15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Phương pháp quy nạp toán học có đáp án (Nhận biết)

Câu 1:

Trong phương pháp quy nạp toán học, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với n = k thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng đến:

A. n = k -1

B. n = k -2

C. n = k +1

D. n = k +2

Xem đáp án

Đáp án C

Nếu ta giả sử mệnh đề đúng với n = k thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1

Câu 2:

Đối với bài toán chứng minh P(n) đúng với mọi $n \geq p$ với p là số tự nhiên cho trước thì ở bước 1 ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:

A. n = 1

B. n = k

C. n = k + 1

D. n = p

Xem đáp án

Đáp án D

Đối với bài toán chứng minh P(n) đúng với mọi $n \geq p$ với p là số tự nhiên cho trước thì:

- Bước 1: Chứng minh P(n) đúng với n = p

- Bước 2: Với $k \geq p$ là một số nguyên dương tùy ý, giả sử P(n) đúng với n = k, chứng minh P(n) cũng đúng khi n = k + 1.

Từ đó ta thấy, ở bước đầu tiên ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = p chứ không phải n = 1.

Câu 3:

Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến P(n) đúng với mọi số tự nhiên $n \geq p$ (p là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề P(n) đúng với n = k. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $k \neq p$

B. $k \geq p$

C. $k = p$

D. $k < p$

Xem đáp án

Đáp án B

Ở bước 2 ta cần giả sử mệnh đề đúng với n = k với $k \geq p$ .

Câu 4:

Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến P(n) đúng với mọi số tự nhiên $n \geq p$ (p là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:

Bước 1, kiểm tra mệnh đề P(n) đúng với n = p

Bước 2, giả thiết mệnh đề P(n) đúng với số tự nhiên bất kỳ $n = k \geq p$ và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1

Trong hai bước trên:

A. Chỉ có bước 1 đúng.

B. Chỉ có bước 2 đúng.

C. Cả hai bước đều đúng.

D. Cả hai bước đều sai.

Xem đáp án

Đáp án C

Đối với bài toán chứng minh P(n) đúng với mọi $n \geq p$ với p là số tự nhiên cho trước thì:

- Bước 1: Chứng minh P(n) đúng với n = p.

- Bước 2: Với $k \geq p$ là một số nguyên dương tùy ý, giả sử P(n) đúng với n = k, chứng minh P(n) cũng đúng khi n = k + 1.

Từ lý thuyết trên ta thấy cả hai bước trên đều đúng.

Câu 5:

Trong phương pháp quy nạp toán học, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với n = k+1 thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:

A. n = k

B. n = k + 1

C. n = k + 2

D. n = k + 3

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp quy nạp toán học:

- Bước 1: Chứng minh P(n) đúng với n = 1.

- Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý, giả sử P(n) đúng với n = k, chứng minh P(n) cũng đúng khi n = k+1.

Do đó ta thấy, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với n = k+1 thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1

Câu 6:

Một học sinh chứng minh mệnh đề $'' 8^{n} + 1$ chia hết cho 7, $\forall n \in N^{*}'' (*)$ như sau:

Giả sử (*) đúng với n = k tức là $8^{k}$ + 1 chia hết cho 7

Ta có: $8^{k + 1}$ + 1 = 8 $(8^{k} + 1)$ - 7, kết hợp với giả thiết $8^{k}$ + 1 chia hết cho 7 nên suy ra được $8^{k + 1}$ + 1 chia hết cho 7.

Vậy đẳng thức (*) đúng với mọi $n \in N^{*}$

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Học sinh trên chứng minh đúng.

B. Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp.

C. Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp.

D. Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp

Xem đáp án

Đáp án D

Quan sát lời giải trên ta thấy:

Học sinh thực hiện thiếu bước 1: Kiểm tra n = 1 thì $8^{1}$ + 1 = 9 không chia hết cho 7 nên mệnh đề đó sai.

Câu 7:

Với $n \in N^{*}$ , ta xét các mệnh đề:

P: “ $7^{n}$ + 5 chia hết cho 2”;

Q: “ $7^{n}$ + 5 chia hết cho 3” và

R: “ $7^{n}$ + 5 chia hết cho 6”.

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

A. 3

B. 0

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Đáp án A

Bằng quy nạp toán học ta chứng minh được $7^{n}$ + 5 chia hết cho 6.

Thật vậy, với ta có: $7^{n}$ + 5 =12 $⋮$ 6

Giả sử mệnh đề đúng với n = k, nghĩa là $7^{k}$ + 5 chia hết cho 6, ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh $7^{k + 1}$ + 5 chia hết cho 6.

Ta có: $7^{k + 1}$ + 5 = 7( $7^{k}$ + 5) − 30

Theo giả thiết quy nạp ta có $7^{k}$ + 5 chia hết cho 6, và 30 chia hết cho 6 nên 7( $7^{k}$ + 5) − 30 cũng chia hết cho 6.

Do đó mệnh đề đúng với n = k + 1.

Vậy $7^{n}$ + 5 chia hết cho 6 với mọi $n \in N^{*}$

Mọi số chia hết cho 6 đều chia hết cho 2 và chia hết cho 3.

Do đó cả 3 mệnh đề đều đúng.

Câu 8:

Giả sử Q là tập con thật sự của tập hợp các số nguyên dương sao cho

a) $k \in Q$

b) $n \in Q \Rightarrow n + 1 \in Q \forall n \geq k$

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. Mọi số nguyên dương đều thuộc Q.

B. Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc Q.

C. Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc Q.

D. Mọi số nguyên đều thuộc Q.

Xem đáp án

Đáp án B

Đáp án A: sai vì Q là tập con thực sự của $N *$ nên tồn tại số nguyên dương không thuộc Q.

Đáp án B: đúng vì theo lý thuyết của phương pháp quy nạp toán học.

Đáp án C: sai vì theo giả thiết thì phải là số tự nhiên lớn hơn k thuộc Q.

Đáp án D: sai vì số nguyên âm không thuộc Q.

Câu 9:

Tìm số nguyên dương p nhỏ nhất để $2^{n} > 2 n + 1$ với mọi số nguyên $n \geq p$

A. p = 5

B. p = 3

C. p = 4

D. p = 2

Xem đáp án

Câu 10:

Với $n \in N^{*}$ , hãy rút gọn biểu thức $S = 1 .4 + 2 .7 + 3 .10 + . ..$ $+ n (3 n + 1)$

A. $S = n {(n + 1)}^{2}$

B. $S = n {(n + 2)}^{2}$

C. $S = n (n + 1)$

D. $S = 2 n (n + 1)$

Xem đáp án

Đáp án A

Để chọn được S đúng, chúng ta có thể dựa vào một trong ba cách sau đây:

Cách 1: Kiểm tra tính đúng –sai của từng phương án với những giá trị của n.

Với n = 1 thì S = 1.4 = 4 (loại ngay được phương án B và C).

Với n = 2 thì

S = 1.4 + 2.7 = 18 (loại được phương án D).

Cách 2: Bằng cách tính S trong các trường hợp n = 1, S = 4; n = 2, S = 18; n = 3, S = 48 ta dự đoán được công thức $S = n {(n + 1)}^{2}$

Cách 3: Ta tính S dựa vào các tổng đã biết kết quả như

Câu 11:

Kí hiệu $k! = k (k - 1) . ..2.1, \forall k \in N^{*}$ đặt $S_{n} = 1 .1! + 2 .2! + . .. + n . n!$ . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $S_{n} = 2 . n!$

B. $S_{n} = (n + 1)! - 1$

C. $S_{n} = (n + 1)!$

D. $S_{n} = (n + 1)! + 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của n.

Với $n = 1, S_{1} = 1 .1! = 1$ (Loại ngay được các phương án A, C, D).

Câu 12:

Với mỗi số nguyên dương n, đặt $S = 1^{2} + 2^{2} + . .. + n^{2}$ . Mệnh đề nào dưới đây là đúng

A. $S = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{6}$

B. $S = \frac{n (n + 1) (2 n + 2)}{3}$

C. $S = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

D. $S = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Cách 1: (trắc nghiệm) Kiểm tra tính đúng – sai của từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thông qua một số giá trị cụ thể của nn.

+ Với n = 1 thì $S = 1^{2} = 1$ (loại được các phương án B và D);

+ Với n = 2 thì $S = 1^{2} + 2^{2} = 5$ (loại được phương án A).

Vậy phương án đúng là C.

Cách 2. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Câu 13:

Với mọi số tự nhiên $n \geq 2$ bất đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $3^{n} > 4 n + 1$

B. $3^{n} > 4 n + 2$

C. $3^{n} > 3 n + 2$

D. Cả ba đều đúng

Xem đáp án

Câu 14:

Tính tổng: 1.4 + 2.7 + … +n.(3n +1)

A. $n . {(n + 1)}^{2}$

B. $(n + 1) . {(n + 2)}^{2}$

C. $(n + 1) . {(2 n - 3)}^{2}$

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Đáp án A

Ta dùng phương pháp quy nạp để chứng minh với mọi số nguyên dương n thì:

$1 .4 + 2 .7 + \cdot \cdot \cdot + n (3 n + 1)$ $= n {(n + 1)}^{2}$

Vậy (1) đúng khi n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Câu 15:

Chứng minh $n^{3} + 3 n^{2} + 5 n$ chia hết cho 3

Xem đáp án