25 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 100 câu trắc nghiệm Tổ hợp - Xác suất nâng cao (P4)

Câu 1:

Xếp 30 quyển truyện khác nhau được đánh số từ 1 đến 30 thành một dãy sao cho bốn quyển 1, 3, 5 và 7 không đặt cạnh nhau. Hỏi có bao nhiêu cách?

A. 4!.26!

B. 30! – 4!.26!

C. 4!.27!

D.30! – 4!.27!

Xem đáp án

Xếp 30 quyển truyện khác nhau có số cách là 30!

Ta tính số cách xếp 4 quyển 1, 3, 5, 7 cạnh nhau:

+) Hoán vị 1, 3, 5, 7 ta được 4! Cách.

+) Khi đã xếp 1, 3, 5, 7 cạnh nhau thì còn 26 vị trí, ứng với 26 vị trí này thì có 26! cách xếp.

Do đó xếp 4 quyển 1, 3, 5, 7 cạnh nhau có số cách là 4!.26!

Tóm lại có 30! – 4!26! cách xếp thỏa mãn.

Chọn B.

Câu 2:

Cho một hộp 10 viên bi gồm 6 bi xanh và 4 bi vàng (mỗi viên bi có kích thước khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 viên bi vào hộp thành một hàng ngang sao cho không có bi vàng nào cạnh nhau?

A. 604800

B. 86400

C. 34560

D. 3594240

Xem đáp án

Xếp 6 viên bi xanh có 6! cách xếp, khi đó 6 viên bi xanh sẽ tạo thành 7 chỗ trống.

Xếp 4 viên bi vàng vào 7 chỗ trống đó là $A_{7}^{4}$ cách.

Do đó có $A_{7}^{4} . 6! = 604800$ cách xếp.

Chọn A.

Câu 3:

Tính M= $\frac{A_{n + 1}^{4} + 3 A_{n}^{3}}{(n + 1)!}$ , biết $C_{n + 1}^{2} + 2 C_{n + 2}^{2} + 2 C_{n + 3}^{2} + C_{n + 4}^{2} = 149$

A: 1/2

B: 2/3

C: 3/4

D: 4/5

Xem đáp án

Chọn C.

Câu 4:

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau và chia hết cho 15?

A. 76

B. 82

C. 96

D. 72

Xem đáp án

Ta có

• TH1. Nếu d = 0 thì a + b + c chia hết cho 3

Mỗi bộ sau đều lập được 6 số: (1;2;3),(1;2;6),(1;3;5),(1;5;6),(2;3;7),(2;6;7),(3;5;7),(5;6;7)

• TH2. Nếu d = 5 thì a + b + c + 5 chia hết cho 3

Mỗi bộ sau đều lập được 4 số: (0;1;3);(0;1;6);(0; 3; 7); (0;6;7).

Mỗi bộ sau đều lập được 6 số: (1;2;7);(1;3;6); (3;6;7)

Tóm lại có tất cả 6.8+4.4+6.3=82 số thỏa mãn.

Chọn B.

Câu 5:

Tìm hệ số cuả $x^{8}$ trong khai triển đa thức $f (x) = {[1 + x^{2} (1 - x)]}^{8}$

A: 218

B: 232

C: 238

D: tất cả sai

Xem đáp án

Lời giải.

Cách 1:

Trong khai triển trên ta thấy bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng cuối lớn hơn 8.

Do đó x⁸ chỉ có trong số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là:.

Vậy hệ số cuả x⁸ trong khai triển đa thức là:

Cách 2: Ta có:

với 0 ≤ k ≤ n ≤ 8.

Số hạng chứa x⁸ ứng với 2n + k = 8 ⇒ k = 8 -2n là một số chẵn.

Thử trực tiếp ta được k = 0, n =4 và k = 2, n = 3.

Vậy hệ số của x⁸ là

Chọn C.

Câu 6:

Với n là số nguyên dương, gọi $a_{3 n - 3}$ là hệ số của $x^{3 n - 3}$ trong khai triển thành đa thức của ${(x^{2} + 1)}^{n} {(x + 2)}^{n}$ . Tìm n để $a_{3 n - 3} = 26 n$

A: 5

B: 6

C: 7

D: 8

Xem đáp án

Ta có :

Dễ dàng kiểm tra n=1; n=2 không thoả mãn điều kiện bài toán.

Với n ≥ 3 thì dựa vào khai triển ta chỉ có thể phân tích

Do đó hệ số của x^3n-3 trong khai triển thành đa thức của

Suy ra

Vậy n= 7là giá trị cần tìm.

Chọn C.

Câu 7:

Tính tổng $S = 1 . C_{2018}^{1} + 2 . C_{2018}^{2} + 3 . C_{2018}^{3} + . . . + 2018 . C_{2018}^{2018}$

A. 2018. 2²⁰¹⁷.

B. 2017. 2²⁰¹⁷.

C.2018. 2²⁰¹⁸.

D.2017. 2²⁰¹⁸

Xem đáp án

Xét số hạng tổng quát.

Cho k chạy từ 1 đến 2018 ta được:

Cho x=1 suy ra

Chọn A.

Câu 8:

Tổng của ba số hạng liên tiếp lập thành cấp số cộng trong dãy số sau $C_{23}^{0}; C_{23}^{1}; . . .; C_{23}^{13}$ có giá trị là

A.2451570.

B.3848222.

C.836418.

D. 1307527.

Xem đáp án

Giả sử 3 số theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi .

Với n=8 thì

Với n=13 thì

Chọn A.

Câu 9:

$C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{2} + C_{2 n}^{4} + . . . + C_{2 n}^{2 n}$ . Bằng:

A. 2^n-2

B. 2^n-1

C. 2^2n-2

D. 2^2n-1

Xem đáp án

Ta có

Chọn B.

Câu 10:

Tổng các hệ số nhị thức Niu – tơn trong khai triển (1+x)³ⁿ bằng 64. Số hạng không chứa x trong khai triển ${(2 n x + \frac{1}{2 n x^{2}})}^{3 n}$ là:

A. 360

B. 210

C. 250

D. 240

Xem đáp án

Ta có:

Chọn x=1. Ta có tổng hệ số trong khai triển bằng:

Lại có:

Số hạng không chứa x suy ra

Do đó số hạng không chứa x là:

Chọn D.

Câu 11:

Một con súc sắc đồng chất được gieo 6 lần. Xác suất để được một số lớn hơn hay bằng 5 xuất hiện ít nhất 5 lần là

A. 31/23328

B. 41/23328

C. 51/23328

D.21/23328

Xem đáp án

Ta có n(Ω)= 6.6.6.6.6.6 = 6⁶

Có các trường hợp sau:

1.Số bằng 5 xuất hiện đúng 5 lần ; 1 lần ra mặt khác 5 : có 5 cách chọn số khác 5.

Số kết quả thuận lợi là

2. Số bằng 5 xuất hiện đúng 6 lần có 1 kết quả thuận lợi.

3. Số bằng 6 xuất hiện đúng 5 lần; 1 lần ra mặt khác 6: có 5 cách chọn số khác 6.

Số kết quả thuận lợi là

4. Số bằng 6 xuất hiện đúng 6 lần có 1kết quả thuận lợi.

Vậy xác suất để được một số lớn hơn hay bằng 5 xuất hiện ít nhất 5 lần là

Chọn A.

Câu 12:

Bạn Tít có một hộp bi gồm 2 viên đỏ và 8 viên trắng. Bạn Mít cũng có một hộp bi giống như của bạn Tít. Từ hộp của mình, mỗi bạn lấy ra ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để Tít và Mít lấy được số bi đỏ như nhau

A. 11/25

B.1/120

C. 7/15

D. 12/25

Xem đáp án

Số phần tử của không gian mẫu là:

Ta tính số phần tử của không gian thuận lợi

· Cả hai bạn đều lấy ra 3 viên bi trắng có

· Cả hai bạn lấy ra 1 bi trắng và 2 bi đỏlà:

· Cả hai bạn lấy ra 2 bi trắng và 1 bi đỏ:

Số kết quả thuận lợi là n(A)=3136+64+3136=6336

Xác suất biến cố là : P(A) = 11/25

Chọn A.

Câu 13:

Cho đa giác đều 12 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong 12 đỉnh của đa giác. Xác suất để đỉnh được chọn tạo thành tam giác đều là

A. P = 1/55

B.P = 1/220

C.P = 1/4

D.P = 1/14

Xem đáp án

Số phần tử không gian mẫu: .

(chọn 3 đỉnh bất kì từ 12 đỉnh của đa giác ta được một tam giác)

Gọi A: 3 đỉnh được chọn tạo thành tam giác đều ”.

(Chia 12 đỉnh thành 3 phần. Mỗi phần gồm 4 đỉnh liên tiếp nhau. Mỗi đỉnh của tam giác đều ứng với một phần ở trên.Chỉ cần chọn 1 đỉnh thì 2 đỉnh còn lại xác định là duy nhất).

Ta có: .

Khi đó: .

Chọn A.

Câu 14:

Một hộp đựng 11 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 11. Chọn ngẫu nhiên 6 tấm thẻ. Gọi P là xác suất để tổng số ghi trên 6 tấm thẻ ấy là một số lẻ. Khi đó P bằng:

A. 100/231

B.115/231

C. 1/2

D.118/231

Xem đáp án

Số phần tử của không gian mẫu là .

Gọi A:”tổng số ghi trên 6 tấm thẻ ấy là một số lẻ”.

Từ 1 đến 11 có 6 số lẻ và 5 số chẵn.Để có tổng là một số lẻ ta có 3 trường hợp.

Trường hợp 1: Chọn được 1 thẻ mang số lẻ và 5 thẻ mang số chẵn có: cách.

Trường hợp 2: Chọn được 3 thẻ mang số lẻ và 3 thẻ mang số chẵn có: cách.

Trường hợp 2: Chọn được 5 thẻ mang số lẻ và 1 thẻ mang số chẵn có: cách.

Do đó n(A)=6+200+30=236

Vậy .

Chọn D.

Câu 15:

Ba người cùng bắn vào 1 bia. Xác suất để người thứ nhất, thứ hai,thứ ba bắn trúng đích lần lượt là 0,8 ; 0,6; 0,5. Xác suất để có đúng 2 người bắn trúng đích bằng:

A.0.24.

B.0.96.

C. 0.46.

D.0.92

Xem đáp án

Gọi X là biến cố: “có đúng 2 người bắn trúng đích “

· Gọi A là biến cố: “người thứ nhất bắn trúng đích P(A)=0,8; $P (\bar{A}) = 0, 2$

Gọi B là biến cố: “người thứ hai bắn trúng đích P(B)=0,6; $P (\bar{B}) = 0, 4$

· Gọi C là biến cố: “người thứ ba bắn trúng đích P(C)=0,5; $P (\bar{C}) = 0, 5$

Ta thấy biến cố A, B, C là 3 biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:

$P (X) = P (A . B . \bar{C}) + P (A . \bar{B} . C) + P (\bar{A} . B . C)$ =0,8.0,6.0,5+0,8.0,4.0,5+0,2.0,6.0,5=0,46

Chọn C.

Câu 16:

Có 13 học sinh của một trường THPT đạt danh hiệu học sinh xuất sắc trong đó khối 12 có 8 học sinh nam và 3 học sinh nữ, khối 11 có 2 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh bất kỳ để trao thưởng, tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời có cả khối 11 và khối 12.

A.57/86

B. 68/286

C. 0.46

D. 57/286

Xem đáp án

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ 13 học sinh.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .

Gọi A là biến cố 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời có cả khối 11 và khối 12

Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố A là:

● Trường hợp 1. Chọn 1 học sinh khối 11; 1 học sinh nam khối 12 và 1 học sinh nữ khối 12 nên có cách.

● Trường hợp 2. Chọn 1 học sinh khối 11; 2 học sinh nữ khối 12 có cách.

● Trường hợp 3. Chọn 2 học sinh khối 11; 1 học sinh nữ khối 12 có cách.

Suy ra số phần tử của biến cố A là

Vậy xác suất cần tính

Chọn D.

Câu 17:

Một hộp chứa 3 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp, tính xác suất để 6 viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu.

A. 810/1033

B. 810/1001

C.170/792

D. 37/666

Xem đáp án

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp chứa 14 viên bi.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là

Gọi A là biến cố 6 viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu . Để tìm số phần tử của biến cố A ta đi tìm số phần tử của biến cố tức là 6 viên bi lấy ra không có đủ ba màu như sau:

● Trường hợp 1. Chọn 6 viên bi chỉ có một màu (chỉ chọn được màu vàng).

Do đó trường hợp này có cách.

● Trường hợp 2. Chọn 6 viên bi có đúng hai màu xanh và đỏ, có cách.

Chọn 6 viên bi có đúng hai màu đỏ và vàng, có cách.

Chọn 6 viên bi có đúng hai màu xanh và vàng, có cách.

Do đó trường hợp này có cách.

Suy ra số phần tử của biến cố .

Suy ra số phần tử của biến cố A là

Vậy xác suất cần tính

Chọn B.

Câu 18:

Một chiếc máy có hai động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau.Xác suất để động cơ I và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,7. Hãy tính xác suất để cả hai động cơ đều chạy tốt ;

A.0,56

B.0,55

C.0,58

D.0,5

Xem đáp án

Gọi A là biến cố "Động cơ I chạy tốt", B là biến cố "Động cơ II chạy tốt"

C là biến cố "Cả hai động cơ đều chạy tốt".

Ta thấy A, B là hai biến cố độc lập với nhau và C=A.B

Ta có P(C)=P(AB)=P(A).P(B)= 0,8 . 0,7 = 0,56

Chọn A.

Câu 19:

Một chiếc máy có hai động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau.Xác suất để động cơ I và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,7. Hãy tính xác suất để : Cả hai động cơ đều không chạy tốt

A.0,23

B.0,56

C. 0,06

D.0,04

Xem đáp án

Chọn C.

Gọi D là biến cố "Cả hai động cơ đều chạy không tốt".

Gọi A là biến cố động cơ I chạy tốt : P(A) = 0, 8

Gọi B là biến cố động cơ II chạy tốt : P(B) = 0,7

Ta thấy D= $\bar{A} \bar{B}$ .

Hai biến cố $\bar{A}$ và $\bar{B}$ độc lập với nhau nên P(D=(1-P(A)). (1-P(B))=0,06.

Câu 20:

Một chiếc máy có hai động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau.Xác suất để động cơ I và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,7 . Hãy tính xác suất để : Có ít nhất một động cơ chạy tốt.

A.0,91

B. 0,34

C.0,12

D.0,94

Xem đáp án

Gọi A là biến cố: động cơ I chạy tốt

Gọi B là biến cố: động cơ II chạy tốt

Gọi K là biến cố "Có ít nhất một động cơ chạy tốt"

Biến cố đối: $K$ : Cả hai động cơ không chạy tốt,

Hai biến cố A và B độc lập với nhau nên:

$P (A) = 0, 8; P (B) = 0, 7 P (A) = 0, 2; P (B) = 0, 3 P (K) = P (A) . P (B) = 0, 2 . 0, 3 = 0, 06$

Do đó ; P(K) = 1- 0, 06 = 0,94.

Chọn D.

Câu 21:

Một đoàn tàu có 7 toa ở một sân ga. Có 7 hành khách từ sân ga lên tàu, mỗi người độc lập với nhau và chọn một toa một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất của các biến cố sau

A: “ Một toa 1 người, một toa 2 người, một toa có 4 người lên và bốn toa không có người nào cả”

A.P(A) =450/16807

B. P(A) =40/16807

C.P(A) =450/16807

D. P(A) = 450/1607

Xem đáp án

Số cách lên toa của 7 người là:

Ta tìm số khả năng thuận lợi của A như sau

Chọn 3 toa có người lên:

Với toa có 4 người lên ta có: cách chọn

Với toa có 2 người lên ta có: cách chọn

Người cuối cùng cho vào toa còn lại nên có 1 cách

Theo quy tắc nhân ta có:

Do đó: .

Chọn A.

Câu 22:

Một đoàn tàu có 7 toa ở một sân ga. Có 7 hành khách từ sân ga lên tàu, mỗi người độc lập với nhau và chọn một toa một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất của các biến cố: mỗi toa có đúng 1 người lên.

A. P(B) = 6!/7⁷

B.P(B) = 5!/7⁷

C.P(B) = 8!/7⁷

D. P(B) = 7!/7⁷

Xem đáp án

Mỗi một cách lên toa thỏa yêu cầu bài toán chính là một hoán vị của 7 phần từ nên ta có:

Do đó:

Chọn D.

Câu 23:

Một con súc sắc không đồng chất sao cho mặt bốn chấm xuất hiện nhiều gấp 3 lần mặt khác, các mặt còn lại đồng khả năng. Tìm xác suất để xuất hiện một mặt chẵn

A.5/8

B. 3/8

C.7/8

D.1/8

Xem đáp án

Gọi A_i là biến cố xuất hiện mặt i chấm ( i=1;2;3;4;5;6)

Ta có

Do

Gọi A là biến cố xuất hiện mặt chẵn, suy ra A = A₂ ∪ A₄ ∪ A₆

Vì các biến cố A_i xung khắc nên:

Chọn A.

Câu 24:

Có 3 bó hoa. Bó thứ nhất có 8 hoa hồng, bó thứ hai có 7 bông hoa ly, bó thứ ba có 6 bông hoa huệ. Chọn ngẫu nhiên 7 hoa từ ba bó hoa trên để cắm vào lọ hoa, tính xác suất để trong 7 hoa được chọn có số hoa hồng bằng số hoa ly.

A. 4/5

B.94/995

C. 94/9895

D.994/4845

Xem đáp án

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 7 hoa từ ba bó hoa gồm 21 hoa.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .