25 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dựa vào tính chất của cấp số cộng: chứng minh đẳng thức, giải phương trình và các bài toán thực tế

Câu 1:

Cho tổng 1+6+11+16+...+x=970. Giá trị của x là

A. 96

B. 69

C. 97

D. 7

Xem đáp án

Câu 2:

Biết (x+1)+(x+4)+(x+7)+...+(x+28)=155. Giá trị của x là

A. x = 1

B. x = -1

C. x = 2

D. x = -3

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $(x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + ... + (x + 28) = 155.$

Do đó $\frac{x + 1 + x + 28}{2} .10 = 155 \Rightarrow 2 x + 29 = 31 \Rightarrow x = 1.$

Câu 3:

Với giá trị nào của x thì $1 + 3 x; x^{2} + 5; 1 - x$ lập thành cấp số cộng?

A. x = 0

B. $x = \pm 1$

C. $x = \pm \sqrt{2}$

D. $x \in \emptyset$

Xem đáp án

Đáp án D

Để 3 số $1 + 3 x; x^{2} + 5; 1 - x$ lập thành cấp số cộng thì $2. (x^{2} + 5) = (1 + 3 x) + (1 - x)$

$\Leftrightarrow 2 x^{2} - 2 x + 8 = 0$ (phương trình vô nghiệm)

=> Không tìm được x thỏa yêu cầu.

Câu 4:

Chu vi của một đa giác là 158 cm, số đo các cạnh lập thành một cấp số cộng với công sai d=3 cm. Biết cạnh lớn nhất là 44 cm. Số cạnh của đa giác đó là

A. 6

B. 3

C. 5

D. 4

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $158 = 44 + 41 + 38 + 35$ nên đa giác có 4 cạnh.

Câu 5:

Phương trình

x^{4} - 10 x^{2} + m = 0

có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng. Khi đó m thuộc khoảng nào sau đây?

A. $m \in (0; 5) .$

B. $m \in (5; 15) .$

C. $m \in (- 25; 0) .$

D. $m \in (15; 25) .$

Xem đáp án

Đáp án B

$x^{4} - 10 x^{2} + m = 0. (1)$

Đặt $t = x^{2}, t \geq 0,$ phương trình (1) trở thành $t^{2} - 10 t + m = 0. (2)$

Phương trình (1) có 4 nghiệm là 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt thỏa mãn $t_{2} = 9 t_{1} (^{*}), (t_{2} > t_{1}) .$

Điều kiện phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt $\{\begin{cases} Δ' = 25 - m > 0 \\ P = m > 0 \\ S = 10 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow 0 < m < 25.$

Theo định lý Vi-ét $\{\begin{cases} t_{2} + t_{1} = 10 (^{* *}) \\ t_{2} . t_{1} = m (^{* * *}) \end{cases} .$

Từ (*) và (**) suy ra

t_{1} = 1, t_{2} = 9

thế vào (***) ta được m=9 (nhận).

Câu 6:

Cho tam giác ABC có ba góc A,B,C theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và

\overset{⏜}{C} = 5 \overset{⏜}{A}

. Số đo các góc A,B,C lần lượt là

A. $10 °,120 °,50 ° .$

B. $15 °,105 °,60 ° .$

C. $5 °,60 °,25 ° .$

D. $20 °,60 °,100 ° .$

Xem đáp án

Câu 7:

Một công ty thực hiện việc trả lương cho các kĩ sư theo phương thức như sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ty là 15 triệu đồng/quý và kể từ quý làm việc thứ hai mức lương sẽ được tăng thêm 1,5 triệu đồng mỗi quý. Tổng số tiền lương một kĩ sư được nhận sau 3 năm làm việc cho công ty là

A. 495 triệu đồng

B. 279 triệu đồng

C. 384 triệu đồng

D. 558 triệu đồng

Xem đáp án

Câu 8:

Cho tam giác vuông có độ dài ba cạnh lập thành một cấp số cộng với công sai d=2. Bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác đó là

A. R = 3

B. R = 4

C. R = -1

D. R = 5

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác cần tìm là $a, a + 2, a + 4 (a > 0) .$

Theo bài ra, ta có $a^{2} + {(a + 2)}^{2} = {(a + 4)}^{2} \Leftrightarrow a^{2} - 4 a - 12 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 6 \\ a = - 2 \end{array} .$

Suy ra độ dài cạnh huyền là 6+4=10

Vậy R=5

Câu 9:

Độ dài ba cạnh của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng. Nếu cạnh trung bình bằng 6 thì công sai của cấp số cộng này là

A. 7,5

B. 4,5

C. 0,5

D. 1,5

Xem đáp án

Đáp án D

Theo giả thiết ${(6 - d)}^{2} + 6^{2} = {(6 + d)}^{2} \Leftrightarrow 36 - 12 d = 12 d \Rightarrow d = \frac{36}{24} = \frac{3}{2} .$

Câu 10:

Một em học sinh dùng các que diêm để xếp thành hình tháp có quy luật được thể hiện như trong hình dưới.

Số que diêm để xếp thành hình tháp 10 tầng là

A. 69 que

B. 39 que

C. 420 que

D. 210 que

Xem đáp án

Câu 11:

Tam giác ABC có ba cạnh a,b,c thỏa mãn

a^{2}, b^{2}, c^{2}

theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A. $\tan^{2} A, \tan^{2} B, \tan^{2} C$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.

B. $\cot^{2} A, \cot^{2} B, \cot^{2} C$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.

C. $\cos A, \cos B, \cos C$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.

D.

\sin^{2} A, \sin^{2} B, \sin^{2} C

theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.

Xem đáp án

Câu 12:

Số đo các góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số cộng và góc lớn nhất gấp 5 lần góc nhỏ nhất. Số đo góc nhỏ nhất bằng

A. $25 °$

B. $30 °$

C. $45 °$

D. $35 °$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi góc nhỏ nhất là x, ta có bốn góc là $x, x + d, x + 2 d, x + 3 d$ (với d là công sai).

Ta có hệ $\{\begin{cases} x + (x + d) + (x + 2 d) + (x + 3 d) = 360 ° \\ x + 3 d = 5 x \end{cases}$

Giải hệ ta tìm được $x = 30 °$

Câu 13:

Người ta trồng 3420 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, kể từ hàng thứ 2 trở đi số cây trồng mỗi hàng nhiều hơn 1 cây so với hàng liền trước nó. Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng cây?

A. 81

B. 82

C. 80

D. 79

Xem đáp án

Đáp án C

Giả sử trồng được n hàng cây $(n \geq 1, n \in ℕ) .$

Số cây ở mỗi hàng lập thành cấp số cộng có $u_{1} 1 = 1$ và công sai d=1

Theo giả thiết

$S_{n} = 3240 \Leftrightarrow \frac{n}{2} [2 u_{1} + (n - 1) d] = 3240 \Leftrightarrow n (n + 1) = 6480 \Leftrightarrow n^{2} + n - 6480 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} n = 80 \\ n = - 81 \end{array} .$

Kết hợp với điều kiện, ta được n=80

Vậy có tất cả 80 hàng cây.

Câu 14:

Chu vi một đa giác là 158 cm, các cạnh của đa giác này lập thành một cấp số cộng với công sai d=3cm. Biết cạnh lớn nhất có độ dài là 44 cm, độ dài cạnh nhỏ nhất của đa giác là

A. 32cm

B. 33cm

C. 38cm

D. 35cm

Xem đáp án

Đáp án C

Giả sử đa giác có n cạnh; độ dài các cạnh thứ tự lập thành cấp số cộng với công sai d=3cm là $u_{1}; u_{2}; ...; u_{n} .$

Từ giả thiết ta có

\{\begin{cases} u_{n} = 44 \\ S_{n} = 158 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{n} = 44 \\ \frac{(u_{1} + u_{n}) n}{2} = 158 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} + 3 n = 47 \\ n (u_{1} + 44) = 316 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} = 47 - 3 n \\ 3 n^{2} - 91 n + 316 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} = 35 \\ n = 4 \end{cases} .

Câu 15:

Giá trị của n để

C_{n}^{1}, C_{n}^{2}, C_{n}^{3}

theo thứ tự lập thành một cấp số cộng là

A. n = 9

B. n = 6

C. n = 2

D. n = 7

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có

$C_{n}^{1} + C_{n}^{3} = 2 C_{n}^{2} (n \geq 3) \Leftrightarrow \frac{n!}{(n - 1)!} + \frac{n!}{3! . (n - 3)!} = \frac{n!}{2! . (n - 2)!} \Leftrightarrow n^{2} - 9 n + 14 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} n = 7 \\ n = 2 \end{array} \Leftrightarrow n = 7 (d o n \geq 3) .$

Câu 16:

Giá trị của x để -2; 2x+1; 5 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng là

A. $x = - \frac{1}{4} .$

B. $x = - \frac{1}{3} .$

C. $x = \frac{1}{4} .$

D. x = 1.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có -2; 2x+1; 5 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên

2 x + 1 - (- 2) = 5 - (2 x + 1) \Rightarrow x = \frac{1}{4} .

Câu 17:

Cho A, B, C, D là bốn số thực dương lập thành một cấp số cộng. Giá trị biểu thức

\frac{D^{2} - A^{2}}{C^{2} - B^{2}}

bằng

A. 1

B. 0

C. 3

D. -1

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $B = A + d, C = A + 2 d, D = A + 3 d .$

Khi đó

\frac{D^{2} - A^{2}}{C^{2} - B^{2}} = \frac{{(A + 3 d)}^{2} - A^{2}}{{(A + 2 d)}^{2} - {(A + d)}^{2}} = \frac{6 A d + 9 d^{2}}{2 A d + 3 d^{2}} = 3.

Câu 18:

Cho

x_{1}, x_{2}

là nghiệm của phương trình

x^{2} - 3 x + a = 0

và

y_{1}, y_{2}

là nghiệm của phương trình

x^{2} - 11 x - b = 0.

Nếu

x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}

theo thứ tự lập thành một cấp số cộng thì tích ab có giá trị là

A. ab = -1.

B. $a b = - \frac{585}{8} .$

C. $a b = \frac{585}{8} .$

D. ab = 54.

Xem đáp án

Câu 19:

Tìm m để phương trình $x^{3} - (2 m + 1) x^{2} - 9 x = 0$ có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng, ta được $m = \frac{a}{b},$ với $a, b \in ℤ,$ phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Giá trị biểu thức $P = a^{2} + b^{2}$ là

A. P=13

B. P=20

C. P=5

D. P=10

Xem đáp án

Câu 20:

Cho tam giác đều

A_{1} B_{1} C_{1}

có độ dài cạnh bằng 4. Trung điểm các cạnh của tam giác

A_{1} B_{1} C_{1}

tạo thành tam giác

A_{2} B_{2} C_{2}

trung điểm các cạnh của tam giác

A_{2} B_{2} C_{2}

tạo thành tam giác

A_{3} B_{3} C_{3} . . .

.Gọi

P_{1}, P_{2}, P_{3},...

lần lượt là chu vi của tam giác

A_{1} B_{1} C_{1}, A_{2} B_{2} C_{2}, A_{3} B_{3} C_{3},...

Giá trị biểu thức

P = P_{1} + P_{2} + P_{3} + ...

là

A. P=8

B. P=24

C. P=6

D. P=18

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $P_{2} = \frac{1}{2} P_{1}; P_{3} = \frac{1}{2} P_{2} = \frac{1}{4} P_{1}; P_{4} = \frac{1}{2} P_{3} = \frac{1}{8} P_{1} ...; P_{n} = \frac{1}{2^{n - 1}} P_{1} .$

Vậy

P = P_{1} + P_{2} + P_{3} + ... = P_{1} + \frac{1}{2} P_{1} + \frac{1}{4} P_{1} + \frac{1}{8} P_{1} + ... = \frac{P_{1}}{1 - \frac{1}{2}} = 2 P_{1} = 24.

Câu 21:

Cửa hàng xếp 1089 hộp sơn theo số lượng 1; 3; 5; … (hộp) từ trên xuống dưới (số hộp sơn trên mỗi hàng xếp từ trên xuống dưới là các số lẻ liên tiếp như hình bên dưới). Hàng cuối cùng có bao nhiêu hộp sơn?

A. 63

B. 65

C. 67

D. 69

Xem đáp án

Câu 22:

Một đội công nhân trồng cây xanh từ kilômet số 6 đến kilômet số 8. Cứ 20m trồng một cây. Hỏi có bao nhiêu cây được trồng?

A. 100

B. 200

C. 250

D. 101

Xem đáp án

Đáp án D

Khoảng cách từ các cây đến mốc 6 ki-lô-mét tạo thành cấp số cộng có công sai d=20m

Ta có $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d = 6000 + (n - 1) 20.$

Cây cuối cùng ở vị trí 8 ki-lô-mét nên ta có $8000 = 6000 + (n - 1) 20 \Leftrightarrow n = 101.$

Câu 23:

An từ thành phố về quê thăm ông bà trên quãng đường 54 km. Biết giờ đầu tiên An đi được 15km và mỗi giờ sau An đi kém hơn giờ trước 1km. Thời gian An đi từ nhà về quê là

A. 27 giờ

B. 4 giờ

C. 3 giờ

D. 15 giờ

Xem đáp án

Đáp án B

Quãng đường An đi được trong mỗi giờ là một cấp số cộng.

Ta có $S_{n} = \frac{n}{2} [2 u_{1} + (n - 1) d] \Leftrightarrow 54 = \frac{n}{2} [30 + (n - 1) . (- 1)] \Leftrightarrow - n^{2} + 31 n - 108 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} n = 4 \\ n = 27 \end{array} .$

Với n=27 thì $u_{27} = u_{1} + (27 - 1) d = - 11$ nên vô lý.

Vậy An đi từ nhà về quê hết 4 giờ.

Câu 24:

Ngày thứ nhất cửa hàng bán được 10 cốc nước mía, ngày sau bán nhiều hơn ngày hôm trước đó 1 cốc nước mía. Hỏi ngày thứ 10 cửa hàng sẽ bán được bao nhiêu cốc nước mía?

A. 15 cốc

B. 17 cốc

C. 19 cốc

D. 21 cốc

Xem đáp án

Đáp án D

Số cốc nước bán được trong các ngày lập thành một cấp số cộng với công sai d=1.

Số cốc nước bán trong ngày thứ 10 là

u_{10} = u_{1} + 9 d = 10 + 9.1 = 19.

Câu 25:

Một nhóm gồm 3003 người xếp thành hình tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 người, hàng thứ hai có 2 người, hàng thứ ba có 3 người,… Hỏi có bao nhiêu hàng?

A. 75

B. 76

C. 77

D. 78

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi n là số hàng cần tìm, ta có

$1 + 2 + 3 + ... + n = 3003 \Leftrightarrow \frac{n (n + 1)}{2} = 3003 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} n = 77 \\ n = - 78 \end{array} \Rightarrow n = 77.$