20 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Phương trình đường thẳng

Câu 1:

Đường thẳng đi qua điểm $(- x_{0}; - y_{0}; - z_{0})$ và có VTCP (−a;−b;−c) có phương trình:

A. $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$

B. $\frac{x - x_{0}}{- a} = \frac{y - y_{0}}{- b} = \frac{z - z_{0}}{- c}$

C. $\frac{x + x_{0}}{a} = \frac{y + y_{0}}{b} = \frac{z + z_{0}}{c}$

D.

\frac{x + x_{0}}{a} = \frac{y + y_{0}}{- b} = \frac{z + z_{0}}{c}

Xem đáp án

Đường thẳng đi qua điểm $(- x_{0}; - y_{0}; - z_{0})$ và có VTCP $(- a; - b; - c)$ có phương trình:

$\frac{x - (- x_{0})}{- a} = \frac{y - (- y_{0})}{- b} = \frac{z - (- z_{0})}{- c} \Leftrightarrow \frac{x + x_{0}}{a} = \frac{y + y_{0}}{b} = \frac{z + z_{0}}{c}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 2:

Cho đường thẳng $d : \{\begin{matrix} x = - t \\ y = 1 - t \\ z = t \end{matrix} (t \in ℝ) .$ Điểm nào trong các điểm dưới đây thuộc đường thẳng d?

A.(−1;−1;1)

B.(−1;1;1)

C.(0;1;1)

D.(0;1;0)

Xem đáp án

Vì $d : \{\begin{matrix} x = - t \\ y = 1 - t \\ z = t \end{matrix} \Leftrightarrow d : \{\begin{matrix} x = 0 - t \\ y = 1 - t \\ z = 0 + t \end{matrix} (t \in ℝ)$ nên d đi qua điểm (0;1;0).

Ngoài ra các điểm ở mỗi đáp án A, B, C đều không thỏa mãn phương trình của dd nên chỉ có đáp án D đúng.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 3:

Điểm nào sau đây nằm trên đường thẳng $\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z}{1}$ ?

A.(0;1;2)

B.(1;0;1)

C.(2;−2;1)

D.(3;−4;1)

Xem đáp án

Lần lượt thay tọa độ các điểm vào phương trình ta được:

$\frac{0 + 1}{2} = \frac{1 - 2}{- 2} \neq \frac{2}{1}$ nên A sai.

$\frac{1 + 1}{2} = \frac{0 - 2}{- 2} = \frac{1}{1}$ nên B đúng.

Thay tọa độ các điểm đáp án C,D vào đường thẳng ta thấy đều không thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d : \{\begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 + 3 t \\ z = 5 - t \end{matrix} (t \in R)$ . Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của d?

A. $\vec{u_{1}} = (0,3, - 1)$

B. $\vec{u_{1}} = (1,3, - 1)$

C. $\vec{u_{1}} = (1, - 3, - 1)$

D.

\vec{u_{1}} = (1,2,5)

Xem đáp án

Ta có:

$d : \{\begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 + 3 t \\ z = 5 - t \end{matrix} (t \in R) \Rightarrow d : \{\begin{matrix} x = 1 + 0 t \\ y = 2 + 3 t \\ z = 5 - t \end{matrix} \Rightarrow \vec{u_{1}} = (0,3, - 1)$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 5:

Trong không gian Oxyz, tìm phương trình tham số trục Oz?

A. $\{\begin{matrix} x = t \\ y = t \\ z = t \end{matrix}$

B. $\{\begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = 0 \end{matrix}$

C. $\{\begin{matrix} x = t \\ y = t \\ z = 0 \end{matrix}$

D.

\{\begin{matrix} x = 0 \\ y = 0 \\ z = t \end{matrix}

Xem đáp án

Phương trình trục Oz: $\{\begin{matrix} x = 0 \\ y = 0 \\ z = t \end{matrix} (t \in ℝ)$
Đáp án cần chọn là: D

Câu 6:

Trong không gian Oxyz, điểm nào sau đây thuộc trục Oy?

A.M(0,0,3)

B.N(0,1,0)

C.P(−2,0,0)

D.Q(1,0,1)

Xem đáp án

Phương trình trục Oy: $\{\begin{matrix} x = 0 \\ y = t \\ z = 0 \end{matrix} (t \in ℝ)$ . Do đó chỉ có điểm N(0,1,0) thuộc trục Oy

Đáp án cần chọn là: B

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng $d : \{\begin{matrix} x = 1 + 2 t \\ y = 3 t \\ z = - 2 + t \end{matrix}$

A. $\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z - 2}{1}$

B. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z + 2}{- 2}$

C. $\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z - 2}{- 2}$

D.

\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 2}{1}

Xem đáp án

Ta có:

$d : \{\begin{matrix} x = 1 + 2 t \\ y = 3 t \\ z = - 2 + t \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} M (1; 0; - 2) \\ \vec{u} = (2; 3; 1) \end{matrix} \Rightarrow \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 2}{1}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng $Δ : \frac{x - 4}{1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 2}{- 1}$ . là:

A. $Δ : \{\begin{matrix} x = 1 - 4 t \\ y = 2 + 3 t \\ z = - 1 - 2 t \end{matrix}$

B. $Δ : \{\begin{matrix} x = - 4 + 4 t \\ y = 3 + 2 t \\ z = - 2 - t \end{matrix}$

C. $Δ : \{\begin{matrix} x = 4 + t \\ y = - 3 + 2 t \\ z = 2 - t \end{matrix}$

D.

Δ : \{\begin{matrix} x = 1 + 4 t \\ y = 2 - 3 t \\ z = - 1 + 2 t \end{matrix}

Xem đáp án

$Δ : \frac{x - 4}{1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 2}{- 1}$ đi qua M(4;−3;2) và nhận $\vec{u} = (1; 2; - 1)$ làm VTCP nên

$Δ : \{\begin{matrix} x = 4 + t \\ y = - 3 + 2 t \\ z = 2 - t \end{matrix}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 9:

Cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z + 1}{2}$ và các điểm $A (1; 1; - 1), B (- 1; - 1; 1), C (2; \frac{1}{2}; 0) . a$ Chọn mệnh đề đúng:

A.A và B đều thuộc d

B.B và C đều thuộc d

C.A và C đều thuộc d

D.chỉ có A thuộc d

Xem đáp án

Ta có:

$\begin{array}{l} \frac{1 - 1}{2} = \frac{1 - 1}{- 1} = \frac{- 1 + 1}{2} = 0 \Rightarrow A \in d \\ \frac{- 1 - 1}{2} \neq \frac{- 1 - 1}{- 1} \neq \frac{1 + 1}{2} \Rightarrow B \notin d \\ \frac{2 - 1}{2} = \frac{\frac{1}{2} - 1}{- 1} = \frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow C \in d \end{array}$

Do đó cả hai điểm A và C đều thuộc d.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 10:

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M(2,0,−1) và có vecto chỉ phương $\vec{a} = (4, - 6,2)$ . Phương trình tham số của đường thẳng d là:

A. $\{\begin{matrix} x = 2 + 2 t \\ y = - 3 t \\ z = - 1 + t \end{matrix}$

B. $\{\begin{matrix} x = - 2 + 2 t \\ y = - 3 t \\ z = 1 + t \end{matrix}$

C. $\{\begin{matrix} x = - 2 + 4 t \\ y = - 6 t \\ z = 1 + 2 t \end{matrix}$

D.

\{\begin{matrix} x = 4 + 2 t \\ y = - 3 t \\ z = 2 + t \end{matrix}

Xem đáp án

Ta có $\vec{a} = (4; - 6; 2) = 2 (2; - 3; 1)$ nên chọn $\vec{u} = (2; - 3; 1)$ là vecto chỉ phương của d.

Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(2,0,−1) và có vecto chỉ phương

$\vec{u} = (2; - 3; 1)$ là $\{\begin{matrix} x = 2 + 2 t \\ y = - 3 t \\ z = - 1 + t \end{matrix}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 11:

Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A(1,2,−3) và B(3,−1,1)?

A. $\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 2}{- 3} = \frac{z - 3}{4}$

B. $\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z + 3}{1}$

C. $\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{- 3}$

D.

\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z + 3}{4}

Xem đáp án

Phương trình đường thẳng AB nhận $\vec{A B} = (2; - 3; 4)$ là vectơ chỉ phương. Loại B, C.

Phương trình qua A(1,2,−3) nên có dạng $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z + 3}{4}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 12:

Trong không gian Oxyz, cho tam giác OAB với A(1;1;2),B(3;−3;0). Phương trình đường trung tuyến OI của tam giác OAB là

A. $\frac{x}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z}{1}$

B. $\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$

C. $\frac{x}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z}{- 1}$

D.

\frac{x}{- 2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}

Xem đáp án

Ta có I là trung điểm của AB. Suy ra I(2,−1,1)

Ta có OI nhận $\vec{O I} = (2; - 1; 1)$ là vectơ chỉ phương và đi qua điểm O(0,0,0) nên $d : \frac{x}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z}{1}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 13:

Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A(1,2,−3) và B(3,−1,1)?

A. $\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 2}{- 3} = \frac{z - 3}{4}$

B. $\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z + 3}{1}$

C. $\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{- 3}$

D.

\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z + 3}{4}

Xem đáp án

Phương trình đường thẳng AB nhận $\vec{A B} = (2; - 3; 4)$ là vectơ chỉ phương. Loại B, C.

Phương trình qua A(1,2,−3) nên có dạng $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z + 3}{4}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 14:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2,1,3) và đường thẳng $d' : \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{1}$ . Gọi d là đường thẳng đi qua A và song song d′. Phương trình nào sau đây không phải là phương trình đường thẳng d?

A. $\{\begin{matrix} x = 2 + 3 t \\ y = 1 + t \\ z = 3 + t \end{matrix}$

B. $\{\begin{matrix} x = - 1 + 3 t \\ y = t \\ z = 2 + t \end{matrix}$

C. $\{\begin{matrix} x = 5 - 3 t \\ y = 2 - t \\ z = 4 - t \end{matrix}$

D.

\{\begin{matrix} x = - 4 + t \\ y = - 1 + t \\ z = 2 + t \end{matrix}

Xem đáp án

Phương trình đường thẳng d có vecto chỉ phương là
$\vec{u} = (3,1,1)$ và đi qua điểm A(2,1,3) nên có phương trình $\{\begin{matrix} x = 2 + 3 t \\ y = 1 + t \\ z = 3 + t \end{matrix}$

+ Phương án A đúng.

+ Với t=−1 ta có B(−1,0,2) thuộc d . Do đó B đúng.

+ Với t=1, ta có C(5,2,4) thuộc d . Do đó C đúng.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 15:

Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1;2;−3) và song song với trục Oz là:

A. $\{\begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 \\ z = - 3 \end{matrix}$

B. $\{\begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 + t \\ z = - 3 \end{matrix}$

C. $\{\begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3 + t \end{matrix}$

D.

\{\begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = - 3 \end{matrix}

Xem đáp án

Vì d//Oz nên ta có $\vec{u_{d}} = \vec{k} = (0,0,1)$ . Vì d qua A(1,2,−3) nên d có phương trình $\{\begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = - 3 + t \end{matrix}$

Đối chiếu kết quả các đáp án ta thấy:

+ A,B, D sai vecto chỉ phương.

+ Đáp án C đúng vecto chỉ phương $\vec{u_{d}}$ . Kiểm tra điểm B(1,2,3) thuộc (*) nên C đúng.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 16:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 3}{1} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z - 5}{- 2}$ và các điểm $A (3 + m; 4 + m; 5 - 2 m), B (4 - n; 5 - n; 3 + 2 n)$ với m,n là các số thực. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $A \notin d, B \in d$

B. $A \in d, B \in d$

C. $A \in d, B \notin d$

D.

A \notin d, B \notin d

Xem đáp án

- Thay tọa độ điểm $A (3 + m; 4 + m; 5 - 2 m)$ vào phương trình đường thẳng d ta có: $\frac{3 + m - 3}{1} = \frac{4 + m - 4}{1} = \frac{5 - 2 m - 5}{- 2} \Leftrightarrow m = m = m$ (luôn đúng) $\Rightarrow A \in d$

- Thay tọa độ điểm $B (4 - n; 5 - n; 3 + 2 n)$ vào phương trình đường thẳng d ta có:

$\frac{4 - n - 3}{1} = \frac{5 - n - 4}{1} = \frac{3 + 2 n - 5}{- 2} \Leftrightarrow 1 - n = 1 - n = 1 - n$ (luôn đúng) $\Rightarrow B \in d$

Vậy $A \in d, B \in d$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 17:

Phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1,2,3) và vuông góc với 2 đường thẳng cho trước: $d_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{- 1}$ và $d_{2} : \frac{x - 2}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{2}$ là:

A. $d : \frac{x - 1}{4} = \frac{y - 2}{- 7} = \frac{z - 3}{- 1}$

B. $d : \frac{x - 1}{4} = \frac{y - 2}{7} = \frac{z - 3}{1}$

C. $d : \frac{x - 1}{- 4} = \frac{y - 2}{- 7} = \frac{z - 3}{1}$

D.

d : \frac{x - 1}{4} = \frac{y - 2}{- 7} = \frac{z - 3}{1}

Xem đáp án

Ta có $\vec{u_{d_{1}}} = (2,1, - 1)$ và $\vec{u_{d_{2}}} = (3,2,2)$

Vì d vuông góc với $d_{1}$ và $d_{2}$ nên có $\vec{u_{d}} = [\vec{u_{d_{1}}}, \vec{u_{d_{2}}}] = (4; - 7; 1)$

Vì d qua A(1,2,3) nên có phương trình $d : \frac{x - 1}{4} = \frac{y - 2}{- 7} = \frac{z - 3}{1}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 18:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2,0,0),B(0,3,0),C(0,0,−4). Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Tìm phương trình tham số của đường thẳng OH trong các phương án sau:

A. $\{\begin{matrix} x = 6 t \\ y = - 4 t \\ z = - 3 t \end{matrix}$

B. $\{\begin{matrix} x = 6 t \\ y = 2 + 4 t \\ z = - 3 t \end{matrix}$

C. $\{\begin{matrix} x = 6 t \\ y = 4 t \\ z = - 3 t \end{matrix}$

D.

\{\begin{matrix} x = 6 t \\ y = 4 t \\ z = 1 - 3 t \end{matrix}

Xem đáp án

H là trực tâm của $Δ A B C \Leftrightarrow \{\begin{matrix} \vec{A H} . \vec{B C} = 0 \\ \vec{B H} . \vec{A C} = 0 \\ [\vec{A B}, \vec{A C}] . \vec{A H} = 0 \end{matrix}$

Ta giả sử H(x,y,z), ta có

$\vec{B C} = (0, - 3, - 4)$

$\vec{A C} = (- 2,0, - 4)$

$\vec{A H} = (x - 2, y, z)$

$\vec{B H} = (x, y - 3, z)$

$\vec{A B} = (- 2,3,0)$

Điều kiện $\vec{A H} . \vec{B C} = 0 \Leftrightarrow 3 y + 4 z = 0$

Điều kiện $\vec{B H} . \vec{A C} = 0 \Leftrightarrow x + 2 z = 0$

Ta tính $[\vec{A B}, \vec{A C}] = (- 12, - 8,6)$

Điều kiện

[\vec{A B}, \vec{A C}] . \vec{A H} = 0 \Leftrightarrow - 12 (x - 2) - 8 y + 6 z = 0 \Leftrightarrow - 6 x - 4 y + 3 z + 12 = 0

Giải hệ $\{\begin{matrix} 3 y + 4 z = 0 \\ x + 2 z = 0 \\ - 6 x - 4 y + 3 z + 12 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = \frac{72}{61} \\ y = \frac{48}{61} \\ z = \frac{- 36}{61} \end{matrix}$

Suy ra $H (\frac{72}{61}, \frac{48}{61}, \frac{- 36}{61})$

Suy ra $\vec{O H} = (\frac{72}{61}, \frac{48}{61}, \frac{- 36}{61})$ là vecto chỉ phương của OH.

Chọn $\vec{u} = (6,4, - 3)$ là vecto chỉ phương của OH và OH qua O(0,0,0)O(0,0,0) nên phương trình tham số là $\{\begin{matrix} x = 6 t \\ y = 4 t \\ z = - 3 t \end{matrix}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 19:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x + 1}{1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z + 2}{2}$ và điểm A(3;2;0). Điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng dd có tọa độ là A′(a;b;c). Tính a+b+c.

Xem đáp án

Bước 1: Tìm vecto chỉ phương và tham số hóa hình chiếu M của A lên d.

Ta có:

$d : \{\begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = - 3 + 2 t \\ z = - 2 + 2 t \end{matrix}; \vec{u_{d}} = (1; 2; 2)$

Gọi M là hình chiếu vuông góc của A trên d và A′ đối xứng A qua d.

Suy ra $M (m - 1; 2 m - 3; 2 m - 2)$

Bước 2: Biểu diễn $\vec{A M}$ theo tham số và tìm điểm A'.

$\vec{A M} = (m - 4; 2 m - 5; 2 m - 2)$

Khi đó

$\vec{A M} . {\vec{u}}_{d} = 0 \Rightarrow (m - 4) + 2 (2 m - 5) + 2 (2 m - 2) = 0 \Leftrightarrow 9 m = 18 \Leftrightarrow m = 2.$

Vậy M(1;1;2) và M là trung điểm AA′ nên A′(−1;0;4).

Vậy $a + b + c = 3$

Câu 20:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $Δ : \{\begin{matrix} x = 2 + (m^{2} - 2 m) t \\ y = 5 - (m - 3) t \\ z = 7 - 2 \sqrt{2} \end{matrix}$

và điểm A(1;2;3). Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để khoảng cách từ A đến đường thẳng $Δ$ có giá trị nhỏ nhất. Tổng các phần tử của S là

A. $\frac{5}{6}$

B. $\frac{5}{3}$

C. $\frac{7}{3}$

D.

\frac{3}{5}

Xem đáp án

Đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $M (2; 5; 7 - 2 \sqrt{2})$ và nhận $\vec{u} = (m^{2} - 2 m; 4 - m; 0)$ làm VTCP.

Có $\vec{A M} = (1; 3; 4 - 2 \sqrt{2}) \Rightarrow A M = \sqrt{34 - 16 \sqrt{2}}$

Để $d (A, Δ) = A H_{\min}$ thì $\sin α = \frac{A H}{A M}$ đạt GTNN hay $\cos α$ đạt GTLN.

Mà

$\cos α = \cos (A M, Δ) = \frac{|\vec{A M} . \vec{u}|}{|\vec{A M}| . |\vec{u}|} = \frac{|(m^{2} - 2 m) + 3 (4 - m)|}{\sqrt{34 - 16 \sqrt{2}} . \sqrt{{(m^{2} - 2 m)}^{2} + {(4 - m)}^{2}}}$

Mà $|(m^{2} - 2 m) + 3 (4 - m)| \leq \sqrt{1^{2} + 3^{2}} . \sqrt{{(m^{2} - 2 m)}^{2} + {(4 - m)}^{2}}$

$\Rightarrow \frac{|(m^{2} - 2 m) + 3 (4 - m)|}{\sqrt{34 - 16 \sqrt{2}} . \sqrt{{(m^{2} - 2 m)}^{2} + {(4 - m)}^{2}}} \leq \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{34 - 16 \sqrt{2}}}$

đạt GTLN nếu

$\frac{m^{2} - 2 m}{1} = \frac{4 - m}{3} \Leftrightarrow 3 m^{2} - 6 m = 4 - m \Leftrightarrow 3 m^{2} - 5 m - 4 = 0$

Phương trình này có hai nghiệm phân biệt do ac<0 nên tổng các giá trị của m là $\frac{5}{3}$

Đáp án cần chọn là: B