22 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Câu 1:

Cho hàm số $y = f (x)$ đồng biến trên D và $x_{1}, x_{2} \in D$ mà $x_{1} > x_{2}$ , khi đó:

A. $f (x_{1}) > f (x_{2})$

B. $f (x_{1}) < f (x_{2})$

C. $f (x_{1}) = f (x_{2})$

D. $f (x_{2}) \geq f (x_{1})$

Xem đáp án

Hàm số y = f(x) đồng biến trên D nên:

Với mọi $x_{1}, x_{2} \in D$ mà $x_{1} > x_{2}$ thì $f (x_{1}) > f (x_{2})$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 2:

Cho hàm số $y = f (x)$ nghịch biến và có đạo hàm trên (−5;5). Khi đó:

A. $f (3) > 0$

B. $f^{'} (0) \leq 0$

C. $f^{'} (0) > 0$

D. $f (0) = 0$

Xem đáp án

Vì $y = f (x)$ nghịch biến trên (−5;5) nên $f^{'} (x) \leq 0, \forall x \in (- 5; 5)$ Vậy $f' (0) \leq 0$ .

Đáp án cần chọn là: B

Câu 3:

Hình dưới là đồ thị hàm số $y = f' (x) .$ Hỏi hàm số $y = f (x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Media VietJack

A. (0;1) và $(2; + \infty)$

B.(1;2)

C. $(2; + \infty)$

D.(0;1)

Xem đáp án

Hàm số $y = f' (x)$ dương trong khoảng $(2; + \infty)$

⇒ Hàm số $y = f (x)$ đồng biến trên $(2; + \infty)$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 4:

Cho đa thức f(x) thỏa mãn $\underset{x \to 1}{l i m} \frac{f (x) - 2}{x - 1} = 12$ . Tính $\lim_{x \to 1} \frac{f (x) - 2}{(x^{2} - 1) [f (x) + 1]} = 12$

Xem đáp án

Bước 1:

Đặt $g (x) = \frac{f (x) - 2}{x - 1} \Rightarrow f (x) = (x - 1) g (x) + 2$

$\Rightarrow \lim_{x \to 1} f (x) = \lim_{x \to 1} [(x - 1) g (x) + 2] = 2$

Bước 2:

Ta có:

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 1} \frac{f (x) - 2}{(x^{2} - 1) [f (x) + 1]} \\ = \lim_{x \to 1} \frac{f (x) - 2}{x - 1} . \frac{1}{(x + 1) [f (x) + 1]} \\ = 12. \frac{1}{2. (2 + 1)} = 2 \end{array}$

Câu 5:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định và liên tục trên $ℝ$ và có đạo hàm $f' (x) = x 2 - 4 f' (x) = x 2 - 4$ . Chọn khẳng định đúng:

A.Hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; - 2)$ và $(2; + \infty)$

B.Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- 2; + \infty)$

C.Hàm số đồng biến trên khoảng (−2;2)

D.Hàm số không đổi trên

ℝ

Xem đáp án

Ta có: $f' (x) = x^{2} - 4 > 0 \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x > 2 \\ x < - 2 \end{matrix}$ và $f^{'} (x) = x^{2} - 4 < 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 2$

Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; - 2)$ và $(2; + \infty);$ nghịch biến trên khoảng (−2;2).

Đáp án cần chọn là: A

Câu 6:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ, chọn kết luận đúng:

Media VietJack

A.Hàm số đồng biến trên $(- \infty; 3)$

B.Hàm số đồng biến trên (2;3).

C.Hàm số nghịch biến trên $(- \infty; 3) .$

D.Hàm số nghịch biến trên

(2; + \infty)

Xem đáp án

Từ bảng biến thiên ta thấy: $f^{'} (x) > 0$ trên (2;3) nên hàm số đồng biến trên (2;3).

$f^{'} (x) < 0$ trên $(- \infty; 2)$ và $(3; + \infty)$ nên hàm số nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; 2)$ và $(3; + \infty)$
Đáp án cần chọn là: B

Câu 7:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định và có đạo hàm trên (a;b). Chọn kết luận đúng:

A.Nếu $f' (x) \geq 0, \forall x \in (a; b)$ thì f(x) đồng biến trên (a;b).

B.Nếu $f' (x) \geq 0, \forall x \in (a; b)$ thì f(x) đồng biến trên (a;b).

C.Nếu $f' (x) = 0, \forall x \in (a; b)$ thì $f (x) = 0$ trên (a;b).

D.Nếu

f' (x) \leq 0, \forall x \in (a; b)

thì f(x) không đổi trên (a;b).

Xem đáp án

Đáp án A: Nếu $f' (x) \geq 0, \forall x \in (a; b)$ thì f(x) chưa chắc đã đồng biến trên (a;b), chẳng hạn hàm số $y = f (x) = 2$ có $f^{'} (x) = 0 \geq 0, \forall x$ nhưng đây là hàm hằng nên không đồng biến, do đó A sai.

Đáp án B: Nếu $f' (x) > 0, \forall x \in (a; b)$ thì f(x) đồng biến trên (a;b) đúng.

Đáp án C: Nếu $f' (x) = 0, \forall x \in (a; b)$ thì f(x) không đổi trên (a;b), chưa chắc nó đã có giá trị bằng 0 nên C sai.

Đáp án D: Nếu $f' (x) \leq 0, \forall x \in (a; b)$ thì f(x) không đổi trên (a;b) sai.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 8:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định và có đạo hàm $f' (x) = 2 x^{2}$ trên R. Chọn kết luận đúng:

A.Hàm số đồng biến trên R.

B.Hàm số không xác định tại $x = 0$ .

C.Hàm số nghịch biến trên R.

D.Hàm số đồng biến trên

(0; + \infty)

và nghịch biến trên

(- \infty; 0)

Xem đáp án

Ta có: $f^{'} (x) = 2 x^{2} \geq 0, \forall x \in R$ và $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ nên hàm số đồng biến trên R.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 9:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình bên:

Media VietJack

Hàm số $y = - 2 f (x)$ đồng biến trên khoảng:

A.(1;2)

B.(2;3)

C.(−1;0)

D.(−1;1)

Xem đáp án

Dựa vào đồ thị hàm số ta có hàm số $y = f (x)$ đồng biến trên các khoảng $(- \infty; 0)$ và $(2; + \infty) .$

Hàm số $y = f (x)$ nghịch biến trên (0;2).

Xét hàm số: $y = - 2 f (x)$ ta có: $y^{'} = - 2 f^{'} (x) .$

Hàm số đồng biến $\Leftrightarrow - 2 f^{'} (x) \geq 0 \Leftrightarrow f^{'} (x) \leq 0 \Leftrightarrow 0 \leq x \leq 2.$

Vậy hàm số $y = - 2 f (x)$ đồng biến ⇔ $x \in [0; 2] .$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 10:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau:

Media VietJack

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng:

A.Hàm số nghịch biến trên $(- \infty; 2)$

B.Hàm số nghịch biến trên (−2;0)

C. $f (x) \geq 0, \forall x \in R$

D.Hàm số đồng biến trên (0;3)

Xem đáp án

A, B sai vì hàm số chỉ nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; - 2)$ và (0;2)

D sai vì hàm số chỉ đồng biến trên khoảng (−2;0) và $(2; + \infty)$

C đúng vì giá trị thấp nhất của y trên bảng biến thiên là 0.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 11:

Hàm số $y = - x^{4} - 2 x^{2} + 3$ nghịch biến trên:

A. $(- \infty; 0)$

B. $(- \infty; - 1)$ và (0;1)

C. R

D. $(0; + \infty)$

Xem đáp án

TXĐ: R.

Ta có:

$y^{'} = - 4 x^{3} - 4 x = - 4 x (x^{2} + 1)$

$\Rightarrow y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Ta có bảng biến thiên

Media VietJack

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty)$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 12:

Cho hàm số:

f (x) = - 2 x^{3} + 3 x^{2} + 12 x - 5.

Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai?

A.Trên khoảng (−1;1) thì f(x) đồng biến

B.Trên khoảng (−3;−1) thì f(x) nghịch biến

C.Trên khoảng (5;10) thì f(x) nghịch biến

D.Trên khoảng (−1;3) thì f(x) nghịch biến

Xem đáp án

$f (x) = - 2 x^{3} + 3 x^{2} + 12 x - 5 \Rightarrow f^{'} (x) = - 6 x^{2} + 6 x + 12 = 0 \Leftrightarrow x = 2; x = - 1$

Ta có: $y^{'} < 0, \forall x \in (- \infty; - 1) \cup (2; + \infty)$ nên hàm số nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; - 1); (2; + \infty)$ và $y^{'} > 0, \forall x \in (- 1; 2)$

nên nó đồng biến trên khoảng (−1;2).

Đối chiếu với các đáp án đã cho ta thấy các Đáp án A, B, C đều đúng vì các khoảng đó đều là khoảng nằm trong khoảng nghịch biến hoặc đồng biến của hàm số, chỉ có đáp án D sai.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 13:

Hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ đồng biến trên:

A.(0;2)

B. $(- \infty; 0)$ và $(2; + \infty)$

C. $(- \infty; 2)$

D. $(0; + \infty)$

Xem đáp án

TXĐ: D=R

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} - 6 x$

$\Rightarrow y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc x=2

Ta có bảng biến thiên

Media VietJack

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; 0)$ và $(2; + \infty)$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 14:

Trong tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

y = \frac{1}{3} x^{3} + m x^{2} - m x - m

đồng biến trên R, giá trị nhỏ nhất của m là:

A.−4

B.−1

C.0

D.1

Xem đáp án

Ta có: $y^{'} = x^{2} + 2 m x - m$

Vì nên $a = 1 > 0$ hàm số đồng biến trên R

$\Leftrightarrow x^{2} + 2 m x - m \geq 0, \forall x \in R \Leftrightarrow = m^{2} + m \leq 0 \Leftrightarrow - 1 \leq m \leq 0$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 15:

Tìm các giá trị của tham số m sao cho hàm số $y^{'} = - 3 x^{2} - 2 x + m$ nghịch biến trên R?

A. $m < - 3$

B. $m \leq - \frac{1}{3}$

C. $m < 3$

D. $m \geq - \frac{1}{3}$

Xem đáp án

Ta có : $y^{'} = - 3 x^{2} - 2 x + m$

Để hàm số y là hàm số nghịch biến trên R thì $y^{'} \leq 0, \forall x \in R$

$\Leftrightarrow - 3 x^{2} - 2 x + m \leq 0, \forall x \in R$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} - 3 < 0 \\ Δ' = 1 + 3 m \leq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow m \leq - \frac{1}{3}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 16:

Xác định giá trị của tham số m để hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} - m$ nghịch biến trên khoảng (0;1).

A. $m \geq \frac{1}{2}$

B. $m < \frac{1}{2}$

C. $m \leq 0$

D. $m \geq 0$

Xem đáp án

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} - 6 m x \Rightarrow y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Trường hợp 1: $m < 0$

Dễ thấy hàm số trên khoảng (0;1) đồng biến với mọi $m < 0$ (loại)

Trường hợp 2: $m = 0$

Với $m = 0$ thì $y^{'} = 3 x^{2} \geq 0$ nên hàm số đồng biến trên RR .

Do đó hàm số đồng biến trên (0;1) (loại)

Trường hợp 3: $m > 0$

Dễ thấy hàm số trên khoảng (0;1) nghịch biến $\Leftrightarrow 2 m \geq 1 \Leftrightarrow m \geq \frac{1}{2}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 17:

Tìm m để hàm số $y^{'} = \frac{x^{3}}{3} - 2 m x^{2} + 4 m x + 2$ nghịch biến trên khoảng (−2;0).

A. $m < - \frac{1}{3}$

B. $m ⩽ - \frac{1}{3}$

C. $m ⩽ - \frac{4}{3}$

D. $m ⩽ 0$

Xem đáp án

Ta có: $y^{'} = x^{2} - 4 m x + 4 m$

Hàm số nghịch biến trên

$(- 2; 0) \Rightarrow y^{'} ⩽ 0, \forall x \in (- 2; 0) \Leftrightarrow x^{2} - 4 m x + 4 m ⩽ 0, \forall x \in (- 2; 0)$

$\Leftrightarrow x^{2} - 4 m (x - 1) ⩽ 0 \Leftrightarrow 4 m (x - 1) ⩾ x^{2} \Leftrightarrow 4 m ⩽ \frac{x^{2}}{x - 1}$ (vì −2<x<0)

Xét hàm $g (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}$ trên (−2;0) ta có:

$g' (x) = \frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \notin (- 2; 0) \\ x = 2 \notin (- 2; 0) \end{matrix} \Rightarrow g' (x) > 0, \forall x \in (- 2; 0)$

Do đó hàm số $y = g (x)$ đồng biến trên (−2;0)

Suy ra $g (- 2) < g (x) < g (0), \forall x \in (- 2; 0)$ hay $- \frac{4}{3} < g (x) < 0, \forall x \in (- 2; 0)$

Khi đó

4 m \leq g (x), \forall x \in (- 2; 0) \Leftrightarrow 4 m \leq - \frac{4}{3} \Leftrightarrow m \leq - \frac{1}{3}

Vậy $m ⩽ - \frac{1}{3}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 18:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $ℝ$ và có đạo hàm $f' (x) = x^{2} (x - 2) (x^{2} - 6 x + m)$ với mọi $x \in ℝ$ . Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn $[- 2019; 2019]$ để hàm số $g (x) = f (1 - x)$ nghịch biến trên khoảng $(- \infty; - 1) ?$

A.2010.

B.2012.

C.2011.

D.2009.

Xem đáp án

Ta có:

$g^{'} (x) = {[f (1 - x)]}^{'} = {(1 - x)}^{'} f^{'} (1 - x) = - f^{'} (1 - x)$

$= - {(1 - x)}^{2} (1 - x - 2) [{(1 - x)}^{2} - 6 (1 - x) + m]$

$\begin{array}{l} = - {(1 - x)}^{2} (- 1 - x) (x^{2} + 4 x + m - 5) \\ = {(x - 1)}^{2} (x + 1) (x^{2} + 4 x + m - 5) \end{array}$

Hàm số g(x) nghịch biến trên

(- \infty; - 1)

\Leftrightarrow g^{'} (x) \leq 0, \forall x \in (- \infty; - 1) \Leftrightarrow (x + 1) (x^{2} + 4 x + m - 5) \leq 0, \forall x \in (- \infty; - 1)

\Leftrightarrow x^{2} + 4 x + m - 5 \geq 0, \forall x \in (- \infty; - 1)

(do

x + 1 < 0, \forall x \in (- \infty; - 1)

\Leftrightarrow h (x) = x^{2} + 4 x - 5 \geq - m \forall x \in (- \infty; - 1)

\Leftrightarrow - m \leq \min_{(- \infty; - 1]} h (x)

Ta có:

h^{'} (x) = 2 x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = - 2

BBT:

Media VietJack

Dựa vào BBT ta có $- m \leq - 9 \Leftrightarrow m \geq 9$

Mà

m \in [- 2019; 2019]

và m nguyên nên

m \in [9; 10; 11; ...; 2019]

hay

có $2019 - 9 + 1 = 2011$ giá trị của m thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 19:

Cho f(x) mà đồ thị hàm số $y = f' (x)$ như hình bên. Hàm số $y = f (x - 1) + x^{2} - 2 x$ đồng biến trên khoảng?

Media VietJack

A.(1;2)

B.(−1;0)

C.(0;1)

D.(−2;−1)

Xem đáp án

Ta có: $y^{'} = f^{'} (x - 1) + 2 x - 2 = 0 \Leftrightarrow f^{'} (x - 1) + 2 (x - 1) = 0$

Đặt $t = x - 1$ ta có $f^{'} (t) + 2 t = 0 \Leftrightarrow f^{'} (t) - (- 2 t) = 0$

Vẽ đồ thị hàm số $y = f^{'} (t)$ và $y = - 2 t$ trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có:

Media VietJack

Xét $y^{'} \geq 0 \Leftrightarrow f^{'} (t) \geq - 2 t \Rightarrow$ Đồ thị hàm số $y = f' (t)$ nằm trên đường thẳng $y = - 2 t$ .

Xét $x \in (1; 2) \Rightarrow t \in (0; 1) \Rightarrow$ thỏa mãn.

Xét $x \in (- 1; 0) \Rightarrow t \in (- 2; - 1) \Rightarrow$ Không thỏa mãn.

Xét $x \in (0; 1) \Rightarrow t \in (- 1; 0) \Rightarrow$ Không thỏa mãn.

Xét $x \in (- 2; - 1) \Rightarrow t \in (- 3; - 2) \Rightarrow$ Không thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 20:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \frac{m x^{} - 4}{2 x + m}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó?

A. $m = 0$

B $. - 2 < m < 2$

C. $m = - 1$

D.

[\begin{matrix} m < - 2 \\ m > 2 \end{matrix}

Xem đáp án

Ta có $y^{'} = \frac{m^{2} - 4}{{(2 x + m)}^{2}}$

Để hàm số đã cho nghịch biến thì y′ < 0

$\Leftrightarrow m^{2} - 4 < 0 \Rightarrow - 2 < m < 2$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 21:

Bất phương trình $\sqrt{2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x + 16} - \sqrt{4 - x} ⩾ 2 \sqrt{3}$ có tập nghiệm là $[a; b] .$ Hỏi tổng $a + b$ có giá trị là bao nhiêu?

A.5

B.−2

C.4

D.3

Xem đáp án

ĐKXĐ :

$\{\begin{matrix} 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x + 16 ⩾ 0 \\ 4 - x ⩾ 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} (x + 2) (2 x^{2} - x + 8) ⩾ 0 \\ 4 - x ⩾ 0 \end{matrix} \Leftrightarrow - 2 ⩽ x ⩽ 4$

Tập xác định: $D = [- 2; 4]$

Xét hàm số

$f (x) = \sqrt{2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x + 16} - \sqrt{4 - x}$

$\Rightarrow f^{'} (x) = \frac{6 x^{2} + 6 x + 6}{2 \sqrt{2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x + 16}} + \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}} > 0$

Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên tập xác định

Ta nhận thấy phương trình $f (1) = 2 \sqrt{3} \Rightarrow$ với $x \geq 1$ thì $f (x) ⩾ f (1) = 2 \sqrt{3}$

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là $[1; 4]$

Do đó tổng $a + b = 5$ .

Đáp án cần chọn là: A

Câu 22:

Cho hàm số đa thức f(x) có đạo hàm tràm trên R. Biết f $(0) = 0$ và đồ thị hàm số $y = f' (x)$ như hình sau.

Media VietJack

Hàm số $g (x) = |4 f (x) + x^{2}|$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?

A. $(4; + \infty)$

B.(0;4).

C. $(- \infty; - 2)$

D.(−2;0).

Xem đáp án

Đặt $h (x) = 4 f (x) + x^{2}$ ta có $h^{'} (x) = 4 f (x) + 2 x = 4 [f^{'} (x) + \frac{x}{2}]$

Số nghiệm của phương trình $h' (x) = 0$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f' (x)$ và đường thẳng $y = - \frac{x}{2}$ .

Vẽ đồ thị hàm số $y = f' (x)$ và đường thẳng $y = - \frac{x}{2}$ trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có:

Media VietJack

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $h' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - 2 \\ x = 0 \\ x = 4 \end{matrix}$

Khi đó ta có BBT hàm số $y = h (x)$ :

Media VietJack

Khi đó ta suy ra được BBT hàm số $g (x) = |h (x)|$ như sau:

Media VietJack

Dựa vào BBT và các đáp án ta thấy hàm số g(x) đồng biến trên (0;4)

Đáp án cần chọn là: B