20 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 100 câu trắc nghiệm Đạo hàm nâng cao (P5)

Câu 1:

Cho hàm số $y = \frac{\sin^{3} x + \cos^{3} x}{1 - \sin x . \cos x}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. 2y” + y = 0.

B. y” + y = 0.

C. y” – y = 0.

D. 2y” – 3y = 0.

Xem đáp án

Chọn B.

Câu 2:

Đẳng thức nào sau đây đúng?

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Chọn A.

Câu 3:

Tính tổng với n ∈ N, n ≥ 2:

$S = 1.2 . C_{n}^{2} + 2.3 . C_{n}^{3} + . . . + (n - 2) (n - 1) C_{n}^{n - 1} + (n - 1) n C_{n}^{n}$

A. (n – 1).(n – 2).2^n-2.

B. n.(n – 1).2^n-2.

C. n.(n – 1).2^{n – 1}.

D. (n – 1).(n – 2).2ⁿ.

Xem đáp án

Chọn B.

Xét hàm số

Suy ra:

f”(x) = (n – 1).n.(1 + x)^n-2

Câu 4:

Tính tổng $S = C_{n}^{0} + 2 C_{n}^{1} + 3 C_{n}^{2} + . . . + (n + 1) C_{n}^{n}$ bằng

A. n.2^n-1.

B. (n + 1).2^n-1.

C. (n + 2).2^n-1.

D. (n + 1).2ⁿ.

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có:

Nhân 2 vế với x ta được:

Lấy đạo hàm 2 vế ta được:

Thay x = 1 ta được:

Câu 5:

Tìm số nguyên dương n sao cho:

$C_{2 n + 1}^{1} - 2.2 . C_{2 n + 1}^{2} + 3 . 2^{2} . C_{2 n + 1}^{3} - 4 . 2^{3} . C_{2 n + 1}^{4} + . . . + (2 n + 1) . 2^{2 n} . C_{2 n + 1}^{2 n + 1} = 2017$

A. n = 1005.

B. n = 1006.

C. n = 1007.

D. n = 1008.

Xem đáp án

Chọn D.

Với ∀x ∈ R ta có:

Lấy đạo hàm hai vế theo x ta được:

Thay x = -2 vào (1) ta được:

Từ yêu cầu bài toán ta có: 2n + 1 2017 ⇔ n = 2018.

Câu 6:

Tính tổng:

$S = 100 . C_{100}^{0} {(\frac{1}{2})}^{99} - 101 . C_{100}^{1} {(\frac{1}{2})}^{100} + . . . + 199 . C_{100}^{0} {(\frac{1}{2})}^{198} + 200 . C_{100}^{100} {(\frac{1}{2})}^{199}$

A. 10.

B. 0.

C. 1.

D. 100.

Xem đáp án

Chọn B.

Xét f(x) = (x² + x)¹⁰⁰ = x¹⁰⁰(1 + x)¹⁰⁰

⇒ f’(x) = 100(2x + 1).(x² + x)⁹⁹

Lấy x = -1/2 ta được:

⇔ S = 0.

Câu 7:

Một chất điểm chuyển động thẳng đều được xác định bởi phương trình : s = 54t + 2, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t = 3 là:

A. 24 m/s².

B. 17 m/s².

C. 14 m/s².

D. Tất cả sai

Xem đáp án

Chọn D.

Gia tốc chuyển động tại t = 3s là s”(3)

Ta có: s’(t) = 54 và s’’(t) = 0

Vậy vật chuyển động với gia tốc là 0 nên tại t = 3 thì a = 0.

Câu 8:

Phương trình chuyển động của một chất điểm s = t³ – 3t² – 9t + 2 (s tính bằng mét, t tính bằng giây). Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm vận tốc bằng 0.

A. 10 m/s².

B. 12 m/s².

C. 8 m/s².

D. 16 m/s².

Xem đáp án

Chọn B.

Câu 9:

Hàm số $y = 2 \sqrt{\sin x} - 2 \sqrt{\cos x}$ có vi phân là:

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Chọn D.

Suy ra

Câu 10:

Xét hàm số $y = f (x) = \sqrt{1 + \cos^{2} 2 x}$ . Chọn câu đúng:

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có :

Suy ra

Câu 11:

Vi phân của hàm số $y = \frac{\tan \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ là:

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có

Câu 12:

Hàm số $y = \sqrt{c o t 2 x}$ có vi phân là:

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Chọn B.

Suy ra

Câu 13:

Hàm số y = sin²x.cosx có vi phân là:

A. dy = sinx(3cos²x – 1)dx.

B. dy = sinx(3cos²x + 1)dx.

C. dy = sinx(cos²x + 1)dx.

D. dy = sinx(cos²x – 1)dx.

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có y’ = (sin²x)’.cosx + sin²x.(cosx)’ = 2cos²xsinx – sin³x

= sinx(2cos²x – sin²x) = sinx(3cos²x – 1)

Suy ra dy = sinx(3cos²x = 1)dx.

Câu 14:

Hàm số $y = f (x) = - \frac{\cos x}{3 \sin^{3} x} + \frac{4}{3} c o t x$ có vi phân là:

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có

Câu 15:

Vi phân của hàm số $y = (\frac{x - 1}{2 (\sqrt{x} + 1)} + 1) \frac{2}{\sqrt{x} + 1} : {(\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 2}} + \frac{x - 2}{\sqrt{x^{2} - 4} - x + 2})}^{2}$ trên tập xác định là