12 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 3: Tính tổng dựa vào nhị thức Niu-tơn có đáp án

Câu 1:

S = C_{2020}^{0} + C_{2020}^{2} + C_{2020}^{4} + ... + C_{2020}^{2020}

Xem đáp án

Xét khai triển

{(1 + x)}^{n} = C_{n}^{0} + x . C_{n}^{1} + x^{2} . C_{n}^{2} + ... + x^{n} . C_{n}^{n}

(*)
Thay

x = 1; n = 2020

vào (*), ta được:

2^{2020} = C_{2020}^{0} + C_{2020}^{1} + C_{2020}^{2} + ... + C_{2020}^{2020}

(1).
Thay

x = - 1; n = 2020

vào (*), ta được

0 = C_{2020}^{0} - C_{2020}^{1} + C_{2020}^{2} - ... + C_{2020}^{2020}

(2).
Cộng theo vế (1) và (2) ta được:

2 S = 2^{2020} \Rightarrow S = 2^{2019}

.

Câu 2:

Cho khai triển nhị thức Niu-tơn của ${(2 - 3 x)}^{2 n}$ , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn $C_{2 n + 1}^{1} + C_{2 n + 1}^{3} + C_{2 n + 1}^{5} + ... + C_{2 n + 1}^{2 n + 1} = 1024$ . Tìm hệ số của $x^{7}$ trong khai triển trên.

Xem đáp án

Ta có khai triển

{(1 + x)}^{2 n + 1} = C_{2 n + 1}^{0} + C_{2 n + 1}^{1} x + C_{2 n + 1}^{2} x^{2} + ... + C_{2 n + 1}^{2 n + 1} x^{2 n + 1}

. (*)
Thay

x = 1

vào (*) ta được

2^{2 n + 1} = C_{2 n + 1}^{0} + C_{2 n + 1}^{1} + C_{2 n + 1}^{2} + ... + C_{2 n + 1}^{2 n + 1}

. (1)
Thay

x = - 1

vào (*) ta được

0 = C_{2 n + 1}^{0} - C_{2 n + 1}^{1} + C_{2 n + 1}^{2} - ... - C_{2 n + 1}^{2 n + 1}

. (2)
Trừ vế theo vế (1) cho (2), ta được

C_{2 n + 1}^{1} + C_{2 n + 1}^{3} + C_{2 n + 1}^{5} + ... + C_{2 n + 1}^{2 n + 1} = 2^{2 n}

.
Từ giả thiết ta có:

1024 = 2^{2 n} \Leftrightarrow n = 5

.
Suy ra

{(2 - 3 x)}^{10} = \sum_{k = 0}^{n} C_{10}^{k} . {(- 3)}^{k} {.2}^{10 - k} . x^{k}

.
Hệ số của

x^{7}

trong khai triển là

C_{10}^{7} . {(- 3)}^{7} {.2}^{3} = - {8.3}^{7} . C_{10}^{7}

.

Câu 3:

Đặt $S = C_{2017}^{1} + C_{2017}^{2} + ... + C_{2017}^{2017}$ . Khi đó giá trị S là

A. $2^{2018}$

B. $2^{2017}$

C. $2^{2017} - 1$

D. $2^{2016}$

Xem đáp án

Ta có khai triển

{(1 + x)}^{2017} = C_{2017}^{0} + C_{2017}^{1} x + C_{2017}^{2} x^{2} + ... + C_{2017}^{k} x^{k} + ... + C_{2017}^{2017} x^{2017}

Thay x= 1 ta được

2^{2017} = C_{2017}^{0} + C_{2017}^{1} + C_{2017}^{2} + ... + C_{2017}^{k} + ... + C_{2017}^{2017}

.
Suy ra

2^{2017} = 1 + S \Rightarrow S = 2^{2017} - 1

Ghi chú: Trong trắc nghiệm ta khai triển

{(1 + 1)}^{2017}

thì được

2^{2017} = C_{2017}^{0} + C_{2017}^{1} + C_{2017}^{2} + ... + C_{2017}^{k} + ... + C_{2017}^{2017}

.. Suy ra

S = 2^{2017} - 1

Đáp án C

Câu 4:

Tính tổng $S = C_{10}^{0} + 2. C_{10}^{1} + 2^{2} . C_{10}^{2} + ... + 2^{10} . C_{10}^{10}$ .

A. $S = 2^{10}$

B. $S = 4^{10}$

C. $S = 3^{10}$

D. $S = 3^{11}$

Xem đáp án

Xét khai triển nhị thức

{(x + 2)}^{10} = \sum_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} x^{10 - k} 2^{k} = C_{10}^{0} x^{10} + 2 C_{10}^{1} x^{9} + 2^{2} C_{10}^{2} x^{8} + ... + 2^{10} C_{10}^{10}

Cho x=1, ta được

3^{10} = {(1 + 2)}^{10} = C_{10}^{0} + 2 C_{10}^{1} + 2^{2} C_{10}^{2} x^{8} + ... + 2^{10} C_{10}^{10}

Đáp án C

Câu 5:

Cho $S = C_{15}^{8} + C_{15}^{9} + C_{15}^{10} + ... + C_{15}^{15}$ . Tính S.

A. $S = 2^{15}$

B. $S = 2^{14}$

C. $S = 2^{13}$

D. $S = 2^{12}$

Xem đáp án

Sử dụng đẳng thức

C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}

ta được:

S = C_{15}^{8} + C_{15}^{9} + C_{15}^{10} + ... + C_{15}^{15} = C_{15}^{7} + C_{15}^{6} + C_{15}^{5} + ... + C_{15}^{0}

\Rightarrow 2 S = (C_{15}^{8} + C_{15}^{9} + C_{15}^{10} + ... + C_{15}^{15}) + (C_{15}^{7} + C_{15}^{6} + C_{15}^{5} + ... + C_{15}^{0}) = \sum_{k = 0}^{15} C_{15}^{k} = 2^{15}

\Rightarrow S = 2^{14}

Vậy

S = (C_{15}^{8} + C_{15}^{9} + C_{15}^{10} + ... + C_{15}^{15}) = 2^{14}

Đáp án B

Câu 6:

Cho $A = C_{n}^{0} + 5 C_{n}^{1} + 5^{2} C_{n}^{2} + ... + 5^{n} C_{n}^{n}$ . Khi đó

A. $A = 7^{n}$

B. $A = 5^{n}$

C. $A = 6^{n}$

D. $A = 4^{n}$

Xem đáp án

Xét khai triển

{(a + b)}^{n} = C_{n}^{0} . a^{0} . b^{n} + C_{n}^{1} . a^{1} . b^{n - 1} + ... + C_{n}^{n} . a^{n} . b^{0}

Với : a=5 , b=1 ta có

{(5 + 1)}^{n} = C_{n}^{0} {.5}^{0} {.1}^{n} + C_{n}^{1} {.5}^{1} {.1}^{n - 1} + ... + C_{n}^{n} {.5}^{n} {.1}^{0} = C_{n}^{0} + 5 C_{n}^{1} + ... + 5^{n} C_{n}^{n} = A

hay

A = 6^{n}

Đáp án C

Câu 7:

Cho khai triển ${(1 + x + x^{2})}^{1009} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ... + a_{2018} x^{2018} .$ Khi đó $a_{0} + a_{1} + a_{2} + ... + a_{2018}$ bằng

A. $3^{1009}$

B. $3^{1008}$

C. $3^{2018}$

D. $3^{2016}$

Xem đáp án

Xét khai triển

{(1 + x + x^{2})}^{1009} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ... + a_{2018} x^{2018}

. (1)
Thay x=1 vào (1) ta được:

a_{0} + a_{1} + ... + a_{2018} = {(1 + 1 + 1)}^{1009} = 3^{1009}

.

Đáp án A

Câu 8:

Giá trị của tổng $S = C_{2017}^{0} + \frac{1}{2} C_{2017}^{1} + \frac{1}{3} C_{2017}^{2} + ... + \frac{1}{2018} C_{2017}^{2017}$ bằng

A. $\frac{2^{2017} - 1}{2017}$

B. $\frac{2^{2018} - 1}{2018}$

C. $\frac{2^{2018} - 1}{2017}$

D. $\frac{2^{2017} - 1}{2018}$

Xem đáp án

Xét số hạng tổng quát

\frac{1}{k + 1} C_{2017}^{k}

, ta có:

\frac{1}{k + 1} C_{2017}^{k} = \frac{1}{1 + k} . \frac{2017!}{k! (2017 - k)!} = \frac{1}{2018} . \frac{2018!}{(k + 1)! (2017 - k)!} = \frac{1}{2018} C_{2018}^{k + 1}

. Vậy

\frac{1}{k + 1} C_{2017}^{k} = \frac{1}{2018} C_{2018}^{k + 1}

\Rightarrow S = \frac{1}{2018} [C_{2018}^{0} + C_{2018}^{1} + C_{2018}^{2} + ... + C_{2018}^{2018}] - \frac{C_{2018}^{0}}{2018} = \frac{1}{2018} 2^{2018} - \frac{1}{2018} = \frac{2^{2018} - 1}{2018}

Đáp án B

Câu 9:

Cho n là số nguyên dương thỏa mãn $3^{n} C_{n}^{0} - 3^{n - 1} C_{n}^{1} + 3^{n - 2} C_{n}^{2} - ... + {(- 1)}^{n} C_{n}^{n} = 2048$ . Hệ số của $x^{10}$ trong khai triển ${(x + 2)}^{n}$ là

A. 11264.

B. 22.

C. 220.

D. 24.

Xem đáp án

Ta có

{(3 - 1)}^{n} = 3^{n} C_{n}^{0} - 3^{n - 1} C_{n}^{1} + 3^{n - 2} C_{n}^{2} - ... + {(- 1)}^{n} C_{n}^{n}

\Leftrightarrow 2^{n} = 2048 \Leftrightarrow 2^{n} = 2^{11} \Leftrightarrow n = 11

Xét khai triển

{(x + 2)}^{11} = \sum_{k = 0}^{11} C_{11}^{k} x^{11 - k} {.2}^{k}

Tìm hệ số của

x^{10}

tương ứng với tìm

k \in ℕ (k \leq 11)

thỏa mãn

11 - k = 10 \Leftrightarrow k = 1

.
Vậy hệ số của

x^{10}

trong khai triển

{(x + 2)}^{11}

là

C_{11}^{1} .2 = 22

.

Đáp án B

Câu 10:

Cho khai triển ${(x - 2)}^{80} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ... + a_{80} x^{80}$ .

Tổng $S = 1. a_{1} + 2. a_{2} + 3. a_{3} + ... + 80. a_{80}$ là

A. -70.

B. 80.

C. 70.

D. -80.

Xem đáp án

Xét khai triển:

{(x - 2)}^{80} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ... + a_{80} x^{80}

. (1)
Lấy đạo hàm theo biến x hai vế của (1) ta được:

80 {(x - 2)}^{79} = a_{1} + 2 a_{2} x + 3 a_{3} x^{2} + ... + 80 a_{80} x^{79}

(2)
Thay x= 1 vào (2) ta được:

S = 80 {(1 - 2)}^{79} = - 80

Đáp án D

Câu 11:

Hệ số của số hạng chứa $x^{26}$ trong khai triển nhị thức Niu-tơn của ${(\frac{1}{x^{4}} + x^{7})}^{n}$ , biết $C_{2 n + 1}^{1} + C_{2 n + 1}^{2} + ... + C_{2 n + 1}^{n} = 2^{20} - 1$ là

A. 210.

B. 213.

C. 414.

D. 213.

Xem đáp án

Do

C_{2 n + 1}^{k} = C_{2 n + 1}^{2 n + 1 - k} \forall k = 0, 1, 2, ..., 2 n + 1

nên

C_{2 n + 1}^{0} + C_{2 n + 1}^{1} + ... + C_{2 n + 1}^{n} = C_{2 n + 1}^{n + 1} + C_{2 n + 1}^{n + 2} + ... + C_{2 n + 1}^{2 n + 1}

Mặt khác:

C_{2 n + 1}^{1} + C_{2 n + 1}^{2} + ... + C_{2 n + 1}^{2 n + 1} = 2^{2 n + 1}

Suy ra

2 (C_{2 n + 1}^{0} + C_{2 n + 1}^{1} + C_{2 n + 1}^{2} + ... + C_{2 n + 1}^{n}) = 2^{2 n + 1}

\Leftrightarrow C_{2 n + 1}^{1} + C_{2 n + 1}^{2} + ... + C_{2 n + 1}^{n} = 2^{2 n} - C_{2 n + 1}^{0} = 2^{2 n} - 1

\Leftrightarrow 2^{2 n} - 1 = 2^{20} - 1 \Leftrightarrow n = 10

Khi đó:

{(\frac{1}{x^{4}} + x^{7})}^{10} = {(x^{- 4} + x^{7})}^{10} = \sum_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} {(x^{- 4})}^{10 - k} . x^{7 k} = \sum_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} . x^{11 k - 40}

Hệ số chứa

x^{26}

ứng với giá trị k:

11 k - 40 = 26 \Rightarrow k = 6

Vậy hệ số chứa

x^{26}

là

C_{10}^{6} = 210

Đáp án A

Câu 12:

Đặt $S = C_{2018}^{0} - C_{2018}^{1} + C_{2018}^{2} - C_{2018}^{3} + ... + C_{2018}^{2018}$ . Khi đó:

A. S= 0

B. $S = 2^{2018} - 1$

C. S=-1

D. $S = 2^{2018} + 1$

Xem đáp án

Xét khai triển

{(1 + x)}^{n} = C_{n}^{0} + x . C_{n}^{1} + x^{2} . C_{n}^{2} + ... + x^{n} . C_{n}^{n}

(*).
Thay

x = - 1; n = 2018

vào (*), ta được

0 = C_{2018}^{0} + C_{2018}^{1} + C_{2018}^{2} + ... + C_{2018}^{2018}

.
Vậy S=0.

Đáp án A