IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 11 Toán Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm có đáp án

Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm có đáp án

Dạng 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm

  • 1321 lượt thi

  • 32 câu hỏi

  • 60 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y=2x2+3  tại x0=2 .

Xem đáp án

Giả sử  là số gia của đối số tại .

Ta có: Δy=f2+Δxf2=22+Δx2+32.22+3

=2ΔxΔx+4.                 

Tỉ số ΔyΔx=2ΔxΔx+4Δx=2Δx+8 .

limΔx0ΔyΔx=limΔx02Δx+8=8.

Vậy f'2=8.

Câu 2:

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y=2x1x+1  tại x0=3 .

Xem đáp án

Giả sử Δx  là số gia của đối số tại x0=3 .

Ta có: Δy=f3+Δxf3=23+Δx13+Δx+154=5+2Δx4+Δx54=3Δx44+Δx;

         ΔyΔx=3ΔxΔx.44+Δx=344+Δx.  

Do đó limΔx0ΔyΔx=limΔx03ΔxΔx.44+Δx=limΔx0344+Δx=316.

Vậy f'3=316.


Câu 3:

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y=2x1tại x0=1.

Xem đáp án

Giả sử Δx  là số gia của đối số tại x0=1.

Ta có: Δy=f1+Δxf1=21+Δx11=2Δx2Δx+1+1;

    ΔyΔx=2ΔxΔx2Δx+1+1=22Δx+1+1;       

     limΔx0ΔyΔx=limΔx022Δx+1+1=1       .

Vậy f'1=1.


Câu 4:

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y=sinx  tại x0=π3.

Xem đáp án

Giả sử Δx  là số gia của đối số x0=π3.

Ta có: Δy=fπ3+Δxfπ3=sinπ3+Δxsinπ3=2cosπ3+Δx2sinΔx2;

        ΔyΔx=cosπ3+Δx2sinΔx2Δx2.   

Do đó limΔx0ΔyΔx=limΔx0cosπ3+Δx2sinΔx2Δx2.

limΔx0sinΔx2Δx2=1  nên limΔx0ΔyΔx=limΔx0cosπ3+Δx2=cosπ3=12 .

Vậy f'π3=12.


Câu 5:

Chứng minh rằng hàm số fx=x12,x0x2,x<0   không có đạo hàm tại  nhưng có đạo

hàm tại x=2  .

Xem đáp án

Ta có limx0+fx=limx0+x12=1;limx0fx=limx0x2=0limx0+fxlimx0fx.

Suy ra hàm số gián đoạn tại   nên không có đạo hàm tại đó.

limΔx0f2+Δxf2Δx=limΔx01+Δx212Δx=limΔx02+Δx=2.

Vậy hàm số y=fx  có đạo hàm tại x=2  và f'2=2.


Câu 6:

Chứng minh rằng hàm số fx=2x2+x+1x1  liên tục tại x=1  nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.

Xem đáp án

fx  là hàm số sơ cấp xác định tại x=1   nên nó liên tục tại đó.

Ta có: f'1+=limx1+fxf1x+1=limx1+2xx1=1;

       f'1=limx1fxf1x+1=limx12=2.    

Do đó f'1+f'1  nên fx  không có đạo hàm tại x=1 .


Câu 7:

Cho đồ thị hàm số y=fx   xác định trên khoảng a;b  như hình vẽ.

Dựa vào hình vẽ hãy cho biết tại mỗi điểm   x1,x2,x3,x4.

a, Hàm số có liên tục không?

b, Hàm số có đạo hàm không?

Cho đồ thị hàm số   xác định trên khoảng   như hình vẽ. Dựa vào hình vẽ hãy cho biết tại mỗi điểm x1,x2,x3,x4   a, Hàm số có liên tục không? b, Hàm số có đạo hàm không? (ảnh 1)

 
Xem đáp án

 

a, Hàm số gián đoạn tại các điểm x1,x3  vì đồ thị bị đứt tại các điểm đó. Hàm số liên tục tại x2,x4  vì đồ thị là đường liền nét khi đi qua các điểm đó.

b, Tại các điểm x1,x3  hàm số không có đạo hàm do hàm số gián đoạn tại các điểm x1,x3.

Hàm số không có đạo hàm tại x2  vì đồ thị bị gãy (không có tiếp tuyến tại đó).

Hàm số có đạo hàm tại x4  và  vì tạif'x4=0  đồ thị hàm số có tiếp tuyến và tiếp tuyến song song với trục hoành (hệ số góc của tiếp tuyến bằng 0).


Câu 8:

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y=x2  trên khoảng ;+ ?

Xem đáp án

Giả sử Δx  là số gia của đối số .

Ta có: Δy=fx+Δxfx=x+Δx2x2

=2Δx.x+Δx2.

Tỉ số ΔyΔx=2Δx.x+Δx2Δx=2x+Δx.

limΔx0ΔyΔx=limΔx02x+Δx=2x.

Vậy f'x=2x.


Câu 9:

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y=xx1  trên các khoảng ;1  và 1;+ ?

Xem đáp án

Giả sử Δx  là số gia của đối số x .

Ta có  Δy=fx+Δxfx=x+Δxx+Δx1xx1=Δxx+Δx1x1

ΔyΔx=ΔxΔx.x+Δx1x1=1x+Δx1x1.

limΔx0ΔyΔx=limΔx01x+Δx1x1=1x12

Vậy f'x=1x12  .


Câu 10:

Tính đạo hàm của hàm số y= cosx trên khoảng ;+?
Xem đáp án

Ta có: Δy=fx+Δxfx=cosx+Δxcosx=2sinx+Δx2.sinΔx2

ΔyΔx=2sinx+Δx2.sinΔx2Δx=sinx+Δx2.sinΔx2Δx2

limΔx0ΔyΔx=limΔx0sinx+Δx2.sinΔx2Δx2=sinx.

Vậy f'x=sinx.


Câu 11:

Tìm  để hàm số  fx=x21x1 khi x12m      khi x=1   có đạo hàm tại x=1 .

Xem đáp án

Ta có limx1fx=limx1x21x1=2;f1=2m.

Để hàm số có đạo hàm tại  thì  phải liên tục tại x=1 , suy ra limx1fx=f12m=2m=1.

Thay m=1  vào hàm số fx  thỏa mãn có đạo hàm x=1 .

Câu 12:

Tìm a, b để hàm số fx=x23x khi x2ax+b   khi x<2  có đạo hàm tại x=2

Xem đáp án

limx2+fx=limx2+x23x=2;limx2fx=limx2ax+b=2a+b

Để hàm số có đạo hàm tại x=2  thì hàm số liên tục tại x=2 .

Do đó 2a+b=2b=2a2  . Ta lại có:

limx2+fxf2x2=limx2+x23x+2x2=limx2+x1=1;

limx2fxf2x2=limx2ax+b2x2=limx2ax+b+2x2.

Do b=2a2  nên limx2ax+b+2x2=limx2ax2a2+2x2=limx2ax2ax2=a

Để hàm số có đạo hàm tại x=2 thì limx2+fxf2x2=limx2fxf2x2a=1b=2a2a=1b=4


Câu 13:

Chứng minh rằng hàm số fx=cosx,   x0        sinx, x<0   không có đạo hàm tại x=0 .

Xem đáp án

Ta có:

limx0+fx=lim x0+cosx=1;limx0fx=limx0sinx=0limx0+fxlimx0fx.

Suy ra hàm số gián đoạn tại x=0  nên không có đạo hàm tại đó.


Câu 14:

Tìm  để hàm số fx=x33     khi x>1ax+b khi x1  có đạo hàm tại x=1  .

Xem đáp án

Điều kiện cần

Ta có f1=13;limx1+fx=limx1+x33=13  và limx1fx=limx1ax+b=a+b.

Để hàm số fx   có đạo hàm tại x=1   thì fx  liên tục tại x=1 .

Do đó limx1+fx=limx1fx=f1a+b=13.

Điều kiện đủ: f'1+=limx1+fxf1x1=limx1+x3313x1=limx1+x2+x+13=1.

f'1=limx1fxf1x1=limx1+fxf1x1=limx1ax+ba+bx1=limx1+axax1=a.

Để hàm số fx   có đạo hàm tại x=1  thì f'1+=f'1a=1b=23.

Vậy a=1;b=23  thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Câu 16:

Biểu thức Δy   ΔyΔx  của hàm số y=x21  tính theo x   Δx  

Xem đáp án
Đáp án B
Ta có Δy=fx+Δxfx=x+Δx21x21=2xΔx+Δx2;ΔyΔx=2x+Δx.

Câu 17:

Đạo hàm của hàm số y=2x+1   tại điểm x0=1  

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có Δy=21+Δx+121+1=2ΔxΔyΔx=2. Suy ra limΔx0ΔyΔx=limΔx02=2.

       Vậy y'1=2.


Câu 18:

Đạo hàm của hàm số y=x2x  tại điểm x0  

Xem đáp án

Đáp án D

Xét hàm số y=fx=x2x  . Gọi Δx  là số gia của đối số tại x  .

Ta có Δy=fx0+Δxfx0=x0+Δx2x0+Δxx02x0=Δx2+2x0ΔxΔx.

Suy ra limΔx0ΔyΔx=limΔx0Δx+2x01 .

Vậy f'x0=limΔx0Δx+2x01.


Câu 19:

Đạo hàm của hàm số   y=x2+x tại điểm x0=1  
Xem đáp án

       Đáp án B

Ta có Δy=f1+Δxf1=1+Δx2+1+Δx12+1=3Δx+Δx2  ; suy ra limΔx0ΔyΔx=limΔx03+Δx=3.

             


Câu 20:

Cho hàm số y=1x.  Giá trị của y'2   bằng

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có Δy=12+Δx12=Δx2+Δx2ΔyΔx=12+Δx2.  Suy ra limΔx0ΔyΔx=limΔx012+Δx2=14.

Vậy y'2=14  .


Câu 21:

Giá trị đạo hàm của hàm số y=2x1  tại điểm x0=5  

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có Δy=f5+Δxf5=9+2Δx3  ; suy ra ΔyΔx=9+2Δx3Δx.

Do đó limΔx0ΔyΔx=limΔx09+2Δx32Δx9+2Δx+3=limΔx029+2Δx+3=13

Vậy y'5=13.


Câu 22:

Cho hàm số y=fx=x+x  . Giá trị f'0  bằng

Xem đáp án

  Đáp án D

Ta có: 

limx0+fxf0x0=limx0+x+xx=limx0+x+xx=2,limx0fxf0x0=limx0x+xx=limx0xxx=0.           

              Vậy hàm số không tồn tại đạo hàm tại x0=0.


Câu 23:

Cho hàm số fx  xác định bởi fx=x2+11x khi x0 0                 khi x=0.  Giá trị f'0  bằng

Xem đáp án

       Đáp án C

Ta có: f'0=limx0fxf0x0=limx0x2+11x2=limx01x2+1+1=12.


Câu 24:

Đạo hàm của hàm số fx=sin2xx khi x>0x+x2 khi x0  tại x0=0   bằng

Xem đáp án

Đáp án  A

Ta có limx0+fx=limx0+sin2xx=limx0+sinxx.sinx=0;limx0fx=limx0x+x2=0   nên hàm số liên tục tại x=0  .

            Ta lại có: limx0+fxf0x=limx0+sin2xx2=1  và limx0fxf0x=limx0x+x2x=1.

            Vậy f'0=1.


Câu 25:

Cho hàm số y=fx=2x2+x+1x1 . Khẳng định nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số y=fx=2x2+x+1x1  có tập xác định là D=\1 .

Ta có limx1fx=limx12x2+x+1x1=1=f1  nên hàm số liên tục tại x=1 .

Ta có y=fx=2x2+x+1x1=2x+1         khi x1       2x2+x+1x1 khi x>1,x1 nên

limx1fxf1x1=limx12x+11x+1=2 và limx1+fxf1x1=limx12x2+x+1x11x+1=limx12xx1=1.

Vậy không tồn tại limx1fxf1x1  . Do đó hàm số không có đạo hàm tại x=1 .


Câu 26:

Đạo hàm của hàm số fx=2x+3                   khi x1x3+2x27x+4x1 khi x<1  tại x0=1  bằng

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có limx1+fx=limx1+2x+3=5

limx1fx=limx1x3+2x27x+4x1=limx1x2+3x4=0

Suy ra limx1+fxlimx1fx  hàm số không liên tục tại x=1   nên hàm số không có đạo hàm tại x0=1 .


Câu 27:

Đạo hàm của hàm số  y=c ( c là hằng số) trên khoảng  ;+ bằng

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có limΔx0fx+ΔxfxΔx=limΔx0ccΔx=limΔx00=0f'x=0.


Câu 28:

Đạo hàm của hàm số y=fx=1x  trên các khoảng ;0  0;+  bằng

Xem đáp án

     Đáp án D

  Ta có limΔx0fx+ΔxfxΔx=limΔx01x+Δx1xΔx=limΔx01x+Δxx=1x2.  Vậy f'x=1x2.


Câu 29:

 Đạo hàm của hàm số y=fx=x  trên khoảng 0;+  bằng

Xem đáp án

       Đáp án B

Ta có limΔx0fx+ΔxfxΔx=limΔx0x+ΔxxΔx=limΔx01x+Δx+x=12xf'x=12x.

           


Câu 30:

Giá trị của m để hàm số fx=x44x2,  khi x2m          khi x=2  có đạo hàm tại x=2  bằng

Xem đáp án

Đáp án B

Ta dễ dàng chứng minh được limx2x24x2=4.

Để hàm số liên tục tại x=2  thì limx2fx=f2=4m=4.

Mặt khác limx2fxf2x2=limx2x24x24x2=1.

Vậy với  thì hàm số dã cho có đạo hàm tại x=2 .


Câu 31:

Cho hàm số  y=x2+ax+b          khi x2x3x28x+10 khi x<2, biết hàm số có đạo hàm tại điểm x=2 .

Giá trị của ab   bằng

Xem đáp án

Đáp án D

Để hàm số có đạo hàm tại  thi hàm số phải liên tục tại .

Do đó limx2x3x28x+10=limx2+x2+ax+b2=4+2a+b2a+b=6.

Hàm số có đạo hàm tại điểm x=2  nên

limx2fxf2x2=limx2+fxf2x24+a=0a=4. 

Suy ra a=2 . Vậy ab=8.


Câu 32:

Nếu hàm số fx=x42x2+1x+1 khi x1ax2+ax+b  khi x<1  có đạo hàm trên R thì giá trị a+b  

Xem đáp án

  Đáp án B

Với x1  hàm số luôn có đạo hàm nên để hàm số có đạo hàm với mọi x  thì hàm số phải có đạo hàm tại x=1 .

Ta có: limx1+x42x2+1x+1=0;limx1ax2+ax+b=b . Để hàm số liên tục tại x=1  thì

limx1+fx=limx1fx=f1=0b=0

Với  b=0;a , ta có:

limx1+fxf1x1=limx1+x42x2+1x+10x+1=4;limx1fxf1x1=limx1ax2+ax0x+1=a.

Hàm số có đạo hàm tại điểm  khi và chỉ khi:

limx1+fxf0x1=limx1fxf1x1=4a=4.

Vậy a=4,b=0a+b=4.


Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan


Có thể bạn quan tâm


Các bài thi hot trong chương