10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Giới hạn của hàm số có đáp án (Vận dụng)

Câu 1:

Biết rằng $a + b = 4; \lim_{x \to 1} (\frac{a}{1 - x} - \frac{b}{1 - x^{3}})$ hữu hạn. Tính giới hạn $L = \lim_{x \to 1} (\frac{b}{1 - x^{3}} - \frac{a}{1 - x})$

A. -1

B. 2

C. 1

D. -2

Xem đáp án

Câu 2:

Cho hàm số $f (x) = \sqrt{x^{2} + 2 x + 4} - \sqrt{x^{2} - 2 x + 4}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Giới hạn của f(x) khi x→+∞ là 0

B. Giới hạn của f(x) khi x→-∞ là 2

C. Giới hạn của f(x) khi x→+∞ là 2

D. $\lim_{x \to - \infty} f (x) = - \lim_{x \to - \infty} f (x)$

Xem đáp án

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 2 x + 4} - \sqrt{x^{2} - 2 x + 4}$

Ta có

$\begin{array}{l} \lim_{x \to + \infty} f (x) = \lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} + 2 x + 4} - \sqrt{x^{2} - 2 x + 4}) \\ = \lim_{x \to + \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + 2 x + 4} - \sqrt{x^{2} - 2 x + 4}) (\sqrt{x^{2} + 2 x + 4} + \sqrt{x^{2} - 2 x + 4})}{(\sqrt{x^{2} + 2 x + 4} + \sqrt{x^{2} - 2 x + 4})} \\ = \lim_{x \to + \infty} \frac{(x^{2} + 2 x + 4) - (x^{2} - 2 x + 4)}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 4} + \sqrt{x^{2} - 2 x + 4}} \\ = \lim_{x \to + \infty} \frac{4 x}{x \sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}}} + x \sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}}}} \\ = \lim_{x \to + \infty} \frac{4}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}}} + \sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}}}} = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to - \infty} f (x) = \lim_{x \to - \infty} (\sqrt{x^{2} + 2 x + 4} - \sqrt{x^{2} - 2 x + 4}) \\ = \lim_{x \to - \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + 2 x + 4} - \sqrt{x^{2} - 2 x + 4}) (\sqrt{x^{2} + 2 x + 4} + \sqrt{x^{2} - 2 x + 4})}{(\sqrt{x^{2} + 2 x + 4} + \sqrt{x^{2} - 2 x + 4})} \\ = \lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 2 x + 4) - (x^{2} - 2 x + 4)}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 4} + \sqrt{x^{2} - 2 x + 4}} \\ = \lim_{x \to - \infty} \frac{4 x}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 4} + \sqrt{x^{2} - 2 x + 4}} \\ = \lim_{x \to - \infty} \frac{4 x}{- x \sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}}} - x \sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}}}} \\ = \lim_{x \to - \infty} \frac{4}{- \sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}}} - \sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}}}} = \frac{4}{- 1 - 1} = - 2 \end{array}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 3:

Giá trị của giới hạn $\lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} + x} - \sqrt[3]{x^{3} - x^{2}})$

A. $\frac{5}{6}$

B. $+ \infty$

C. -1

D. $- \infty$

Xem đáp án

$\begin{array}{l} \lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} + x} - \sqrt[3]{x^{3} - x^{2}}) \\ = \lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} + x} - x + x - \sqrt[3]{x^{3} - x^{2}}) \\ = \lim_{x \to + \infty} (\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x} + x} + \frac{x^{2}}{x^{2} + x \sqrt[3]{x^{3} - x^{2}} + \sqrt[3]{{(x^{3} - x^{2})}^{2}}}) \\ = \lim_{x \to + \infty} (\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1 } + \frac{1}{1 + \sqrt[3]{1 - \frac{1}{x}} + \sqrt[3]{{(1 - \frac{1}{x})}^{2}} }) \\ = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 4:

Tính $\lim_{x \to - \infty} x \sqrt{\frac{3 x + 2}{2 x^{3} + x^{2} - 1}}$

A. $- \sqrt{\frac{3}{2}}$

B. $\sqrt{\frac{3}{2}}$

C. $\frac{3}{2}$

D. $- \frac{3}{2}$

Xem đáp án

$\begin{array}{l} \lim_{x \to - \infty} x \sqrt{\frac{3 x + 2}{2 x^{3} + x^{2} - 1}} \\ = \lim_{x \to - \infty} (- \sqrt{\frac{x^{2} (3 x + 2)}{2 x^{3} + x^{2} - 1}}) \\ = \lim_{x \to - \infty} (- \sqrt{\frac{3 x^{3} + 2 x^{2})}{2 x^{3} + x^{2} - 1}}) \\ = \lim_{x \to - \infty} (- \sqrt{\frac{3 + \frac{2}{x}}{2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}}) = - \sqrt{\frac{3}{2}} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 5:

Tính $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \sqrt[4]{1 + 4 x} - 1}{x}$

A. $\frac{23}{2}$

B. 24

C. $\frac{3}{2}$

D. 3

Xem đáp án

$\begin{array}{l} \sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \sqrt[4]{1 + 4 x} - 1 \\ = \sqrt{1 + 2 x} - \sqrt{1 + 2 x} + \sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} - \sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} + \sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \sqrt[4]{1 + 4 x} - 1 \\ = (\sqrt{1 + 2 x} - 1) + \sqrt{1 + 2 x} (\sqrt[3]{1 + 3 x} - 1) + \sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . (\sqrt[4]{1 + 4 x} - 1) \\ \Rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \sqrt[4]{1 + 4 x} - 1}{x} \\ = \lim_{x \to 0} (\frac{\sqrt{1 + 2 x} - 1}{x}) + \lim_{x \to 0} (\sqrt{1 + 2 x} . \frac{\sqrt[3]{1 + 3 x} - 1}{x}) + \lim_{x \to 0} (\sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \frac{\sqrt[4]{1 + 4 x} - 1}{x}) \end{array}$

Tính

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 0} (\frac{\sqrt{1 + 2 x} - 1}{x}) = \lim_{x \to 0} (\frac{(\sqrt{1 + 2 x} - 1) (\sqrt{1 + 2 x} + 1)}{x (\sqrt{1 + 2 x} + 1)}) \\ = \lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x (\sqrt{1 + 2 x} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1 + 2 x} + 1} = \frac{2}{1 + 1} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 0} (\sqrt{1 + 2 x .} \frac{(\sqrt[3]{1 + 3 x} - 1)}{x}) \\ = \lim_{x \to 0} (\sqrt{1 + 2 x .} \frac{(\sqrt[3]{1 + 3 x} - 1) [{(\sqrt[3]{1 + 3 x})}^{2} + \sqrt[3]{1 + 3 x} + 1]}{x [{(\sqrt[3]{1 + 3 x})}^{2} + \sqrt[3]{1 + 3 x} + 1]}) \\ = \lim_{x \to 0} (\sqrt{1 + 2 x .} \frac{3 x}{x [{(\sqrt[3]{1 + 3 x})}^{2} + \sqrt[3]{1 + 3 x} + 1]}) \\ = \lim_{x \to 0} (\frac{3 \sqrt{1 + 2 x}}{[{(\sqrt[3]{1 + 3 x})}^{2} + \sqrt[3]{1 + 3 x} + 1]}) = \frac{3.1}{1 + 1 + 1} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 0} (\sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \frac{(\sqrt[4]{1 + 4 x} - 1)}{x}) \\ = \lim_{x \to 0} (\sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \frac{(\sqrt[4]{1 + 4 x} - 1) [{(\sqrt[4]{1 + 4 x})}^{3} + {(\sqrt[4]{1 + 4 x})}^{2} + \sqrt[4]{1 + 4 x} + 1]}{x [{(\sqrt[4]{1 + 4 x})}^{3} + {(\sqrt[4]{1 + 4 x})}^{2} + \sqrt[4]{1 + 4 x} + 1]}) \\ = \lim_{x \to 0} (\sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \frac{4 x}{x [{(\sqrt[4]{1 + 4 x})}^{3} + {(\sqrt[4]{1 + 4 x})}^{2} + \sqrt[4]{1 + 4 x} + 1]}) \\ = \lim_{x \to 0} \frac{4 \sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} .}{{(\sqrt[4]{1 + 4 x})}^{3} + {(\sqrt[4]{1 + 4 x})}^{2} + \sqrt[4]{1 + 4 x} + 1} \\ = \frac{4.1.1}{1 + 1 + 1 + 1} = 1 \end{array}$

Vậy $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \sqrt[4]{1 + 4 x} - 1}{x} = 1 + 1 + 1 = 3$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 6:

Tìm tất cả các giá trị của a để $\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{2 x^{2} + 1} + a x)$ là

A. $a > \sqrt{2}$

B. $a < \sqrt{2}$

C. a > 2

D. a < 2

Xem đáp án

Vì $\lim_{x \to - \infty} x = - \infty$ nên $\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{2 x^{2} + 1} + a x) = \lim_{x \to - \infty} x (- \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}} + a) = + \infty$

$\Leftrightarrow \lim_{x \to - \infty} (- \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}} + a) = a - \sqrt{2} < 0 \Leftrightarrow a < \sqrt{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 7:

Tính $\lim_{x \to + \infty} (\sqrt[n]{(x + 1) (x + 2) ... (x + n)} - x)$ bằng

A. 0

B. $\frac{n + 1}{2}$

C. n

D. 1

Xem đáp án

Đặt $x = \frac{1}{y}$ khi $x \to + \infty : y \to 0$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to + \infty} (\sqrt[n]{(x + 1) (x + 2) ... (x + n)} - x) \\ = \lim_{x \to 0} (\sqrt[n]{(\frac{1}{y} + 1) (\frac{1}{y} + 2) ... (\frac{1}{y} + n)} - \frac{1}{y}) \\ = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y) ... (1 + n y)} - 1}{y} \end{array}$

$\begin{array}{l} * \sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y) ... (1 + n y)} - 1 \\ = \sqrt[n]{1 + y} - \sqrt[n]{1 + y} + \sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y)} - \sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y) + ...} \\ - \sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y) ... (1 + (n - 1) y)} + \sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y) ... (1 + n y)} - 1 \\ = (\sqrt[n]{1 + y} - 1) + \sqrt[n]{1 + y} (\sqrt[n]{1 + 2 y} - 1) + ... + \sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y) ... (1 + (n - 1) y)} (\sqrt[n]{1 + n y} - 1) \\ \Rightarrow \lim_{y \to 0} \frac{\sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y) ... (1 + n y)} - 1}{y} \\ = \lim_{y \to 0} [\frac{(\sqrt[n]{1 + y} - 1)}{y}] + \lim_{y \to 0} [\sqrt[n]{1 + y} \frac{(\sqrt[n]{1 + 2 y} - 1)}{y}] + ... \\ + \lim_{y \to 0} [\sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y) ... (1 + (n - 1) y)} . \frac{(\sqrt[n]{1 + n y} - 1)}{y}] \end{array}$

Tổng quát

$\begin{array}{l} \lim_{y \to 0} [\sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y) ... (1 + (k - 1) y} . \frac{\sqrt[n]{1 + k y} - 1}{y}] \\ = \lim_{y \to 0} [\sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y) ... (1 + (k - 1) y} . \frac{(\sqrt[n]{1 + k y} - 1) [{(\sqrt[n]{1 + k y})}^{n - 1} + {(\sqrt[n]{1 + k y})}^{n - 2} + ... + 1]}{y [{(\sqrt[n]{1 + k y})}^{n - 1} + {(\sqrt[n]{1 + k y})}^{n - 2} + ... + 1]}] \\ = \lim_{y \to 0} \frac{(1 + k y - 1) . \sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y) ... (1 + (k - 1) y)}}{{(\sqrt[n]{1 + k y})}^{n - 1} + {(\sqrt[n]{1 + k y})}^{n - 2} + ... + 1} = \frac{k}{n} \end{array}$

Khi đó

$\begin{array}{l} \lim_{y \to 0} \frac{\sqrt[n]{(1 + y) (1 + 2 y) ... (1 + n y)} - 1}{y} = \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \frac{3}{n} + ... + \frac{n}{n} \\ = \frac{1 + 2 + 3 + ... + n}{n} = \frac{\frac{n (n + 1)}{2}}{n} = \frac{n + 1}{2} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 8:

Biết rằng $\lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 (x^{3} + 3 \sqrt{3})}{3 - x^{2}} = a \sqrt{3} + b$ . Tính $a^{2} + b^{2}$

A. 9

B. 25

C. 5

D. 13

Xem đáp án

$\begin{array}{l} \lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 (x^{3} + 3 \sqrt{3})}{3 - x^{2}} \\ = \lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 (x + \sqrt{3}) (x^{2} - \sqrt{3} x + 3)}{(\sqrt{3} - x) (\sqrt{3} + x)} \\ = \lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 (x^{2} - \sqrt{3} x + 3)}{\sqrt{3} - x} \\ = \frac{2 [{(- \sqrt{3})}^{2} - \sqrt{3} . (- \sqrt{3}) + 3]}{\sqrt{3} - (- \sqrt{3})} = \frac{18}{2 \sqrt{3}} = 3 \sqrt{3} \\ \Rightarrow \{\begin{cases} a = 3 \\ b = 0 \end{cases} \Rightarrow a^{2} + b^{2} = 9 \end{array}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 9:

Tính $\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{x^{2} + 1} + x - 1)$ bằng

A. -1

B. 0

C. $\frac{1}{2}$

D. 1

Xem đáp án

$\begin{array}{l} \lim_{x \to - \infty} (\sqrt{x^{2} + 1} + x - 1) \\ = \lim_{x \to - \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + 1} + x - 1) (\sqrt{x^{2} + 1} - x + 1)}{(\sqrt{x^{2} + 1} - x + 1)} \\ = \lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} + 1 - {(x - 1)}^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1} - x + 1} \\ = \lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} + 1 - x^{2} + 2 x - 1}{\sqrt{x^{2} + 1} - x + 1} \\ = \lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{|x| \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} - x + 1} = \lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- x \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} - x + 1} \\ = \lim_{x \to - \infty} \frac{2}{- \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} - 1 + \frac{1}{x}} = \frac{2}{- 1 - 1 + 0} = - 1 \end{array}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 10:

Giá trị của giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{2 \sqrt{1 + x} - \sqrt[3]{8 - x}}{x}$ là

A. $\frac{5}{6}$

B. $\frac{13}{12}$

C. $\frac{11}{12}$

D. $- \frac{13}{12}$

Xem đáp án

Ta có:

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 0} \frac{2 \sqrt{1 + x} - \sqrt[3]{8 - x}}{x} = \lim_{x \to 0} (\frac{2 \sqrt{1 + x} - 2}{x} + \frac{2 - \sqrt[3]{8 - x}}{x}) \\ = \lim_{x \to 0} (\frac{(2 \sqrt{1 + x} - 2) . (2 \sqrt{1 + x} + 2)}{x . (2 \sqrt{1 + x} + 2)} + \frac{(2 - \sqrt[3]{8 - x}) . (4 + 2 \sqrt[3]{8 - x} + \sqrt[3]{{(8 - x)}^{2}}) }{x . (4 + 2 \sqrt[3]{8 - x} + \sqrt[3]{{(8 - x)}^{2}})}) \\ = \lim_{x \to 0} (\frac{4 (1 + x) - 4}{x (2 \sqrt{x + 1} + 2)} + \frac{8 - (8 - x)}{x . [4 + 2 \sqrt[3]{8 - x} + \sqrt[3]{{(8 - x)}^{2}}]}) \\ = \lim_{x \to 0} \frac{4}{2 \sqrt{x + 1} + 2} + \frac{1}{4 + 2 \sqrt[3]{8 - x} + \sqrt[3]{{(8 - x)}^{2}}} \\ = \frac{4}{2.1 + 2} + \frac{1}{4 + 4 + 4} = \frac{13}{12} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: B