35 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 2: Đạo hàm cấp cao

Câu 1:

y = \cos^{2} x

.

Xem đáp án

Ta có

y = \cos^{2} x = \frac{1}{2} (1 + \cos 2 x) \Rightarrow y^{'} = - \sin 2 x

\Rightarrow {y^{'}}^{'} = - 2 \cos 2 x \Rightarrow {y^{'}}^{'}^{'} = 4 \sin 2 x

Câu 2:

Tìm đạo hàm cấp 4 của hàm số $y = \frac{3 x - 1}{x + 2}$ .

Xem đáp án

Ta có $y^{'} = \frac{7}{{(x + 2)}^{2}} \Rightarrow {y^{'}}^{'} = \frac{- 7 {[{(x + 2)}^{2}]}^{'}}{{(x + 2)}^{4}} = \frac{- 14}{{(x + 2)}^{3}}$

$\Rightarrow {y^{'}}^{'}^{'} = \frac{14 {[{(x + 2)}^{3}]}^{'}}{{(x + 2)}^{6}} = \frac{42}{{(x + 2)}^{4}} \Rightarrow y^{(4)} = \frac{- 42 {[{(x + 2)}^{4}]}^{'}}{{(x + 2)}^{8}} = \frac{- 168}{{(x + 2)}^{5}}$ .

Câu 3:

Tìm đạo hàm cấp 5 của hàm số $y = \sin^{2} 2 x$ .

Xem đáp án

Ta có $y = \sin^{2} 2 x = \frac{1}{2} (1 - \cos 4 x)$

$\Rightarrow y^{'} = 2 \sin 4 x \Rightarrow {y^{'}}^{'} = 8 \cos 4 x \Rightarrow {y^{'}}^{'}^{'} = - 32 \sin 4 x$

$\Rightarrow y^{(4)} = - 128 \cos 4 x \Rightarrow y^{(5)} = 512 \sin 4 x$

Câu 4:

Tìm đạo hàm cấp của hàm số

$y = \sin x (n \in ℕ^{*})$ .

Xem đáp án

Ta có: $y^{'} = \cos x = \sin (x + 1. \frac{π}{2})$ ;

${y^{'}}^{'} = - \sin x = \sin (x + 2. \frac{π}{2})$ ;

$y^{(n)} = \sin (x + n \frac{π}{2}), \forall n \in ℕ^{*}$

Câu 5:

Tìm đạo hàm cấp n của hàm số $y = \frac{3 x + 1}{x - 2}$ .

Xem đáp án

Ta có: $y^{'} = \frac{- 7}{{(x - 2)}^{2}}, {y^{'}}^{'} = \frac{7.2}{{(x - 2)}^{3}}, {y^{'}}^{'}^{'} = \frac{- 7.2.3}{{(x - 2)}^{4}}$ .

Bằng quy nạp ta chứng minh $y^{(n)} = \frac{{(- 1)}^{n} .7. n!}{{(x - 2)}^{n + 1}}$ . $(2)$

Với $n = 1$ ta thấy $(2)$ đúng.

Giả sử $(2)$ đúng với $n = k$ , tức là $y^{(k)} = \frac{{(- 1)}^{k} .7. k!}{{(x - 2)}^{k + 1}}$ .

Ta có: $y^{(k + 1)} = {(\frac{{(- 1)}^{k} .7. k}{{(x - 2)}^{k + 1}})}^{'} = - \frac{{(- 1)}^{k} .7. k! . (k + 1)}{{(x - 2)}^{k + 2}} = \frac{{(- 1)}^{k + 1} .7. (k + 1)!}{{(x - 2)}^{k + 2}}$ .

Do đó $(2)$ đúng với mọi số tự nhiên $n$ .

Vậy theo nguyên lí quy nạp ta có công thức đạo hàm cấp cao của hàm số

$y = \frac{3 x + 1}{x - 2}$ là $y^{(n)} = \frac{{(- 1)}^{n} .7. n!}{{(x - 2)}^{n + 1}}$ .

Câu 6:

Cho hàm số y=xsinx

Chứng minh $x . {y^{'}}^{'} - 2 (y^{'} - \sin x) + x y = 0$ .

Xem đáp án

Ta có

$y^{'} = {(x \sin x)}^{'} \Leftrightarrow y' = x^{'} . \sin x + x . {(\sin x)}^{'}$

$\Leftrightarrow y^{'} = \sin x + x \cos x$

${y^{'}}^{'} = (\sin x + x \cos x)' = {(\sin x)}^{'} + {(x \cos x)}^{'}$

$= \cos x + x' . \cos x + x . {(\cos x)}^{'} = 2 \cos x - x \sin x$ .

Ta có $x . {y^{'}}^{'} - 2 (y^{'} - \sin x) + x y = 0$

$\Leftrightarrow x (2 \cos x - x \sin x) - 2 (\sin x + x \cos x - \sin x) + x^{2} \sin x = 0$

$\Leftrightarrow 2 x \cos x - x^{2} \sin x - 2 x \cos x + x^{2} \sin x = 0$

$\Leftrightarrow 0 = 0$

(điều phải chứng minh).

Câu 7:

Cho hàm số $y = \sqrt{2 x - x^{2}}$ . Chứng minh $y^{3} . {y^{'}}^{'} + 1 = 0$ .

Xem đáp án

Ta có: $y^{'} = {(\sqrt{2 x - x^{2}})}^{'} \Leftrightarrow y' = \frac{1}{2 \sqrt{2 x - x^{2}}} . {(2 x - x^{2})}^{'} = \frac{1 - x}{\sqrt{2 x - x^{2}}}$ .

${y^{'}}^{'} = \frac{{(1 - x)}^{'} . \sqrt{2 x - x^{2}} - {(\sqrt{2 x - x^{2}})}^{'} . (1 - x)}{{(\sqrt{2 x - x^{2}})}^{2}}$

$= \frac{- \sqrt{2 x - x^{2}} - \frac{1 - x}{\sqrt{2 x - x^{2}}} . (1 - x)}{{(\sqrt{2 x - x^{2}})}^{2}}$

$= \frac{- (2 x - x^{2}) - {(1 - x)}^{2}}{\sqrt{2 x - x^{2}} . {(\sqrt{2 x - x^{2}})}^{2}} = \frac{- 1}{{(\sqrt{2 x - x^{2}})}^{3}}$ .

Ta có $y^{3} . {y^{'}}^{'} + 1 = 0 \Leftrightarrow {(\sqrt{2 x - x^{2}})}^{3} . \frac{- 1}{{(\sqrt{2 x - x^{2}})}^{3}} + 1 = 0 \Leftrightarrow - 1 + 1 = 0$

(điều phải chứng minh).

Câu 8:

Cho hàm số $y = \frac{\sin^{3} x + \cos^{3} x}{1 - \sin x . \cos x}$ . Chứng minh ${y^{'}}^{'} + y = 0$ .

Xem đáp án

Ta có: $y = \frac{(\sin x + \cos x) (\sin^{2} x + \cos^{2} x - \sin x \cos x)}{1 - \sin x \cos x}$

$= \frac{(\sin x \cos x) (1 - \sin x \cos x)}{1 - \sin x \cos x} = \sin x + \cos x$

$\Rightarrow y^{'} = \cos x - \sin x \Rightarrow {y^{'}}^{'} = - \sin x - \cos x$ .

Ta có ${y^{'}}^{'} + y = 0 \Leftrightarrow - \sin x - \cos x + \sin x + \cos x = 0 \Leftrightarrow 0 = 0$ (điều phải chứng minh).

Câu 9:

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 4}{x^{2} + 4 x + 3}$ . Giải phương trình ${y^{'}}^{'} = 0$ .

Xem đáp án

Ta có: $y = \frac{2 x + 4}{x^{2} + 4 x + 3} = \frac{2 (x + 2)}{{(x + 2)}^{2} - 1}$

$\Rightarrow y^{'} = {(\frac{2 (x + 2)}{{(x + 2)}^{2} - 1})}^{'} = \frac{2 {(x + 2)}^{2} - 2 - 2 (x + 2) .2 (x + 2)}{{[{(x + 2)}^{2} - 1]}^{2}} = \frac{- 2 {(x + 2)}^{2} - 2}{{[{(x + 2)}^{2} - 1]}^{2}}$

$\Rightarrow {y^{'}}^{'} = {(\frac{- 2 {(x + 2)}^{2} - 2}{{[{(x + 2)}^{2} - 1]}^{2}})}^{'}$

$= \frac{- 4 (x + 2) {[{(x + 2)}^{2} - 1]}^{2} - [- 2 {(x + 2)}^{2} - 2] .2 [{(x + 2)}^{2} - 1] 2 (x + 2)}{{[{(x + 2)}^{2} - 1]}^{4}}$

$= \frac{4 (x + 2) [{(x + 2)}^{2} - 1] [- {(x + 2)}^{2} + 1 + 2 {(x + 2)}^{2} + 2]}{{[{(x + 2)}^{2} - 1]}^{4}}$

$= \frac{4 (x + 2) [{(x + 2)}^{2} - 1] [{(x + 2)}^{2} + 3]}{{[{(x + 2)}^{2} - 1]}^{4}}$

${y^{'}}^{'} = 0 \Leftrightarrow \frac{4 (x + 2) [{(x + 2)}^{2} - 1] [{(x + 2)}^{2} + 3]}{{[{(x + 2)}^{2} - 1]}^{4}} = 0$

${(x + 2)}^{2} - 1 \neq 0$

${y^{'}}^{'} = 0 \Leftrightarrow x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2$

Câu 10:

Đạo hàm cấp hai của hàm số $f (x) = x^{3} - x^{2} - 4$ tại điểm $x = 1$ là

A. 1.

B. 10

C. 4

D. 16.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2 x$ .

Suy ra: ${f^{'}}^{'} (x) = 6 x - 2$ . Suy ra ${f^{'}}^{'} (1) = 4$ .

Câu 11:

Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \frac{3 x + 1}{x + 2}$ là

A.

{y^{'}}^{'} = \frac{10}{{(x + 2)}^{2}}

.

B.

{y^{'}}^{'} = - \frac{5}{{(x + 2)}^{4}}

.

C.

{y^{'}}^{'} = - \frac{5}{{(x + 2)}^{3}}

.

D.

{y^{'}}^{'} = - \frac{10}{{(x + 2)}^{3}}

.

Xem đáp án

Đáp án D

$y = 3 - \frac{5}{x + 2} \Rightarrow y^{'} = \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} \Rightarrow {y^{'}}^{'} = - \frac{10}{{(x + 2)}^{3}}$

Câu 12:

Cho $f (x) = \sin 3 x$ . Giá trị của ${f^{'}}^{'} (- \frac{π}{2})$ bằng

A. -9

B. 0.

C. 9.

D. -3.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $f^{'} (x) = 3 \sin 3 x$ , suy ra ${f^{'}}^{'} (x) = - 9 \sin 3 x$ .

Do đó ${f^{'}}^{'} (- \frac{π}{2}) = - 9 \sin (- \frac{3 π}{2}) = - 9$ .

Câu 13:

Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \cos^{2} x$ là

A.

{y^{'}}^{'} = - 2 \cos 2 x

.

B.

{y^{'}}^{'} = - 2 \sin 2 x

.

C.

{y^{'}}^{'} = 2 \cos 2 x

.

D.

{y^{'}}^{'} = 2 \sin 2 x

.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $y^{'} = f^{'} (x) = {(x \sin x - 3)}^{'} = \sin x + x \cos x$

Vậy ${y^{'}}^{'} = {f^{'}}^{'} (x) = {(\sin x + x \cos x)}^{'} = 2 \cos x - x \sin x$ .

Câu 14:

Cho hàm số y=f(x)=sinx . Khẳng định nào sau đây sai?

A.

y^{'} = \sin (x + \frac{π}{2})

.

B.

{y^{'}}^{'} = \sin (x + π)

.

C.

{y^{'}}^{'}^{'} = \sin (x + \frac{3 π}{2})

.

D.

y^{(4)} = \sin (2 π - x)

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có

$y^{'} = \cos x = \sin (x + \frac{π}{2}) \Rightarrow {y^{'}}^{'} = \sin (x + \frac{π}{2} + \frac{π}{2}) = \sin (x + π) \Rightarrow {y^{'}}^{'}^{'} = \sin (x + π + \frac{π}{2}) = \sin (x + \frac{3 π}{2})$

$\Rightarrow y^{(4)} = \sin (x + \frac{3 π}{2} + \frac{π}{2}) = \sin (x + 2 π) = \sin x$ .

Ta có $\sin (2 π - x) = - \sin x \neq y^{(4)}$ .

Câu 15:

Đạo hàm cấp hai của hàm số y=sin5xcos2x là

A.

y^{'} = 49 \sin 7 x + 9 \sin 3 x

.

B.

y^{'} = - 49 \sin 7 x - 9 \sin 3 x

.

C.

y^{'} = \frac{49}{2} \sin 7 x + \frac{9}{2} \sin 3 x

.

D.

y^{'} = - \frac{49}{2} \sin 7 x - \frac{9}{2} \sin 3 x

.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y = \sin 5 x \cos 2 x = \frac{1}{2} (\sin 7 x + \sin 3 x)$ .

Do đó

y^{'} = \frac{1}{2} (7 \cos 7 x + 3 \cos 3 x)

\Rightarrow {y^{'}}^{'} = \frac{1}{2} (- 49 \sin 7 x - 9 \sin 3 x)

.

Câu 16:

Cho hàm số y=sin2x. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

4 y - {y^{'}}^{'} = 0

.

B.

4 y + {y^{'}}^{'} = 0

C.

y = y^{'} \tan 2 x

.

D. $y^{2} + {(y^{'})}^{2} = 4$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $y^{'} = 2 \cos 2 x \Rightarrow {y^{'}}^{'} = - 4 \sin 2 x$ .

Xét đáp án A, $4 y - {y^{'}}^{'} = 4 \sin 2 x + 4 \sin 2 x$ .

Xét đáp án B, $4 y + {y^{'}}^{'} = 4 \sin 2 x - 4 \sin 2 x = 0$ .

Xét đáp án C, $y^{'} \tan 2 x = 2 \cos 2 x . \frac{\sin 2 x}{\cos 2 x} = 2 \sin 2 x \neq y$ .

Xét đáp án D, $y^{2} + {(y^{'})}^{2} = \sin^{2} 2 x + 4 \cos^{2} 2 x \neq 4$ .

Câu 17:

Cho hàm số $y = \frac{- 2 x^{2} + 3 x}{1 - x}$ . Đạo hàm cấp hai của $f$ là

A.

{y^{'}}^{'} = 2 + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}}

.

B.

{y^{'}}^{'} = \frac{2}{{(1 - x)}^{3}}

.

C.

{y^{'}}^{'} = \frac{- 2}{{(1 - x)}^{3}}

.

D.

{y^{'}}^{'} = \frac{2}{{(1 - x)}^{4}}

.

Xem đáp án

Đáp án B $y = f (x) = \frac{- 2 x^{2} + 3 x}{1 - x} = 2 x - 1 + \frac{1}{1 - x} \Rightarrow y^{'} = f^{'} (x) = 2 + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \Rightarrow {y^{'}}^{'} = {f^{'}}^{'} = \frac{2}{{(1 - x)}^{3}}$

Câu 18:

Cho hàm số

y = x^{3} - 3 x^{2} + x + 1

. Phương trình y"=0 có nghiệm là

A.

x = 2

.

B.

x = 4

.

C.

x = 1

.

D.

x = 3

.

Xem đáp án

Đáp án C

Tập xác định: $D = ℝ$ .

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} - 6 x + 1 \Rightarrow {y^{'}}^{'} = 6 x - 6 \Rightarrow {y^{'}}^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 1$ .

Câu 19:

Cho $f (x) = x^{4} - \cos 2 x$ . Tìm $f^{4} (x)$ .

A.

f^{4} (x) = 24 x - 16 \cos 2 x

.

B.

f^{4} (x) = 16 \cos 2 x

.

C.

f^{4} (x) = 24 x - 8 \sin 2 x

.

D.

f^{4} (x) = 24 - 16 \cos 2 x

.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $f^{'} (x) = 4 x^{3} + 2 \sin 2 x$ , suy ra ${f^{'}}^{'} (x) = 12 x^{2} + 4 \cos 2 x \Rightarrow {f^{'}}^{'}^{'} (x) = 24 x - 8 \sin 2 x$ .

Do đó: $f^{(4)} (x) = {({f^{'}}^{'}^{'} (x))}^{'} = 24 - 16 \cos 2 x$ .

Câu 20:

Cho hàm số $y = \sqrt{x^{2} + 1}$ khẳng định nào đúng?

$(I) y . y^{'} = 2 x$

$(I I) y^{2} . {y^{'}}^{'} = y^{'}$

A. Chỉ

(I)

.

B. Chỉ

(I I)

.

C. Cả hai đều đúng

D. Cả hai đều sai.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y^{'} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \Rightarrow {y^{'}}^{'} = \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 1}}$ .

Xét $y . y^{'} = \sqrt{x^{2} + 1} . \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} = x$ , do đó khẳng định (I) sai.

Xét $y^{2} . {y^{'}}^{'} = (x^{2} + 1) . \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} \neq y^{'}$ , do đó khẳng định (II) sai.

Câu 21:

Cho hàm số $y = \sqrt{1 + 3 x - x^{2}}$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.

{(y^{'})}^{2} + y . {y^{'}}^{'} = - 1

.

B.

{(y^{'})}^{2} + 2 y . {y^{'}}^{'} = 1

C.

y . {y^{'}}^{'} - {(y^{'})}^{2} = 1

D.

{(y^{'})}^{2} + y . {y^{'}}^{'} = 1

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có

$y = \sqrt{1 + 3 x - x^{2}} \Rightarrow y^{2} = 1 + 3 x - x^{2} \Rightarrow 2 y . y^{'} = 3 - 2 x \Rightarrow 2. {(y^{'})}^{2} + 2 y . {y^{'}}^{'} = - 2 \Rightarrow {(y^{'})}^{2} + y . {y^{'}}^{'} = - 1$ .

Câu 22:

Cho hàm số $f (x) = \sqrt{2 x - 1}$ .Giá trị của ${f^{'}}^{'}^{'} (1)$ bằng

A. 3.

B. -3.

C.

\frac{3}{2}

.

D. 0.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

$f (x) = \sqrt{2 x - 1} \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{{(2 x - 1)}^{'}}{2 \sqrt{2 x - 1}} = \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}} \Rightarrow {f^{'}}^{'} (x) = \frac{- {(\sqrt{2 x - 1})}^{'}}{2 x - 1} = \frac{- 1}{(2 x - 1) \sqrt{2 x - 1}} = \frac{- 1}{\sqrt{{(2 x - 1)}^{3}}}$ .

$\Rightarrow {f^{'}}^{'}^{'} (x) = \frac{{(\sqrt{{(2 x - 1)}^{3}})}^{'}}{{(2 x - 1)}^{3}} = \frac{3 {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{3} \sqrt{{(2 x - 1)}^{3}}} = \frac{3}{\sqrt{{(2 x - 1)}^{5}}}$ .

Vậy ${f^{'}}^{'}^{'} (1) = 3$ .

Câu 23:

Cho hàm số $f (x) = \cos 2 x$ . Tính $P = {f^{'}}^{'} (π)$ .

A.

P = 4

.

B.

P = 0

.

C.

P = - 4

.

D.

P = - 1

.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $f^{'} (x) = - 2 \sin 2 x \Rightarrow {f^{'}}^{'} (x) = - 4 \cos 2 x$ .

Do đó: ${f^{'}}^{'} (π) = - 4$ .

Câu 24:

Xét hàm số $y = \cos (2 x - \frac{π}{3})$ . Nghiệm $x \in [0; \frac{π}{2}]$ của phương trình $f^{(4)} (x) = - 8$ là

A.

x = \frac{π}{2}

.

B.

x = 0, x = \frac{π}{6}

.

C.

x = 0, x = \frac{π}{3}

.

D.

x = 0, x = \frac{π}{2}

.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $f^{'} (x) = - 2 \sin (2 x - \frac{π}{3})$

$\Rightarrow {f^{'}}^{'} (x) = - 4 \cos (2 x - \frac{π}{3})$

$\Rightarrow {f^{'}}^{'}^{'} (x) = 8 \sin (2 x - \frac{π}{3})$

$\Rightarrow f^{(4)} (x) = 16 \cos (2 x - \frac{π}{3})$ .

Xét phương trình

$f^{(4)} (x) = - 8 \Leftrightarrow \cos (2 x - \frac{π}{3}) = - \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3} + k 2 π \\ 2 x - \frac{π}{3} = - \frac{2 π}{3} + k 2 π \end{array}] \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k π \\ x = - \frac{π}{6} + k π \end{array}$ .

Mà $x \in [0; \frac{π}{2}]$ nên chỉ có giá trị $x = \frac{π}{2}$ thỏa mãn.

Câu 25:

Cho hàm số $y = \frac{1}{x}$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.

{y^{'}}^{'} y^{3} + 2 = 0

.

B.

{y^{'}}^{'} y^{3} = 2

.

C.

{y^{'}}^{'} y + 2 {(y^{'})}^{2} = 0

.

D.

{y^{'}}^{'} y = 2 {(y^{'})}^{2}

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $y^{'} = - \frac{1}{x^{2}} \Rightarrow {y^{'}}^{'} = \frac{2}{x^{3}}$ .

Xét đáp án A, ${y^{'}}^{'} y^{3} + 2 = 0 \Leftrightarrow \frac{2}{x^{3}} . {(\frac{1}{x})}^{3} + 2 = 0 \Leftrightarrow \frac{2}{x^{6}} + 2 = 0$ (vô lí).

Xét đáp án B, ${y^{'}}^{'} y + 2 {(y^{'})}^{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{2}{x^{3}} . \frac{1}{x} + 2 {(- \frac{1}{x^{2}})}^{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{4}{x^{4}} = 0$ (vô lí).

Xét đáp án C, ${y^{'}}^{'} y^{3} = 2 \Leftrightarrow \frac{2}{x^{3}} . {(\frac{1}{x})}^{3} = 2 \Leftrightarrow \frac{2}{x^{6}} = 2$ (vô lí).

Xét đáp án D, ${y^{'}}^{'} y = 2 {(y^{'})}^{2} \Leftrightarrow \frac{2}{x^{3}} . \frac{1}{x} = 2 {(- \frac{1}{x^{2}})}^{2} \Leftrightarrow \frac{2}{x^{4}} = \frac{2}{x^{4}}$ (đúng).

Câu 26:

Cho hàm số $y = \sin^{2} 2 x$ . Giá trị của biểu thức $y^{(3)} + {y^{'}}^{'} + 16 y^{'} + 16 y - 8$ là

A. -8.

B. 0.

C. 8.

D.

16 \sin 4 x

.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $y = \sin^{2} 2 x \Rightarrow y = \frac{1 - \cos 4 x}{2} \Rightarrow y^{'} = 2 \sin 4 x \Rightarrow {y^{'}}^{'} = 8 \cos 4 x \Rightarrow y^{(3)} = - 32 \sin 4 x$ .

Khi đó $y^{(3)} + {y^{'}}^{'} + 16 y^{'} + 16 y - 8 = - 32 \sin 4 x + 8 \cos 4 x + 32 \sin 4 x + 8 (1 - \cos 4 x) - 8 = 0$ .

Câu 27:

Đạo hàm cấp n của hàm số y=cos2x là

A.

y^{(n)} = {(- 1)}^{n} \cos (2 x + n \frac{π}{2})

.

B.

y^{(n)} = 2^{n} \cos (2 x + \frac{π}{2})

.

C.

y^{(n)} = 2^{n + 1} \cos (2 x + n \frac{π}{2})

.

D.

y^{(n)} = 2^{n} \cos (2 x + n \frac{π}{2})

.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $y^{'} = 2 \cos (2 x + \frac{π}{2}); {y^{'}}^{'} = 2^{2} \cos (2 x + 2 \frac{π}{2}); {y^{'}}^{'}^{'} = 2^{3} \cos (2 x + 3 \frac{π}{2})$ .

Bằng quy nạp ta chứng minh được $y^{(n)} = 2^{n} \cos (2 x + n \frac{π}{2})$ .

Câu 28:

Đạo hàm cấp $n$ của hàm số $y = \sqrt{2 x + 1}$ là

A.

y^{n} = \frac{{(- 1)}^{n + 1} .3.5... (3 n - 1)}{\sqrt{{(2 x + 1)}^{2 n - 1}}}

.

B.

y^{n} = \frac{{(- 1)}^{n - 1} .3.5... (2 n - 1)}{\sqrt{{(2 x + 1)}^{2 n - 1}}}

.

C.

y^{n} = \frac{{(- 1)}^{n + 1} .3.5... (2 n - 1)}{\sqrt{{(2 x + 1)}^{2 n + 1}}}

.

D.

y^{n} = \frac{{(- 1)}^{n + 1} .3.5... (2 n - 3)}{\sqrt{{(2 x + 1)}^{2 n - 1}}}

.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $y^{'} = \frac{1}{\sqrt{2 x + 1}}, {y^{'}}^{'} = - \frac{1}{\sqrt{{(2 x + 1)}^{3}}}, {y^{'}}^{'}^{'} = \frac{3}{\sqrt{{(2 x + 1)}^{5}}}$ .

Bằng quy nạp ta chứng minh được $y^{(n)} = \frac{{(- 1)}^{n + 1} .3.5... (2 n - 3)}{\sqrt{{(2 x + 1)}^{2 n - 1}}}$ .

Câu 29:

Đạo hàm cấp $n$ của hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x^{2} - 3 x + 2}$ là

A.

y^{(n)} = \frac{5. {(- 1)}^{n} . n!}{{(x - 2)}^{n + 1}} + \frac{3. {(- 1)}^{n} . n!}{{(x - 1)}^{n + 1}}

.

B.

y^{(n)} = \frac{5. {(- 1)}^{n} . n!}{{(x + 2)}^{n + 1}} - \frac{3. {(- 1)}^{n} . n!}{{(x - 1)}^{n + 1}}

.

C.

y^{(n)} = \frac{5. {(- 1)}^{n} . n!}{{(x - 2)}^{n + 1}} : \frac{3. {(- 1)}^{n} . n!}{{(x - 1)}^{n + 1}}

.

D.

y^{(n)} = \frac{5. {(- 1)}^{n} . n!}{{(x - 2)}^{n + 1}} - \frac{3. {(- 1)}^{n} . n!}{{(x - 1)}^{n + 1}}

.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y = \frac{5}{x - 2} - \frac{3}{x - 1}$ .

Bằng quy nạp ta chứng minh được $y^{(n)} = \frac{5. {(- 1)}^{n} . n!}{{(x - 2)}^{n + 1}} - \frac{3. {(- 1)}^{n} . n!}{{(x - 1)}^{n + 1}}$ .

Câu 30:

Đạo hàm cấp $n$ của hàm số $y = \frac{x}{x^{2} + 5 x + 6}$ là

A.

y^{(n)} = \frac{{(- 1)}^{n} .3. n!}{{(x + 3)}^{n + 1}} + \frac{{(- 1)}^{n} .2. n!}{{(x + 2)}^{n + 1}}

.

B. $y^{(n)} = \frac{{(- 1)}^{n} .3. n!}{{(x + 3)}^{n}} - \frac{{(- 1)}^{n} .2. n!}{{(x + 2)}^{n}}$ .

C.

y^{(n)} = \frac{{(- 1)}^{n} .3. n!}{{(x + 3)}^{n - 1}} - \frac{{(- 1)}^{n} .2. n!}{{(x + 2)}^{n - 1}}

.

D. $y^{(n)} = \frac{{(- 1)}^{n} .3. n!}{{(x + 3)}^{n + 1}} - \frac{{(- 1)}^{n} .2. n!}{{(x + 2)}^{n + 1}}$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $x = 3 (x + 2) - 2 (x + 3); x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$ .

Suy ra $y = \frac{3}{x + 3} - \frac{2}{x + 2}$ .

Mà ${(\frac{1}{x + 2})}^{(n)} = \frac{{(- 1)}^{n} {.1}^{n} . n!}{{(x + 2)}^{n + 1}} = \frac{{(- 1)}^{n} . n!}{{(x + 2)}^{n + 1}}, {(\frac{1}{x + 3})}^{(n)} = \frac{{(- 1)}^{n} . n!}{{(x + 3)}^{n + 1}}$

nên ta có $y^{(n)} = \frac{{(- 1)}^{n} .3. n!}{{(x + 3)}^{n + 1}} - \frac{{(- 1)}^{n} .2. n!}{{(x + 2)}^{n + 1}}$ .

Câu 31:

Đạo hàm cấp 2021 của hàm số f(x)=cos(x+a) là

A.

f^{(2021)} (x) = - \cos (x + a + \frac{π}{2})

.

B.

f^{(2021)} (x) = - \sin (x + a + \frac{π}{2})

.

C.

f^{(2021)} (x) = \cos (x + a + \frac{π}{2})

.

D.

f^{(2021)} (x) = \sin (x + a + \frac{π}{2})

.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $f^{'} (x) = - \sin (x + a) = \cos (x + a + \frac{π}{2});$

${f^{'}}^{'} (x) = - \sin (x + a + \frac{π}{2}) = \cos (x + a + \frac{2 π}{2});$

…

$f^{(2021)} (x) = \cos (x + a + \frac{2021 π}{2}) = \cos (x + a + \frac{π}{2})$ .

Câu 32:

Đạo hàm cấp n của hàm số y=sin2x là

A.

y^{(n)} = 2^{n + 1} \sin (2 x + n \frac{π}{2})

.

B.

y^{(n)} = 2^{n - 1} \sin (2 x + n \frac{π}{2})

.

C.

y^{(n)} = 2^{n} \sin (2 x + \frac{π}{2})

.

D.

y^{(n)} = 2^{n} \sin (2 x + n \frac{π}{2})

.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y^{'} = 2 \sin (2 x + \frac{π}{2}), {y^{'}}^{'} = 2^{2} \sin (2 x + 2 \frac{π}{2}), {y^{'}}^{'}^{'} = 2^{3} \sin (2 x + 3 \frac{π}{2}); ...$

Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được $y^{(n)} = 2^{n} \sin (2 x + n \frac{π}{2})$ .

Câu 33:

Cho hàm số y=sin3x.cosx-sin2x . Giá trị của

y^{(10)} (\frac{π}{3})

gần nhất với số nào dưới đây?

A. 454492.

B. 2454493.

C. 454491.

D. 454490.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $y = \sin 3 x . \cos x - \sin 2 x = \frac{1}{2} (\sin 4 x + \sin 2 x) - \sin 2 x = \frac{1}{2} (\sin 4 x - \sin 2 x)$ .

Mặt khác theo quy nạp ta chứng minh được ${(\sin a x)}^{(n)} = {(- 1)}^{n - 1} a^{n} \sin (\frac{n π}{2} - a x)$ .

Do đó $y^{(10)} (x) = \frac{1}{2} ({(- 1)}^{9} 4^{10} . \sin (5 π - 4 x) - {(- 1)}^{9} {.2}^{10} . \sin (5 π - 2 x)) = \frac{1}{2} (- 4^{10} . \sin 4 x + 2^{10} \sin 2 x)$

$\Rightarrow y^{(10)} (\frac{π}{3}) \approx 454490,13$

Câu 34:

Cho hàm số $y = \sin \frac{x}{2}$ . Đạo hàm $y^{(n)}$ là

A.

\frac{1}{2^{n}} \sin (\frac{x}{2} + n \frac{π}{2})

.

B.

\sin (\frac{x}{2} + n \frac{π}{2})

.

C.

2^{n} \sin (\frac{x}{2} + n \frac{π}{2})

.

D.

\frac{1}{2^{n}} \sin (\frac{x}{2} + n π)

.

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 35:

Cho hàm số

f (x) = {(3 x^{2} - 2 x - 1)}^{9}

. Tính đạo hàm cấp 6 của hàm số tại điểm x=0.

A.

f^{(6)} (0) = - 60480

B.

f^{(6)} (0) = - 34560

C.

f^{(6)} (0) = 60480

D.

f^{(6)} (0) = 34560

Xem đáp án

Đáp án A

Giả sử $f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ... + a_{18} x^{18}$ .

Khi đó $f^{(6)} (x) = 6! . a_{6} + b_{7} x + b_{8} x^{2} + ... + b_{18} x^{12} \Rightarrow f^{(6)} (0) = 720 a_{6}$ .

Ta có ${(3 x^{2} - 2 x - 1)}^{9} = - {(1 + 2 x - 3 x^{2})}^{9} = - \sum_{k = 0}^{9} C_{9}^{k} {(2 x - 3 x^{2})}^{k}$

$= - \sum_{k = 0}^{9} C_{9}^{k} \sum_{i = 0}^{k} C_{k}^{i} {(2 x)}^{k - i} {(- 3 x^{2})}^{i} = - \sum_{k = 0}^{9} \sum_{i = 0}^{k} C_{9}^{k} C_{k}^{i} 2^{k - i} {(- 3)}^{i} x^{k + i}$

Số hạng chứa $x^{6}$ ứng với $k, i$ thỏa mãn $\{\begin{cases} 0 \leq i \leq k \leq 9 \\ k + i = 6 \end{cases} \Rightarrow (k; i) \in \{(6; 0), (5; 1), (4; 2), (3; 3)\}$

\begin{array}{l} \Rightarrow a_{6} = - [C_{9}^{6} C_{6}^{0} 2^{6} {(- 3)}^{0} + C_{9}^{5} C_{5}^{1} 2^{4} (- 3) + C_{9}^{4} C_{4}^{2} 2^{2} {(- 3)}^{2} + C_{9}^{3} C_{3}^{3} 2^{0} {(- 3)}^{3}] = - 84 \\ \Rightarrow f^{(6)} (0) = 720. (- 64) = - 60480. \end{array}