14 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 2: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến và viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm

Câu 1:

Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol $y = x^{2}$ tại $x = 1$ .

Xem đáp án

Ta có $\lim_{Δ x \to 0} \frac{{(1 + Δ x)}^{2} - {(1)}^{2}}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} (2 + Δ x) = 2.$

Vậy hệ số góc là $k = y^{'} (1) = 2$ .

Câu 2:

Cho hàm số $y = x^{3}$ . Tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị với đường thẳng $y = 3 x - 2$

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^{3}$ và đường thẳng $y = 3 x - 2$ là

$x^{3} - 3 x + 2 = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ x = - 2 \end{cases}$ .

Tại $x = 1$ ta có $\lim_{Δ x \to 0} \frac{{(1 + Δ x)}^{3} - {(1)}^{3}}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} ({(Δ x)}^{2} + 3 Δ x + 3) = 3.$

Hệ số góc $k_{1} = y^{'} (1) = 3.$

Tại $x = - 2$ ta có $\lim_{Δ x \to 0} \frac{{(- 2 + Δ x)}^{3} - {(- 2)}^{3}}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} ({(Δ x)}^{2} - 6 Δ x + 12) = 12.$

Hệ số góc $k_{2} = y^{'} (- 2) = 12.$

Câu 3:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = - x^{3}$ tại điểm có tung độ bằng 27.

Xem đáp án

Ta có: $y = 27 \Rightarrow x = - 3$ .

$\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{- {(- 3 + Δ x)}^{3} + 27}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} (- {(Δ x)}^{2} + 9 Δ x - 27) = - 27$

$\Rightarrow k = y^{'} (- 3) = - 27$

Phương trình tiếp tuyến $y - 27 = - 27 (x + 3) \Leftrightarrow y = - 27 x - 54.$

Câu 4:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x}{x - 1}$ , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng $- \frac{1}{9}$ .

Xem đáp án

Gọi $M (x_{0}; y_{0})$ là tọa độ tiếp điểm. Ta có:

$f^{'} (x_{0}) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{- 1}{(x_{0} + Δ x - 1) (x_{0} - 1)} = \frac{- 1}{{(x_{0} - 1)}^{2}}$

$f^{'} (x_{0}) = k = - \frac{1}{9} \Leftrightarrow - \frac{1}{{(x_{0} - 1)}^{2}} = - \frac{1}{9} \Leftrightarrow {(x_{0} - 1)}^{2} = 9 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{0} = 4 \\ x_{0} = - 2 \end{array} .$

+ Với $x_{0} = 4$ ta có $y_{0} = \frac{4}{3}$ , phương trình tiếp tuyến tại $(4; \frac{4}{3})$ là

$y = - \frac{1}{9} (x - 4) + \frac{4}{3} \Leftrightarrow y = - \frac{1}{9} x + \frac{16}{9} .$

+ Với $x_{0} = - 2$ ta có $y_{0} = \frac{2}{3}$ , phương trình tiếp tuyến tại $(- 2; \frac{2}{3})$ là

$y = - \frac{1}{9} (x + 2) + \frac{2}{3} \Leftrightarrow y = - \frac{1}{9} x + \frac{4}{9} .$

Câu 5:

Chứng minh rằng để đường thẳng

(d) : y = a x + b

là tiếp tuyến của đồ thị hàm số

(G) : y = f (x)

tại điểm

(x_{0}; f (x_{0}))

thì điều kiện cần và đủ là

\{\begin{cases} a = f^{'} (x_{0}) \\ a x_{0} + b = f (x_{0}) \end{cases} .

Xem đáp án

Đường thẳng $y = a x + b$ là tiếp tuyến của đồ thị $(G) : y = f (x)$ tại điểm $(x_{0}; f (x_{0}))$ khi và chỉ khi đồng thời xảy ra

· (d) và (G) cùng đi qua điểm $(x_{0}; f (x_{0}))$ tức là

· Hệ số góc (d) của f bằng đạo hàm của tại a=f(x) , tức là

Từ đó suy ra điều cần chứng minh.

Câu 6:

Cho đồ thị của hàm số f(x) trên khoảng (a;b). Biết rằng tại các điểm

M_{1}; M_{2}; M_{3},

đồ thị hàm số có tiếp tuyến được thể hiện như hình vẽ. Dựa vào hình vẽ hãy xét dấu của

f^{'} (x_{1}), f^{'} (x_{2}), f^{'} (x_{3}) .

A.

f^{'} (x_{1}) < 0, f^{'} (x_{2}) = 0, f^{'} (x_{3}) > 0.

B. $f^{'} (x_{1}) > 0, f^{'} (x_{2}) = 0, f^{'} (x_{3}) < 0.$

C.

f^{'} (x_{1}) = 0, f^{'} (x_{2}) > 0, f^{'} (x_{3}) < 0.

D. $f^{'} (x_{1}) < 0, f^{'} (x_{2}) > 0, f^{'} (x_{3}) = 0.$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 7:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x}$ tại điểm có hoành độ là -1.

A. $x + y + 2 = 0.$

B. $y = x + 2.$

C. $y = x - 2.$

D. $y = - x + 2.$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $x = - 1 \Rightarrow y = - 1$ . Khi đó $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{1}{- 1 + Δ x} = - 1 \Rightarrow k = y^{'} (- 1) = - 1.$

Phương trình tiếp tuyến: $y = - x - 2.$

Câu 8:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y = - x^{3} + 3 x - 2

tại điểm có hoành độ bằng 2 song song với đường thẳng y=ax+b . Giá trị a+b bằng

A. 5.

B. 6.

C. 4.

D. -1.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $y_{0} = y (2) = - 4$ . Hệ số góc của tiếp tuyến là

$y^{'} (2) = \lim_{x \to 2} \frac{f (x) - f (2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{- x^{3} + 3 x - 2 + 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (- x^{2} - 2 x - 1) = - 9$ .

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 là $y = - 9 x + 14$ . Vậy $a = - 9; b = 14 \Rightarrow a + b = 5.$

Câu 9:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x}$ biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng $- \frac{1}{4} .$

A.

x + 4 y - 1 = 0

và

x + 4 y + 1 = 0

.

B. $y = - \frac{1}{4} x - 4$ và $y = - \frac{1}{4} x + 4$ .

C. $x + 4 y - 4 = 0$ và $v x + 4 y + 4 = 0$ .

D.

y = - \frac{1}{4} x

.

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi $M (x_{0}; y_{0})$ là tọa độ tiếp điểm

$\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{- 1}{(x_{0} + Δ x) x_{0}} = - \frac{1}{{x_{0}}^{2}};$

$f^{'} (x_{0}) = k \Leftrightarrow - \frac{1}{{x_{0}}^{2}} = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow {x_{0}}^{2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2$ .

Với $x_{0} = 2 \Rightarrow y_{0} = \frac{1}{2}$ , phương trình tiếp tuyến tại $(2; \frac{1}{2})$ là $y = - \frac{1}{4} x + 1 \Leftrightarrow x + 4 y - 4 = 0$ .

Với $x_{0} = - 2 \Rightarrow y_{0} = - \frac{1}{2}$ , phương trình tiếp tuyến tại $(- 2; - \frac{1}{2})$ là

y = - \frac{1}{4} x - 1 \Leftrightarrow x + 4 y + 4 = 0

.

Câu 10:

Hệ số góc của tiếp tuyến của parabol $y = x^{2}$ tại $x = \frac{1}{2}$ là

A. 0.

B. 1

C.

\frac{1}{4}

.

D.

- \frac{1}{2}

.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $\lim_{Δ x \to 0} \frac{{(\frac{1}{2} + Δ x)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} (1 + Δ x) = 1.$

Hệ số góc $k = y^{'} (\frac{1}{2}) = 1.$

Câu 11:

Hệ số góc của tiếp tuyến của parabol

y = x^{2}

tại giao điểm của parabol với đường thẳng y=3x-2 bằng

A. 1 và 2.

B. 1 và 4.

C. 2 và 4.

D. 1 và 3.

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^{2} - 3 x + 2 = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ x = 2 \end{cases} .$

Tại $x = 1 : \lim_{Δ x \to 0} \frac{{(1 + Δ x)}^{2} - {(1)}^{2}}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} (2 + Δ x) = 2.$

Hệ số góc $k_{1} = y^{'} (1) = 2.$

Tại $x = 2 : \lim_{Δ x \to 0} \frac{{(2 + Δ x)}^{2} - {(2)}^{2}}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} (4 + Δ x) = 4.$

Hệ số góc $k_{2} = y^{'} (2) = 4$ .

Câu 12:

Phương trình tiếp tuyến của đường cong

y = x^{3}

tại điểm (-1;-1) là

A.

y = - 3 x - 4.

B. y=-1

C. y=3x-2

D. y=3x+2

Xem đáp án

Đáp án D

\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} (3 - 3 Δ x + {(Δ x)}^{2}) = 3 \Rightarrow k = y^{'} (- 1) = 3.

Phương trình tiếp tuyến:

y + 1 = 3 (x + 1) \Leftrightarrow y = 3 x + 2

Câu 13:

Phương trình tiếp tuyến của đường cong $y = x^{3}$ tại điểm có tung độ bằng 8 là

A. y=-12x+16

B. y=8

C. y=12x-24

D. y=12x-16

Xem đáp án

Đáp án D

$y = 8 \Rightarrow x = 2$

$\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} (12 + 6 Δ x + {(Δ x)}^{2}) = 12$

$\Rightarrow k = y^{'} (2) = 12$

Phương trình tiếp tuyến: $y - 8 = 12 (x - 2) \Leftrightarrow y = 12 x - 16.$

Câu 14:

Phương trình tiếp tuyến của đường cong $y = \frac{1}{x}$ tại điểm có hoành độ bằng -1 là

A.

x + y + 2 = 0

.

B. y=x+2

C. y=x-2

D. -x+2

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $x = - 1 \Rightarrow y = - 1$ .

$\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{1}{- 1 + Δ x} = - 1 \Rightarrow k = y^{'} (- 1) = - 1.$

Phương trình tiếp tuyến: $y = - x - 2.$