$ cách.

TH3: Lớp C có 2 học sinh, các lớp A,B mỗi lớp có 1 học sinh:

Tương tự ta có số cách chọn là $C_{5}^{1} . C_{4}^{1} . C_{3}^{2} = 60$ cách.

Vậy số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một học sinh là:

120+90+60=270 cách.

Số cách chọn ra 4 học sinh thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên là 495−270=225 cách.

Câu 15:

Trong một tổ học sinh có 5 em gái và 10 em trai. Thùy là 1 trong 5 em gái và Thiện là 1 trong 10 em trai. Thầy chủ nhiệm chọn ra 1 nhóm 5 bạn tham gia buổi văn nghệ tới. Hỏi thầy chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn mà trong đó có ít nhất một trong hai em Thùy và Thiện không được chọn?

A. 286.

B. 3003

C. 2717.

D. 1287.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C

Bài toán đối: tìm số cách chọn ra 5 bạn mà trong đó có cả 2 bạn Thùy và Thiện.

Bước 1: Chọn nhóm 3 em trong 13 em (13 em này không tính em Thùy và Thiện) có $C_{13}^{3}$ = 286 cách.

Bước 2: Chọn 2 em Thùy và Thiện có 1 cách.

Vậy theo quy tắc nhân thì ta có 286 cách chọn 5 em mà trong đó có cả 2 em Thùy và Thiện.

Chọn 5 em bất kì trong số 15 em thì ta có: $C_{15}^{5}$ = 3003 cách.

Vậy theo yêu cầu đề bài thì có tất cả 3003−286=2717cách chọn mà trong đó có ít nhất một trong hai em Thùy Và Thiện không được chọn.