Thứ bảy, 20/07/2024
IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 11 Toán 100 câu trắc nghiệm Tổ hợp - Xác suất nâng cao

100 câu trắc nghiệm Tổ hợp - Xác suất nâng cao

100 câu trắc nghiệm Tổ hợp - Xác suất nâng cao (P1)

  • 22383 lượt thi

  • 25 câu hỏi

  • 25 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Hỏi có bao nhiêu đa thức bậc ba  P(x) =ax3+bx2+cx+d mà  các hệ số a, b, c, d thuộc tập {-3,-2,0,2,3}. Biết rằng: các hệ số tùy ý.

Xem đáp án

Khi các hệ số tùy ý; ta cần thực hiện các bước sau:

Chọn hệ số a: có 4 cách chọn hệ số a vì a≠0.

Chọn hệ số b: có 5 cách chọn hệ số b.

Chọn hệ số c: có 5 cách chọn hệ số c

Chọn hệ số d: có 5 cách chọn hệ số d.

Theo quy tắc nhân có: 4.5.5.5=500 đa thức.

Chọn C.


Câu 2:

Hỏi có bao nhiêu đa thức bậc ba  P(x) =ax3+bx2+cx+d mà  các hệ số a, b, c, d thuộc tập {-3,-2,0,2,3}. Biết rằng các hệ số đều khác nhau.

Xem đáp án

Khi các hệ số khác nhau:

- Có 4 cách chọn hệ số a (a≠0).

- Khi đã chọn a, có 4 cách chọn b.

- Khi đã chọn a và b, có 3 cách chọn c.

- Khi đã chọn a, b và c có 2 cách chọn d.

Theo quy tắc nhân ta có. 4.4.3.2=96 đa thức.

Chọn B.


Câu 3:

Cho các chữ số 0; 1; 2; 4; 5; 6; 8. Hỏi từ các chữ số trên lập được tất cả bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5 mà trong mỗi số chữ số 1 luôn xuất hiện?

Xem đáp án

Gọi số cần tìm có dạng   . Vì    chia hết cho 5 suy ra e =0 hoặc 5.

TH1. Với e=0          

Nếu a=1; thì có 5 cách chọn b; 4 cách chọn c và 3 cách chọn d.

Theo quy tắc nhân có 1.5.4.3=60 số.

Tương tự nếu b=1; c=1 hoặc d=1 ta cũng có 60 số.

Trong trường hợp 1 có tất cả 60.4=240 số cần tìm.

TH2. Với e=5,

Nếu a=1 thì có 5 cách chọn b; 4 cách chọn c và 3 cách chọn c. Theo quy tắc nhân có 1.5.4.3=60 số.

Nếu b= 1 thì có 4 cách chon a( a khác 0); 4 cách chọn c và 3 cách chọn d suy ra có 1.4.4.3=48 số

Tương tự với c=1 hoặc d=1 cũng có 48 số

Trong trường hợp 2 có 60+3.48= 204.

Vậy có tất cả 204+240= 444 số cần tìm.

Chọn A.


Câu 4:

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau chứa chữ số 2 và chia hết cho 5?

Xem đáp án

Giả sử số đó là  

Trường hợp 1: c=0 xếp 2 vào có 2 vị trí, chọn số xếp vào vị trí còn lại có 6 cách nên có 2.6 = 12 số thỏa mãn.

Trường hợp 2 c=5 . Với a=2  chọn b  có 6 cách nên có 6 số thỏa mãn.

Với a khác 2  chọn a  có 5 cách chọn, và tất nhiên b=2 nên có 5 số thỏa mãn.

Do đó có 12+6+5=23  số thỏa mãn.

Chọn D.


Câu 5:

Một người có 7 chiếc áo sơ mi, trong đó có 3 chiếc áo sơ mi trắng; có 5 cái cà vạt trong đó có 2 cà vạt màu vàng. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn một chiếc áo và một cà vạt thỏa mãn điều kiện: nếu chọn áo trắng thì không chọn cà vạt mầu vàng

Xem đáp án

Người đó có hai phương án lựa chọn như sau:

Phương án 1: Không chọn áo sơ mi trắng. Có 4 cách chọn áo và 5 cách chọn cà vạt. Khi đó theo quy tắc nhân, sẽ có 4.5 = 20 cách chọn.

Phương án 2: Chọn áo sơ mi trắng. Có 3 cách chọn áo và 3 cách chọn cà vạt. Khi đó theo quy tắc nhân, sẽ có 3.3 = 9 cách chọn.

Vậy theo quy tắc cộng, số cách chọn áo, cà vạt của người đó là : 20 + 9 = 29 cách lựa chọn.

Chọn B.


Câu 6:

Số 253125000 có bao nhiêu ước số tự nhiên?

Xem đáp án

Ta có 253125000 = 23.34.58 nên mỗi ước số tự nhiên của số đó cho đều có dạng  trong đó  

  

 Có 4 cách chọn m

 Có 5 cách chọn n

 Có 9 cách chọn p

Vậy theo qui tắc nhân ta có 4.5.9=180  ước số tự nhiên.

Chọn C.


Câu 7:

Cho X={1;2;3;4;5;6;7;8;9}. Từ X lập được bao nhiêu số sao cho Có 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 496

Xem đáp án

Phương án 1: chữ số hàng trăm là 4; chữ số hàng chục là 9 thì có 4 số thỏa mãn là 491 và 492; 493; 495

Phương án 2: chữ sỗ hàng trăm là 4; chữ số hàng chục khác 9.

Khi đó; có 7 cách chọn chữ số hàng chục từ tập X ( chữ số hàng chục thuộc {1;2;3;5;6;7;8}

            ứng với mỗi cách chọn chữ số hàng chục có 7 cách chọn chữ số hàng đơn vị.

Theo quy tắc nhân có 1.7.7=49 cách thỏa mãn phương án này.

Phương án 3: chữ số cần lập  nhỏ hơn 400.

Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm;

ứng với mỗi cách chọn chữ số hàng trăm có 8 cách chọn chữ số hàng chục và 7 cách chọn chữ số hàng đơn vị.

Theo quy tắc nhân; có 3.8.7=168 số thỏa mãn phương án này.

Vậy từ quy tắc cộng có: 4+49+168=221 số thỏa mãn.

Chọn A.


Câu 8:

Cho X={1;2;3;4;5;6;7;8;9}. Từ X lập được bao nhiêu số sao cho Có 3 chữ số khác nhau và trong đó phải có chữ số 1

Xem đáp án

Phương án 1: Chữ số hàng trăm là 1.

Khi đó có 8 cách chọn chữ số hàng chục và 7 cách chọn chữ số hàng đơn vị thỏa mãn đề bài.

Theo quy tắc nhân có 8.7=56 số thỏa mãn.

·       Phương án 2: Chữ số hàng chục là 1.

Khi đó có 8 cách chọn chữ số hàng trăm và 7 cách chọn chữ số hàng đơn vị thỏa mãn đề bài.

Theo quy tắc nhân có 8.7=56 số thỏa mãn.

·       Phương án 3: chữ số hàng đơn vị là 1.

Khi đó có 8 cách chọn chữ số hàng trăm và 7 cách chọn chữ số hàng chục.

Theo quy tắc nhân có 8.7=56 số thỏa mãn.

Vậy theo quy tắc cộng; có 56+56+56=168 số thỏa mãn.

Chọn A.


Câu 9:

Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau và hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau.

Xem đáp án

 Gọi x là số có 6 chữ số đôi một khác nhau và hai chữ số 1 và 2 luôn đứng cạnh nhau.

Đặt y=12  khi đó x có dạng  với a;b;c;d;e đôi một khác nhau và thuộc tập {y;3;4;5;6} nên có 5! = 120

Khi hoán vị hai số1;2 ta được một số khác nên có 120.2=240 số x.

Vậy số thỏa yêu cầu bài toán là: P6 - 240 =480số.

Chọn B.


Câu 10:

Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số đôi một khác nhau được lập bằng cách dùng 7 chữ số 1;2;3;4;5;7;9 sao cho hai chữ số chẵn không liền nhau?

Xem đáp án

·    * Mỗi cách lập số có 7 chữ số đôi một khác nhau từ các số 1;2;3;4;5;7; 9   

        là một hoán vị các phần tử của tập { 1;2;3;4;5;7;9}.  

       Do đó; số các số có 7 chữ số khác nhau được lập bằng cách dùng 7 chữ số đã cho là 7! Số.

·      * Ta tính số các số có 7 chữ số khác nhau mà hai chữ số chẵn 2 và 4 đứng kề nhau:

        *Coi 2 và 4 là một nhóm; mỗi  số còn lại mỗi số là 1 nhóm; ta có 6nhóm nên có 6! Cách sắp xếp 6 nhóm đó.

        Với mỗi cách sắp xếp các nhóm ta lại có 2 cách sắp xếp số 2 và 4.

    Do đó; số các số có 7 chữ số khác nhau đôi một sao cho hai chữ số chẵn đứng kề nhau là : 2.6!

* Dùng quy tắc phần bù;ta suy ra số các số có 7 chữ số đôi một khác nhau được lập bằng cách dùng các chữ số 1;2;3;4;5;7;9 và hai số chẵn ko đứng cạnh nhau là: 7!-2.6!=3600 số

Chọn C.


Câu 11:

Có bao nhiêu số tự nhiên trong đó các chữ số khác nhau ; nhỏ hơn 10000 được tạo thành từ năm chữ số: 0;2;5;7;8?

Xem đáp án

Các số tự nhiên nhỏ hơn 10000 có thể là số có 4 chữ số hoặc số có 3 chữ số hoặc số có 2 chữ số   hoặc số có 1 chữ số.

     ·     Trường hợp 1: số cần tìm có 4 chữ số là  

      Có 4 cách chọn a từ năm số đã cho ( a khác 0).

      Có 4 cách chọn b.

      Có 3 cách chọn c.

      Có 2 cách chọn d.

        Theo quy tắc nhân có : 4.4.3.2=96 số có 4 chữ số thỏa mãn đầu bài.

     ·      Trường hợp 2: số cần tìm có ba chữ số

        Có 4 cách chọn a từ năm số đã cho.

        Có 4 cách chọn b.

        Có 3 cách chọn c.

         Theo quy tắc nhân có : 4.4.3=48 số có 3 chữ số thỏa mãn đầu bài.

     ·  Trường hợp 3: số cần tìm có hai chữ số

        Có 4 cách chọn a từ năm số đã cho.

        Có 4 cách chọn b.

        Theo quy tắc nhân có 4.4=16 số có 2 chữ số thỏa mãn.

    ·  Trường hợp 4: số cần lập có 1 chữ số: có 5 số thỏa mãn.

Vậy theo quy tắc cộng có 96+48+16+5=165 số thỏa mãn đầu bài.

Chọn  C.


Câu 12:

Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị?

Xem đáp án

      Nếu chữ số hàng chục là 9 thì có 9 cách chọn chữ số hàng đơn vị thỏa mãn đầu bài.Theo quy tắc nhân có 1.9=9 số.

      Nếu chữ số hàng chục là 8 thì có 8 cách chọn chữ số hàng đơn vị thỏa mãn đầu bài.Theo quy tắc nhân có 1.8=8 số. 

      Nếu chữ số hàng chục là 7 thì có 7 cách chọn chữ số hàng đơn vị thỏa mãn đầu bài.Theo quy tắc nhân có 1.7=7 số.

    ................................

...   Nếu chữ số hàng chục là 1 thì có 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị thỏa mãn đầu bài(là 0).Theo quy tắc nhân có 1.1=1 số.

      Vậy số các số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là: 1+2+3+..+7+8+9=45  

      Chọn B.


Câu 13:

Cho các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau thỏa mãn số đó chia hết cho 2 và chữ số 4, 5 phải luôn đứng cạnh nhau?

Xem đáp án

Ta có  nên d {2;4;6;8}  

·Với d=4; c=5, chọn a có 7 cách, chọn b có 6 cách nên có 7.6= 42 số thỏa mãn.

· Với d=2

1. Số cần lập có dạng  chọn c có 6 cách nên có 6 số thỏa mãn.

2. Số cần lập có dạng  chọn c có 6 cách nên có 6 số thỏa mãn

3. Số cần lập có dạng  chọn a có 6 cách nên có 6 số thỏa mãn.

4. Số cần lập có dạng  chọn a có 6 cách nên có 6 số thỏa mãn.

Như vậy với d=2 có 6+6+6+6=24 số thỏa mãn.

·                 Tương tự với d=6; d=8

Vậy có tất cả 42+3.24=114 số thỏa mãn.

Chọn B.


Câu 14:

Có bao nhiêu số nguyên dương không vượt quá 1000 mà chia hết cho 3 hoặc chia hết cho 5?

Xem đáp án

Số chia hết cho 3 có dạng 3a ta có 0  < 3a  ≤ 1000  0< a < 333,3 nên có 333 số thỏa mãn.

Số chia hết cho 5 có dạng 5b ta có 0  < 5b  ≤ 1000  0< b 200 nên có 200 số thỏa mãn.

Số chia hết cho cả 3 và 5 có dạng 15c ta có : 0  < 15c  ≤ 1000  0<  c 66,6 nên có 66 số thỏa mãn.

Do đó số các số thỏa mãn đề bài là 333 + 200 – 66 =467.

Chọn D.


Câu 15:

Cho tập hợp A={ 1;2;3;4;5;6;7;8}. Có bao nhiêu tập hợp con X của tập A thỏa mãn điều kiện chứa 1 và không chứa 2?

Xem đáp án

Mỗi tập con X của tập A chứa 1 và không chứa 2 có dạng: X = {1}UY trong đó Y là tập con của tập B={3;4;5;6;7;8}  .

Do đó; số các tập con  X thỏa mãn yêu cầu bài toán bằng số các tập con Y của B.

Mà tập B có 6 phần tử nên B có 26 = 64 tập con.

Vậy có 64 tập con X thỏa mãn đầu bài

Chọn B.


Câu 16:

Cho một số hữu tỷ được viết dưới dạng phân số tối giản rồi tính tích của tử số và mẫu số. Hỏi có bao nhiêu số hữu tỷ nằm giữa 0 và 1 mà kết quả của phép nhân trên là 20!

Xem đáp án

Vì mỗi số hữu tỷ được viết dưới dạng phân số tối giản nên tử số và mẫu số không có ước nguyên tố chung nào.

Có 8 ước nguyên tố của 20! Là 2;3;5;7;11;13;17;19.

Mỗi một số nguyên tố này chỉ được chọn hoặc thuộc tử số hoặc mẫu số. Có tất cả 28 = 256 cách như vậy.

Tuy nhiên không phải tất cả 256 phân số này đều nhỏ hơn 1. Thật vậy; với mỗi phân số ta ghép cặp với phân số nghịch đảo của nó; có 128 cặp như thế; mà chỉ có 1 trong hai phân số đó nhỏ hơn 1.

Như vậy có tất cả 128 phân số thỏa mãn đầu bài.

Chọn B.


Câu 17:

Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó có mặt chữ số 0 và 1.

Xem đáp án

Gọi số cần lập 

Bước 1: Xếp chữ số 0 vào 1 trong 5 vị trí từ a2 đến a6, có 5 cách xếp.

Bước 2: Xếp chữ số 1 vào 1 trong 5 vị trí còn lại (bỏ 1 vị trí chữ số 0 đã chọn), có 5 cách xếp.

Bước 3: Chọn 4 chữ số trong 8 chữ số {2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8, 9}để xếp vào 4 vị trí còn lại, có  cách.

Theo quy tắc nhân có   số thỏa yêu cầu.

Chọn D.


Câu 18:

Một tổ học sinh có 5 nam và 5 nữ xếp thành 1 hàng dọc sao cho không có học sinh cùng giới tính đứng kề nhau. Số cách xếp là:

Xem đáp án

Theo bài ra, ta thấy cách sắp xếp chính là việc nam nữ đứng xen kẽ nhau.

Như vậy sẽ có hai trường hợp, hoặc là bạn nam đứng đầu hàng hoặc là bạn nữ đứng đầu hàng

+ Trường hợp 1: Nam đứng đầu:xếp vào các vị trí  lẻ  có 5!

Xếp 5 bạn nữ  vào 5 vị trí còn lại có 5 !

Do đó, có 5!.5! =(5!)2

+ Trường hợp 2: Nếu bạn nữ đứng đầu: 

Tương tụ , có (5!)2

Vậy số cách sắp xếp cần tìm 2.(5!)2.

Chọn B.


Câu 19:

Có 4 cuốn sách toán khác nhau, 3 sách lý khác nhau, 2 sách hóa khác nhau. Muốn sắp vào một kệ dài các cuốn sách cùng môn kề nhau, 2 loại toán và lý phải kề nhau thì số cách sắp là:

Xem đáp án

Đối với 3 vị trí của 3 loại sách thì sách hóa chỉ có thể đứng ở đầu hoặc cuối: 2 cách chọn.

Tương ứng mỗi vị trí của loại sách hóa thì số cách xếp các cuốn sách hóa là: 2!

Sau khi xếp hóa,số cách xếp nhóm toán và lí là 2

+ Nhóm toán có 4 quyển nên có 4! cách xếp 4 quyển toán

+ Nhóm lý có 3 quyển nên có 3! cách xếp 3 quyển lí

Vậy tổng số cách xếp cần tìm: 2.4!.3!.(2!.2) = 4.4!.3!.2!.

Chọn D.


Câu 20:

Một chồng sách gồm 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Vật lý, 5 quyển sách Hóa học. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các quyển sách trên thành một hàng ngang sao cho 4 quyển sách Toán đứng cạnh nhau, 3 quyển Vật lý đứng cạnh nhau?

Xem đáp án

Bước 1: Do đề bài cho 4 quyển sách Toán đứng cạnh nhau nên ta sẽ coi như “buộc” các quyển sách Toán lại với nhau thì số cách xếp cho “buộc” Toán này là 4! cách.

Bước 2: Tương tự ta cũng “buộc” 3 quyển sách Lý lại với nhau, thì số cách xếp cho “buộc” Lý này là 3! cách.

Bước 3: Lúc này ta sẽ đi xếp vị trí cho 7 phần tử trong đó có:

+ 1 “buộc” Toán.

+ 1 “buộc” Lý.

+ 5 quyển Hóa.

Thì sẽ có 7! cách xếp.

Vậy theo quy tắc nhân ta có 7!4!3!=725760  cách xếp.

Chọn C.


Câu 21:

Có 5 học sinh nam trong đó có bạn Hải và 3 học sinh nữ trong đó có bạn Liên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tám học sinh nói trên ngồi vào một bàn tròn sao cho hai bạn Hải và Liên không ngồi cạnh nhau ?  (Hai cách xếp chỉ khác nhau một phép quay được coi là như nhau)

Xem đáp án

+ Số cách xếp 8 học sinh nói trên ngồi xung quanh một bạn tròn là 7 !.

+ Đếm số cách xếp 8 học sinh ngồi xung quanh một bàn tròn mà hai học sinh Hải và Liên ngồi cạnh nhau:

Trước tiên, số cách xếp 7 học sinh (trừ bạn Hải sẽ xếp sau) ngồi xung quanh một bàn tròn là 6 !

Khi đó có 2 cách xếp chỗ ngồi cho bạn Hải (ở bên trái hoặc bên phải bạn Liên).

Theo quy tắc nhân, sẽ có 6!.2 cách xếp 8 bạn ngồi xung quanh một bàn tròn mà hai bạn Hải và Liên ngồi cạnh nhau.

Vậy số cách xếp chỗ ngồi sao cho Hải và Liên không ngồi cạnh nhau là: 7! – 6!.2 =6!.5.

Chọn C.


Câu 22:

Một rổ có 10 loại quả khác nhau trong đó có 1 mít và 1 bưởi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp thành một hàng sao cho mít và bưởi cách nhau đúng 2 quả khác?

Xem đáp án

1)    Xếp 2 quả mít và bưởi:

a)     Nếu quả mít ở 3 vị trí đầu hoặc 3 vị trí cuối thì mỗi cách xếp quả mít cho ta 1 cách xếp quả bưởi cách quả mít đúng 2 quả.

b)    Nếu quả mít ở vị trí từ 4 đến 7; thì với mỗi cách xếp quả mít cho ta 2 cách xếp vị trí quả bưởi. Khi đó có 4.2=8 cách xếp 2 quả mít; bưởi

      Theo quy tắc cộng; có 3+3+8=14 cách xếp 2 quả mít; bưởi.

2)    Xếp 8 quả còn lại vào 8 vị trí còn lại:; có 8! Cách xếp.

      Vậy số cách xếp cần tìm: 8!. 14 = 564480.

Chọn C.


Câu 23:

Trong một buổi giao lưu, có 5 học sinh trường X và 5 học sinh trường Y ngồi vào 2 bàn đối diện nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho 2 người ngồi đối diện và ngồi cạnh thì khác trường nhau.

Xem đáp án

Đánh số 10 vị trí ngồi từ 1 đến 10 trong đó 1 đến 5 là hàng 1 thuộc bàn 1, còn 6 đến 10 là hàng 2 thuộc bàn 2.

Giả sử 1 học sinh trường X ngồi vị trí số 1, thì các học sinh còn lại của trường X chỉ ngồi ở vị trí số lẻ, còn 5 học sinh của trường Y chỉ ngồi vị trí số chẵn.

Số cách xếp lúc này là: 5!.5!. Tương tự với trường hợp học sinh trường X ngồi vị trí số chẵn.

vậy số cách xếp cần tìm: 2.5!.5! = 28800.

Chọn D.


Câu 24:

Cho một hộp 10 viên bi gồm 6 bi xanh và 4 bi vàng (mỗi viên bi có kích thước khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 viên bi vào hộp thành một hàng ngang sao cho không có bi vàng nào cạnh nhau?

Xem đáp án

Xếp 6 bi xanh vào 6 vị trí có 6! cách

Khi đó, có 7 khoảng trống: gồm 5 khoảng trống giữa hai bi xanh  và 2 khoảng trống ngoài cùng.

Xếp 4 bi vàng vào 7 khoảng trống đó có:  A74 cách

Theo quy tắc nhân có:  6!. A74=  604800 cách 

Chọn  A. 


Câu 25:

Có 8 bạn nam và 2 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các bạn trên thành một hàng ngang sao cho hai bạn nữ đứng cách nhau đúng hai bạn nam?

Xem đáp án

Xếp 2 bạn nữ đứng trước, số cách là 2!.

Sau đó chọn 2 bạn nam chen vào giữa 2 bạn nữ, số cách chọn;  xếp 2 bạn nam đó là  .

Sau khi chọn 2 bạn nam đó rồi thì còn 6 bạn nam. Ta coi 2bạn nam và 2 bạn nữ đã xếp chỗ là 1 bạn cùng với 6 bạn nam chưa xếp là có 7 bạn.

Số cách xếp 7 bạn này là 7!.

Áp dụng quy tắc nhân;  số cách xếp tất cả là: 

Chọn B.


Bắt đầu thi ngay