33 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 1: Hàm số liên tục tại một điểm, trên một tập có đáp án

Câu 1:

Cho hàm số

$f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{3} - 27}{x^{2} - x - 6}, k h i x \neq 3 \\ \frac{27}{5}, k h i x = 3 \end{cases}$

Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x=3

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định trên R

Ta có $f (3) = \frac{27}{5}$ và $\lim_{x \to 3} f (x) = \lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 27}{x^{2} - x - 6} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{(x - 3) (x + 2)}$

$= \lim_{x \to 3} \frac{x^{2} + 3 x + 9}{x + 2} = \frac{27}{5}$

Câu 2:

Cho hàm số $f (x) - \{\begin{cases} \frac{x - 3}{\sqrt{2 x + 3} - 3} k h i x < 3 \\ {(x - 1)}^{2} k h i x \geq 3 \end{cases}$ . Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x=3

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim_{x \to 3^{+}} f (x) = \lim_{x \to 3^{+}} {(x - 1)}^{2} = 4$

$\lim_{x \to 3^{-}} = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{x - 3}{\sqrt{2 x + 3} - 3} = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{\sqrt{2 x + 3} + 3}{2} = 3$

Do đó $\lim_{x \to 3^{-}} f (x) \neq \lim_{x \to 3^{+}} f (x)$

Vậy hàm số gián đoạn tại x=3

Câu 3:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sqrt[3]{4 x} - 2}{x - 2}, k h i x \neq 2 \\ a, k h i x = 2 \end{cases}$ . Tìm a để hàm số liên tục tại điểm x=2

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định trên R

Ta có $f (2) = a$ và $\lim_{x \to 2} f (x) = \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{4 x} - 2}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{4}{\sqrt[3]{{(4 x)}^{2}} + 2 \sqrt[3]{4 x} + 4} = \frac{1}{3}$

Vậy để hàm số liên tục tại điểm x=2 thì $\lim_{x \to 2} f (x) = f (2) \Leftrightarrow a = \frac{1}{3}$

Câu 4:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{x^{3} + 1} k h i x < - 1 \\ m^{2} x^{2} + 2 m x - 5 k h i x \geq - 1 \end{cases}$

Tìm m để hàm số liên tục tại điểm x=-1

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định trên R

Ta có: $\lim_{x \to - 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{x^{3} + 1} = \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{(x - 1) (x^{2} - 4)}{x^{2} - x + 1} = 2$

$\lim_{x \to - 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{+}} (m^{2} x^{2} + 2 m x - 5) = m^{2} - 2 m - 5 = f (- 1)$

Hàm số liên tục tại x=-1 khi và chỉ khi

$\lim_{x \to - 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{-}} f (x) = f (- 1)$ $\Leftrightarrow m^{2} - 2 m - 5 = 2 \Rightarrow m = 1 \pm \sqrt{2}$

Câu 5:

Cho hàm số

f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{2} - 1}{x + 1}, k h i x \neq - 1 \\ 2, k h i x = - 1 \end{cases}

Xét tính liên tục của hàm số trên toàn bộ tập xác định

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định trên D=R

Với $x \neq - 1$ thì $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x + 1} = x - 1$ là hàm số liên tục trên tập xác định.

Do đó hàm số liên tục trên $(- \infty; - 1)$ và $(- 1; + \infty)$

Với x= -1 ta có $\lim_{x \to - 1} f (x) = \lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} - 1}{x + 1} = \lim_{x \to - 1} (x - 1) = - 2$

Vì $f (- 1) = 2 \neq \lim_{x \to - 1} f (x)$

Vậy hàm số liên tục trên các khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(- 1; + \infty)$ ; hàm số không liên tục tại điểm x=-1

Câu 6:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{a^{2} (x - 2)}{\sqrt{x + 2} - 2} k h i x > 2 \\ (1 - a) x k h i x \leq 2 \end{cases}$

Tìm a để hàm số liên tục trên tập xác định

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định trên R

Với x>2 ta có $f (x) = \frac{a^{2} (x - 2)}{\sqrt{x + 2} - 2}$ là hàm số liên tục trên từng khoảng xác định.

Do đó hàm số f(x) liên tục trên $(2; + \infty)$

Với x<2 ta có $f (x) = (1 - a) x$ là hàm số liên tục trên tập xác định. Do đó hàm số f(x) liên tục trên $(- \infty; 2)$

Với x=2 ta có $\lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} (1 - a) x = 2 (1 - a) = f (2)$

$\lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{a^{2} (x - 2)}{\sqrt{x + 2} - 2} = \lim_{x \to 2^{+}} a^{2} (\sqrt{x + 2} + 2) = 4 a^{2}$

Hàm số liên tục trên khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x=2 , nên

$\lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} f (x) \Leftrightarrow 4 a^{2} = 2 (1 - a) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = - 1 \\ a = \frac{1}{2} \end{array}$

Vậy $a = - 1; a = \frac{1}{2}$ là những giá trị cần tìm.

Câu 7:

Hàm số có đồ thị như hình bên gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Dựa vào hình vẽ đồ thị ta thấy hàm số gián đoạn tại điểm x=1

Câu 8:

Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình bên. Chọn khẳng định đúng.

A. Hàm số liên tục trên R

B. Hàm số liên tục trên

(- \infty; ​​ 4)

C. Hàm số liên tục trên

(1; + \infty)

D. Hàm số liên tục trên (1, 4)

Xem đáp án

Dựa vào hình vẽ đồ thị ta thấy hàm số liên tục trên (1, 4)

Câu 9:

Hàm số $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5 x + 6}$ liên tục trên khoảng nào sau đây?

A. $(- \infty; 3)$

B. $(2; 2019)$

C. $(- 3; 2)$

D. $(- 3; + \infty)$

Xem đáp án

Điều kiện xác định của hàm số $x^{2} + 5 x + 6 \neq 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq - 2 \\ x \neq - 3 \end{cases}$

Do đó hàm số đã cho gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng -2 và -3

Câu 10:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} 3 x + 2 k h i x < - 1 \\ x^{2} - 1 k h i x \geq - 1 \end{cases}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. f(x) liên tục trên R

B.f(x) liên tục trên

(- \infty; - 1]

C. f(x) liên tục trên $[- 1; + \infty)$

D. f(x) liên tục trên x=-1

Xem đáp án

Hàm số xác định trên R

Ta có: $f (- 1) = 0; \lim_{x \to - 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{+}} (x^{2} - 1) = 0, \lim_{x \to - 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{-}} (3 x + 2) = - 1$

Suy ra $f (- 1) = \lim_{x \to - 1^{+}} f (x) \neq \lim_{x \to - 1^{+}} f (x)$

Vậy hàm số đã cho liên tục trên nửa khoảng $[- 1; + \infty)$ và khoảng $(- \infty; - 1)$

Câu 11:

Giá trị của a để các hàm số $f (x) = \{\begin{cases} x + 2 a k h i x < 0 \\ x^{2} + x + 1 k h i x \geq 0 \end{cases}$ liên tục tại x=0 bằng

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{4}$

C. 0

D. 1

Xem đáp án

Hàm số xác định trên R

Ta có: $f (0) = 1, \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} (x^{2} + x + 1) = 1$

Hàm số đã cho liên tục tại điểm x=0 khi và chỉ khi $\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} (x + 2 a) = 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{2}$

Câu 12:

Cho hàm số

y = f (x) = \{\begin{cases} 2 x^{2} - 2 k h i x \geq 1 \\ \frac{2 x - a}{x^{2} + 1} k h i x < 1 \end{cases}

. Giá trị của a để hàm số liên tục tại

x_{0} = 1

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Hàm số xác định trên R

Ta có: $f (1) = 0, \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (2 x^{2} - 2) = 0$

Hàm số đã cho liên tục tại điểm $x_{0} = 1$ khi và chỉ khi $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (\frac{2 x - a}{x^{2} + 1}) = 0 \Leftrightarrow a = 2$

Câu 13:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} {(x + 1)}^{2}, x > 1 \\ x^{2} + 3, x < 1 \\ k^{2}, x = 1 \end{cases}$ . Tìm k để f(x) gián đoạn tại x=1

A. $k \neq \pm 2$

B. $k \neq 2$

C. $k \neq - 2$

D. $k \neq \pm 1$

Xem đáp án

Hàm số xác định trên R

Ta có: $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} {(x + 1)}^{2} = 4, \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (x^{2} + 3) = 4$

Vậy hàm số đã cho gián đoạn tại x=1 khi và chỉ khi $f (1) \neq 4 \Leftrightarrow k^{2} \neq 4 \Leftrightarrow k \neq \pm 2$

Câu 14:

Cho hàm số $f (x) = \sqrt{x^{4} - 4}$ . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

(I) liên tục tại x=2

(II) gián đoạn tại x=2

(III) liên tục trên đoạn $[- 2; 2]$

A. Chỉ (I) và (III)

B. Chỉ (I)

C. Chỉ (II)

D. Chỉ (II) và (III)

Xem đáp án

Điều kiện xác định: $x^{2} - 4 \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \leq - 2 \\ x \geq 2 \end{array}$

Ta có: $f (2) = \lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} \sqrt{x^{2} - 4} = 0$ . Do đó hàm số đã cho liên tục tại x=2

$f (- 2) = \lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} \sqrt{x^{2} - 4} = 0$ . Do đó hàm số đã cho liên tục tại x=-2

Câu 15:

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau

(I) $f (x) = x^{5} - 3 x^{2} + 1$ liên tục trên

(II) $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ liên tục trên

(III) $f (x) = \sqrt{x - 2}$ liên tục trên

A. Chỉ (I) và (III)

B. Chỉ (I)

C. Chỉ (II)

D. Chỉ (II) và (III)

Xem đáp án

(I) $f (x) = x^{5} - 3 x^{2} + 1$ là hàm số có tập xác định trên R. Do đó hàm số f(x) liên tục trên R

(II) $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ có tập xác định $D = (- \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$ .

Do đó f(x) gián đoạn trên khoảng $(- 1; 1)$

(III) Hàm số $f (x) = \sqrt{x - 2}$ có tập xác định $D = [2; + \infty)$

Ta có: $f (2) = \lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} \sqrt{x - 2} = 0$ . Do đó hàm số liên tục trên $[2; + \infty)$

Câu 16:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \cos \frac{π x}{2} k h i |x| \leq 1 \\ |x - 1| k h i |x| > 1 \end{cases}$ Khẳng định nào sau đây đúng nhât?

A. Hàm số liên tục tại x=1 và x=-1

B. Hàm số liên tục tại x=1 , không liên tục tại x=-1

C. Hàm số không liên tục tại x=1 và x=-1

D. Hàm số liên tục tại x=-1 , không liên tục tại x=1

Xem đáp án

$f (x) = \{\begin{cases} \cos \frac{π x}{2} k h i |x| \leq 1 \\ |x - 1| k h i |x| > 1 \end{cases} \Leftrightarrow f (x) = \{\begin{cases} 1 - x k h i x < - 1 \\ \cos \frac{π x}{2} k h i - 1 \leq x \leq 1 \\ x - 1 k h i x > 1 \end{cases}$ Khi đó ta có $f (- 1) = \cos (- \frac{π}{2}) = 0, \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (1 - x) = 0$

Suy ra $f (1) = \lim_{x \to 1^{-}} f (x)$

Do đó hàm số liên tục tại x=-1

+) $f (1) = \cos (\frac{π}{2}) = 0, \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (x - 1) = 0$ . Suy ra $f (1) = \lim_{x \to 1^{+}}$ . Do đó hàm số liên tục tại x=1

Câu 17:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{2} - 3}{x - \sqrt{3}} k h i x \neq \sqrt{3} \\ 2 \sqrt{3} k h i x = \sqrt{3} \end{cases}$ . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

(I) f(x) liên tục tại $x = \sqrt{3}$

(II) f(x) gián đoạn tại $x = \sqrt{3}$

(III) f(x) liên tục trên R

A. Chỉ (I) và (II)

B. Chỉ (II) và (III)

C. Chỉ (I) và (III)

D. Chỉ (I), (II), (III) đều đúng

Xem đáp án

Tập xác định: D= R

Ta có: $f (\sqrt{3}) = 2 \sqrt{3}, \lim_{x \to \sqrt{3}} f (x) = \lim_{x \to \sqrt{3}} (\frac{x^{2} - 3}{x - \sqrt{3}}) = \lim_{x \to \sqrt{3}} (\frac{(x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3})}{x - \sqrt{3}}) = \lim_{x \to \sqrt{3}} (x + \sqrt{3}) = 2 \sqrt{3}$

Do đó hàm số liên tục tại $x = \sqrt{3}$ . Vậy hàm số liên tục trên R

Câu 18:

Hàm số nào sau đây không liên tục tại x=1

A. $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} k h i x \neq 1 \\ 3 x - 1 k h i x = 1 \end{cases}$

B. $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} - 2 k h i x \neq 1 \\ 2 - 3 x k h i x = 1 \end{cases}$

C. $f (x) = \{\begin{cases} \frac{2 x^{2} - x - 1}{x - 1} k h i x \neq 1 \\ 2 x - 1 k h i x = 1 \end{cases}$

D. $f (x) = \{\begin{cases} - \frac{1}{x} k h i x > 1 \\ 2 x - 3 k h i x \leq 1 \end{cases}$

Xem đáp án

Xét $f (x) = \{\begin{cases} \frac{2 x^{2} - x + 1}{x - 1} k h i x \neq 1 \\ 2 x - 1 k h i x = 1 \end{cases}$ có tập xác định D=R

Ta có $f (1) = 1, \lim_{x \to 1} f (x) = \lim_{x \to 1} \frac{2 x^{2} - x - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{2 (x - 1) (x + \frac{1}{2})}{x - 1} = \lim_{x \to 1} 2 (x + \frac{1}{2}) = 3$

Suy ra $f (1) \neq \lim_{x \to 1} f (x)$

Do đó hàm số gián đoạn tại điểm x=1

Câu 19:

Cho a và b là các số thực khác 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để hàm số

f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sqrt{a x + 1} - 1}{x}, k h i x \neq 0 \\ 4 x^{2} + 5 b, k h i x = 0 \end{cases}

liên tục tại x=0

A. $a = 5 b$

B. $a = 10 b$

C. a=b

D. $a = 2 b$

Xem đáp án

Ta có $f (0) = 5 b$

$\lim_{x \to 0} f (x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{a x + 1} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{a x}{(\sqrt{a x + 1} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{a}{\sqrt{a x + 1} + 1} = \frac{a}{2}$

Hàm số liên tục tại x=0 khi và chỉ khi $f (0) = \lim_{x \to 0} f (x) \Leftrightarrow 5 b = \frac{a}{2} \Leftrightarrow a = 10 b$

Câu 20:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} x^{2}, x \geq 1 \\ \frac{2 x^{3}}{1 + x}, 0 \leq x \leq 1 \\ x \sin x, x < 0 \end{cases}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. f(x) liên tục trên R

B. f(x) liên tục trên $ℝ \ \{0\}$

C. f(x) liên tục trên $ℝ \ \{1\}$

D. f(x) liên tục trên $ℝ \ \{0; 1\}$

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to 1^{-}} x^{2} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{2 x^{3}}{1 + x} = 1 \Leftrightarrow \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = f (1)$ nên hàm số liên tục tại x=1

Ta cũng ó\có $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x^{3}}{1 + x} = \lim_{x \to 0^{-}} x \sin x = 0 \Leftrightarrow \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = f (1)$ nên hàm số liên tục tại x=0

Câu 21:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \sqrt{2 x - 4} + 3 k h i x \geq 2 \\ \frac{x + 1}{x^{2} - 2 m x + 3 m + 2} k h i x < 2 \end{cases}$

Tìm các giá trị của tham số thực m để hàm số liên tục trên R

A. m=3

B. m=4

C. m=5

D. m=6

Xem đáp án

Ta có: $f (2) = 3, \lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} (\sqrt{2 x - 4} + 3), \lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} \frac{x + 1}{x^{2} - 2 m x + 3 m + 2}$

Hàm số f(x) liên tục trên R khi và chỉ khi hàm số f(x) liên tục tại x=2

$\Leftrightarrow \lim_{x \to 2^{-}} \frac{x + 1}{x^{2} - 2 m x + 3 m + 2} = 3 \Leftrightarrow \frac{3}{6 - m} = 3 \Leftrightarrow m = 5$

Câu 22:

Giá trị a để các hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sqrt{2 x + 1} - 1}{x (x + 1)}, k h i x \neq 0 \\ a, k h i x = 0 \end{cases}$ liên tục tại điểm x=0 là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2 x + 1} - 1}{x (x + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{(x + 1) (\sqrt{2 x + 1} + 1)} = 1$

Suy ra $a = f (0) = 1$ thì hàm số liên tục tại điểm x=0

Câu 23:

Giá trị của a để các hàm số $f (x) = \{\begin{cases} f (x) = \frac{\sqrt[3]{2 x + 6} - 2}{\sqrt{3 x + 1} - 2}, k h i x \neq 1 \\ a, k h i x = 1 \end{cases}$ liên tục tại điểm x=1 là

A. 1

B. 2

C. $\frac{2}{9}$

D. $\frac{1}{9}$

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{2 x + 6} - 2}{\sqrt{3 x + 1} - 2} = \lim_{x \to 1} \frac{2 (\sqrt{3 x + 1} + 2)}{3 (\sqrt[3]{{(2 x + 6)}^{2}} + 2 \sqrt[3]{2 x + 6} + 4)} = \frac{2}{9}$

Vậy $f (1) = \frac{2}{9}$ thì hàm số liên tục tại x=1

Câu 24:

Giá trị của a để hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sqrt{4 x + 1} - 1}{a x^{2} + (2 a + 1) x}, k h i x \neq 0 \\ 3, k h i x = 0 \end{cases}$ liên tục tại điểm x=0 là

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{4}$

C. $\frac{- 1}{6}$

D. 1

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 x + 1} - 1}{a x^{2} + (2 a + 1) x} = \lim_{x \to 0} \frac{4}{(a x + 2 a + 1) (\sqrt{4 x + 1} + 1)} = \frac{2}{2 a + 1}$

Hàm số liên tục tại x=0 thì $\frac{2}{2 a + 1} = 3 \Leftrightarrow a = - \frac{1}{6}$

Câu 25:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sqrt{3 x + 1} - 2}{x^{2} - 1}, k h i x > 1 \\ \frac{a (x^{2} - 2)}{x - 3}, k h i x \leq 1 \end{cases}$ liên tục tại điểm x=1 là

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{4}$

C. 1

D. $\frac{3}{4}$

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to 1^{-}} \frac{a (x^{2} - 2)}{x - 3} = \frac{a}{2}, \lim_{x \to 1^{+}} \frac{\sqrt{3 x + 1} - 2}{x^{2} - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{3}{(x + 1) (\sqrt{3 x + 1} + 2)} = \frac{3}{8}$

Để hàm số liên tục tại x=1 thì $\frac{a}{2} = \frac{3}{8} \Leftrightarrow a = \frac{3}{4}$

Câu 26:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}, k h i x > 0 \\ m x^{2} + 2 x + \frac{1}{4}, k h i x \leq 0 \end{cases}$ m là tham số

Tìm m để hàm số liên tục tại x=0

A. m= $\frac{1}{2}$

B. m=0

C. m=1

D. m= $\frac{- 1}{2}$

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x + 4} + 2} = \frac{1}{4}; \lim_{x \to 0^{-}} (m x^{2} + 2 x + \frac{1}{4}) = 2 x + \frac{1}{4}$

Để hàm số liên tục tại x=0 thì $2 m + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow m = 0$

Câu 27:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sqrt[3]{4 x} - 2}{x - 2}, k h i x \neq 2 \\ a x + 3, k h i x = 2 \end{cases}$ Tìm a để hàm số liên tục trên R

A. a=-1

B. a= $\frac{1}{6}$

C. a= $\frac{4}{3}$

D. $a = \frac{- 4}{3}$

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{4 x} - 2}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{4}{\sqrt[3]{16 x^{2}} + 2 \sqrt[3]{4 x} + 4} = \frac{1}{3}; f (2) = 2 a + 3$

Để hàm số liên tục trên R thì $2 a + 3 = \frac{1}{3} \Leftrightarrow a = - \frac{4}{3}$

Câu 28:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{3 - \sqrt{9 - x}}{x}, 0 < x < 9 \\ m, x = 0 \\ \frac{3}{x}, x \geq 9 \end{cases}$ . Giá trị của m để f(x) liên tục trên $[0; + \infty)$ là

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{1}{6}$

D. 1

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to 9^{-}} \frac{3 - \sqrt{9 - x}}{x} = \frac{1}{3}; \lim_{x \to 9^{+}} \frac{3}{x} = \frac{1}{3}$ và $f (9) = \frac{1}{3}$ nên hàm số liên tục tại x=9

Ta cũng có $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 - \sqrt{9 - x}}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{3 + \sqrt{9 - x}} = \frac{1}{6}$ và $f (0) = m$

Vậy để hàm số liên tục trên $[0; + \infty)$ thì $m = \frac{1}{6}$

Câu 29:

Cho hàm số

f (x) = \{\begin{cases} \sin x, k h i |x| \leq \frac{π}{2} \\ a x + b, k h i |x| > \frac{π}{2} \end{cases}

. Tìm giá trị của a, b để hàm số liên tục trên R

A. $\{\begin{cases} a = \frac{2}{π} \\ b = 1 \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} a = \frac{2}{π} \\ b = 2 \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} a = \frac{1}{π} \\ b = 0 \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} a = \frac{2}{π} \\ b = 0 \end{cases}$

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to {\frac{π}{2}}^{-}} \sin x = 1; \lim_{x \to {\frac{π}{2}}^{+}} \sin x = - 1; \lim_{x \to {\frac{π}{2}}^{+}} a x + b = \frac{a π}{2} + b; \lim_{x \to {\frac{π}{2}}^{-}} a x + b = - \frac{a π}{2} + b$

Để hàm số liên tục trên R thì

\{\begin{cases} \frac{a π}{2} + b = 1 \\ - \frac{a π}{2} + b = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{2}{π} \\ b = 0 \end{cases}

Câu 30:

Cho hàm số

f (x) = \{\begin{cases} \sqrt{\frac{x^{2} + 1}{x^{3} - x + 6}} k h i x \neq 3; x \neq 2 \\ b + \sqrt{3} k h i x = 3; b \in ℝ \end{cases}

. Giá trị của b để f(x) liên tục tại x=3 là

A. $\sqrt{3}$

B. $- \sqrt{3}$

C. $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{- 2 \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to 3} \sqrt{\frac{x^{2} + 1}{x^{3} - x + 6}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ . Để hàm số liên tục tại x=3 thì $b + \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} \Leftrightarrow b = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Câu 31:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sqrt[3]{x + 7} - \sqrt{3 x + 1}}{x - 1}, k h i x \neq 1 \\ a x, k h i x = 1 \end{cases}$ . Giá trị của a để hàm số liên tục tại $x_{0} = 1$ là

A. -3

B. 2

C. $\frac{- 2}{3}$

D. -2

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x + 7} - \sqrt{3 x + 1}}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x + 7} - 2}{x - 1} + \lim_{x \to 1} \frac{2 - \sqrt{3 x + 1}}{x - 1}$

$= \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt[3]{{(x + 7)}^{2}} + 2 \sqrt[3]{x + 7} + 4} + \lim_{x \to 1} \frac{- 3}{2 + \sqrt{3 x + 1}}$

$= \frac{1}{12} - \frac{3}{4}$

$= - \frac{2}{3}$

$f (1) = a$

Để hàm số liên tục tại x=1 thì $a = - \frac{2}{3}$

Câu 32:

Cho hàm số

f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{2017} + x - 2}{\sqrt{2019 x + 1} - \sqrt{x + 2019}} k h i x \neq 1 \\ k k h i x = 1 \end{cases}

. Tim k để hàm số f(x) liên tục tại x=1

A. $k = 2 \sqrt{2020}$

B. $k = \frac{2019. \sqrt{2020}}{2}$

C. k=1

C. $k = \frac{20018}{2019} \sqrt{2020}$

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to 1} \frac{x^{2017} + x - 2}{\sqrt{2019 x + 1} - \sqrt{x + 2019}} = \lim_{x \to 1} \frac{x^{2017} - 1}{\sqrt{2019 x + 1} - \sqrt{x + 2019}} + \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{\sqrt{2019 x + 1} - \sqrt{x + 2019}}$

$= \lim_{x \to 1} \frac{(x^{2016} + x^{2015} + ... + x + 1) (\sqrt{2019 x + 1} + \sqrt{x + 2019})}{2018} + \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2019 x + 1} + \sqrt{x + 2019}}{2018}$

$= \frac{2017 \sqrt{2020}}{1009} + \frac{\sqrt{2020}}{1009} = 2 \sqrt{2020}$

Để hàm số liên tục tại x=1 thì $k = 2 \sqrt{2020}$

Câu 33:

Cho hàm số

f (x) = \{\begin{cases} \sin x, k h i \cos x \geq 0 \\ 1 + \cos x, k h i \cos x < 0 \end{cases}

Hàm số f có bao nhiêu điểm gián đoạn trên khoảng

(0; 2019)

?

A. 2018

B. 1009

C. 542

D. 321

Xem đáp án

Xét hàm số f(x) trên đoạn $[0; 2 π]$ , khi đó $f (x) = \{\begin{cases} \sin x, k h i x \in [0; \frac{π}{2}] \cup [\frac{3 π}{2}; 2 π] \\ 1 + \cos x, k h i x \in (\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2}) \end{cases}$

Ta có $\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = 0 = f (0); \lim_{x \to 2 π^{-}} f (x) = 0 = f (2 π)$

Hàm số rõ ràng liên tục trên các khoảng $[0; \frac{π}{2}); (\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2})$ và $(\frac{3 π}{2}; 2 π]$

Ta xét tại $x = \frac{π}{2}$

$\lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} f (x) = \lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} (1 + \cos x) = 1; \lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} f (x) = \lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin x = 1; f (\frac{π}{2}) = 1$

Như vậy $\lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} f (x) = \lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} f (x = f (\frac{π}{2})$ nên hàm số f(x) liên tục tại điểm $x = \frac{π}{2}$

Ta xét tại $x = \frac{3 π}{2}$

$\lim_{x \to {(\frac{3 π}{2})}^{-}} f (x) = \lim_{x \to {(\frac{3 π}{2})}^{+}} \sin x = - 1; \lim_{x \to {(\frac{3 π}{2})}^{-}} f (x) = \lim_{x \to {(\frac{3 π}{2})}^{-}} (1 + \cos x) = 1$

Vì $\lim_{x \to {(\frac{3 π}{2})}^{-}} f (x) \neq \lim_{x \to {(\frac{3 π}{2})}^{+}} f (x)$ nên hàm số f(x) gián đoạn tại điểm $x = \frac{3 π}{2}$

Do đó, trên đoạn $[0; 2 π]$ hàm số chỉ gián đoạn tại điểm $x = \frac{3 π}{2}$ .

Do tính chất tuần hoàn của hàm số $y = \cos x$ và $y = \sin x$ suy ra hàm số gián đoạn tại các điểm $x = \frac{3 π}{2} + k 2 π, k \in ℤ$

Ta có $x \in (0; 2018) \Leftrightarrow 0 < \frac{3 π}{2} + k 2 π < 2018 \Leftrightarrow - \frac{3}{4} < k < \frac{1009}{π} - \frac{3}{4} \approx 320, 42$

Vì $k \in ℤ$ nên $k \in \{0, 1, 2, ..., 320\}$ . Vậy hàm số f có 321 điểm gián đoạn trên khoảng $(0; 2018)$