10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm tổng hợp Chương 2 : Tổ hợp - Xác suất có đáp án (Phần 3)

Câu 1:

Có 4 cuốn sách toán khác nhau, 3 sách lý khác nhau, 2 sách hóa khác nhau. Muốn sắp và một kệ dài các cuốn sách cùng môn kề nhau, 2 loại toán và lý phải kề nhau thì số cách sắp là:

A. 4!.3!.2!.

B. 2.4!.3!.2!.

C. 3.4!.3!.2!.

D. 4.4!.3!.2!.

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Đối với 3 vị trí của 3 loại sách thì sách hóa chỉ có thể đứng ở đầu hoặc cuối: 2 cách chọn.

Tương ứng mỗi vị trí của loại sách hóa thì số cách xếp các cuốn sách hóa là: 2!

Tương tự, số cách xếp toán và lý là: 2.4!.3!

Vậy tổng số cách xếp cần tìm: 2.4!.3!(2!.2) = 4.4!.3!.2!.

Câu 2:

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt hai lần, chữ số 3 có mặt ba lần và các chữ số còn lại có mặt nhiều nhất một lần?

A. 23100.

B. 11430.

C. 11760.

D. 11340.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: D

Gọi số tự nhiên thỏa mãn bài toán có dạng $a b c d e f g$ .

Xét trường hợp có cả chữ số 0 đứng đầu.

Số cách chọn vị trí cho chữ số 2 là $C_{7}^{2}$

Số cách chọn vị trí cho chữ số 3 là $C_{5}^{3}$

Số cách chọn 2 chữ số còn lại trong tập hợp {0;1;4;5;6;7;8;9} để xếp vào hai vị trí cuối là $A_{8}^{2}$

Do đó có $C_{7}^{2} . C_{5}^{3} . A_{8}^{2} = 11760$ số.

Xét trường hợp chữ số 0 đứng đầu.

a=0 nên có 1 cách chọn.

Số cách chọn vị trí cho chữ số 2 là $C_{6}^{2}$

Số cách chọn vị trí cho chữ số 3 là $C_{4}^{3}$

Số cách chọn chữ số cuối trong tập hợp {1;4;5;6;7;8;9} là 7 cách.

Do đó có $1 . C_{6}^{2} . C_{4}^{3} . 7 = 420$ số.

Vậy có 11760−420=11340 số.

Câu 3:

Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau trong đó có đúng hai chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đứng cạnh nhau?

A. 360.

B. 280.

C. 310.

D. 132.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: A

Gọi A là số tự nhiên có hai chữ số lẻ khác nhau lấy từ các số 0,1,2,3,4,5,6 số cách chọn được A là =6. Số chẵn có 5 chữ số mà hai số lẻ đứng kề nhau phải chứa A và ba trong 4 chữ số 0;2;4;6. Gọi $a b c d$ ; a, b, c, d∈{A,0,2,4,6} là số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

* TH1: Nếu a=A có 1 cách chọn a và $A_{4}^{3}$ cách chọn b, c, d.

* TH2: a≠A có 3 cách chọn a

+ Nếu b=A có 1 cách chọn b và $A_{3}^{2}$ cách chọn c, d.

+ Nếu c=A có 1 cách chọn cc và $A_{3}^{2}$ cách chọn b, d.

Vậy có $A_{3}^{2} . (A_{4}^{3} + 3 (1 . A_{3}^{2} + 1 . A_{3}^{2}))$ =360 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 4:

Một con súc sắc đồng chất được đổ 6 lần. Xác suất để được một số lớn hơn hay bằng 5 xuất hiện ít nhất 5 lần là:

A. $\frac{31}{23328}$ .

B. $\frac{41}{23328}$ .

C. $\frac{51}{23328}$ .

D. $\frac{21}{23328}$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: A

Ta có n(Ω)=6.6.6.6.6.6= $6^{6}$ .

Có các trường hợp sau:

Số bằng 5 xuất hiện đúng 5 lần, lần còn lại xuất hiện 1 trong 5 số 1,2,3,4,6

⇒ có $C_{6}^{5} . C_{5}^{1} = 30$ kết quả thuận lợi.

Số bằng 5 xuất hiện đúng 6 lần ⇒ có 1 kết quả thuận lợi.

Số bằng 6 xuất hiện đúng 5 lần, lần còn lại xuất hiện 1 trong 55 số 1,2,3,4,5

⇒ có $C_{6}^{5} . C_{5}^{1} = 30$ kết quả thuận lợi.

Số bằng 6 xuất hiện đúng 6 lần ⇒ có 1 kết quả thuận lợi.

Vậy xác suất để được một số lớn hơn hay bằng 5 xuất hiện ít nhất 5 lần là

$P = \frac{30 + 1 + 30 + 1}{6^{6}} = \frac{31}{23328}$ .

Câu 5:

Tìm hệ số của $x^{8}$ trong khai triển đa thức ${[1 + x^{2} (1 - x)]}^{8}$

A. 213.

B. 230.

C. 238.

D. 214.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C

Ta có: $[1 + x^{2} {(1 - x)}^{8}] = \sum_{n = 0}^{8} C_{8}^{n} . x^{2 n} . {(1 - x)}^{n} = \sum_{n = 0}^{8} C_{8}^{n} \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} . {(- 1)}^{k} x^{2 n + k}$
với 0≤k≤n≤8.

Số hạng chứa $x^{8}$ ứng với 2n+k=8⇒k=8−2n là một số chẵn.

Thử trực tiếp ta được k=0;n=4 và k=2,n=3.

Vậy hệ số của $x^{8}$ là $C_{8}^{3} . C_{3}^{2} + C_{8}^{4} . C_{4}^{0} = 238$ .

Câu 6:

Đa thức $P (x) = {(1 + 3 x + 2 x^{2})}^{10} = a_{0} + a_{1} x + . . . + a_{20} . x^{20}$ . Tìm $a_{15}$ .

A. $a_{15} = C_{10}^{10} . C_{10}^{5} . 3^{5} + C_{10}^{9} . C_{9}^{6} . 3^{3} + C_{10}^{8} . C_{8}^{7} . 3$ .

B. $a_{15} = C_{10}^{10} . C_{10}^{5} . 2^{5} + C_{10}^{9} . C_{9}^{6} . 2^{6} + C_{10}^{8} . C_{8}^{7} . 2^{7}$ .

C. $a_{15} = C_{10}^{10} . C_{10}^{5} . 2^{5} + C_{10}^{9} . C_{9}^{6} . 3^{3} . 2^{6} + C_{10}^{8} . C_{8}^{7} . 2^{7}$ .

D. $a_{15} = C_{10}^{10} . C_{10}^{5} . 3^{5} . 2^{5} + C_{10}^{9} . C_{9}^{6} . 2^{6} + C_{10}^{8} . C_{8}^{7} . 3 . 2^{7}$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: D

Câu 7:

Một cửa hàng có 3 gói bim bim và 5 cốc mì ăn liền cần xếp vào giá. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho đầu hàng và cuối hàng cùng một loại?

A. 14400.

B. 17620.

C. 37440.

D. Đáp án khác.

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Đối với bài toán ta xét 2 trường hợp:

+) Đầu hàng và cuối hàng đều là gói bim bim:

Số cách chọn 2 gói bim bim xếp ở vị trí đầu hàng và cuối hàng là: $A_{3}^{2}$ (ở đây ta xem cách xếp 1 gói bim bim A ở đầu hàng, gói bim bim B ở cuối hàng với cách xếp gói bim bim A ở cuối hàng còn gói bim bim B ở đầu hàng là khác nhau).

Lúc này, ta còn lại 1 gói bim bim và 5 cốc mì ăn liền, số cách xếp 6 món đồ này vào 1 hàng là: 6!.

Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề là: $A_{3}^{2} . 6!$

+) Đầu hàng và cuối hàng đều là cốc mì ăn liền:

Số cách chọn 2 cốc mì ăn liền xếp ở vị trí đầu hàng và cuối hàng là: $A_{5}^{2}$ .

Lúc này, còn lại 3 cốc mì ăn liền và 3 gói bim bim, số cách xếp 6 người này vào 1 hàng là: 6!.

Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề là: $A_{6}^{2} . 6!$

Số cách xếp tất cả là: $6! (A_{3}^{2} + A_{5}^{2}) = 18720$ .

Câu 8:

Có 8 nhà khoa học Toán (6 nam, 2 nữ) và 5 nhà khoa học Vật Lí (toàn nam). Hỏi có bao nhiêu cách lập một đội gồm 4 nhà khoa học trong đó có cả nam, nữ, cả Toán, Vật Lí?

A. 270.

B. 300.

C. 375.

D. 570.

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Nếu đã có nữ thì rõ ràng có nhà khoa học Toán, nếu đã có nhà khoa học Vật Lí thì chắc chắn có nam. Do đó ta chỉ cần xét các trường hợp sau:

+) Có đúng 1 nữ nhà khoa học Toán, có 2 cách chọn.

Lúc này chỉ cần có nhà khoa học Vật Lí là thỏa mãn đề bài, có thể có hoặc không nhà khoa học Toán nam nào khác, số cách chọn 3 nhà khoa học còn lại là $C_{5}^{1} . C_{6}^{2} + C_{5}^{2} . C_{6}^{1} + C_{5}^{3}$ .

Vậy số cách lập nhóm trong trường hợp này là: $2 . (C_{5}^{1} . C_{6}^{2} + C_{5}^{2} . C_{6}^{1} + C_{5}^{3})$ .

+) Có đúng 2 nữ nhà khoa học Toán, có 1 cách chọn.

Cũng với ý tưởng như trên, chỉ cần có nhà khoa học Vật Lí là thỏa mãn, số cách chọn 2 nhà khoa học còn lại là $C_{5}^{1} . C_{6}^{1} + C_{5}^{2} .$ .

Vậy số cách lập nhóm trong trường hợp này là: $C_{5}^{1} . C_{6}^{1} + C_{5}^{2} .$ .

Vậy số cách lập cần tìm là: $2 . (C_{5}^{1} . C_{6}^{2} + C_{5}^{2} . C_{6}^{1} + C_{5}^{3}) + C_{5}^{1} . C_{6}^{1} + C_{5}^{2} = 375$ .

Câu 9:

Một nhóm sinh viên có 4 nam 2 nữ ngồi và 9 ghế hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho nam ngồi liền nhau, nữ ngồi liền nhau và giữa 2 nhóm có ít nhất 2 ghế?

A. 576.

B. 672.

C. 288.

D. 144.

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Gọi nhóm I là nhóm ghế của 4 bạn nam, số cách xếp là 4!.

Tương tự với 2 bạn nữ là nhóm II với số cách xếp là 2!.

Rõ ràng khi xếp 6 bạn này và hàng 9 ghế thì ta còn 3 ghế trống.

Chia 9 hàng ghế này thành 5 phần có thứ tự, trong đó 2 phần bất kì nào dành cho nhóm I và nhóm II thì 3 phần còn lại sẽ là 3 chiếc ghế trống.

Số cách xếp 2 nhóm vào 9 hàng ghế sao cho nam ngồi liền nhau, nữ ngồi liền nhau là: $A_{5}^{2}$ .

Xem nhóm I, nhóm II và 1 ghế trống ở giữa 2 nhóm này là 1 nhóm đại diện, số nhóm đại diện là 2!.

Lúc này 9 ghế hàng ngang thì còn lại 2 ghế trống.

Tương tự chia 9 hàng ghế làm 3 phần với ý tưởng khi nhóm đại diện rơi vào 1 phần nào đó thì 2 phần còn lại sẽ là ghế trống, khi đó số cách xếp nam ngồi liền nhau, nữ ngồi liền nhau và giữa 2 nhóm có đúng 1 ghế trống là: $2! . A_{3}^{1}$

Vậy số cách xếp cần tìm là: $4! . 2! . (A_{5}^{2} - 2! . A_{3}^{1}) = 672$ .

Câu 10:

Cho tập hợp $A = \{0; 1; 2; 3; 4; 5\}$ . Gọi S là tập hợp các số có 3 chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu.

A. $\frac{1}{5}$ .

B. $\frac{23}{25} .$

C. $\frac{2}{25}$ .

D. $\frac{4}{5}$ .

Xem đáp án

Chọn C.

Gọi số cần tìm của tập S có dạng $a b c$ . Trong đó $\{\begin{cases} a, b, c \in A \\ a \neq 0 \\ a \neq b; b \neq c; c \neq a \end{cases}$ .

Khi đó

Số cách chọn chữ số a có 5 cách chọn vì $a \neq 0$ .
Số cách chọn chữ số b có 5 cách chọn vì $b \neq a$ .
Số cách chọn chữ số c có 4 cách chọn vì $c \neq a$ và $c \neq b$ .

Do đó tập S có 5.5.4 = 100 phần tử.

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập $S$ .

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $|Ω| = C_{100}^{1} = 100$ .

Gọi X là biến cố Số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu .

Khi đó ta có các bộ số là $1 b 2$ hoặc $2 b 4$ thỏa mãn biến cố X và cứ mỗi bộ thì b có 4 cách chọn nên có tất cả 8 số thỏa yêu cầu.

Suy ra số phần tử của biến cố X là $|Ω_{X}| = 8$ .

Vậy xác suất cần tính $P (X) = \frac{|Ω_{X}|}{|Ω|} = \frac{8}{100} = \frac{2}{25}$ .