10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 5: Giải quyết một số vấn đề thực tiễn liên quan đến cấp số nhân có đáp án

Câu 1:

Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 12 288m²). Diện tích mặt trên cùng là

A. 6 m²;

B. 8 m²;

C. 10 m²;

D. 12 m²_.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Diện tích bề mặt của mỗi tầng (kể từ 1) lập thành một cấp số nhân có công bội:

$q = \frac{1}{2}$ và $u_{1} = \frac{12 288}{2} = 6 144$ .

Khi đó diện tích mặt trên cùng là: $u_{11} = u_{1} \cdot q^{10} = \frac{6144}{2^{10}} = 6$

Câu 2:

Một của hàng kinh doanh, ban đầu bán mặt hàng A với giá 100 (đơn vị nghìn đồng). Sau đó, cửa hàng tăng giá mặt hàng A lên 10%. Nhưng sau một thời gian, cửa hàng lại tiếp tục tăng giá mặt hàng đó lên 10%. Hỏi giá của mặt hàng A của cửa hàng sau hai làn tăng giá là bao nhiêu?

A. 120;

B. 121;

C. 122;

D. 200.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Sau lần tăng giá thứ nhất thì giá của mặt hàng A là:

M₁ = 100 + 100.10% = 110.

Sau lần tăng giá thứ hai thì giá của mặt hàng A là:

M₂ = 110 + 110.10% = 121.

Câu 3:

Một người đem 100 triệu đồng đi gửi tiết kiệm với kỳ han 6 tháng, mỗi tháng lãi suất là 0,7% số tiền mà người đó có. Hỏi sau khi hết kỳ hạn, người đó được lĩnh về bao nhiêu tiền?

A. 10⁸.(0,007)⁵ (đồng);

B. 10⁸.(1,007)⁵ (đồng);

C. 10⁸.(0,007)⁶ (đồng);

D. 10⁸.(1,007)⁶ (đồng).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Số tiền ban đầu là M₀ = 10⁸ (đồng)

Đặt r = 0,7% = 0,007

Số tiền sau tháng thứ nhất là: $M_{1} = M_{0} + M_{0} r = M_{0} (1 + r)$ (đồng)

Số tiền sau tháng thứ hai là: $M_{2} = M_{1} + M_{1} r = M_{0} {(1 + r)}^{2}$ (đồng)

Lập luận tương tự, ta có số tiền sau tháng thứ sáu là: M₆ = M₀(+ r)⁶ (đồng)

Do đó $M_{6} = M_{0} {(1 + r)}^{6}; M_{6} = 10^{8} {(1, 007)}^{6}$ .

Vậy sau khi hết kỳ hạn, người đó được lĩnh về 10⁸.(1,007)⁶ (đồng).

Câu 4:

Tỷ lệ tăng dân số của tỉnh M là 1,2% Biết rằng số dân của tỉnh M hiện nay là 2 triệu người. Nếu lấy kết quả chính xác đến hàng nghìn thì sau 9 năm nữa số dân của tỉnh M sẽ là bao nhiêu?

A. 10 320 nghìn người;

B. 3 000 nghìn người;

C. 2 227 nghìn người;

D. 2 300 nghìn người.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Đặt P₀ = 2 000 000 = 2 . 10⁶ và r = 1,2% = 0,012.

Gọi P_n là số dân của tỉnh M sau n năm nữa.

Ta có: $P_{n + 1} = P_{n} + P_{n} r = P_{n} (1 + r)$ .

Suy ra (P_n) là một cấp số nhân với số hạng đầu P₀ và công bội q = 1+ r.

Do đó số dân của tỉnh M sau 10 năm nữa là:

$P_{9} = M_{0} {(1 + r)}^{9} = 2 \cdot 10^{6} \cdot {(1, 012)}^{10} \approx 2 227 000$ .

Câu 5:

Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại nhân đôi một lần. Nếu lúc đầu có 10¹² tế bào thì sau 3 giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?

A. 1024.10¹² tế bào;

B. 256.10¹² tế bào;

C. 512.10¹² tế bào;

D. 512.10¹³ tế bào;

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Lúc đầu có 10²² tế bào và mỗi lần phân chia thì một tế bào tách thành hai tế bào nên ta có cấp số nhân với u₁ = 10²² và công bội q = 2.

Do cứ 20 phút phân đôi một lần nên sau 3 giờ sẽ có 9 lần phân chia tế bào.

Ta có u₁₀ là số tế bào nhận được sau 3 giờ.

Vậy, số tế bào nhận được sau 3 giờ là: $u_{10} = u_{1} q^{9} = 512 \cdot 10^{12} .$

Câu 6:

Ta biết rằng trong một hồ sen; số lá sen ngày hôm sau bằng 3 lần số lá sen ngày hôm trước. Biết rằng ngày đầu có 1 lá sen thì tới ngày thứ 10 hồ sẽ đầy lá sen. Hỏi nếu ngày đầu có 9 lá sen thì tới ngày thứ mấy hồ sẽ đầy lá sen?

B. 7;

C. 8;

D. 6.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Câu 7:

Cho n đường tròn đồng tâm O. Biết rằng r₁ = 2; chu vi đường tròn (O; r₂) có gấp 2 lần chu vi đường tròn (O; r₁);...; chu vi đường tròn (O; r_n) gấp 2 lần chu vi đường tròn (O; r_{n – 1}).Chu vi đường tròn (O; r_n) gấp 256 lần chu vi đường tròn (O; r₁). Hỏi r_{n – 1} là giá trị nào sau đây?

A. 256;

B. 128;

C. 64;

D. 512.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

$\Rightarrow r_{n - 1} = r_{n} : 2 = 256$

Câu 8:

Một du khách vào trường đua ngựa đặt cược, lần đầu đặt 20 000 đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi lần tiền đặt cọc trước. Người đó thua 9 lần liên tiếp và thắng ở lần thứ 10 Hỏi du khác trên thắng hay thua bao nhiêu?

A. Hòa vốn;

B. Thua 20 000 đồng;

C. Thắng 20 000 đồng;

D. Thua 40 000 đồng.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Số tiền du khác đặt trong mỗi lần (kể từ lần đầu) là một cấp số nhân có u₁ = 20 000 và công bội q = 2.

Du khách thua trong 9 lần đầu tiên nên tổng số tiền thua là:

$S_{9} = u_{1} + u_{2} + \dots + u_{9} = \frac{u_{1} (1 - p^{9})}{1 - p} = 10 220 000$

Số tiền mà du khách thắng trong lần thứ 10 là $u_{10} = u_{1} \cdot p^{9} = 10 240 000$ .

Ta có $u_{10} - S_{9} = 20 000 > 0$ nên du khách thắng 20 000 đồng.

Vậy du khác trên thắng 20 000 đồng.

Câu 9:

Một người bắt đầu đi làm được nhận được số tiền lương là 7 000 000 đồng một tháng. Sau 36 tháng người đó được tăng lương 7%. Hằng tháng người đó tiết kiệm 20% lương để gửi vào ngân hàng với lãi suất 0,3%/tháng theo hình thức lãi kép (nghĩa là lãi của tháng này được nhập vào vốn của tháng kế tiếp). Biết rằng người đó nhận lương vào đầu tháng và số tiền tiết kiệm được chuyển ngay vào ngân hàng.

Hỏi sau 36 tháng tổng số tiền người đó tiết kiệm được (cả vốn lẫn lãi) là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng nghìn)

A. 53 296 000 đồng;

B. 53 297 000 đồng;

C. 53 298 000 đồng;

D. 53 290 000 đồng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Câu 10:

Tục truyền rằng nhà vua Ấn Độ cho phép người phát minh ra bàn cờ vua được lựa chọn phần thưởng tùy theo sở thích. Người đó xin nhà vua: ''Bàn cờ có 64 ô, với ô thứ nhất thần xin nhận 1 hạt, ô thứ 2 thì gấp đôi ô đầu, ô thứ 3 thì lại gấp đôi ô thứ hai,… cứ như vậy ô sau nhận số hạt thóc gấp đôi phần thưởng dành cho ô liền trước và thần xin nhận tổng số các hạt thóc ở 64 ô''. Hỏi người đó sẽ nhận được một phần thưởng tương ứng nặng bao nhiêu? (Giả sử 100 hạt thóc nặng 20 gam).

A. 370 tỉ tấn;

B. 369 tỉ tấn;

C. 360 tỉ tấn;

D. 36 tỉ tấn.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Tổng số hạt thóc phần thưởng là tổng 64 số hạng đầu tiên một cấp số nhân với u1 = 1, q = 2.

Suy ra: $S_{64} = \frac{u_{1} (1 - q^{n})}{1 - q} = \frac{1 (1 - 2^{64})}{1 - 2} = 2^{64} - 1$ (hạt thóc)

Quy đổi: 100 hạt thóc nặng 20 gam suy ra 50 000 000 hạt nặng 1 tấn.

Suy ra 264 − 1 hạt thóc nặng $\frac{2^{64} - 1}{50 000 000}$ (tấn) $\approx$ 369 (tỉ tấn).