Thứ bảy, 20/07/2024
IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 11 Toán 70 câu trắc nghiệm Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân nâng cao

70 câu trắc nghiệm Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân nâng cao

70 câu trắc nghiệm Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân nâng cao (P1)

  • 10644 lượt thi

  • 25 câu hỏi

  • 25 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 2:

Cho dãy số (un) với u1=2un+1-un=2n-1.Số hạng tổng quát của dãy số là số hạng nào dưới đây?

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có: 

Cộng hai vế ta được un = 2 + 1 + 3 + 5 + … + (2n – 3) = 2 + (n – 1)2


Câu 3:

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un), biết: un=n2+3n+1n+1

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có:

un+1 > un n 1 dãy (un) là dãy số tăng.

un >  = n + 1 2 dãy (un) bị chặn dưới.


Câu 5:

Cho tam giác ABC nhọn biết 3 góc của tam giác lập thành một cấp số cộng ; số đo góc A nhỏ nhất sin A=22.Tìm các góc của tam giác?

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có  và tam giác ABC nhọn nên A = 45º.

A + B + C = 180 º B + C = 180º - 45º = 135º

Do 3 góc tam giác lập thành cấp số cộng ; số đo góc A nhỏ nhất nên B = A + d; C = A + 2d.

Khi đó: B + C = A + d + A + 2d = 2A + 3d 3d = 135º - 2.45º = 45º

d = 15º B = A + d = 60º; C = A + 2d = 75º


Câu 6:

Cho tứ giác ABCD biết 4 góc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và tan A không xác định; B A C D . Tìm các góc còn lại?

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có: B A C D nên A < 180º

Lại có tan A không xác định nên A = 90º

Do 4 góc tứ giác lập thành cấp số cộng và B A C D nên

B = 90 - d; C = 90 + d; D = 90 + 2d.

Ta có: A + B + C + D = 360 90 + 90 – d + 90 + d + 90 + 2d = 360

d = 0 A = B = C = D = 90º.


Câu 7:

Cho cấp số cộng (un); công sai d. Biết u2 + u22 = 40. Tính S23

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có: u2 + u22 = 40 u1 + d + u1 + 21d = 40 2u1 + 22d = 40

Mà 


Câu 8:

Cho cấp số cộng (un); công sai d. Biết u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147. Tính u1 + u6 + u11 + u16

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có : u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147

u1 + u1 + 3d + u1 + 6d + u1 + 9d + u1 + 12d + u1 + 15d = 147

6 u1 + 45d = 147 2 u1 + 15d = 49

Ta có: u1 + u6 + u11 + u16 = u1 + u1 + 5d + u1 + 10d + u1 + 15d = 4u1 + 30d

 = 2(2u1 + 15d) = 2.49 = 98.


Câu 9:

Cho cấp số cộng (un); công sai d. Biết  u4 + u8 + u12 + u16 = 224. Tính: S19

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có: u4 + u8 + u12 + u16 = 224 ó u1 + 3d + u1 + 7d + u1 +11d+ u1 + 15d = 224

4 u1 + 36d = 224 u1 + 9d = 56

Ta có: S19 = (19/2).(2 u1 + 18d) = 19(u1 + 9d) = 19.56 = 1064


Câu 10:

Cho cấp số cộng (un); công sai d. Biết u23 + u57 = 29. Tính: u10 + u70 + u157 +3u1

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có:

+) u23 + u57 = 29 u1 + 22d + u1 + 56d = 29 2 u1 + 78d = 29 

+) 3 u1 + u10 + u70 + u157 = 3 u1 + u1 + 9d + u1 + 69d + u1 + 156d = 6 u1 + 234d

= 3(2 u1 + 78d) = 3.29 = 87


Câu 11:

Bốn số nguyên lập thành cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 20, tổng nghịch đảo của chúng bằng 25/24. Tìm công sai d?

Xem đáp án

Chọn  D.

Gọi bốn số hạng liên tiếp của cấp số cộng là u1 = u – 3d, u2 = u – d, u3 = u + d, u4 = u + 3d với công sai là 2d:

Theo đề bài ta có:

Giải (2): đặt t = d2, điều kiện t 0

24(100 – 20t) =5 (25 – 9t)(25 – t)24. (20 -  4t) = (25- 9t). ( 25- t)

9t2 – 154t + 145 = 0 t = 1 t = 145/9

Vì các số hạng là những số nguyên nên chọn t = 1.

Khi đó d2 =1 d = 1; d = -1.


Câu 12:

Cho dãy số (an) xác định bởi an=2017.sinnπ2+2018.cosnπ3.Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

Xem đáp án

Chọn C.

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được đáp án đúng.

+ Ta có 

+ Ta có:

+ Ta có 

+ Ta có 


Câu 13:

Cho dãy số có tổng của n số hạng đầu tiên bằng Sn = n3. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có a1 + a2 + … + an = Sn = n3 và có a1 + a2 + … + an-1 = Sn-1 = (n – 1)3.

Suy ra an = Sn – Sn-1 = n3 – (n – 1)3 = 3n2 – 3n + 1.

Ta có an = 3n2 – 3n + 1.

an-1 = 3(n – 1)2 – 3(n – 1) + 1 = 3n2 – 9n + 7.

Do đó an – an-1 = 6n – 6 ≥ 0.

Dấu bằng chỉ xảy ra khi n – 1 = 0 hay n = 1. suy ra dãy số (an) là dãy số tăng.


Câu 15:

Người ta trồng 3003 cây theo hình một tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây; hàng thứ 2 có 2 cây; hàng thứ 3 có 3 cây...hỏi có bao nhiêu hàng?

Xem đáp án

Chọn B.

Gọi số hàng cây là n.

Số cây lần lượt trên các hàng là 1; 2; 3..; n.

Đây là một cấp số cộng  với số hạng đầu u1 = 1; d = 1 .

Tổng số cây trên n hàng là:

Vậy số hàng cần tìm là 77.


Câu 16:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: x3 – 3x2 – 9x + m = 0

Xem đáp án

Chọn D.

Cách 1: Giải bài toán như cách giải tự luận.

- Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt x1; x2; x3 lập thành một cấp số cộng.

Theo định lý Vi-ét đối với phương trình bậc ba, ta có x1 + x2 + x3 = 3   (1)

 Vì x1; x2; x3 lập thành cấp số cộng nên x1 + x3 = 2x2 (2)

Từ (1) và (2)  suy ra 3x2 = 3 x2 = 1.

Thay x2 = 1 vào phương trình đã cho, ta được

1 - 3.1 - 9.1 + m = 0 suy ra m = 11

- Điều kiện đủ:

+ Với m = 11 thì ta có phương trình x3 – 3x2 – 9x + 11 = 0  

Ba nghiệm này lập thành một cấp số cộng nên m = 11  là giá trị cần tìm.


Câu 17:

Biết rằng tồn tại  giá trị của tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: x4 – 2(m + 1)x2 + 2m + 1 = 0, tính  lập phương của  giá trị đó.

Xem đáp án

Chọn C.

Đặt t = x2.

Khi đó ta có phương trình: t2 – 2(m + 1)t + 2m + 1 = 0    (*)

Phương trình đã cho có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt 

+ Với điều kiện trên thì  phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt là t1  <  t2.

Khi đó phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt là .

Bốn nghiệm này lập thành một cấp số cộng khi

Theo định lý Vi-ét ta có: t1 + t2 = 2(m + 1) ; t1.t2 = 2m + 1.

Suy ra ta có hệ phương trình 

Chỉ có m = 4  thỏa mãn điều kiện .

Do đó 43 = 64.


Câu 18:

Cho 2 cấp số cộng : 5 ;8 ;11 ; .....và 3 ;7 ;11,....Hỏi trong 100 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số ; có bao nhiêu số hạng chung ?

Xem đáp án

Chọn C.

Giả sử un là số hạng thứ n của cấp số cộng thứ nhất ta có:  un = 5 + 3(n – 1)

  và vm = 3 + 4(m – 1) là số hạng thứ m của cấp số cộng thứ 2.

Để un = vm khi và chỉ khi:
5 + 3(n - 1) = 3 + 4(m - 1) hay 3n + 2 = 4m - 1
n = m/3 + m – 1

Đặt m/3 = t (t N*) m = 3t; n= 4t - 1

Vì m; n không lớn hơn 100 nên:

Kết hợp với t là số nguyên dương nên t {1; 2; 3;…; 25}

Tương ứng với 25 giá trị của t ta được 25 số hạng chung của 2 dãy (un); (vm).


Câu 21:

Cho dãy số xác định bởi a1 = 1; an+1 = 3an + 10. Tìm số hạng thứ 15 của dãy số (an).

Xem đáp án

Chọn A.

Chúng ta đi tìm công thức xác định số hạng tổng quát của dãy số (an).

Đặt bn = an + 5 khi đó bn+1 = an+1 + 5.

Từ hệ thức truy hồi an+1 = 3an + 10 suy ra bn+1 – 5 = 3(bn – 5) + 10 bn+1 = 3bn.

Suy ra, dãy số(bn) là cấp số nhân với số hạng đầu là  b1 = a1 + 5 = 6; công bội q = 3

Do đó, bn=  6. 3n -1, n N*,

suy ra an = 6.3n-1 – 5, n N*.

Do đó a15 = 28697809.


Câu 22:

Dãy số (un) xác định bởi un=2010+2010+.........2010 (n dấu căn). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có un+12 = 2010 + un un+1 – un = -un+12 + un+1 + 2010

Bằng quy nạp ta chứng minh được 

Suy ra un+1 – un  > 0 dãy (un) là dãy tăng.


Câu 23:

Cho dãy số (un) được xác định như sau: u1=1un=3un-1+12un-1-2, n2Viết 4 số hạng đầu của dãy và chứng minh rằng un > 0, n

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có: u1 = 1; u2 = 3/2; u3 = 17/6; u4 = 227/34.

Ta chứng minh un > 0 bằng quy nạp.

Giả sử un > 0, khi đó: 

Nên .


Câu 24:

Cho dãy số (un) được xác định bởi : u0=2011un+1=un2un+1, n=1,2,....Khẳng định nào sau đây đúng

Xem đáp án

Chọn A.

Từ công thức truy hồi, ta suy ra: un>0     n ( chứng minh bằng phương pháp quy  nạp) 

Ta có:  nên dãy (un) là dãy giảm.


Câu 25:

Cho dãy số (un) được xác định bởi : u0=2011un+1=un2un+1,n=1,2... Tìm phần nguyên của (un)  với 0 n 1006.

Xem đáp án

Chọn B.

Từ công thức truy hồi, và bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được un > 0  

Ta có: 

Suy ra: un > u0 – n = 2011 – n

Mặt khác: un = (un – un-1) + (un-1 – un-2) + … + (u1 – u0) + u0

Mà: 

Suy ra un < u0 – n + 1 = 2012 – n

Do đó: 2011 – n < un < 2012 – n [un] = 2011 – n

Vì u0 = 2011 và 

nên [u0] = 2011 – 0, [u1] = 2010 = 2011 – 1

Vậy [un] = 2011 – n, 


Bắt đầu thi ngay