Thứ bảy, 20/07/2024
IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 11 Toán Khoảng cách có đáp án

Khoảng cách có đáp án

Khoảng cách có đáp án

  • 1408 lượt thi

  • 15 câu hỏi

  • 50 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Xem đáp án

Sử dụng các định nghĩa, tính chất về khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, hai đường thẳng chéo nhau, đường thẳng và mặt phẳng song song, nhận thấy các phương án A, B, D đúng.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc đường thẳng b đến mặt phẳng (P) chứa a và song song với b chứ không phải khoảng cách giữa hai điểm như đáp án C nói nên C sai.

Đáp án C


Câu 2:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Xem đáp án

Đáp án A: đúng

Đáp án B: Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố cắt nhau.

Đáp án C: Sai, vì mặt phẳng đó chưa chắc đã tồn tại.

Đáp án D: Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố vuông góc.

ĐÁP ÁN A


Câu 3:

Cho khối lập phương ABCDA’B’C’D’. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AD và A’C’ là :

Xem đáp án

Ta có: AA'AD tại A; AA'A'C' tại A’

Do đó đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AD và A’C’ là AA’.

Đáp án A


Câu 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O, SA vuông góc với đáy, SA = a. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC) bằng 30°. Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBM) với M là trung điểm CD.

Xem đáp án

+ Ta có DBACDBSADBSACDBSO tại O

 Hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (SAC) là SO

Do đó góc giữa SD và (SAC) là DSO^=30°

+ Đặt DO = x  DB = 2x; AO = BO = CO = x

Ta có: ΔSAB=ΔSADc.g.c nên SB = SD  Tam giác SBD cân tại S, mà có O là trung điểm BC  DSB^=2DSO^=60° 

Tam giác SBD đều  SO = 2x 32= x3

Theo Py-ta-go trong tam giác SOA vuông tại A, ta có: SO2=AO2+SA2

hay 3x2 =  x2+a2x2= a2/ 2

x =a2

+ Gọi N là trung điểm của AB DN // BM

Suy ra d(D; (SBM)) = d(N;(SBM)) = 1/2 d(A; (SBM))

+ Kẻ AI BM tại I và AH  SI tại H. Từ đó ta chứng minh được AH  (SBM)

  d(A; (SBM)) = AH  d(D; (SBM)) = 1/2 AH.

+ Tính AH

BM = BC2 +CM2=  a52

Trong (ABCD): SABM=SABCD2SADM=a22.a24=a22

SABM=12AI. BM  AI = 2a5

Áp dụng hệ thức về cạnh, đường cao trong tam giác vuông SAI có:

   1AH2=1AI2+1SA2AH = 2a3

Vậy d(D; (SBM)) = 1/2. AH = a3

Đáp án A


Câu 5:

Một hình lập phương được tạo thành khi xếp miếng bìa carton như hình vẽ bên.

Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB sau khi xếp, biết rằng độ dài đoạn thẳng AB bằng 2a.

Xem đáp án

Sau khi xếp miếng bìa lại ta được hình lập phương ABCD.A’B’C’D' cạnh 2a, O là tâm của A’B’C’D’.

Gọi N, M lần lượt là trung điểm các cạnh AB, A’B’.

MN = AA’ = 2a, OM = 1/2A’D’ = a

Lại có: ABOMABMNABON

d(O, AB) = ON = OM2+MN2=2a2+a2=a5.

Đáp án D


Câu 6:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. Mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và (SBC) vuông góc với mặt đáy. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.

Xem đáp án

+ Gọi H là trung điểm của BC

Do tam giác ABC cân tại A nên AH BC, tam giác SBC đều nên SH BC

Mà (SBC) (ABC)

Do đó SH (ABC)

+ Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên SA HKSA

Ta có BCSHBCAHBCSAHBCHK

Vậy HK là đoạn vuông góc chung của BC và SA, do đó khoảng cách giữa BC và SA là HK.

+ Tính HK

Tam giác SBC đều cạnh a  SH = a32

Tam giác ABC vuông cân tại A  AH = BC2=a2

Tam giác SHA vuông tại H có HK là đường cao 1HK2=1SH2+1AH2 

HK = a34

Vậy d(SA; BC) = a34.

Đáp án C


Câu 7:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60°. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN là:

Xem đáp án

+ Ta có SABABCSACABCSACSAB=SASAABC

+ Xác định điểm N, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N  N là trung điểm của AC (MN//BC).

+ Xác định được góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là SBA^=60°

 SA = AB.tan60° = 2a3

AC = AB2+BC2=2a2

+ Gọi IJ là đoạn vuông góc chung của AB và SN (điểm I thuộc AB và điểm J thuộc SN). Vậy khoảng cách giữa AB và SN là IJ. Ta sẽ biểu thị IJqua ba vectơ không cùng phương AB;AC;AS.

IJ=IA+AN+NJ=mAB+12AC+pNS=mAB+12AC+pNA+AS=mAB+1p2AC+pAS

Ta có: IJABIJNSIJ.AB=0IJ.NS=0 

Thay vào ta tính được m = -6/13; p = 1/13

Do đó: IJ=613AB+613AC+113AS. Suy ra

169IJ2=36AC2+36AB2+AS272AB.AC.

Thay số vào ta tính được IJ = 2a3913.

Vậy d(AB; SN) = 2a3913.

Đáp án D


Câu 8:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, BD = 2a; tam giác SAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC = a3. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAD).

Xem đáp án

+ Kẻ SH AC, H  AC

Do (SAC) (ABCD) SH (ABCD)

+ BD = 2a AC = 2a

SA = AC2SC2=2a2a32=a;

Diện tích tam giác SAC là :  SSAC=12SA. SC= 12SH. AC 

nên : SH = SA.SCAC=a.a32a=a32

Ta có: AH = SA2SH2=a2a322=a2AC = 4AH

Lại có: HC (SAD) = A ; dC;SADdH;SAD=ACAH= 4

d(C; (SAD)) = 4d(H; (SAD))

Do BC // (SAD) (BC//AD)  d(B; (SAD)) = d(C; (SAD))

Do đó d(B; (SAD)) = 4d(H; (SAD))

+ Kẻ HK AD tại K, kẻ HJ  SK tại J

Ta chứng minh được HJ  (SAD) d(H; (SAD)) = HJ

 d(B; (SAD)) = 4HJ

+ Tính HJ

Tam giác AHK vuông tại K có HAK^=CAD^=45° HK = AH.sin45°a24

Mặt khác: 1HJ2=1HK2+1SH2HJ = a2114

Vậy d(B; (SAD)) = 4 . a2114=2a217.

Đáp án C


Câu 9:

Cho tam giác ABC có AB = 14, BC = 10, AC = 16. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy điểm O sao cho OA = 8. Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng BC.

Xem đáp án

Gọi H là chân đường cao kẻ từ A xuống BC trong tam giác ABC.

+ Ta có: AHBCOABCBCOAHOHBC    d(O; BC) = OH

+ Nửa chu vi tam giác ABC: p = 14+16+102= 20

SABC=20201420162010=403(theo công thức Hê-rông)

Lại có SABC=1/2AH.BC  AH = 2SABCBC=80310=83.

+ Tam giác OAH vuông tại A (OAAH)

 OH = OA2+AH2=82+832=16.

Vậy d(O; BC) = OH = 16.

Đáp án B


Câu 10:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = AB = 2a, ABC^=60° và SA (ABCD). Tính khoảng cách từ O đến SB.

Xem đáp án

Từ O kẻ OH vuông góc với SB, H SB  d(O; SB) = OH.

+ Ta có AB = BC = 2a; ABC^=60° Tam giác ABC đều có BO AC

BO = 2a.32=a3

AO = AC2=2a2=a

SO = SA2+AO2=4a2+a2=a5

+ Ta có BDAC(hthoiABCD)BDSASAABCDBDSACBDSO

 Tam giác SOB vuông tại O

Do đó: 1OH2=1SO2+1OB2=15a2+13a2OH = a.304

Vậy d(O; SB) = OH  = a304.

Đáp án C


Câu 11:

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân, AB = AC = a, BAC^=120°. Mặt phẳng (AB’C’) tạo với đáy góc 60°. Tính khoảng cách từ đường thẳng BC đến mặt phẳng (AB’C’) theo a.

Xem đáp án

+ Gọi M là trung điểm của B’C’

Vì ABB'= ACC' ( c.g.c) nên AB'= AC'

Suy ra: tam giác AB’C’ cân tại A AMB’C’

Tam giác A’B’C’ cân tại A’( vì A'B' = A'C') A’M B’C’

Mà (AB’C’)  (A’B’C’) = B’C’

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (AB’C’) và (A’B’C’) là góc giữa 2 đường thẳng AM và A’M và chính là góc AMA’ AMA'^=60° 

Tam  giác A'B'C' cân tại A' có A'M là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao, đường phân giác.

MA'C'^ = 12B'A'C'^= 600; A'M = A'C'. cosMA'C'^=  a2

 AA’ = A’M. tan60°a32

+ Ta có BC // (AB’C’) d(BC; (AB’C’)) = d(B; (AB’C’))

+  Vì ABB'A' là hình chữ nhật có hai đường chéo A'B và AB' cắt nhau tại trung điểm mỗi đường:

Suy ra: d(B; (AB’C’)) = d(A’; (AB’C’))

Do đó: d(BC; (AB’C’)) = d(A’; (AB’C’))

+ Ta chứng minh được (AA’M) (AB’C’), trong mặt phẳng (AA’M), dựng A’H  AM tại H

A’H (AB’C’) d(A’; (AB’C’)) = A’H  d(BC; (AB’C’)) = A’H

+ Tính A’H

Ta có: 1A'H2=1AA'2+1A'M2 =  43a2+ 4a2=163a2A’H = a34

Vậy d(BC; (AB’C’)) = a34.

Đáp án B


Câu 12:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, mặt bên (SBC) vuông góc với đáy (ABC). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, SA, AC. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và (SBC).

Xem đáp án

+ Gọi H là trung điểm của BC, AH  MP = K

Ta có M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, SA, AC MN // SB; NP //SC; MP //BC

 MN // (SBC); NP // (SBC), mà MN, NP (MNP)

 (SBC) // (MNP)

Mà K  MP (MNP)

d((MNP); (SBC)) = d(K; (SBC))

+ Tam giác ABC đều có H là trung điểm của BC  AH  BC

Theo giả thiết ta có (ABC)  (SBC)

Do đó AH  (SBC) mà K  AH  KH  (SBC)  d(K; (SBC)) = KH

d((MNP); (SBC)) = d(K; (SBC)) = KH

+ Tính KH

Ta có MH // = 1/2 AC  MH // = AP  MHPA là hình bình hành

 K là trung điểm của AH   KH = 1/2AH

Tam giác ABC đều cạnh a  AH = a34.

Do đó KH = a34.

Vậy d((MNP); (SBC)) = KH = a34.

Đáp án B


Câu 13:

Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh đều bằng a và BAD^=BAA'^=DAA'^=60°. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy (ABCD) và (A’B’C’D’).

Xem đáp án

+ Gọi O là giao điểm của AC và BD  O là trung điểm của AC và BD

Ta có: A’B = A’D (đường chéo các hình thoi bằng nhau)

  Tam giác A’BD cân tại A’ có O là trung điểm của BD  A’O  BD.

+ Hạ A’H  AC, H  AC

Ta có BDACBDA'OBDAOA' A’H  BD

Do đó:  A’H (ABCD)

Vì (ABCD) // (A’B’C’D’) nên A’H chính là khoảng cách giữa hai mặt đáy.

+ Tính A’H

Áp dụng định lí cosin vào tam giác ADC có:

  AC = AD2+CD22.AD.CD.cos120°=a3 AO = a32

Theo giả thiết, ta suy ra:  A'D= AA' = AB =  BD = a 

 hình chóp A’.ABD là hình chóp đều, nên điểm H - hình chiếu của A' lên (ABD) là tâm tam giác đều ABD.

suy ra: 

AH = 2/3 AO = a33

A’H = A'A2AH2=a2a23=a63

Vậy khoảng cách giữa hai đáy (ABCD) và (A’B’C’D’) là a63.

Đáp án B


Câu 14:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang cân (AD//BC) và BC = 2AD = 2a, ABC^=60°. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AB, CD, SA. SA   (ABCD) và SA = a2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNE) và (SBC) là:

Xem đáp án

+ Ta có:MN//BCMN//SBCEM//SBEM//SBCMNE//SBC

d((MNE); (SBC)) = d(M; (SBC))

+ Lại có: AM (SBC) = B dA;SBCdM;SBC=ABMB=2d(M; (SBC)) = 1/2 d(A;(SBC))

d ((MNE);(SBC)) = 1/2 d(A;(SBC))

+ Từ A hạ AF  BC tại F, AG  SF tại G

BCSABCAFBCSAFBCAG mà AG  SF nên AG (SBC)

 d(A;(SBC)) = AG

+ Tính AG

Do ABCD là hình thang cân, BC = 2a nên suy ra BF =  BC- AD2= 2a -a2= a2

AF = BF. tan60°a32

Tam giác SAF vuông tại A có AG là đường cao

1AG2=1SA2+1AF2 = 12a2+43a2 = 116a2 AG =a6611

d ((MNE);(SBC)) = 1/2 d(A;(SBC)) = 1/2 AG = a6622.

Đáp án C


Câu 15:

Cho các khẳng định sau:

(1)  Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại.

(2)  Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng khác.

(3)  Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng khác.

(4)  Đường thẳng nào vuông góc với cả hai đường thẳng chéo nhau cho trước là đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

Trong các khẳng định trên có bao nhiêu khẳng định đúng?

Xem đáp án

Khẳng định (1) đúng vì khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại (xem mục c). Tính chất của khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (Bài 5 – chương III).

Khẳng định (2) sai vì qua một điểm có vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Khẳng định (3) sai vì trong trường hợp đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta có vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước vì bất kì mặt phẳng nào chứa đường thẳng cũng đều vuông góc với mặt phẳng cho trước. Để có khẳng định đúng ta phải nói: Qua một đường thẳng không vuông góc với một mặt phẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đã cho.

Khẳng định (4) sai vì đường vuông góc chung của hai đường thẳng phải cắt cả hai đường ấy.

Vậy có một khẳng định đúng.

ĐÁP ÁN A


Bắt đầu thi ngay