IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 11 Toán Trắc nghiệm Phương pháp quy nạp toán học - Dãy số có đáp án

Trắc nghiệm Phương pháp quy nạp toán học - Dãy số có đáp án

Trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 Bài 1-2: Phương pháp quy nạp toán học - Dãy số

  • 1950 lượt thi

  • 19 câu hỏi

  • 50 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 2:

Mạnh cầm một tờ giấy và lấy kéo cắt thành 7 mảnh sau đó nhặt một trong số bảy mảnh giấy đã cắt và lại cắt thành 7 mảnh. Mạnh cứ tiếp tục cắt như vậy. Sau một hồi, Mạnh thu lại và đếm tất cả các mảnh giấy đã cắt. Hỏi kết quả nào sau đây có thể xảy ra?

Xem đáp án

Mỗi lần cắt một mảnh giấy thành 7 mảnh, tức là Mạnh tạo thêm 6 mảnh giấy. Do đó công thức tính số mảnh giấy theo n bước được thực hiện là Sn = 6n + 1. Ta chứng minh tính đúng đắn của công thức trên bằng phương pháp quy nạp theo n.

Bước cơ sở. Mạnh cắt mảnh giấy thành 7 mảnh, n =1, S(1) = 6.1+1 =7

Công thức đúng với n = 1

Bước quy nạp: giả sử sau k bước, Mạnh nhận được số mảnh giấy là S(k) = 6k + 1

Sang bước thứ k +1, Mạnh lấy một trong số những mảnh giấy nhận được trong k bước trước và cắt thành 7 mảnh. Tức là Mạnh đã lấy đi 1 trong S(k) mảnh và thay vào đó 7 mảnh được cắt ra. Vậy tổng số mảnh giấy ở bước k + 1 là: S(k =1) = S(k) -1 + 7= S(k) + 6 = 6k + 1 + 6 = 6(k+1) +1

Vậy công thức S(n) đúng với mọi n ∈N* . Theo công thức trên chỉ có phương án D thoả mãn vì 121 =6.20 + 1

Đáp án D


Câu 4:

Cho dãy số un = 1+ (n +3).3n. khi đó công thức truy hồi của dãy là:

Xem đáp án

un+1 = 1+ (n+4).3n+1 = 1 + (n+3).3n+1 + 3n+1

= 1 + 3n.(n+3).3 + 3n+1 = 3[1 + (n+ 3).3n] + 3n+1 – 2 = 3un + 3n+1 -2

Đáp án là D


Câu 5:

Cho dãy số (un) xác định bởi :

u1=1un+1=un+n2, n1

Công thức của un+1 theo n là:

Xem đáp án

u1 = 1

u2 = 1 + 12

u3 = 1 + 12 + 22

u4 = 1 + 12 + 22 + 32

...

 Đáp án A


Câu 6:

Cho dãy số (vn) xác định bởi :

v1=3vn+1=v2n, n1

Khi  đó v11 bằng

Xem đáp án

v1=3=320v2=32=321v3=34=322v4=38=323...vn=32n1

Suy ra:v11=3210=31024

Đáp án là B


Câu 7:

Cho dãy số un = n2  4n + 7. Kết luận nào đúng?

Xem đáp án

un = n2 – 4n + 7 = (n -2)2 + 3 ≥ 3

⇒(un) bị chặn dưới bởi 3

(un) không bị chặn trên bởi vì n càng lớn thì un càng lớn

Đáp án là B


Câu 8:

Cho dãy số zn = 1 + (4n  3).2n

Xem đáp án

zn+1=1+(4n+1).2n+1

zn=1+(4n3).2n  

Xét hiệu

zn+1zn=1+(4n+1).2n+11+(4n3).2n

=8n+2.2n4n3.2n

=(4n+5).2n>0n*

Suy ra (zn) tăng, hơn nữa znz1=3n*

Vậy (zn)  tăng và bị chặn dưới.

Chọn đáp án D.


Câu 9:

Cho x≠0 và x +1/x là một số nguyên. Khi đó với mọi số nguyên dương n, có kết luận gì về T(n,x)=xn+1xn

Xem đáp án

Ta sẽ chứng minh T(n,x) là số nguyên

Thật vậy, áp dụng phép chứng minh quy nạp, Ta có:

Bước cơ sở: T(1,x) là số nguyên. Khẳng định đúng với n=1

Bước quy nạp: Giả sử T(n,x) là số nguyên với mọi n≥1. Ta sẽ chứng minh T(n+1,x) cũng là số nguyên

=T(1,x).T(n,x) – T(n-1,x).

Theo giả thuyết quy nạp, Ta có T(1,x),T(n,x), T(n-1,x) là các số nguyên nên T(n+1,x) là số nguyên

Chọn C


Câu 10:

Cho dãy số (un)  với u1=2un+1=n.un  với mọi n1 . Khi đó số hạng thứ 5 của dãy un  

Xem đáp án

Chọn B

Ta có

 u2= u1=2u3= 2u2=2.2 = 4u4= 3u3=3.4 = 12u5=4 u4=4.12 = 48

 


Câu 12:

Cho dãy un=n23n với mọi n≥1. Khi đó số hạng u2n của dãy un là:

Xem đáp án

Chọn  C

Ta có:  u2n=  (2n)232n = 4n29n


Câu 13:

Cho dãy số unu0=1, u1=3un+1=4un-3un-1vi mi n1

Công thức của số hạng tổng quát của dãy số là:

Xem đáp án

Chọn B

Dự đoán ta được un=3n

 Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được công thức trên.  

Vậy un=3n

 


Câu 14:

Cho dãy số unu0=u1=1un+1=4un-4un-1vi mi n1

công thức của số hạng tổng quát của dãy số là

Xem đáp án

Chọn Bu0=u1=1un+1=4un-4un-1vi mi n1

Ta chứng minh phương án C đúng .

Ta có:

4.(2n- n. 2n-1) -  4. (2n-1- (n-1). 2n-2 = 4.2n-  4n . 2n-1- 4.2n-1+4(n-1). 2n-2= 2.2n+1- 2n. 2n- 2n + 1+(n-1), 2n= 2n+1- (n-1).2n

un= 2n - n. 2n-1

 


Câu 15:

Cho dãy số un:un=cos2n+12π

Khi đó khẳng định nào dưới đây là đúng?

Xem đáp án

Chọn C

Ta có:

un=cos2n+12π= cos(π2+nπ)=0

∀n≥1 nên (un) là dãy số không đổi


Câu 16:

Cho dãy số un:u1=12; un+1=unn+1

Khi đó khẳng định nào dưới đây là đúng?

Xem đáp án

Chọn B

Từ giả thiết, suy ra: un>0   n

Ta có:

un+1-un=unn+1- un= un(1n +1-1)= un. -nn +1< 0 

∀n≥1 nên (un) là dãy số giảm


Câu 17:

Xét dãy unun=n+1n

khi đó số α dương lớn nhất thoả mãn unα n1 là:

Xem đáp án

Chọn B

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: 

un=n+1n 2. n. 1n= 2

α = 2


Câu 18:

Xét dãy un:un=n+100+100-n

với n là các số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng 100, số α dương nhỏ nhất thoả mãn unα 

Xem đáp án

Chọn D

Ta có :un=100+n+100n

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với bộ hai số (1;1) và 100+n;100n

1.100+n+1.100n2.(100+n+100n)=20,n1

Suy ra α=20


Bắt đầu thi ngay