15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm tổng hợp Chương 2 : Tổ hợp - Xác suất có đáp án (Phần 2)

Câu 1:

Hai đơn vị thi đấu cờ tướng A và B lần lượt có 5 người và 6 người. Cần chọn ra mỗi đơn vị 3 người để ghép cặp thi đấu với nhau. Hỏi có bao nhiêu cách thực hiện như thế?

A. 1200.

B. $C_{5}^{3} . C_{6}^{3}$ .

C. $A_{5}^{3} . C_{6}^{3}$ .

D. $C_{5}^{3} . A_{6}^{3}$ .

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Số cách chọn 3 người từ đơn vị A là $C_{5}^{3}$ cách.

Số cách chọn 3 người từ đơn vị B là $C_{6}^{3}$ cách.

Lấy 1 người trong đơn vị A đi ghép cặp đấu với 1 trong 3 người ở đơn vị B, ta được 3 cách.

Lấy 1 người trong 2 người còn lại ở đơn vị A đi ghép cặp đấu với 1 trong 2 người còn lại ở đơn vị B, ta được 2 cách.

Vậy có $C_{5}^{3} . C_{6}^{3} . 3.2 = 1200$ cách thực hiện việc ghép cặp thi đấu.

Câu 2:

Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số khác nhau mà hai chữ số chẵn đứng kề nhau?

A. 6!.

B. 2.6!.

C. 7!.

D. 2.7!.

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Số số có 7 chữ số khác nhau lập từ các chữ số đã cho: 7!

Xếp 4 chữ số lẻ trên 1 hàng ngang với vị trí bất kì: 4! Cách.

Ở đây giữa sẽ tạo thành 5 khoảng trống (bao gồm 3 khoảng trống giữa hai chữ số lẻ và 2 khoảng trống tại vị trí đầu và cuối). Ở mỗi khoảng trống, ta sẽ điền các chữ số chẵn 2, 4, 6 vào không kể thứ tự sao cho mỗi khoảng trống chỉ có 1 chữ số chẵn: $A_{5}^{3}$

Cách xếp này cũng chính là số số thỏa yêu cầu đề: $A_{5}^{3} . 4! = 2.6!$ .

Câu 3:

Từ các số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3?

A. 192.

B. 202.

C. 211.

D. 180.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: A

Đặt y=23, xét các số x= $a b c d e$ trong đó a,b,c,d,e đôi một khác nhau và thuộc tập {0,1,y,4,5}.

+ Chọn a có 4 cách, chọn b có 4 cách

Chọn c có 3 cách; chọn d có 2 cách và chọn e có 1 cách

Có: 4.4.3.2.1 = 96 số như vậy

Khi ta hoán vị 2,3 trong y ta được hai số khác nhau

Nên có 96.2=192 số thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 4:

Có bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số 0,1,2,4,5,6,8.

A. 252.

B. 520.

C. 480.

D. 368.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: B

Gọi x= $a b c d$ ; a,b,c,d ∈{0,1,2,4,5,6,8}

Vì x là số chẵn d∈{0,2,4,6,8}

TH 1: d=0⇒có 1 cách chọn d.

Với mỗi cách chọn d ta có 6 cách chọn a∈{1,2,4,5,6,8}

Với mỗi cách chọn a,da,d ta có 5 cách chọn b∈{1,2,4,5,6,8}∖{a}

Với mỗi cách chọn a,b,d ta có 4 cách chọn c∈{1,2,4,5,6,8}∖{a,b}

Suy ra trong trường hợp này có 1.6.5.4=120 số.

TH 2: d≠0⇒d∈{2,4,6,8}⇒có 4 cách chọn d

Với mỗi cách chọn d, do a≠0 nên ta có 5 cách chọn: a∈{1,2,4,5,6,8}∖{d}

Với mỗi cách chọn a,d ta có 5 cách chọn b∈{0,1,2,4,5,6,8}∖{a,d}

Với mỗi cách chọn a,b,d ta có 4 cách chọn c∈{0,1,2,4,5,6,8}∖{a,b,d}

Suy ra trong trường hợp này có 4.5.5.4=400 số.

Vậy có tất cả 120+400=520 số cần lập.

Câu 5:

Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ (các viên bi chỉ khác nhau về màu sắc). Lấy ngẫu nhiên một viên bi, rồi lấy ngẫu nhiên một viên bi nữa. Khi tính xác suất của biến cố “Lấy lần thứ hai được một viên bi xanh”, ta được kết quả.

A. $\frac{5}{8}$ .

B. $\frac{5}{9}$ .

C. $\frac{5}{7}$ .

D. $\frac{4}{7}$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: A

Gọi A là biến cố “Lấy lần thứ hai được một viên bi xanh”. Có hai trường hợp xảy ra

Trường hợp 1. Lấy lần thứ nhất được bi xanh, lấy lần thứ hai cũng được một bi xanh. Xác suất trong trường hợp này là $P_{1} = \frac{5}{4} . \frac{4}{7} = \frac{5}{14}$ .

Trường hợp 2. Lấy lần thứ nhất được bi đỏ, lấy lần thứ hai được bi xanh. Xác suất trong trường hợp này là $P_{2} = \frac{3}{8} . \frac{5}{7} = \frac{15}{56}$ .

Vậy $P (A) = P_{1} + P_{2} = \frac{5}{14} + \frac{15}{56} = \frac{35}{56} = \frac{5}{8}$ .

Câu 6:

Trong một môn học, Thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó, 10 câu trung bình và 15 câu dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ cả 3 câu (khó, dễ, trung bình) và số câu dễ không ít hơn 2?

A. 41811.

B. 42802.

C. 56875.

D. 32023.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C

Ta có các trường hợp sau:

TH 1: Đề thi gồm 2D,2TB,1K: $C_{15}^{2} . C_{10}^{2} . C_{5}^{1}$

TH 2: Đề thi gồm 2D,1TB,2K: $C_{15}^{2} . C_{10}^{1} . C_{5}^{2}$

TH 3: Đề thi gồm 3D,1TB,1K: $C_{15}^{3} . C_{10}^{1} . C_{5}^{1}$

Vậy có: $C_{15}^{2} . C_{10}^{2} . C_{5}^{1} + C_{15}^{2} . C_{10}^{1} . C_{5}^{2} + C_{15}^{3} . C_{10}^{1} . C_{5}^{1} = 56875$ đề kiểm tra.

Câu 7:

Có 3 chiếc hộp. Hộp A chứa 3 bi đỏ, 5 bi trắng. Hộp B chứa 2 bi đỏ, 2 bi vàng. Hộp C chứa 2 bi đỏ, 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi lấy một bi từ hộp đó. Xác suất để được một bi đỏ là.

A. $\frac{1}{8}$ .

B. $\frac{1}{6}$ .

C. $\frac{2}{15}$ .

D. $\frac{17}{40}$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: D

Xác suất lấy được 1 hộp bi trong 3 hộp bi là: $\frac{1}{3}$

Xác suất lấy được 1 bi đỏ trong hộp A là $\frac{C_{3}^{1}}{C_{8}^{1}} = \frac{3}{8}$

Xác suất lấy được 1 bi đỏ trong hộp B là $\frac{C_{2}^{1}}{C_{4}^{1}} = \frac{1}{2}$

Xác suất lấy được 1 bi đỏ trong hộp C là $\frac{C_{2}^{1}}{C_{5}^{1}} = \frac{2}{5}$

Xác suất để lấy được 1 bi đỏ là: $\frac{1}{3} . (\frac{3}{8} + \frac{1}{2} + \frac{2}{5}) = \frac{17}{40}$ .

Câu 8:

Tìm hệ số của $x^{5}$ trong khai triển đa thức của: $x {(1 - 2 x)}^{5} + x^{2} {(1 + 3 x)}^{10}$

A. 3320.

B. 2130.

C. 3210.

D. 1313.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: A

Đặt f(x)= $x {(1 - 2 x)}^{5} + x^{2} {(1 + 3 x)}^{10}$

Ta có:

$f (x) = x \sum_{k = 0}^{5} C_{5}^{k} {(- 2)}^{k} . x^{k} + x^{2} . \sum_{i = 0}^{10} C_{10}^{i} {(3 x)}^{i} = \sum_{k = 0}^{5} C_{5}^{k} {(- 2)}^{k} . x^{k + 1} + \sum_{i = 0}^{10} C_{10}^{i} {(3 x)}^{i + 2}$

Vậy hệ số của $x^{5}$ trong khai triển đa thức của f(x) ứng với k=4 và i=3 là: $C_{5}^{4} {(- 2)}^{4} + C_{10}^{3} . 3^{3} = 3320 .$

Câu 9:

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có bốn chữ số chia hết cho 15. Kết quả cần tìm là:

A. 145.

B. 163.

C. 87.

D. 108.

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 10:

Cho các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số thỏa mãn số đó chia hết cho 2 và chữ số 4, 5 phải luôn đứng cạnh nhau?Cho các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số thỏa mãn số đó chia hết cho 2 và chữ số 4, 5 phải luôn đứng cạnh nhau?

A. 300 số.

B. 114 số.

C. 225 số.

D. 120 số.

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Ta có $a b c d ⋮ 2 \Rightarrow c \in \{2; 4; 6; 8\}$ .

Với $d = 4 \Rightarrow c = 5$ , chọn a có 7 cách, chọn b có 7 cách nên có 7.7 = 49 số thỏa mãn.

Với $d = 2$

+) Dạng $\bar{45 c 2}$ chọn c có 6 cách nên có 6 số thỏa mãn.

+) Dạng $\bar{a 452}$ chọn a có 6 cách nên có 6 số thỏa mãn.

Đổi chỗ 4 và 5 thì có $2 . (6 + 6) = 24$ số thỏa mãn.

Tương tự với $d = 6, d = 8 \Rightarrow$ có tất cả $42 + 3.24 = 114$ số thỏa mãn.

Câu 11:

Cho các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 7; 9. Hỏi từ các chữ số đó ta lập được bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 10 và nhỏ hơn 5430?

A. 114.

B. 145.

C. 729.

D. 737.

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Gọi số cần tìm có dạng $a b c d$ . Vì $a b c d$ chia hết cho 10 suy ra .

TH1. Với $a = 5$ , ta có

Nếu $b = 4$ suy ra $c = \{0; 1\}$ , do đó có 2 số cần tìm.
Nếu $b < 4$ suy ra $b = \{0; 1\}$ và $c = \{0; 1; 4; 5; 6; 7; 9\}$ , do đó có 14 số cần tìm.

TH2. Với $a < 5 \Rightarrow a = \{1; 4\}$ suy ra có 2 cách chọn a, 7 cách chọn b, 7 cách chọn c.

Suy ra có $2.7.7 = 98$ số cần tìm.

Vậy có tất cả: 2 + 14 + 98 = 114 số cần tìm.

Câu 12:

Số các số có năm chữ số khác nhau nhỏ hơn 46000 là:

A. 10752.

B. 9072.

C. 1660.

D. 27216.

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Từ tập số $A = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\}$ .

Gọi số cần tìm có dạng $a b c d e$ . Vì $a b c d e$ nên ta xét các trường hợp sau:

TH1. Với $\{\begin{cases} a = 4 \\ b < 6 \Rightarrow b = \{0; 1; 2; 3; 5\} \end{cases}$ $\to$ có 8 cách chọn c, 7 cách chọn d, 6 cách chọn e.

Suy ra có $5.8.7.6 = 1680$ số cần tìm.

TH2. Với $a < 4$ có 9 cách chọn b, 8 cách chọn c, 7 cách chọn d, 6 cách chọn e. Suy ra có $3.9.8.7.6 = 9072$ số cần tìm.

Vậy có tất cả $1680 + 9072 = 10752$ số cần tìm.

Câu 13:

Có 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để 2 học sinh nam xen giữa 3 học sinh nữ? (đổi 2 học sinh bất kì được cách mới)

A. 2880.

B. 5760.

C. 1440.

D. 4320.

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Xếp cố định 3 học sinh nữ vào hàng trước, có 3! cách xếp.

Chọn 2 học sinh nam bất kì cho vào 2 khoảng trống nằm giữa 2 học sinh nữ, số cách chọn là $A_{5}^{2}$ .

Xem nhóm 5 học sinh này là 1 học sinh, lúc này còn 3 học sinh nam vậy là ta đang có 4 học sinh.

Số cách xếp 4 học sinh này thành hàng dọc là 4!.

Vậy số cách xếp cần tìm là: $3! . A_{5}^{2} . 4! = 2880 .$

Câu 14:

Một hộp có 10 phiếu, trong đó có 2 phiếu trúng thưởng. Có 10 người lần lượt lấy ngẫu nhiên mỗi người 1 phiếu. Tính xác suất người thứ ba lấy được phiếu trúng thưởng.

A. $\frac{4}{5}$ .

B. $\frac{3}{5}$ .

C. $\frac{1}{5} .$

D. $\frac{2}{5}$ .

Xem đáp án

Chọn C.

Không gian mẫu là mỗi người lấy ngẫu nhiên 1 phiếu.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $|Ω| = 10!$ .

Gọi A là biến cố Người thứ ba lấy được phiếu trúng thưởng . Ta mô tả khả năng thuận lợi của biến cố A như sau:

Người thứ ba có $C_{2}^{1} = 2$ khả năng lấy được phiếu trúng thưởng.
9 người còn lại có số cách lấy phiếu là 9!.

Suy ra số phần tử của biến cố A là $|Ω_{A}| = 2.9!$ .

Vậy xác suất cần tính $P (A) = \frac{|Ω_{A}|}{|Ω|} = \frac{2.9!}{10!} = \frac{1}{5} .$

Câu 15:

Trong một hộp đựng 7 bi xanh, 5 bi đỏ và 3 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi, tính xác suất để được ít nhất 2 bi vàng được lấy ra.

A. $\frac{37}{455}$ .

B. $\frac{22}{455}$ .

C. $\frac{50}{455}$ .

D. $\frac{121}{455}$ .

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Không gian mẫu $|Ω| = C_{15}^{3}$

Trường hợp 1: Lấy 2 viên bi vàng, 1 viên bi đỏ, 0 viên bi xanh

⇒ có $C_{3}^{2} . C_{5}^{1} . C_{7}^{0}$ cách chọn.

Trường hợp 2: Lấy 2 viên bi vàng, 0 viên bi đỏ, 1 viên bi xanh

⇒ có $C_{3}^{2} . C_{5}^{0} . C_{7}^{1}$ cách chọn.

Trường hợp 3: Lấy 3 viên bi vàng, 0 viên bi đỏ, 0 viên bi xanh

⇒ có $C_{3}^{3} . C_{5}^{0} . C_{7}^{0}$ cách chọn

Do đó suy ra $|Ω_{A}| = C_{3}^{2} . C_{5}^{1} . C_{7}^{0} + C_{3}^{2} . C_{5}^{0} . C_{7}^{1} + C_{3}^{3} . C_{5}^{0} . C_{7}^{0} = 37$ .

$\Rightarrow P (A) = \frac{|Ω_{A}|}{|Ω|} = \frac{37}{C_{15}^{3}} = \frac{37}{455}$ .