20 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 70 câu trắc nghiệm Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân nâng cao (P3)

Câu 1:

Cho dãy số (u_n) thỏa mãn $\log u_{1} + \sqrt{- 2 + \log u_{1} - 2 \log u_{8}} = 2 \log u_{10}$ và u_n+1 = 10u_n, ∀ n ∈ R* Khi đó u₂₀₁₈bằng

A. 10²⁰⁰⁰

B. 10²⁰⁰⁸

C. 10¹⁰⁰⁸

D. 10²⁰¹⁷

Xem đáp án

Chọn A.

Dễ thấy u_n là cấp số nhân với q = 10

Ta có: u₈ = 10⁷u₁; u₁₀ = 10⁹u₁

Do đó PT

Giải PT ta được logu₁ = -17 ⇔ u₁ = 10^-17 ⇒ u₂₀₁₈ = 10²⁰¹⁷u₁ = 10²⁰⁰⁰

Câu 2:

Cho dãy số (u_n) thỏa mãn ln²u₆ – ln $u_{8}$ = ln u₄ – 1 và u_n+1 = u_n.e với mọi n ≥ 1 Tìm u₁

A. e

B. e²

C. e^-3

D. e^-4

Xem đáp án

Chọn D.

Vì u_n+1 = u_n.e nên dễ thấy dãy số (u_n) là cấp số nhân có công bội q = e

Từ giả thiết suy ra:

ln²u₆ – (ln u₈ +ln u₄) + 1 = 0 ⇔ ln²u₆ – (ln u₈u₄) + 1 = 0

( vì đây là cấp số nhân nên: $u_{8} . u_{4} = u_{6}^{2} \Leftrightarrow \ln (u_{8} . u_{4}) = \ln (u_{6}^{2}) = 2 \ln u_{6}$

⇔ (ln u₆ – 1)² = 0

⇔ ln u₆ = 1 ⇔ u₆ = e ⇔ $u_{1} . e^{5} = e$ nên u₁ = e^-4

Câu 3:

Cho dãy số thỏa mãn u₁ = 5; u_n+1 = 3u_n+ 4/3. Giá trị nhỏ nhất của n để u₁ + u₂ + … + u_n > 5¹⁰⁰ - 2/3n là

A. 141

B. 142

C. 145

D. 146

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có

Đặt

suy ra (v_n) là cấp số nhân với

Suy ra u₁ + u₂ + … + u_n = (v₁ + v₂ + … + v_n) – n.2/3

Yêu cầu bài toán:

Vậy giá trị nhỏ nhất của n thỏa mãn bài toán là n = 146.

Câu 4:

Cho các số x + 2; x + 14; x + 50 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Khi đó x² + 2013 bằng:

A. 2019

B. 2017

C. 2017

D. 2020

Xem đáp án

Chọn A.

3 số lập thành cấp số nhân nên (x + 2)(x + 50) = (x + 14)²

^{$\Leftrightarrow x^{2} + 52 x + 100 = x^{2} + 28 x + 196$}

Suy ra 24x = 96 hay x = 4.

Khi đó x² + 2013 = 2019.

Câu 5:

Cho a, b, c là các số thực, theo thứ tự lập thành cấp số nhân.

Biết $\{\begin{cases} a + b + c = 26 \\ a^{2} + b^{2} + c^{2} = 364 \end{cases}$ Tìm b.

A. 9

B. 7

C. 6

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Chọn D

Ta có

Từ đó ta có

Đặt có hệ

Vậy b² = ac = 36 nên b = 6 hoặc b = - 6

Câu 6:

Giá trị của tổng 4+44+444+....+44..4 (tổng đó có 2018 số hạng)

Xem đáp án

Chọn A.

Câu 7:

Tính tổng của $S_{n} = - {(2 + \frac{1}{2})}^{2} + {(4 + \frac{1}{4})}^{2} - {(8 + \frac{1}{8})}^{2} + . . . . + {(- 1)}^{n} {(2^{n} + \frac{1}{2^{n}})}^{2}$

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có:

- Có dãy số -2², 2⁴, …, (-1)ⁿ.2²ⁿ là cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu u₁ = -4 và công bội q = -4.

Do đó

- Có dãy số là cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu và công bội q = -1/4.

Câu 8:

Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = 2; u₁ – 12u₂ – 6u₃ đạt giá trị lớn nhất. Tìm công bội q?

A. 1

B. 2

C. -1

D. -2

Xem đáp án

Chọn C.

Gọi q là công bội của cấp số nhân

Ta có

u₁ – 12 $u_{2}$ – 6u₃ = 2 – 12.2q – 6.2q² = -12q² – 24q + 2 = -12(q + 1)² + 14 ≤ 14 ∀ q

Do đó để u₁ – 12u₂ – 6u₃ đạt giá trị lớn nhất thì q = -1.

Câu 9:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: x³ – 7mx² + 2(m² + 6m)x – 64 = 0.

A. m = 8

B. m = 0

C. m = -1hoặc m = 7

D. m = 0 hoặc m = 8

Xem đáp án

Chọn A.

+ Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt x₁; x₂; x₃ lập thành một cấp số nhân.

Theo định lý Vi-ét, ta có x₁.x₂.x₃ = 64

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có x₁x₃ = x₂². Suy ra ta có x₂³ = 64 ⇔ x₂ = 4

Thay x = 4 vào phương trình đã cho ta được: 4³ – 7m.4² + 2(m² + 6m).4 – 64 = 0

⇔ m² – 8m = 0

+ Điều kiện đủ: Với m = 0 thay vào phương trình đã cho ta được: x³ – 64 = 0 hay x = 4

(nghiệm kép-loại)

Với m = 8 thay vào phương trình đã cho nên ta có phương trình x³ – 56x² + 224x – 64 = 0

Giải phương trình này, ta được 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân.

Vậy m = 8 là giá trị cần tìm.

Câu 10:

Cho dãy số (U_n) xác định bởi $u_{1} = \frac{1}{3}$ và $u_{n + 1} = \frac{n + 1}{3 n} . u_{n}$ . Tổng $S = u_{1} + \frac{u_{2}}{2} + \frac{u_{3}}{3} + . . . . . + \frac{u_{10}}{10}$ bằng

Xem đáp án

Chọn B.

Đặt

suy ra trong đó V_nlà cấp số nhân với công sai q = 1/3

Do đó

Câu 11:

Ta biết rằng trong một hồ sen; số lá sen ngày hôm sau bằng 3 lần số lá sen ngày hôm trước. Biết rằng ngày đầu có 1 lá sen thì tới ngày thứ 10 hồ sẽ đầy lá sen. Hỏi nếu ngày đầu có 9 lá sen thì tới ngày thứ mấy hồ sẽ đầy lá sen?

A. 5

B. 7

C. 8

D. 6

Xem đáp án

Chọn C.

+) Nếu số lá sen ngày đâù là 1= 3⁰ thì số lá sen ngày thứ 2 là 1.3 = 3¹; số lá sen ngày thứ ba là 3.3 = 3² ...số lá sen ngày thứ 10 là 3⁹ .

Như vậy để hồ đầy lá sen thì cần 3⁹ lá.

+) Nếu ngày đầu có u₁ = 9 lá thì ngày thứ 2 có: 9.3 = 27 lá; ngày thứ 3 có: 27.3 = 81 lá...

Do đó; số lá sen mỗi ngày có trong hồ là 1 cấp số nhân với u₁ = 9, q = 3.

Số hạng thứ n là u_n = u₁.q^n-1 = 9.3^n-1.

Để hồ đầy lá sen thì cần 3⁹ lá

^{$9 . 3^{n - 1} = 3^{9} \Leftrightarrow 3^{2} . 3^{n - 1} = 3^{9} \Leftrightarrow 2 + n - 1 = 9 \Leftrightarrow n = 8$}

Vậy đến ngày thứ 8 thì hồ sẽ đầy lá.

Câu 12:

Cho cấp số cộng (u_n) có công sai d = -3 và u₂² + u₃² + u₄² đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng S₁₀₀ của số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

A. S₁₀₀ = -14650.

B. S₁₀₀ = -14400.

C. S₁₀₀ = -14250.

D. S₁₀₀ = -15450.

Xem đáp án

Chọn C.

Đặt a = u₁ thì u₂² + u₃² + u₄² = (a + d)² + (a + 2d)² + (a + 3d)² = 3a² – 36a + 126 = 3(a – 6)² + 18 ≥ 18 với mọi a.

Dấu bằng xảy ra khi a – 6 = 0 hay a = 6.

Suy ra 6 = u₁.

Ta có

Câu 13:

Biết rằng tồn tại hai giá trị của tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: x⁴ – 10x² + 2m² + 7m = 0, tính tổng lập phương của hai giá trị đó.

Xem đáp án

Chọn C.

Đặt t = x².

Khi đó ta có phương trình: t² – 10t + 2m² + 7m = 0.

Phương trình đã cho có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt

+ Với điều kiện trên thì phương trình(*) có hai nghiệm dương phân biệt là t₁, t₂(t₁ < t₂).

Khi đó phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt là

Bốn nghiệm này lập thành một cấp số cộng khi

Theo định lý Vi-ét ta có: t₁ + t₂ = 10 ; t₁.t₂ = 2m² + 7m.

Suy ra ta có hệ phương trình

Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện nên đều có thể nhận được.

Do đó .

Câu 14:

Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = 3; 15u₁ – 4u₂ + u₃ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng thứ 13 của cấp số nhân đã cho.

A. u₁₃ = 24567.

B. u₁₃ = 12288.

C. u₁₃ = 49152.

D. u₁₃ = 3072.

Xem đáp án

Chọn B.

Gọi q là công bội của cấp số nhân (u_n)

Ta có:

⇒ min(15u₁ – 4u₂ + u₃) = 33 khi q = 2

Suy ra u₁₃ = u₁q¹² = 3.2¹² = 12288.

Câu 15:

Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân , biết số hạng đầu bằng 18, số hạng thứ hai bằng 54 và số hạng cuối bằng 39366.

A. 19674.

B. 59040.

C. 177138.

D. 6552

Xem đáp án

Chọn B.

u₁ = 18, u₂ = 54 ⇒ q = 3

u_n = 39366 ⇔ u₁.q^n-1 = 39366 ⇔ 18.3^n-1 = 39366 ⇔ 3^n-1 = 3⁷ ⇔ n = 8.

Vậy

Câu 16:

Cho 3 số tạo thành một cấp số cộng có tổng 21. Nếu thêm 2, 3, 9 lần lượt vào số thứ nhất, số thứ hai, số thứ ba tạo thành một cấp số nhân. Tìm 3 số đó.

A. 3, 7, 11

B. 3; 8; 10

C. 18, 7, -4

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Chọn D.

Gọi u₁; u₂; u₃ tạo thành cấp số cộng.

Theo đề bài: u₁ + 2; u₂ + 3; u₃ + 9 là ba số liên tiếp tạo thành cấp số nhân.

Theo đề bài:

Giải (*): (16 – u₃)(u₃ + 9) = 100 ⇔ -u₃² + 7u₃ + 44 = 0 ⇔ u₃ =11 ∨ u₃ = - 4

Với u₃ = 11 ⇒ u₁ = 3.

Với u₃ = -4 ⇒ u₁ = 18.

Câu 17:

Cho 3 số dương có tổng là 65 lập thành một cấp số nhân tăng, nếu bớt một đơn vị ở số hạng thứ nhất và 19 đơn vị ở số hạng thứ ba ta được một cấp số cộng. Tìm số lớn nhất trong 3 số đó?

A. 5; 20; 40

B. 40

C. 45

D.5; 15; 45

Xem đáp án

Chọn C.

Gọi u₁; u₂; u₃ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

Theo đề: u₁ – 1; u₂; u₃ – 19 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.

Ta có:

Lấy ⇔ 4(1 + q + q²) = 13(1 – 2q + q²)

⇔ 9q² – 30q + 9 = 0 ⇔ q = 3 ∨ q = 1/3

Vì u₁; u₂; u₃ theo thứ tự lập thành cấp số nhân tăng dần nên chọn q = 3 khi đó u₁ = 5

Do đó u₁ = 5; u₂ = 15; u₃ = 45

Vậy số lớn nhất trong 3 số là 45.

Câu 18:

Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào là sai?

A. Dãy số (a_n), với a₁ = 3 và vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.

B. Dãy số (b_n), với b₁ = 1 và b_n+1(2b_n² + 1) = 3 ∀ n ≥ 1 vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.

C. Dãy số (c_n), với c₁ = 2 và c_n+1=3c_n² – 10 ∀ n ≥ 1 vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.

D. Dãy số (d_n), với d₁ = -3 và d_n+1 = 2d_n² – 15, ∀ n ≥ 1 vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.

Xem đáp án

Chọn D.

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án sai.

+ Phương án A:Ta có a₂ = 3; $a_{3}$ = 3;… Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ra chứng minh được rằng a_n = 3, ∀ n ≥ 1. Do đó (a_n) là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng (công sai bằng 0) vừa là cấp số nhân (công bội bằng 1).

+ Phương án B: Tương tự như phương án A, chúng ta chỉ ra được b_n = 1, ∀ n ≥ 1. Do đó (b_n) là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng (công sai bằng 0) vừa là cấp số nhân (công bội bằng 1).

+ Phương án C: Tương tự như phương án A, chúng ta chỉ ra được c_n = 2, ∀ n ≥ 1. Do đó (c_n) là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng (công sai bằng 0) vừa là cấp số nhân (công bội bằng 1).

+ Phương án D: Ta có: d₁ = -3 ; d₂ = 3 ; d₃ = 3. Ba số hạng này không lập thành cấp số cộng cũng không lập thành cấp số nhân nên dãy số (d_n) không phải là cấp số cộng và cũng không là cấp số nhân .

Câu 19:

Một tam giác vuông có chu vi bằng 3a, và 3 cạnh lập thành một cấp số cộng. Tính độ dài cạnh lớn nhất của tam giác theo a.