25 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 70 câu trắc nghiệm Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân nâng cao (P2)

Câu 1:

Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: (u_n): u_n = n³ + 2n + 1

A. Tăng, bị chặn

B. Giảm, bị chặn

C. Tăng, chặn dưới

D. Giảm, chặn trên

Xem đáp án

Chọn C.

Mặt khác: u_n > 1 và khi n càng lớn thì u_n càng lớn.

Vậy dãy (u_n) là dãy tăng và bị chặn dưới.

Câu 2:

Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: (u_n) $\{\begin{cases} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = \frac{u_{n} + 1}{2}, \forall n \geq 2 \end{cases}$

A. Tăng, bị chặn

B. Giảm, bị chặn

C. Tăng, chặn dưới

D. Giảm, chặn trên

Xem đáp án

Chọn B.

Trước hết bằng quy nạp ta chứng minh: (u_n) 1 < u_n≤ 2, ∀ n

Mà .

Vậy dãy (u_n) là dãy giảm và bị chặn.

Câu 3:

Xét tính tăng giảm và bị chặn của các dãy số sau: $\{\begin{cases} u_{1} = 2; u_{2} = 3 \\ u_{n + 1} = \sqrt{u_{n}} + \sqrt{u_{n - 1}}, \forall n \geq 2 \end{cases}$

A. Tăng, bị chặn

B. Giảm, bị chặn

C. Tăng, chặn dưới

D. Giảm, chặn trên

Xem đáp án

Chọn A.

Trước hết ta chứng minh 1 < u_n < 4

* Ta chứng minh (u_n) là dãy tăng

Ta có u₁ < u₂, giả sử $u_{k - 1} < u_{k}; u_{k - 2} < u_{k - 1}$ , ∀ n ≤ k.

Vậy dãy (u_n) là dãy tăng và bị chặn.

Câu 4:

Cho dãy số $(x_{n}) : \{\begin{cases} x_{0} = 1 \\ x_{n} = \frac{2 n}{{(n - 1)}^{2}} \sum_{i = 1}^{n - 1} x_{i}, n = 2, 3 . . . . . \end{cases}$ Xét dãy số y_n = x_n+1 - x_n. Khẳng định nào đúng về dãy (y_n)

A. Tăng, bị chặn

B. Giảm, bị chặn

C. Tăng, chặn dưới

D. Giảm, chặn trên

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có:

Do đó:

- Ta chứng minh dãy (y_n) tăng.

Ta có:

- Ta chứng minh dãy (y_n) bị chặn.

Trước hết ta chứng minh: x_n ≤ 4(n – 1) (1)

* Với n = 2, ta có: x₂ = 4x₁ = 4 nên (1) đúng với n = 2

* Giả sử (1) đúng với n, tức là: x_n ≤ 4(n – 1), ta có

Nên (1) đúng với n + 1. Theo nguyên lí quy nạp ta suy ra (1) đúng

Ta có:

Vậy bài toán được chứng minh.

Câu 5:

Cho dãy số (u_n) có u₁ = -1; d = 2; S_n = 483 Tính số các số hạng của cấp số cộng?

A. n = 20

B. n = 19

C. n = 22

D. n = 23

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có:

Câu 6:

Cho một cấp số cộng (u_n) có u₁ = 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850. Tính $S = \frac{1}{u_{1} u_{2}} + \frac{1}{u_{2} u_{3}} + . . . . . . \frac{1}{u_{49} u_{50}}$

A. $S = \frac{9}{246}$

B. $S = \frac{4}{23}$

C. S = 123

D. $S = \frac{49}{246}$

Xem đáp án

Chọn D.

Gọi d là công sai của cấp số đã cho

Câu 7:

Cho cấp số cộng (u_n) thỏa: $\{\begin{cases} u_{5} + 3 u_{3} - u_{2} = - 21 \\ 3 u_{7} - 2 u_{4} = - 34 \end{cases}$

Tính S = u₄ + u₅ + … + u₃₀

A. -1247

B. -1248

C. -1245

D. -1242

Xem đáp án

Chọn D.

Từ giả thiết bài toán, ta có:

Ta có: Tổng S là tổng 27 số hạng của 1 cấp số cộng có số hạng đầu là $u_{4}$ , công sai d = -3

Do đó:

Câu 8:

Cho a; b;c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. a² + c² = 2ab + 2bc + 2ac.

B. a² - c² = 2ab + 2bc - 2ac.

C. a² + c² = 2ab + 2bc - 2ac.

D. a² - c² = 2ab + 2bc + 2ac.

Xem đáp án

Chọn C.

Do a; b; c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi b – a = c – b

⇔ (b – a)² = (c – b)²

$\Leftrightarrow b^{2} - 2 a b + a^{2} = c^{2} - 2 b c + b^{2}$

⇔ a² – c² = 2ab – 2bc

⇔ a² +c² = 2c² + 2ab – 2bc = 2ab + 2c(c – b)

= 2ab + 2c(b – a) = 2ab + 2bc – 2ac.

Câu 9:

Cho a; b; c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ba số nào dưới đây cũng lập thành một cấp số cộng ?

A. 2b², a, c².

B. -2c; -2b; -2a

C. 2b; a; c.

D. 2b; -a; -c.

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có a; b; c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi a + c = 2b

Suy ra -2( a+ c) = -2.2b hay -2a + (-2c) = 2.(-2b)

-2c; -2b; -2a theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng.

Câu 10:

Cho cấp số cộng: u₁; u₂; u₃;… có công sai d.Biết u₄ + u₈ + u₁₂ + u₁₆ = 224. Tính S₁₉.

A. 1290

B. 1604.

C. 1064

D. 1406

Xem đáp án

Chọn C.

Có: u₄ + u₈ + u₁₂ + u₁₆ = 224 ⇔ u₁ + 3d + u₁ + 7d + $u_{1} + 11 d$ + u₁ + 15d = 224

⇔ 4 u₁ + 36d = 224 ⇔ u₁ + 9d = 56

Ta có: S₁₉ = 19/2. (2 u₁ + 18d) = 19(u₁ + 9d) = 19.56 = 1064

Câu 11:

Cho cấp số cộng: u₁; u₂; u₃;… có công sai d.Biết u₂₃ + u₅₇ = 29. Tính: u₁₀ + u₇₀ + u₁₅₇ + 3u₁

A. 129

B. 160

C. 87

D. 78

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có: u₂₃ + u₅₇ = 29 ⇔ u₁ + 22d + u₁ + 56d = 29 ⇔ 2u₁ + 78d = 29

Ta có: 3u₁ + u₁₀ + u₇₀ + u₁₅₇ = 3u₁ + u₁ +9d + u₁ + 69d + u₁ + 156d

= 6u₁ + 234d = 3(2u₁ + 78d) = 3.29 = 87

Câu 12:

Tính tổng S = 100² – 99² +98² – 97² + … + 2² – 1²

A.1290

B 5160

C. 5587

D. 5050

Xem đáp án

Chọn D.

S = 100² – 99² +98² – 97² + … + 2² – 1²

= (100 – 99)(100 + 99) + (98 – 97)(98 + 97) + … + (2-1)(2+1)

= 199 + 195 + … + 3

Ta có dãy số 3, 7, …, 195, 199 là cấp số cộng với công sai d = 4, số hạng đầu tiên u₁ = 3 và số hạng n là u_n = 199.

Do đó có 199 = 3 + (n – 1).4 ⇒ n = 50.

Vậy .

Câu 13:

Người ta trồng 3003 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây,...Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng cây?

A. 73.

B. 75.

C. 77.

D. 79.

Xem đáp án

Chọn C.

Giả sử có tất cả n hàng cây được trồng

Số cây các hàng là 1; 2; 3; 4; .... ; n - 1; n

Số cây mỗi hàng (bắt đầu từ hàng thứ nhất) lập thành một cấp số cộng có u₁ = 1; d = 1

Giả sử có n hàng cây thì

Câu 14:

Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông, người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô thứ hai số hạt nhiều hơn ô thứ nhất là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt nhiều hơn ô thứ hai là 5,… và cứ thế tiếp tục đến ô thứ n . Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng 25450 hạt. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô vuông?

A. 79.

B. 96.

C. 107.

D. 100.

Xem đáp án

Chọn D.

Số hạt dẻ trên mỗi ô (bắt đầu từ ô thứ nhất) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng có u₁ = 7; d = 5 .

Gọi n là số ô trên bàn cờ thì u₁ + u₂ + .... + u_n = 25450 = S_n

Ta có :

Câu 15:

Biết rằng tồn tại các giá trị của x ∈ [0; 2π] để ba số 1 + sinx, sin²x, 1 + sin3x lập thành một cấp số cộng, tính tổng S các giá trị đó của x.

A. S = 5π.

B. S = 3π.

C. S = 7π/2.

D. S = 23π/6.

Xem đáp án

Chọn A.

Theo tính chất của cấp số cộng ta có:

1+ sin x + 1 + sin 3x = 2sin²x

2+ sin x + $3 \sin x - 4 \sin^{3} x$ = 2sin²x

⇔ 2 + 4sin x – 4sin³ x = 2sin²x

⇔ 2sin³x + sin²x – 2sin x – 1 = 0

⇔ (2sin x + 1)(sin²x – 1) = 0

Với nghiệm và x ∈ [0;2π], ta tìm được .

Với nghiệm và x ∈ [0;2π] ta tìm được nghiệm

Do đó

Câu 16:

Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số sau lập thành cấp số nhân. Biết tổng số hạng đầu và cuối là 37, tổng hai số hạng giữa là 36, tìm bốn số đó.

A. b = 15 ; c = 20 ; d = 25 ; a = 12

B. b =16 ; c = 20 ; a = 12 ; d = 25

C. b = 15 ; c = 25 ; d = 25 ; a = 12

D. b =16 ; c = 20 ; d = 25 ; a = 18

Xem đáp án

Chọn B.

Gọi bốn số đó là a ;b ;c ;d

Do 3 số đầu lập thành cấp số cộng nên: a + c = 2b

Do 3 số sau lập thành cấp số nhân nên bd = $c^{2}$

Tổng số đầu và cuối bằng 37 nên : a + d = 37

Tổng hai số giữa bằng 36 nên : b + c = 36

Ta có hệ:

Giải ra ta được : b = 16 ; c = 20 ; d = 25 ; a = 12.

Câu 17:

Cho các số 5x - y; 2x + 3y; x + 2y lập thành cấp số cộng ; các số (y + 1)², xy + 1, (x – 1)² lập thành cấp số nhân. Tính x; y.

Xem đáp án

Chọn B.

+ Ta có các số 5x - y; 2x + 3y; x + 2y lập thành CSC nên suy ra

2( 2x + 3y) = 5x – y + x+ 2y $\Leftrightarrow 4 x + 6 y = 6 x + y$

hay 2x = 5y (1)

Các số (y + 1)², xy + 1, (x – 1)² lập thành CSN suy ra

(xy + 1)² = (y + 1)²(x – 1)²

$\Leftrightarrow {(x y + 1)}^{2} = {(x y + x - y - 1)}^{2} \Leftrightarrow {(x y + 1)}^{2} - {(x y + x - y - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow (x y + 1 - x y - x + y + 1) . (x y + 1 + x y + x - y - 1) = 0 \Leftrightarrow (2 + y - x) . (2 x y + x - y) = 0$

⇔ (4 + 2y – 2x)(4xy + 2x – 2y) = 0 (2)

Thay (1) vào (2) ta được: (4 + 2y – 5y)(10y² + 5y – 2y) = 0

⇔ y(4 – 3y)(10y + 3) = 0 ⇔ y = 0, y = 4/3, y = -3/10.

Với y = 0 thì x = 0

Với y = 4/3 thì x = 10/3

Với y = - 3/10 thì x = -3/4

Vậy

Câu 18:

Tìm x; y biết: Các số x + 6y; 5x + 2y; 8x + y lập thành cấp số cộng và các số x - 5/3 y, y – 1,2x – 3y lập thành cấp số nhân.

Xem đáp án

Chọn A.

Giải hệ này ta tìm được

Câu 19:

Xác định m để: Phương trình x³ – 3x² – 9x + m = 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

A. m = 16

B. m = 11

C. m = 13

D. m = 12

Xem đáp án

Chọn B.

Giải sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

Khi đó: x₁ + x₃ = 2x₂,

Theo định lí viet đối với phương trình bậc ba ta có:

x₁ + x₂ + x₃ = 3 ⇒ x₂ = 1

Thay vào phương trình ta có:

$1^{3} - 3 . 1^{2} - 9.1 + m = 0 \Leftrightarrow m = 11$

+ Ngược lại , với m = 11 ta có phương trình : x³ – 3x² – 9x + 11 = 0

⇔ (x – 1)(x² – 2x – 11) = 0 ⇔

Ba nghiệm này lập thành CSC.

Vậy m = 11 là giá trị cần tìm.

Câu 20:

Phương trình x⁴ – 2(m + 1)x² + 2m + 1 = 0 (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

A. m = 2 hoặc m = -4/9

B. m = 4 hoặc m = -4/9

C. m = 4 hoặc m = -2

D. m = 3 hoặc m = -1

Xem đáp án

Chọn B.

Đặt t = x², t ≥ 0.

Phương trình trở thành: t² – 2(m + 1)t + 2m + 1 = 0 (2)

Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi PT (2) có hai nghiệm dương phân biệt t₂ > t₁ > 0.

Khi đó PT(2) có bốn nghiệm là:

Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng khi :

Theo định lý viet thì :

Vậy m = 4 hoặc là những giá trị cần tìm.

Câu 21:

Cho CSN (u_n) thỏa: $\{\begin{cases} u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4} + u_{5} = 11 \\ u_{1} + u_{5} = \frac{82}{11} \end{cases}$ Tìm công bội và số hạng tổng quát của cấp số

A. $q = 3; u_{n} = \frac{3^{n - 1}}{11}$

B. $q = \frac{1}{3}; u_{n} = \frac{81}{11} . \frac{1}{3^{n - 1}}$

C. Cả A, B đúng

D. Cả A, B

Xem đáp án

Chọn C.

Gọi q là công bội của cấp số. Khi đó ta có:

Suy ra: ⇔ 39q⁴ – 82q³ -82q² -82q + 39 = 0

⇔ (3q – 1)(q – 3)(13q² + 16q + 13) = 0 ⇔ q = 1/3, q = 3

Câu 22:

Cho CSN (u_n) thỏa:. $\{\begin{cases} u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4} + u_{5} = 11 \\ u_{1} + u_{5} = \frac{82}{11} \end{cases}$ Tính tổng S₂₀₁₁

A. $q = \frac{1}{3}; S_{2011} = \frac{243}{22} (1 - \frac{1}{3^{2011}})$

B. $q = 3; S_{2011} = \frac{1}{22} (3^{2011} - 1)$

C. Cả A, B đúng

D. Cả A, B sai

Xem đáp án

Chọn C.

Theo câu 22 ta có:

Ta có:

Câu 23:

Cho CSN (u_n) thỏa: $\{\begin{cases} u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4} + u_{5} = 11 \\ u_{1} + u_{5} = \frac{82}{11} \end{cases}$ Trên khoảng (1/2; 1) có bao nhiêu số hạng của cấp số.