14 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Cấp số nhân

Câu 1:

Cho cấp số nhân (u_n), biết: u₁= −2, u₂= 8 . Lựa chọn đáp án đúng.

A. q = −4.

B. q = 4.

C. q = −12.

D. q = 10.

Xem đáp án

Trả lời:

Vì (u_n) là cấp số nhân nên $q = \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{8}{- 2} = - 4$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 2:

Cho cấp số nhân (u_n), biết: u₁= 3, u₅= 48 . Lựa chọn đáp án đúng.

A. u₃= 12.

B. u₃= −12.

C. u₃= 16.

D. u₃= −16.

Xem đáp án

Trả lời:

Ta có:

$u_{5} = u_{1} . q^{4}$

$\Leftrightarrow 48 = 3. q^{4}$

$\Leftrightarrow q^{4} = 16 \Leftrightarrow q^{2} = 4$

$\Rightarrow u_{3} = u_{1} . q^{2} = 3.4 = 12$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 3:

Cho cấp số nhân(u_n), biết: u₁= −2, u₂= 8 . Lựa chọn đáp án đúng.

A. S₅= −512

B. u₅= 256

C. u₅= −512

D. q = 4

Xem đáp án

Trả lời:

Ta có: $u_{1} = - 2, u_{2} = 8$

$\Rightarrow q = \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{8}{- 2} = - 4$

Do đó: $u_{5} = u_{1} . q^{4} = - 2. {(- 4)}^{4} = - 512$

Và $S_{5} = \frac{u_{1} (1 - q^{5})}{1 - q} = \frac{- 2 (1 - {(- 4)}^{5})}{(1 - (- 4))} = - 410$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 4:

Cho cấp số nhân(u_n)có $u_{1} = - 1; q = \frac{- 1}{10}$ . Số $\frac{1}{10^{103}}$ là số hạng thứ bao nhiêu?

A. số hạng thứ 103

B. số hạng thứ 104

C. số hạng thứ 105

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Trả lời:

Ta có:

$u_{n} = u_{1} . q^{n - 1}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{10^{103}} = - 1. {(- \frac{1}{10})}^{n - 1}$

$\Leftrightarrow {(- \frac{1}{10})}^{n - 1} = - (\frac{1}{10^{103}}) = {(- \frac{1}{10})}^{103}$

⇔ n – 1 = 103

⇔ n = 104

Đáp án cần chọn là: B

Câu 5:

Cho cấp số nhân (u_n), biết: u₅= 3, u₆= −6 . Lựa chọn đáp án đúng.

A. u₇= 12.

B. u₇= −12.

C. u₇= −2

D. u₇= 18

Xem đáp án

Trả lời:

Ta có:

$u_{6}^{2} = u_{5} . u_{7}$

$u_{7} = \frac{u_{6}^{2}}{u_{5}} = \frac{{(- 6)}^{2}}{3} = 12$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 6:

Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (u_n) có công bội q > 0 . Biết u₂= 4; u₄= 9 .

A. $u_{1} = - \frac{8}{3}; q = \frac{3}{2}$

B. $u_{1} = \frac{8}{3}; q = \frac{3}{2}$

C. $u_{1} = - \frac{5}{3}; q = \frac{3}{2}$

D. $u_{1} = \frac{5}{3}; q = \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Trả lời:

Ta có:

$u_{2} = 4 = u_{1} . q$ và $u_{4} = 9 = u_{1} . q^{3}$

$\Rightarrow \frac{u_{4}}{u_{2}} = \frac{u_{1} . q^{3}}{u_{1} . q}$

$\Rightarrow \frac{9}{4} = q^{2}$

$\Rightarrow q = \frac{3}{2} (q > 0)$

$\Rightarrow u_{1} = \frac{8}{3}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 7:

Số đo bốn góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số nhân, biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp 8 lần số đo của góc nhỏ nhất. Tìm góc lớn nhất:

A. 190⁰

B. 191⁰

C. 192⁰

D. 193⁰

Xem đáp án

Trả lời:

Gọi A, B, C, D là số đo của bốn góc của tứ giác lồi đã cho.

Không mất tính tổng quát, giả sử A < B < C < D.

Theo giả thiết ta có D = 8A và A, B, C, D theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân.

Gọi q là công bội của cấp số nhân đó, ta có:

8A = D = A.q³ ⇔ q = 2

⇒ 360⁰= A + B + C + D

= A + 2A + 4A + 8A = 15A

⇒ A = 24⁰

⇒ D = 24⁰.8 = 192⁰

Đáp án cần chọn là: C

Câu 8:

Cho cấp số nhân (un) có u1 = −3 và q = −2. Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho.

A. S₁₀= −511.

B. S₁₀= −1025.

C. S₁₀= 1025.

D. S₁₀= 1023.

Xem đáp án

Trả lời:

$\{\begin{matrix} u_{1} = - 3 \\ q = - 2 \end{matrix}$

$\Rightarrow S_{10} = u_{1} . \frac{1 - q^{10}}{1 - q} = - 3. \frac{1 - {(- 2)}^{10}}{1 - (- 2)} = 1023$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 9:

Ba số dương lập thành cấp số nhân, tích của số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba bằng 36. Một cấp số cộng có n số hạng, công sai d = 4, tổng các số hạng bằng 510. Biết số hạng đầu của cấp số cộng bằng số hạng thứ 2 của cấp số nhân. Khi đó nn bằng:

A. 12

B. 13

C. 14

D. 15

Xem đáp án

Trả lời:

Với cấp số nhân a, b, c > 0

⇒ b²= ac = 36

⇒ b = 6 > 0

Do đó, theo giả thiết cấp số cộng ta có

u₁= 6; d = 4; S_n= 510

$S_{n} = \frac{n}{2} (2 u_{1} + (n - 1) d)$

$\Leftrightarrow 510 = \frac{n}{2} (12 + 4 (n - 1))$

⇔ n²+ 2n – 255 = 0

⇒ n = 15

(do n nguyên dương)

Đáp án cần chọn là: D

Câu 10:

Dân số của thành phố A hiện nay là 3 triệu người. Biết rằng tỉ lệ tăng dân số hàng năm của thành phố A là 2%. Dân số của thành phố A sau 3 năm nữa sẽ là:

A. 3183624

B. 2343625

C. 2343626

D. 2343627

Xem đáp án

Trả lời:

Theo giả thiết thì mỗi năm số dân của thành phố A tăng 2% nghĩa là:

dân số năm sau gấp năm trước 1 + 2% = 1,02 lần nên số dân theo các năm liên tiếp lập thành cấp số nhân có số hạng đầu u₁= 3.106 và công bội q = 1 + 0,02

⇒ u_n= 3.10⁶(1 + 0,02)ⁿ

⇒ u₃= 3.10⁶(1 + 0,02)³= 3183624

Đáp án cần chọn là: A

Câu 11:

Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày (nghĩa là sau 138 ngày khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn một nửa). Khi đó khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau 7314 ngày là:

A. 2,22.10^-15

B. 2,21.10^-15

C. 2,20.10^-15

D. 2,23.10^-15

Xem đáp án

Trả lời:

Gọi u_n là khối lượng còn lại của 20 gam poloni sau n chu kì bán rã.

Ta có 7314 ngày gồm $\frac{7314}{138} = 53$ chu kì bán rã.

Do đó ta cần tính u₅₃

Theo giả thiết của bài toán thì (u_n) là một cấp số nhân với số hạng đầu:

$u_{1} = \frac{20}{2} = 10; q = \frac{1}{2}$

Do đó $u_{53} = 10 {(\frac{1}{2})}^{52} \approx {2,22.10}^{- 15}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 12:

Tính tổng S_n = 1 + 11 + 111 + … + 11 …11 (có 10 chữ số 1)

A. $\frac{10^{11} - 100}{81}$

B. $\frac{10^{10} - 100}{81}$

C. $\frac{10^{9} - 100}{81}$

D. $\frac{10^{8} - 100}{81}$

Xem đáp án

Trả lời:

Ta có:

$S_{n} = \frac{10 - 1}{9} + \frac{10^{2} - 1}{9} + \frac{10^{3} - 1}{9} + ... + \frac{10^{10} - 1}{9}$

$S_{n} = \frac{1}{9} (10 + 10^{2} + ... + 10^{10}) - \frac{10}{9}$

$S_{n} = \frac{1}{9} (10 \frac{10^{10} - 1}{9}) - \frac{10}{9}$

$S_{n} = \frac{10^{11} - 10 - 90}{81}$

$S_{n} = \frac{10^{11} - 100}{81}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 13:

Tính tổng $S_{n} = 1 + 2 a + 3 a^{2} + 4 a^{3} + ... + (n + 1) a^{n} (a \neq 1$ là số cho trước)

A. $\frac{(n + 1) a^{n + 2} - (n + 2) a^{n + 1} + 1}{{(1 - a)}^{2}}$

B. $\frac{(n + 1) a^{n + 2} + (n + 2) a^{n + 1} + 1}{{(1 - a)}^{2}}$

C. $\frac{(n + 1) a^{n + 2} - (n + 2) a^{n + 1} - 1}{{(1 - a)}^{2}}$

D. $\frac{(n + 1) a^{n + 2} + (n + 2) a^{n + 1} - 1}{{(1 - a)}^{2}}$

Xem đáp án

Trả lời:

Nếu a = 0 thì S = 1.

Nếu $a \neq 1$ thì ta có:

$a S_{n} = a + 2 a^{2} + 3 a^{3} + 4 a^{4} + ... + (n + 1) a^{n + 1}$

$\Rightarrow S_{n} - a S_{n} = 1 + a + a^{2} + a^{3} + ... + a^{n} - (n + 1) a^{n + 1}$

$\Rightarrow S_{n} (1 - a) = \frac{a^{n + 1} - 1}{a - 1} - (n + 1) a^{n + 1}$

$\Rightarrow S_{n} = \frac{1}{1 - a} [\frac{a^{n + 1} - 1}{a - 1} - (n + 1) a^{n + 1}]$

$\Rightarrow S_{n} = \frac{1}{1 - a} [\frac{a^{n + 1} - 1 - (n + 1) a^{n + 1} (a - 1)}{a - 1}]$

$\Rightarrow S_{n} = \frac{(n + 1) a^{n + 2} - (n + 2) a^{n + 1} + 1}{{(1 - a)}^{2}}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 14:

Tìm tất cả các giá trị của tham số mm để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: x³− 7x²+ 2(m²+ 6m)x – 8 = 0.

A. m = −7.

B. m = 1.

C. m = −1 hoặc m = 7.

D. m = 1 hoặc m = −7.

Xem đáp án

Trả lời:

+ Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt x₁, x₂, x₃ lập thành một cấp số nhân.

Theo định lý Vi-ét, ta có $x_{1} x_{2} x_{3} = 8$

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có $x_{1} x_{3} = x_{2}^{2}$ . Suy ra ta có $x_{2}^{3} = 8 \Leftrightarrow x_{2} = 2$

+ Điều kiện đủ: Với m = 1 và m = 7 thì $m^{2} + 6 m = 7$ nên ta có phương trình

$x^{3} - 7 x^{2} + 14 x - 8 = 0$

Giải phương trình này, ta được các nghiệm là 1, 2, 4. Hiển nhiên ba nghiệm này lập thành một cấp số nhân với công bôị q = 2.

Vậy, m = 1 và m = −7 là các giá trị cần tìm. Do đó phương án D.

Đáp án cần chọn là: D