22 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 3: Tính giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Câu 1:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sin^{6} x + \cos^{6} x$ .

Ta có $y = \sin^{6} x + \cos^{6} x = 1 - \frac{3}{4} \sin^{2} 2 x$ .

Do $0 \leq \sin^{2} 2 x \leq 1$ nên $- \frac{3}{4} .0 \geq - \frac{3}{4} \sin^{2} 2 x \geq - \frac{3}{4}$

$1 \geq 1 - \frac{3}{4} \sin^{2} 2 x \geq 1 - \frac{3}{4} \Leftrightarrow 1 \geq y \geq \frac{1}{4}$ .

Vậy $\min y = \frac{1}{4} khi \sin^{2} 2 x = 1 \Leftrightarrow \cos 2 x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}, k \in ℤ$ .

$\max y = 1 khi \sin^{2} 2 x = 0 \Leftrightarrow \sin 2 x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{k π}{2}, k \in ℤ$ .

Câu 2:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \tan^{2} x - \tan x + 2020$

trên đoạn

[- \frac{π}{4}; \frac{π}{4}]

.

Xem đáp án

Ta có $y = \tan^{2} x - \tan x + 2020 = {(\tan x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{8079}{4}$ .

Hàm số $\tan x$ đồng biến và xác định trên khoảng $(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$

Mà $[- \frac{π}{4}; \frac{π}{4}] \subset (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ nên hàm số đồng biến và xác định trên $[- \frac{π}{4}; \frac{π}{4}]$ .

Do đó $\tan (- \frac{π}{4}) \leq \tan x \leq \tan \frac{π}{4} \Leftrightarrow - 1 \leq \tan x \leq 1$

$\Rightarrow - 1 - \frac{1}{2} \leq \tan x - \frac{1}{2} \leq 1 - \frac{1}{2} \Leftrightarrow - \frac{3}{2} \leq \tan x - \frac{1}{2} \leq \frac{1}{2} \Rightarrow 0 \leq {(\tan x - \frac{1}{2})}^{2} \leq \frac{9}{4}$ .

$\Leftrightarrow \frac{8079}{4} \leq {(\tan x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{8079}{4} \leq \frac{9}{4} + \frac{8079}{4} \Leftrightarrow \frac{8079}{4} \leq y \leq 2022$

Vậy $\min y = \frac{8079}{4} khi \tan x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \arctan \frac{1}{2}$ ;

Câu 3:

Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y = 7 - 2 \cos (x + \frac{π}{4})$ lần lượt là

A. -2 và 7.

B. -2 và 2.

C. 5 và 9.

D. 4 và 7.

Xem đáp án

Đáp án C

Hàm số $y = 7 - 2 \cos (x + \frac{π}{4})$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ$ .

Ta có $- 1 \leq \cos (x + \frac{π}{4}) \leq 1 \Leftrightarrow - 2 \leq 2 \cos (x + \frac{π}{4}) \leq 2 \Leftrightarrow 5 \leq 7 - 2 \cos (x + \frac{π}{4}) \leq 9$ .

Vậy $\min y = 5 \Leftrightarrow \cos (x + \frac{π}{4}) = 1 \Leftrightarrow x + \frac{π}{4} = k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{- π}{4} + k 2 π, k \in ℤ$ ;

$\max y = 9 \Leftrightarrow \cos (x + \frac{π}{4}) = - 1 \Leftrightarrow x + \frac{π}{4} = - π + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{- 5 π}{4} + k 2 π, k \in ℤ$

.

Câu 4:

Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

y = 4 \sqrt{\sin x + 3} - 1

lần lượt là

A.

\sqrt{2}

và 2.

B. 2 và 4

C.

4 \sqrt{2}

và 8.

D.

4 \sqrt{2} - 1

và 7.

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số $y = 4 \sqrt{\sin x + 3} - 1$ có nghĩa $\Leftrightarrow \sin x + 3 \geq 0 \Leftrightarrow \sin x \geq - 3 \Leftrightarrow \forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ$ .

Ta có $- 1 \leq \sin x \leq 1 \Leftrightarrow 2 \leq \sin x + 3 \leq 4 \Leftrightarrow \sqrt{2} \leq \sqrt{\sin x + 3} \leq 2$

$\Leftrightarrow 4 \sqrt{2} \leq 4 \sqrt{\sin x + 3} \leq 8 \Leftrightarrow 4 \sqrt{2} - 1 \leq 4 \sqrt{\sin x + 3} - 1 \leq 7$ .

Vậy $\min y = 4 \sqrt{2} - 1 \Leftrightarrow \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = \frac{- π}{2} + k 2 π, k \in ℤ$ ;

$\max y = 7 \Leftrightarrow \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ$ .

Câu 5:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sin^{2} x - 4 \sin x - 5$ là

A. -20.

B. -8.

C. 0

D. 9.

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số $y = \sin^{2} x - 4 \sin x - 5$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ$

Ta có $y = \sin^{2} x - 4 \sin x - 5 = {(\sin x - 2)}^{2} - 9$ .

$- 1 \leq \sin x \leq 1 \Leftrightarrow - 3 \leq \sin x - 2 \leq - 1 \Leftrightarrow 1 \leq {(\sin x - 2)}^{2} \leq 9 \Leftrightarrow - 8 \leq {(\sin x - 2)}^{2} - 9 \leq 0$ .

Vậy $\min y = - 8 \Leftrightarrow \sin x - 2 = - 1 \Leftrightarrow \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ$ .

Câu 6:

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt{2 \sin x + 3}$ là

A.

\max y = \sqrt{5}, \min y = 1

.

B.

\max y = \sqrt{5}, \min y = 2 \sqrt{5}

.

C.

\max y = \sqrt{5}, \min y = 2

.

D.

\max y = \sqrt{5}, \min y = 3

.

Xem đáp án

Đáp án A

Hàm số $y = \sqrt{2 \sin x + 3}$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ$ .

Ta có $- 1 \leq \sin x \leq 1 \Leftrightarrow - 2 \leq 2 \sin x \leq 2 \Leftrightarrow 1 \leq 2 \sin x + 3 \leq 5 \Leftrightarrow 1 \leq \sqrt{2 \sin x + 3} \leq \sqrt{5}$ .

Vậy $\min y = 1 \Leftrightarrow \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = \frac{- π}{2} + k 2 π, k \in ℤ$ ;

$\max y = \sqrt{5} \Leftrightarrow \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ$ .

Câu 7:

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{4}{1 + 2 \sin^{2} x}$ là

A.

\min y = \frac{4}{3}, \max y = 4

.

B.

\min y = \frac{4}{3}, \max y = 3

.

C.

\min y = \frac{4}{3}, \max y = 2

.

D.

\min y = \frac{1}{2}, \max y = 4

.

Xem đáp án

Đáp án A

Hàm số $y = \frac{4}{1 + 2 \sin^{2} x}$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ$ .

Ta có $- 1 \leq \sin x \leq 1 \Leftrightarrow 0 \leq \sin^{2} x \leq 1 \Leftrightarrow 0 \leq 2 \sin^{2} x \leq 2 \Leftrightarrow 1 \leq 1 + 2 \sin^{2} x \leq 3$

$\Leftrightarrow \frac{1}{3} \leq \frac{1}{1 + 2 \sin^{2} x} \leq 1 \Leftrightarrow \frac{4}{3} \leq \frac{4}{1 + 2 \sin^{2} x} \leq 4$ .

Vậy $\min y = \frac{4}{3} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = \frac{- π}{2} + k 2 π, k \in ℤ \\ \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ \end{array} \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ;$

$\max y = 4 \Leftrightarrow \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k π, k \in ℤ$ .

Câu 8:

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2 \sin^{2} x + \cos^{2} 2 x$ là

A.

\max y = 4, \min y = \frac{3}{4}

.

B.

\max y = 3, \min y = 2

.

C.

\max y = 4, \min y = 2

.

D.

\max y = 3, \min y = \frac{3}{4}

.

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số $y = 2 \sin^{2} x + \cos^{2} 2 x$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ$ .

Ta có $y = 2 \sin^{2} x + \cos^{2} 2 x = 1 - \cos 2 x + \cos^{2} 2 x = {(\cos 2 x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4}$ .

$- 1 \leq \cos 2 x \leq 1 \Leftrightarrow \frac{- 3}{2} \leq \cos 2 x - \frac{1}{2} \leq \frac{1}{2} \Leftrightarrow 0 \leq {(\cos 2 x - \frac{1}{2})}^{2} \leq \frac{9}{4} \Leftrightarrow \frac{3}{4} \leq {(\cos 2 x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} \leq 3$ .

Vậy $\min y = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \cos 2 x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{π}{6} + k π, k \in ℤ$ ;

$\max y = 3 \Leftrightarrow \cos 2 x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}, k \in ℤ$ .

Câu 9:

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=3sinx+4cos+1 là

A.

\max y = 6, \min y = - 2

B.

\max y = 4, \min y = - 4

.

C.

\max y = 6, \min y = - 4

.

D.

\max y = 6, \min y = - 1

.

Xem đáp án

Đáp án C

Hàm số $y = 3 \sin x + 4 \cos x + 1$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ$ .

Ta có $y = 3 \sin x + 4 \cos x + 1 = 5 (\frac{3}{5} \sin x + \frac{4}{5} \cos x) + 1 = 5 \sin (x + α) + 1$ với $α = \arccos (\frac{3}{5}) + k 2 π$ .

$- 5 \leq 5 \sin (x + α) \leq 5 \Leftrightarrow - 4 \leq 5 \sin (x + α) + 1 \leq 6$ .

Vậy $\min y = - 4 \Leftrightarrow \sin (x + α) = - 1 \Leftrightarrow x + α = \frac{- π}{2} + k 2 π \Leftrightarrow x = - α - \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ$ ;

$\max y = 6 \Leftrightarrow \sin (x + α) = 1 \Leftrightarrow x + α = \frac{π}{2} + k 2 π \Leftrightarrow x = - α + \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ$ .

Câu 10:

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=4sin6x+3cos6x là

A.

\min y = - 5, \max y = 5

.

B.

\min y = - 4, \max y = 4

.

C.

\min y = - 3, \max y = 5

.

D.

\min y = - 6, \max y = 6

.

Xem đáp án

Đáp án A

Hàm số $y = 4 \sin 6 x + 3 \cos 6 x$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ$ .

Ta có $y = 4 \sin 6 x + 3 \cos 6 x = 5 (\frac{4}{5} \sin 6 x + \frac{3}{5} \cos 6 x) = 5 \sin (6 x + α)$ với $α = \arccos (\frac{4}{5}) + k 2 π$ .

$- 1 \leq \sin (6 x + α) \leq 1 \Leftrightarrow - 5 \leq 5 \sin (6 x + α) \leq 5$ .

Vậy $\min y = - 5 \Leftrightarrow \sin (6 x + α) = - 1 \Leftrightarrow 6 x + α = \frac{- π}{2} + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{- 2 α - π}{12} + \frac{k π}{3}, k \in ℤ$ $\max y = 5 \Leftrightarrow \sin (6 x + α) = 1 \Leftrightarrow 6 x + α = \frac{π}{2} + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{- α}{6} + \frac{π}{12} + \frac{k π}{3}, k \in ℤ$ ;

.

Câu 11:

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sin 2 x$ trên lần lượt $[- \frac{π}{6}; \frac{π}{3}]$ là

A.

\frac{1}{2}

và

\frac{\sqrt{3}}{2}

.

B.

\frac{\sqrt{3}}{2}

và

- \frac{\sqrt{3}}{2}

C.

\frac{\sqrt{3}}{2}

và

- \frac{1}{2}

.

D.

\frac{1}{2}

và

- \frac{1}{2}

.

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số $y = \sin 2 x$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ$

Khi $x \in [- \frac{π}{6}; \frac{π}{3}]$ thì $- \frac{\sqrt{3}}{2} \leq \sin 2 x \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Vậy $\min y = - \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow x = - \frac{π}{6}; \max y = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow x = \frac{π}{3}$ .

Câu 12:

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt{3} \tan x$ trên $[- \frac{π}{3}; \frac{π}{4}]$ lần lượt là

A.

\sqrt{3}

và

- \frac{\sqrt{3}}{3}

.

B.

\sqrt{3}

và

\frac{\sqrt{3}}{3}

.

C.

\sqrt{3}

và -3

D.

\sqrt{3}

và -1.

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số $y = \sqrt{3} \tan x$ có nghĩa $\Leftrightarrow \cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{π}{2} + k π \Leftrightarrow D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π\}$ .

Khi $x \in [- \frac{π}{3}; \frac{π}{4}]$ thì hàm số $y = \tan x$ luôn đồng biến.

Suy ra $- \sqrt{3} \leq \tan x \leq 1 \Leftrightarrow - 1 \leq \sqrt{3} \tan x \leq \sqrt{3}$ .

Vậy $\min y = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{π}{3}; \max y = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow x = \frac{π}{4}$ .

Câu 13:

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=4-3cosx trên

[0; \frac{2 π}{3}]

lần lượt là

A. 1 và -1

B. 11 và 5.

C.

\sqrt{3}

và -3.

D.

\frac{11}{2}

và 1.

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số $y = f (x) = 4 - 3 \cos x$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ$ .

Khi $x \in [0; \frac{2 π}{3}]$ thì $- \frac{1}{2} \leq \cos x \leq 1 \Leftrightarrow \frac{- 3}{2} \leq 3 \cos x \leq 3 \Leftrightarrow - 3 \leq - 3 \cos x \leq \frac{3}{2} \Leftrightarrow 1 \leq 4 - 3 \cos x \leq \frac{11}{2}$ .

Vậy $\min y = 1 \Leftrightarrow x = 0; \max y = \frac{11}{2} \Leftrightarrow x = \frac{2 π}{3}$ .

Câu 14:

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{4})$ trên $[- \frac{π}{4}; \frac{π}{4}]$ lần lượt là

A. 1 và -

\sqrt{2}

.

B. 1 và

\frac{\sqrt{2}}{2}

.

C.

\frac{\sqrt{2}}{2}

và -1.

D.

\frac{\sqrt{2}}{2}

và

- \frac{\sqrt{2}}{2}

.

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số $y = f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{4})$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ$ .

Khi $x \in [- \frac{π}{4}; \frac{π}{4}]$ thì $- \frac{\sqrt{2}}{2} \leq \sin (2 x + \frac{π}{4}) \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Vậy $\min y = - \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow x = \frac{- π}{4}; \max y = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow x = \frac{π}{4}$ .

Câu 15:

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sin x + \sqrt{2 - \sin^{2} x}$ là

A

\min y = 0, \max y = 3

.

B.

\min y = 0, \max y = 2

.

C.

\min y = 0, \max y = 4

.

D.

\min y = 0, \max y = 6

.

Xem đáp án

Đáp án C

Hàm số $y = \sin x + \sqrt{2 - \sin^{2} x}$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ$ .

Ta có $- 1 \leq \sin x \leq 1 \Leftrightarrow 0 \leq \sin^{2} x \leq 1 \Leftrightarrow - 1 \leq - \sin^{2} x \leq 0 \Leftrightarrow 1 \leq 2 - \sin^{2} x \leq 2 \Leftrightarrow 1 \leq \sqrt{2 - \sin^{2} x} \leq \sqrt{2}$ .

Lại có $- 1 \leq \sin x \leq 1 \Rightarrow 0 \leq \sin x + \sqrt{2 - \sin^{2} x} \leq 1 + \sqrt{2} \Leftrightarrow 0 \leq y \leq 1 + \sqrt{2}$ .

$y = 0 \Leftrightarrow \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{π}{2} + k 2 π$ .

Vậy $\min y = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{π}{2} + k 2 π$ .

$y = 1 + \sqrt{2} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \sin x = 1 \\ \sin x = 0 \end{cases}$ (vô nghiệm).

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có

$2 \sin x \sqrt{2 - \sin^{2} x} \leq \sin^{2} x + 2 - \sin^{2} x \Leftrightarrow 2 \sin x \sqrt{2 - \sin^{2} x} \leq 2$ .

$\Leftrightarrow 2 + 2 \sin x \sqrt{2 - \sin^{2} x} \leq 4 \Leftrightarrow y^{2} \leq 4 \Leftrightarrow y \leq 2$

Dấu “=” khi và chỉ khi $\sin x = \sqrt{2 - \sin^{2} x} \Leftrightarrow \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ$ .

Vậy $\min y = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ; \max y = 2 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ$ .

Câu 16:

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{\cos x - 2 \sin x}{2 - \sin x}$ lần lượt là

A.

\frac{- 2 + \sqrt{19}}{3}

và

\frac{- 2 - \sqrt{19}}{3}

.

B.

\sqrt{3}

và

\frac{\sqrt{3}}{3}

.

C.

\sqrt{3}

và -3.

D. $\frac{- \sqrt{3} - \sqrt{19}}{3}$ và $\frac{- \sqrt{3} + \sqrt{19}}{3}$ .

Xem đáp án

Đáp án A

Hàm số $y = \frac{\cos x - 2 \sin x}{2 - \sin x}$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ$ .

Ta có $y = \frac{\cos x - 2 \sin x}{2 - \sin x} \Rightarrow 2 y - y \sin x = \cos x - 2 \sin x$

$\Leftrightarrow 2 y = y \sin x - 2 \sin x + \cos x \Leftrightarrow 2 y = (y - 2) \sin x + \cos x \Rightarrow 4 y^{2} = {[(y - 2) \sin x + \cos x]}^{2}$

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

${(y - 2)}^{2} + 1^{2} \geq 4 y^{2} \Leftrightarrow 3 y^{2} + 4 y - 5 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{- 2 - \sqrt{19}}{3} \leq y \leq \frac{- 2 + \sqrt{19}}{3}$ .

Vậy $\min y = \frac{- 2 - \sqrt{19}}{3}; \max y = \frac{- 2 + \sqrt{19}}{3}$ .

Câu 17:

Giá trị của m để bất phương trình ${(3 \sin x - 4 \cos x)}^{2} - 6 \sin x + 8 \cos x \geq 2 m - 1$ nghiệm đúng với mọi $x \in ℝ$ là

A. m

>

0.

B.

m \leq 0

.

C.

m < 0

.

D.

m \leq 1

.

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số ${(3 \sin x - 4 \cos x)}^{2} - 6 \sin x + 8 \cos x \geq 2 m - 1$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ$ .

Ta có ${(3 \sin x - 4 \cos x)}^{2} - 2 (3 \sin x - 4 \cos x) + 1 \geq 2 m \Leftrightarrow {(3 \sin x - 4 \cos x - 1)}^{2} \geq 2 m$

Để phương trình có nghiệm đúng với mọi $x \in ℝ$ thì $2 m \leq 0 \Leftrightarrow m \leq 0$ .

Câu 18:

Kết luận đúng về hàm số $y = \tan^{2} x + \cot^{2} x + 3 (\tan x + \cot x) - 1$ là

A. $\min y = - 5$ đạt được khi $x = - \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ$ .

B. Không tồn tại giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

C. $\min y = - 2$ và $\max y = 5$ .

D. Tồn tại giá trị lớn nhất nhưng không tồn tại giá trị nhỏ nhất.

Xem đáp án

Đáp án A

Hàm số $y = \tan^{2} x + \cot^{2} x + 3 (\tan x + \cot x) - 1$ có nghĩa $\Leftrightarrow \{\begin{cases} \cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{π}{2} + k π \\ \sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k π \end{cases} \Leftrightarrow x \neq k \frac{π}{2}$

Ta có $y = \tan^{2} x + \cot^{2} x + 3 (\tan x + \cot x) - 1$

$= \tan^{2} x + 2 \tan x \cot x + \cot^{2} x + 3 (\tan x + \cot x) - 3 = {(\tan x + \cot x)}^{2} + 3 (\tan x + \cot x) - 3$

Đặt $\tan x + \cot x = t = \frac{2}{\sin 2 x} \Rightarrow |t| \geq 2$

Ta có $y = t^{2} + 3 t - 3.$ Cho $y = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t_{1} = \frac{- 3 - \sqrt{21}}{2} \\ t_{2} = \frac{- 3 + \sqrt{21}}{2} \end{array}$

Vậy $\min y = - 5 \Leftrightarrow t = \frac{2}{\sin 2 x} = - 2 \Leftrightarrow \sin 2 x = - 1 \Leftrightarrow 2 x = \frac{- π}{2} + k 2 π \Leftrightarrow x = - \frac{π}{4} + k π; \max y = \emptyset$

Câu 19:

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \cos^{4} x + \sin^{4} x$ trên R lần lượt là

A. 2 và 0

B. 1 và

\frac{1}{2}

.

C.

\sqrt{2}

và 0.

D. $\sqrt{2}$ và 1.

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số $y = \cos^{4} x + \sin^{4} x$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ$ .

Ta có $y = \cos^{4} x + \sin^{4} x = {(1 - \sin^{2} x)}^{2} + \sin^{4} x = 1 - 2 \sin^{2} x + \sin^{4} x + \sin^{4} x = 2 \sin^{4} x - 2 \sin^{2} x + 1$ .

$y = 2 {(\sin^{2} x)}^{2} - 2 \sin^{2} x + 1 = 2 ({(\sin^{2} x)}^{2} - \sin^{2} x + \frac{1}{2}) = 2 {(\sin^{2} x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2}$ .

$- 1 \leq \sin x \leq 1 \Leftrightarrow 0 \leq \sin^{2} x \leq 1 \Leftrightarrow \frac{- 1}{2} \leq \sin^{2} x - \frac{1}{2} \leq \frac{1}{2} \Leftrightarrow 0 \leq {(\sin^{2} x - \frac{1}{2})}^{2} \leq \frac{1}{4} \Leftrightarrow 0 \leq 2 {(\sin^{2} x - \frac{1}{2})}^{2} \leq \frac{1}{2}$ .

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} \leq 2 {(\sin^{2} x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} \leq 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \leq y \leq 1$

Vậy $\min y = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin^{2} x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k 2 π \\ \sin x = \frac{- \sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow x = \frac{- π}{4} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$ ;

$\max y = 1 \Leftrightarrow \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k π (k \in ℤ)$

.

Câu 20:

Giá trị của m để bất phương trình $\frac{3 \sin 2 x + \cos 2 x}{\sin 2 x + 4 \cos^{2} x + 1} \leq m + 1$ là

A.

m \geq \frac{3 \sqrt{5}}{4}

.

B.

m \geq \frac{3 \sqrt{5} + 9}{4}

C.

m \geq \frac{3 \sqrt{5} - 9}{2}

.

D.

m \geq \frac{3 \sqrt{5} - 9}{4}

.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $\sin 2 x + 4 \cos^{2} x + 1 = \sin 2 x + 4 \frac{1 + \cos 2 x}{2} + 1 = \sin 2 x + 2 \cos 2 x + 3 > 0$ $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ$

$\frac{3 \sin 2 x + \cos 2 x}{\sin 2 x + 2 \cos 2 x + 3} \leq m + 1 \Leftrightarrow (3 - y) \sin 2 x + (1 - 2 y) \cos 2 x = 3 y$

$\Leftrightarrow 9 y^{2} = {[(3 - y) \sin 2 x + (1 - 2 y) \cos 2 x]}^{2}$

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

${(3 - y)}^{2} + {(1 - 2 y)}^{2} \geq 9 y^{2} \Leftrightarrow 2 y^{2} + 5 y - 5 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{- 5 - 3 \sqrt{5}}{4} \leq y \leq \frac{- 5 + 3 \sqrt{5}}{4}$ .

Vậy $\max y = \frac{- 5 + 3 \sqrt{5}}{4} \Rightarrow \frac{- 5 + 3 \sqrt{5}}{4} \leq m + 1 \Leftrightarrow m \geq \frac{3 \sqrt{5} - 9}{4}$ .

Câu 21:

Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số $y = \frac{\cos^{2} x + \sin x . \cos x}{1 + \sin^{2} x}$ lần lượt là

A. 0 và 3

B.

\sqrt{2}

và 4.

C.

- \frac{\sqrt{2}}{3}

và 6.

D.

\frac{2 - \sqrt{6}}{4}

và

\frac{2 + \sqrt{6}}{4}

.

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số $y = \frac{\cos^{2} x + \sin x . \cos x}{1 + \sin^{2} x}$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ$ .

$y = \frac{\cos^{2} x + \sin x . \cos x}{1 + \sin^{2} x} = \frac{\frac{1 + \cos 2 x}{2} + \frac{\sin 2 x}{2}}{1 + \sin^{2} x} = \frac{1 + \cos 2 x + \sin 2 x}{2 + 2 \sin^{2} x} = \frac{1 + \cos 2 x + \sin 2 x}{3 - \cos 2 x}$

Có $y = \frac{1 + \cos 2 x + \sin 2 x}{3 - \cos 2 x} \Leftrightarrow 3 y - y \cos 2 x = 1 + \cos 2 x + \sin 2 x \Leftrightarrow (1 + y) \cos 2 x + \sin 2 x = 3 y - 1$

$\Leftrightarrow {(3 y - 1)}^{2} = {((1 + y) \cos 2 x + \sin 2 x)}^{2}$

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

${(1 + y)}^{2} + 1 \geq {(3 y - 1)}^{2} \Leftrightarrow 1 + 2 y + y^{2} + 1 \geq 9 y^{2} - 6 y + 1 \Leftrightarrow 8 y^{2} - 8 y - 1 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{2 - \sqrt{6}}{4} \leq y \leq \frac{2 + \sqrt{6}}{4}$ .

Vậy $\min y = \frac{2 - \sqrt{6}}{4}; \max y = \frac{2 + \sqrt{6}}{4}$ .

Câu 22:

Cho $\cos^{2} x + \cos^{2} y + \cos^{2} z = 1$ . Giá trị lớn nhất của $y = \sqrt{1 + \cos^{2} x} + \sqrt{1 + \cos^{2} y} + \sqrt{1 + \cos^{2} z}$ là

A.

3 \sqrt{3}

.

B.

2 \sqrt{3}

.

C . 4 \sqrt{3} .

.

D.

\sqrt{3}

.

Xem đáp án

Đáp án B

Theo bài ra $\cos^{2} x + \cos^{2} y + \cos^{2} z = 1$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có

$\sqrt{1 + \cos^{2} x} + \sqrt{1 + \cos^{2} y} + \sqrt{1 + \cos^{2} z} \leq \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}} . \sqrt{1 + \cos^{2} x + 1 + \cos^{2} y + 1 + \cos^{2} z}$

.Vậy $\max y = 2 \sqrt{3}$ .