25 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 70 câu trắc nghiệm Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân nâng cao (P1)

Câu 1:

Cho dãy số (u_n) với $\{\begin{cases} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + n^{2} \end{cases}$ . Số hạng tổng quát của dãy số là số hạng nào dưới đây?

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có:

Cộng hai vế ta được u_n = 1 + 1² + 2² +… + (n -1)² =

Câu 2:

Cho dãy số (u_n) với $\{\begin{cases} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} - u_{n} = 2 n - 1 \end{cases}$ .Số hạng tổng quát của dãy số là số hạng nào dưới đây?

A. u_n = 2 + (n – 1)².

B. u_n = 2 + n².

C. u_n = 2 + (n + 1)².

D. u_n = 2 – (n – 1)².

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có:

Cộng hai vế ta được u_n = 2 + 1 + 3 + 5 + … + (2n – 3) = 2 + (n – 1)²

Câu 3:

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n), biết: $u_{n} = \frac{n^{2} + 3 n + 1}{n + 1}$

A. Dãy số tăng, bị chặn trên

B. Dãy số tăng, bị chặn dưới

C. Dãy số giảm, bị chặn trên

D. Cả A, B, C đều sai

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có:

⇒ u_n+1 > u_n ∀ n ≥ 1 ⇒ dãy (u_n) là dãy số tăng.

u_n > = n + 1 ≥ 2 ⇒ dãy (u_n) bị chặn dưới.

Câu 4:

Cho cấp số cộng có tổng của n số hạng đầu tiên được tính bởi công thức S_n = 4n – n². Gọi M là tổng của số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng đó. Khi đó :

A. M = 7

B. M = 4

C. M = 2

D. M = 1

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có:

Câu 5:

Cho tam giác ABC nhọn biết 3 góc của tam giác lập thành một cấp số cộng ; số đo góc A nhỏ nhất và $\sin A = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .Tìm các góc của tam giác?

A. 60º; 75º

B. 75º; 80º

C. 50º; 85º

D. 55º; 80º

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có và tam giác ABC nhọn nên A = 45º.

A + B + C = 180 º ⇒ B + C = 180º - 45º = 135º

Do 3 góc tam giác lập thành cấp số cộng ; số đo góc A nhỏ nhất nên B = A + d; C = A + 2d.

Khi đó: B + C = A + d + A + 2d = 2A + 3d ⇒ 3d = 135º - 2.45º = 45º

⇒ d = 15º ⇒ B = A + d = 60º; C = A + 2d = 75º

Câu 6:

Cho tứ giác ABCD biết 4 góc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và tan A không xác định; B ≤ A ≤ C ≤ D . Tìm các góc còn lại?

A. 75º, 120^o, 65^o.

B. 75º, 114^o, 156^o.

C. 70^o; 110^o; 150^o.

D. 90^o; 90^o; 90^o.

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có: B ≤ A ≤ C ≤ D nên A < 180º

Lại có tan A không xác định nên A = 90º

Do 4 góc tứ giác lập thành cấp số cộng và B ≤ A ≤ C ≤ D nên

B = 90 - d; C = 90 + d; D = 90 + 2d.

Ta có: A + B + C + D = 360 ⇒ 90 + 90 – d + 90 + d + 90 + 2d = 360

⇒ d = 0 ⇒ A = B = C = D = 90º.

Câu 7:

Cho cấp số cộng (u_n); công sai d. Biết u₂ + u₂₂ = 40. Tính S₂₃

A. 230

B. 115

C. 460

D. Chưa đủ dữ kiện

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có: u₂ + u₂₂ = 40 ⇔ u₁ + d + u₁ + 21d = 40 ⇔ 2u₁ + 22d = 40

Mà

Câu 8:

Cho cấp số cộng (u_n); công sai d. Biết u₁ + u₄ + u₇ + u₁₀ + u₁₃ + u₁₆ = 147. Tính u₁ + u₆ + u₁₁ + u₁₆

A. 49

B. 98

C. 196

D. tất cả sai

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có : u₁ + u₄ + u₇ + u₁₀ + u₁₃ + u₁₆ = 147

⇔ u₁ + u₁ + 3d + u₁ + 6d + u₁ + 9d + u₁ + 12d + u₁ + 15d = 147

⇔ 6 u₁ + 45d = 147 ⇔ 2 u₁ + 15d = 49

Ta có: u₁ + u₆ + u₁₁ + u₁₆ = u₁ + u₁ + 5d + u₁ + 10d + u₁ + 15d = 4u₁ + 30d

= 2(2u₁ + 15d) = 2.49 = 98.

Câu 9:

Cho cấp số cộng (u_n); công sai d. Biết u₄ + u₈ + u₁₂ + u₁₆ = 224. Tính: S₁₉

A. 1064

B. 448

C. 896

D. 1200

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có: u₄ + u₈ + u₁₂ + u₁₆ = 224 ó u₁ + 3d + u₁ + 7d + $u_{1} + 11 d$ + u₁ + 15d = 224

⇔ 4 u₁ + 36d = 224 ⇔ u₁ + 9d = 56

Ta có: S₁₉ = (19/2).(2 u₁ + 18d) = 19(u₁ + 9d) = 19.56 = 1064

Câu 10:

Cho cấp số cộng (u_n); công sai d. Biết u₂₃ + u₅₇ = 29. Tính: u₁₀ + u₇₀ + u₁₅₇ +3u₁

A. 58

B. 116

C. 232

D. tất cả sai

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có:

+) u₂₃ + u₅₇ = 29 ⇔ u₁ + 22d + u₁ + 56d = 29 ⇔ 2 u₁ + 78d = 29

+) 3 u₁ + u₁₀ + u₇₀ + u₁₅₇ = 3 u₁ + u₁ + 9d + u₁ + 69d + u₁ + 156d = 6 u₁ + 234d

= 3(2 u₁ + 78d) = 3.29 = 87

Câu 11:

Bốn số nguyên lập thành cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 20, tổng nghịch đảo của chúng bằng 25/24. Tìm công sai d?

A. d = -1

B. d = 0

C. d = 1

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Chọn D.

Gọi bốn số hạng liên tiếp của cấp số cộng là u₁ = u – 3d, u₂ = u – d, u₃ = u + d, u₄ = u + 3d với công sai là 2d:

Theo đề bài ta có:

Giải (2): đặt t = d², điều kiện t ≥ 0

⇔ 24(100 – 20t) =5 (25 – 9t)(25 – t) $\Leftrightarrow$ 24. (20 - 4t) = (25- 9t). ( 25- t)

⇔ 9t² – 154t + 145 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = 145/9

Vì các số hạng là những số nguyên nên chọn t = 1.

Khi đó d² =1 ⇒ d = 1; d = -1.

Câu 12:

Cho dãy số (a_n) xác định bởi $a_{n} = 2017 . \sin \frac{n π}{2} + 2018 . \cos \frac{n π}{3}$ .Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

A. a_n+6 = a_n, ∀ n ∈ R*.

B. a_n+9 = a_n, ∀ n ∈ R*.

C. a_n+12 = a_n, ∀n ∈ R*.

D. a_n+15 = a_n, ∀ n ∈ R*.

Xem đáp án

Chọn C.

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được đáp án đúng.

+ Ta có

+ Ta có:

+ Ta có

Câu 13:

Cho dãy số có tổng của n số hạng đầu tiên bằng S_n = n³. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. (a_n) là dãy số tăng và a_n = 3n² – 3n + 1.

B. (a_n)là dãy số giảm và a_n = 3n² + 3n + 1.

C. (a_n)là dãy số tăng và a_n = 3n² – 3n – 1.

D. (a_n)là dãy số tăng và a_n = 3n² – 3n – 11.

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có a₁ + a₂ + … + a_n = S_n = n³ và có a₁ + a₂ + … + a_n-1 = S_n-1 = (n – 1)³.

Suy ra a_n = S_n – S_n-1 = n³ – (n – 1)³ = 3n² – 3n + 1.

Ta có a_n = 3n² – 3n + 1.

và a_n-1 = 3(n – 1)² – 3(n – 1) + 1 = 3n² – 9n + 7.

Do đó a_n – a_n-1 = 6n – 6 ≥ 0.

Dấu bằng chỉ xảy ra khi n – 1 = 0 hay n = 1. suy ra dãy số (a_n) là dãy số tăng.

Câu 14:

Gọi $S_{n} = \frac{4}{n} + \frac{7}{n} + \frac{10}{n} + . . . . + \frac{1 + 3 n}{n}$ .Khi đó S₂₀ có giá trị là

A. 34

B. 30,5

C. 325

D. 32,5

Xem đáp án

Chọn D.

Có

Câu 15:

Người ta trồng 3003 cây theo hình một tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây; hàng thứ 2 có 2 cây; hàng thứ 3 có 3 cây...hỏi có bao nhiêu hàng?

A. 76

B. 77

C. 78

D. 79

Xem đáp án

Chọn B.

Gọi số hàng cây là n.

Số cây lần lượt trên các hàng là 1; 2; 3..; n.

Đây là một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 1; d = 1 .

Tổng số cây trên n hàng là:

Vậy số hàng cần tìm là 77.

Câu 16:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: x³ – 3x² – 9x + m = 0

A. m = 0

B. m = 7

C. m = 9

D. m = 11

Xem đáp án

Chọn D.

Cách 1: Giải bài toán như cách giải tự luận.

- Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt x₁; x₂; x₃ lập thành một cấp số cộng.

Theo định lý Vi-ét đối với phương trình bậc ba, ta có x₁ + x₂ + x₃ = 3 (1)

Vì x₁; x₂; x₃ lập thành cấp số cộng nên x₁ + x₃ = 2x₂ (2)

Từ (1) và (2) suy ra 3x₂ = 3 ⇔ x₂ = 1.

Thay x₂ = 1 vào phương trình đã cho, ta được

1 - 3.1 - 9.1 + m = 0 suy ra m = 11

- Điều kiện đủ:

+ Với m = 11 thì ta có phương trình x³ – 3x² – 9x + 11 = 0 ⇔

Ba nghiệm này lập thành một cấp số cộng nên m = 11 là giá trị cần tìm.

Câu 17:

Biết rằng tồn tại giá trị của tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: x⁴ – 2(m + 1)x² + 2m + 1 = 0, tính lập phương của giá trị đó.

A. 4

B. 64/729

C. 64

D. -4/9

Xem đáp án

Chọn C.

Đặt t = x².

Khi đó ta có phương trình: t² – 2(m + 1)t + 2m + 1 = 0 (*)

Phương trình đã cho có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt

+ Với điều kiện trên thì phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt là t₁ < t₂.

Khi đó phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt là .

Bốn nghiệm này lập thành một cấp số cộng khi

Theo định lý Vi-ét ta có: t₁ + t₂ = 2(m + 1) ; t₁.t₂ = 2m + 1.

Suy ra ta có hệ phương trình

Chỉ có m = 4 thỏa mãn điều kiện .

Do đó 4³ = 64.

Câu 18:

Cho 2 cấp số cộng : 5 ;8 ;11 ; .....và 3 ;7 ;11,....Hỏi trong 100 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số ; có bao nhiêu số hạng chung ?

A. 23

B. 24

C. 25

D. Tất cả sai

Xem đáp án

Chọn C.

Giả sử u_n là số hạng thứ n của cấp số cộng thứ nhất ta có: u_n = 5 + 3(n – 1)

và v_m = 3 + 4(m – 1) là số hạng thứ m của cấp số cộng thứ 2.

Để u_n = v_m khi và chỉ khi:
5 + 3(n - 1) = 3 + 4(m - 1) hay 3n + 2 = 4m - 1 ⇒ n = m/3 + m – 1

Đặt m/3 = t (t ∈ N*) ⇒ m = 3t; n= 4t - 1

Vì m; n không lớn hơn 100 nên:

Kết hợp với t là số nguyên dương nên t ∈ {1; 2; 3;…; 25}

Tương ứng với 25 giá trị của t ta được 25 số hạng chung của 2 dãy (u_n); (v_m).

Câu 19:

Cho cấp số cộng có công sai d = 1 và u₂² – 2u₃² – u₄² đạt giá trị lớn nhất. Tính tổng S₂₀ của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

A.120

B. 125

C.130

D.135

Xem đáp án

Chọn C.

Dấu bằng xảy ra khi a + 3 = 0 hay a = -3.

Suy ra u₁ = -3.

Ta có .

Câu 20:

Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a; b; c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Biết $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2} = \frac{x}{y} (x; y \in N)$ , giá trị x + y là:

A. 4

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn A.

Do đó x + y = 4.

Câu 21:

Cho dãy số xác định bởi a₁ = 1; a_n+1 = 3a_n + 10. Tìm số hạng thứ 15 của dãy số (a_n).

A. 28697809.

B. 28697814.

C. 9565933.

D. 86093437.

Xem đáp án

Chọn A.

Chúng ta đi tìm công thức xác định số hạng tổng quát của dãy số (a_n).

Đặt b_n = a_n + 5 khi đó b_n+1 = a_n+1 + 5.

Từ hệ thức truy hồi a_n+1 = 3a_n + 10 suy ra b_n+1 – 5 = 3(b_n – 5) + 10 ⇔ b_n+1 = 3b_n.

Suy ra, dãy số $(b_{n})$ là cấp số nhân với số hạng đầu là b₁ = a₁ + 5 = 6; công bội q = 3

Do đó, $b_{n} = 6 . 3^{n - 1}$ , ∀ n ∈ N*,

suy ra a_n = 6.3^n-1 – 5, ∀ n ∈ N*.

Do đó a₁₅ = 28697809.

Câu 22:

Dãy số (u_n) xác định bởi $u_{n} = \sqrt{2010 + \sqrt{2010 + . . . . . . . . . 2010}}$ (n dấu căn). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Tăng

B. Giảm

C. Không tăng, không giảm

D. A, B, C đều sai

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có u_n+1² = 2010 + u_n ⇒ u_n+1 – u_n = -u_n+1² + u_n+1 + 2010

Bằng quy nạp ta chứng minh được

Suy ra u_n+1 – u_n > 0 ⇒ dãy (u_n) là dãy tăng.

Câu 23:

Cho dãy số (u_n) được xác định như sau: $\{\begin{cases} u_{1} = 1 \\ u_{n} = 3 u_{n - 1} + \frac{1}{2 u_{n - 1}} - 2, n \geq 2 \end{cases}$ Viết 4 số hạng đầu của dãy và chứng minh rằng u_n > 0, ∀ n

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có: u₁ = 1; u₂ = 3/2; u₃ = 17/6; u₄ = 227/34.

Ta chứng minh u_n > 0 bằng quy nạp.

Giả sử u_n > 0, khi đó:

Nên .

Câu 24:

Cho dãy số (u_n) được xác định bởi : $\{\begin{cases} u_{0} = 2011 \\ u_{n + 1} = \frac{u_{n}^{2}}{u_{n} + 1}, \forall n = 1, 2, . . . . \end{cases}$ . Khẳng định nào sau đây đúng

A. Dãy (u_n) là dãy giảm

B. Dãy (u_n) là dãy tăng

C. Dãy (u_n) là dãy không tăng, không giảm

D. A, B, C đều sai

Xem đáp án

Chọn A.

Từ công thức truy hồi, ta suy ra: $u_{n} > 0 \forall n$ ( chứng minh bằng phương pháp quy nạp)

Ta có: nên dãy (u_n) là dãy giảm.

Câu 25:

Cho dãy số (u_n) được xác định bởi : $\{\begin{cases} u_{0} = 2011 \\ u_{n + 1} = \frac{u_{n}^{2}}{u_{n} + 1}, \forall n = 1, 2 . . . \end{cases}$ Tìm phần nguyên của (u_n) với 0 ≤ n ≤ 1006.