IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 11 Toán Trắc nghiệm Phương pháp quy nạp toán học có đáp án

Trắc nghiệm Phương pháp quy nạp toán học có đáp án

Trắc nghiệm Phương pháp quy nạp toán học có đáp án

  • 1783 lượt thi

  • 17 câu hỏi

  • 18 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có:

 1.4+2.7++n3n+1=nn+12   (1)

Xem đáp án

* Với n =  1:

  Vế trái của (1) =  1.4 = 4;  vế phải của (1) = 1.( 1+1)2 = 4.

 Suy ra Vế trái của (1) = Vế phải của (1).  Vậy (1) đúng với n = 1.

* Giả sử (1) đúng với n= k. Có nghĩa là ta có: 1.4+2.7++k3k+1=kk+12 2

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

1.4+2.7++k3k+1+k+13k+4=k+1k+22

Thật vậy 1.4+2.7++k3k+1=kk+12+k+13k+4=kk+12+k+13k+4 

=(k+1).  [k.(k+1)​   +3k+​   4]=(k+1).(k2+​​​4k+4)  =k+1k+22(đpcm).

Vậy (1) đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.


Câu 2:

Với mỗi số nguyên dương n, gọi un  = 9n  - 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì un luôn chia hết cho 8.

Xem đáp án

* Ta có u1=911=8 chia hết cho 8 (đúng với n = 1).

* Giả sử uk=9k1 chia hết cho 8.

Ta cần chứng minh uk+1=9k+11 chia hết cho 8.

Thật vậy, ta có uk+1=9k+11=9.9k1=99k1+8=9uk+8.

9uk và 8 đều chia hết cho 8, nên uk+1 cũng chia hết cho 8.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 8.


Câu 3:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n2, ta luôn có: 2n +1 >  2n + 3   (*)

Xem đáp án

* Với n = 2 ta có 22+1>2.2+38>7 (đúng).

Vậy (*) đúng với n= 2 .

 * Giả sử với n = k ,k2 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 2k+1 >  2k + 3(1).

* Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k + 1, có nghĩa ta phải chứng minh:

2k+2>2(k+1)+3

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được:

2.2k+1>22k+32k+2>4k+6>2k+5.

 ( vì 4k + 6 >  4k +  5 >  2k +  5 )

Hay 2k+2 > 2 (k+1)+  3

Vậy  (*) đúng với n = k + 1 .

Do đó theo nguyên lí quy nạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương 2


Câu 4:

Tìm công thức tính số hạng tổng quát un theo n của dãy số sau u1=3un+1=un+2

Xem đáp án

Ta có:

u2=u1+2=3+2=5. 

u3=u2+2=5+2=7. 

u4=u3+2=7+2=9. 

u5=u4+2=9+2=11. 

Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát un có dạng:

un=2n+1   n1 

Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức (*)  đúng.

Với n =1 ; u1 =2.1 +1 = 3 (đúng). Vậy (*) đúng với n =1

Giả sử (*)  đúng với n =k.  Có nghĩa ta có: uk = 2k +1 (2)

Ta cần chứng minh (*)  đúng với n = k+1 - có nghĩa là ta phải chứng minh:

uk+1 = 2(k+1)+1= 2k + 3

Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (2) ta có:

uk+1 = uk +2 = 2k +1 +2 = 2k + 3

Vậy (*) đúng khi n = k+1 .

Kết luận (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

Đáp án B


Câu 5:

Xét tính tăng giảm của dãy số (un) biết: un=  1n  2

Xem đáp án

Xét hiệu:  

un+1un=1n+121n2=1n+11n=1n(n+1)<0  n*

Kết luận dãy số (un) là dãy số giảm.

Chọn đáp án B


Câu 6:

Xét tính tăng hay giảm và bị chặn của dãy số : un=2n1n+3;nN*

Xem đáp án

Xét hiệu: un+1un=2n+1n+42n1n+3

=2n2+7n+32n27n+4n+4n+3=7n+4n+3>0;nN*

Vậy: (un) là dãy số tăng.

Ta có un=2n1n+3=2(n+3)7n+3=27n+3

 Suy ra:n*,un<2 nên  (un) bị chặn trên.

 Vì (un) là dãy số tăng n*,u1=14un nên (un) bị chặn dưới. Vậy (un) bị chặn.

Chọn đáp án C.


Câu 7:

Cho dãy số (un) có số hạng tổng quát un=2n+1n+2. Số 16784 là số hạng thứ mấy?

Xem đáp án

Giả sử un=167842n+1n+2=1678484(2n+1)=167(n+2)

168n+84=  167n  +334n=250

Vậy 16784 là số hạng thứ 250 của dãy số (un).

Chọn đáp án C.


Câu 8:

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp n3 +11n  chia hết cho 6.

Xem đáp án

* Với n =1  ta có 13+11.1=12 chia hết cho 6 đúng.

* Giả sử với n = k thì k3 +11k chia hết cho 6.

* Ta phải chứng minh với n =k+1  thì (k+1)3 + 11(k +1) chia hết cho 6.

Thật vậy ta có :

k+13+11k+1=k3+3k2+3k+1+11k+11=(k3+11k)+3k(k+1)+12 *

Ta có; k3 +11k chia hết cho 6 theo bước 2.

k(k+1) là tích 2 số tự  nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 3k(k+1)6

Và 12 hiển nhiên chia hết cho 6.

Từ đó suy ra (*) chia hết cho 6 (đpcm).


Câu 9:

Tìm công thức tính số hạng tổng quát un theo n của  dãy số sau u1=2un+1=2un.

Xem đáp án

* Ta có: 

u2=2u1=2.2=4=22u3=2u2=2.4=8=23u4=2u3=2.8=16=24u5=2u4=2.16=32=25

Từ các số hạng đầu tiên, ta dự đoán số hạng tổng quát un có dạng:  un=2n     n1 

* Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh cộng thức (*)  đúng.

Với n=1 ; có: u1 = 21 = 2 (đúng). Vậy (*) đúng với n= 1

Giả sử (*)  đúng với n= k , có nghĩa ta có: uk = 2k (2)

Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k+1. Có nghĩa là ta phải chứng minh: uk+1 = 2k+ 1.

Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (2) ta có:

uk+1 = 2uk = 2. 2k  = 2k+1

Vậy (*) đúng với n = k+1.  Kết luận (*)  đúng với mọi số nguyên dương n.

Chọn đáp án B.


Câu 10:

Xét tính tăng giảm của dãy số (un)  biết: un=n1n+1

Xem đáp án

Ta có un=n1n+1=12n+1

Xét hiệu un+1un=12n+212n+1

=2n+12n+2=  2(n+2)2(n+1)(n+1).(n+2)=2(n+1)(n+2)>0  n*

Kết luận dãy số (un)  là dãy số tăng.

Chọn đáp án D.


Câu 11:

Cho dãy số un=   7n+55n+7. Tìm mệnh đề đúng?

Xem đáp án

Công thức un được viết lại: un=752455n+7 

Xét hiệu số:un+1un=752455n+1+7752455n+7

=24515n+715n+1+7>0   n1. 

un+1>un. Vậy dãy số (un) là dãy số tăng.

Ta có: 0<15n+7112    n1

0>2455n+725 

 75>752455n+775251un<75. 

Suy ra (un) là một dãy số bị chặn.

Kết luận (un) là một dãy số tăng và bị chặn.

Chọn đáp án A.


Câu 12:

Xét tính bị chặn của dãy số (un) biết: un=11.2+12.3+...+1nn+1

Xem đáp án

Rõ ràng un>0,n* nên (un) bị chặn dưới.

Lại có: 1kk+1=1k1k+1.

 Suy ra un=112+1213+...+1n1n+1=11n+1<1,n* nên (un) bị chặn trên.

Kết luận (un) bị chặn.

Chọn đáp án C.


Câu 13:

Cho dãy số (un) xác định bởi u1=11un+1=10un+19n . Tìm số hạng tổng quát un theo n

Xem đáp án

Ta có: u1 =11 = 10 + 1

          u2 = 10.11 +1 – 9 =102 =100 +2= 102 +2

          u3 =10.102 +1 – 9.2 = 1003 = 1000 + 3 = 103 + 3

Từ đó dự đoán un=10n + n  (1).  Chứng minh:

Với n =1 ta có : u1 = 101 + 1 = 11 (đúng).

Giả công thức (1) đúng với n = k, ta có uk =10k + k   (2).

Ta phải chứng minh (1) đúng với n=k+1. Có nghĩa chứng minh uk+1 =10k+1 + (k+1).

 Thật vậy : uk+1 =10. (10k + k) + 1  9k = 10k+1 + (k+1)

Kết luận : un = 10n + n.

Chọn đáp án B.


Câu 14:

Xét tính tăng giảm của dãy số (un) với un=n2n

Xem đáp án

Dãy số (un)  với un=n2n 

Dễ thấy un>0   nN.  Xét tỉ số: unun+1 

Ta có: unun+1=n2n.2n+1n+1=2nn+1>1  n1 

Thật vậy: 2nn+1>14nn+1>14n>n+13n>1 ( đúng n  1 )

Do đó, un >  un+1 nên (un) là một dãy số giảm.

Chọn đáp án B.


Câu 15:

Cho dãy số (un) biết un=5nn2. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Ta có un=5nn2>0,n*un+1=5n+1n+12

Xét tỉ số 

un+1un=5n+1n+12.n25n=5n2n2+2n+1=n2+2n+1+4n22n1n2+2n+1=1+2nn1+2n21n2+2n+1>1,n*

(n102n(n1)0;  2n212.11=12n(n1)+2n21>0     n   N*)

Vậy (un) là dãy số tăng

Chọn đáp án A


Câu 16:

Cho dãy số (un) biết un=12+122+132+...+1n2. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

Xem đáp án

Ta có: 1k2<1k1k=1k11k,k2

Suy ra  un<12+112+1213+1314+1516+...+1n11n=321n<32

0<un<32,n*

Vậy (un) bị chặn

Chọn đáp án C.


Câu 17:

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un), biết: un=2n133n2

Xem đáp án

Ta có: un+1=2(n+1)133(n+1)2=2n113n+1

Xét hiệu: 

un+1un=2n113n+12n133n2=(2n11).(3n2)(2n13).(3n+1)(3n+1)(3n2)=6n24n33n+22(6n2+2n​​39n  13)(3n+1).(3n2)=35(3n+1)(3n2)>0

với mọi n1.

Suy ra un+1>un  n1 dãy (un ) là dãy tăng.

Mặt khác: un=23353(3n2)un<23  n1

Suy ra un bị chặn trên

n  1  :​  3n2  1  353(3n2)  353.1=  353un23  353=  11

Nên (un) bị chặn dưới.

Vậy dãy (un) là dãy bị chặn.

Chọn đáp án A.


Bắt đầu thi ngay