14 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 Bài 1 (Có đáp án): Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Câu 1:

Cho hàm số $f (x) = x^{2} + 2 x$ ,có ∆x là số gia của đối số tại x=1, ∆y là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó ∆y bằng:

A. ${(∆ x)}^{2} + 2 ∆ x$

B. ${(∆ x)}^{2} + 4 ∆ x$

C. ${(∆ x)}^{2} + 2 ∆ x - 3$

D. 3

Xem đáp án

∆y=f(1+∆x)-f(1)=(1+∆x)2+2(1+∆x)-(1+2)=(∆x)2+4∆x

Đáp án B

Chú ý. Tránh các sai lầm thay trực tiếp ∆x hoặc 1 vào hàm (A,D) hoặc lấy hiệu của f(∆x) và f(1) (C)

Câu 2:

Cho hàm số $f (x) = \sqrt{3 x - 2}$ , có ∆x là số gia của đối số tại x=2. Khi đó ∆y/∆x bằng:

A. $\frac{\sqrt{3 ∆ x - 2}}{∆ x}$

B. $\frac{\sqrt{3 ∆ x - 6}}{∆ x}$

C. $\frac{\sqrt{3 ∆ x + 4} - 2}{∆ x}$

D. $\frac{\sqrt{3 ∆ x - 2} - 2}{∆ x}$

Xem đáp án

Tập xác định của hàm số đã cho là D= [2/3;+∞)

Với ∆x là số gia của đối số tại x=2 sao cho 2+∆x ∈ D,thì

$Δ y = \sqrt{3 (Δ x + 2) - 2} - \sqrt{3.2 - 2} = \sqrt{3 Δ x + 4} - 2$

Chọn đáp án C

Câu 3:

Cho hàm số: $y = \frac{x^{2} - 2 x}{x + 1} (C)$

Đạo hàm của hàm số đã cho tại x=1 là:

A. 1/4

B. (-1)/2

C. 0

D. 1/2

Xem đáp án

Với ∆x là số gia của đối số tại x=1, ta có

$\begin{array}{l} Δ y = \frac{{(1 + Δ x)}^{2} - 2 ( 1 + Δ x) }{1 + Δ x + 1} - \frac{1 - 2}{1 + 1} \\ = \frac{1 + 2 Δ x + {(Δ x)}^{2} - 2 - 2 Δ x}{2 + Δ x} + \frac{1}{2} \\ = \frac{{(Δ x)}^{2} - 1}{2 + Δ x} + \frac{1}{2} = \frac{2 {(Δ x)}^{2} - 2 + 2 + Δ x}{2 ( 2 + Δ x)} \\ = \frac{2 {(Δ x)}^{2} + Δ x}{2 (2 + Δ x)} = \frac{(2 Δ x + 1) . Δ x}{2 (2 + Δ x)} \\ \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{2 Δ x + 1}{2 (2 + Δ x)} \end{array}$

Vậy y’(1) $= \underset{∆ x \to 0}{l i m} \frac{∆ y}{∆ x} = \frac{1}{4}$

Đáp án A

Câu 4:

Cho hàm số: $y = \frac{x^{2} - 2 x}{x + 1} (C)$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(1, (-1)/2) là:

A. $y = \frac{1}{4} (x + 1) - \frac{1}{2}$

B. $y = \frac{1}{2} (x + 1) + \frac{1}{4}$

C. $y = \frac{1}{4} (x - 1) - \frac{1}{2}$

D. $y = \frac{1}{2} (x + 1) - \frac{1}{4}$

Xem đáp án

* Tính đạo hàm tại điểm x = 1:

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A(1, (-1)/2) là:

$y = \frac{1}{4} (x - 1) - \frac{1}{2}$

Chọn C

Câu 5:

Cho hàm số f(x)=|x+1|. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. f(x) liên tục tại x=-1

B. f(x) có đạo hàm tại x=-1

C. f(-1)=0

D. f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x=-1

Xem đáp án

f(-1)=0 ⇒ phương án C đúng

f(x)≥0, ∀x và f(x)=0 ⇔x=-1⇒phương án D đúng

Do đó, hàm số liên tục tại điểm x = -1

Phương án A đúng

$\lim_{x \to - 1^{+}} \frac{f (x) - f (- 1)}{x - (- 1)} = \lim_{x \to - 1^{+}} \frac{x + 1}{x + 1} = 1$

$\lim_{x \to - 1^{-}} \frac{f (x) - f (- 1)}{x - (- 1)} = \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{- x - 1}{x + 1} = - 1$

Suy ra không tồn tại giới hạn của tỉ số

Do đó hàm số đã cho không có đạo hàm tại x=-1.

Vậy chọn đáp án là B

Câu 6:

Số gia của hàm số $f (x) = 2 x^{2} - 1$ tại xo=1 ứng với số gia ∆x=0,1 bằng:

A. 1

B. 1,42

C. 2,02

D. 0,42

Xem đáp án

Chọn D

∆f = f(1 + 0,1)- f(1) = 2(1,1)2 - 1 - (2 - 1) = 0,42

Câu 7:

Cho hàm số $y = \sqrt{x}$ ,∆x là số gia của đối số tại x. Khi đó ∆y/∆x bằng:

A. $\frac{\sqrt{∆ x} - x}{∆ x}$

B. $\frac{\sqrt{∆ x} - x}{∆ x}$

C. $\frac{\sqrt{x + ∆ x} - \sqrt{∆ x}}{∆ x}$

d. $\frac{1}{\sqrt{x + ∆ x} + \sqrt{∆ x}}$

Xem đáp án

Chọn D

Câu 8:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = - x^{3}$ tại điểm có hoành độ bằng -1 là:

A. y= 3(x+1)+1

B. y= -3(x-1)+1

C. y= -3(x+1)+1

D. y= -3(x-1)-1

Xem đáp án

Chọn C

Với x = -1 thì $y (- 1) = - {(- 1)}^{3} = 1$

Dùng định nghĩa ta tính được y'(-1) = -3. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(-1; 1) là y = -3(x + 1) + 1.

Câu 9:

Cho hàm số y= $\{\begin{cases} \frac{x^{2} + 3 x + 1}{x - 1}, x > 1 \\ x - 1, x \leq 1 \end{cases}$

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A.Hàm số liên tục tại x = 1

B.Hàm số có đạo hàm tại x = 1

C. F(0) = -2

D.F(-2) = -3

Xem đáp án

Ta có: y(0) = 0-1= - 1

Và y(-2) = -2 – 1 = - 3

*Xét tính liên tục của hàm số tại x=1

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 1^{+}} y = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^{2} + 3 x + 1}{x - 1} = + \infty \\ v ì k h i x \to 1^{+} : x - 1 > 0; \lim_{x \to 1^{+}} (x - 1) = 0 \\ \lim_{x \to 1^{+}} (x^{2} + 3 x + 1) = 5 > 0 \end{array}$

Và $\lim_{x \to 1^{-}} y = \lim_{x \to 1^{-}} (x - 1) = 1 - 1 = 0$

$\Rightarrow \lim_{x \to 1^{+}} y \neq \lim_{x \to 1^{-}} y$

Do đó, hàm số đã cho không liên tục tại x =1

Suy ra, hàm số cũng không có đạo hàm tại x = 1

Chọn D.

Câu 10:

Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình $S = \frac{1}{2} t^{2}$ (t là thời gian tính bằng giây (s), S là đường đi tính bằng mét). Tính vận tốc (m/s) của chất điểm tại thời điểm to = 5(s)

A. 5/2

B. 5

C. 25

D. 12,5

Xem đáp án

Chọn B

Vận tốc của chuyển động bằng đạo hàm của $S (t) = f (t) = \frac{1}{2} t^{2}$

Do đó vận tốc của chuyển động taij thòi điểm t = 5 s là v = 5 m/s

Câu 11:

Cho biết điện lượng truyền trong dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số $Q (t) = 2 t^{2} + t$ , trong đó t được tính bằng giây (s) và Q được tính theo Culong (C). Tính cường độ dòng điện tại thời điểm t=4s.

A. 13

B. 16

C. 36

D. 17

Xem đáp án

Cường độ dòng điện tại thời điểm t = 4 s là :

Chọn D

Câu 12:

Tính đạo hàm của hàm số $\{\begin{cases} 2 x + 3 k h i x \geq 1 \\ \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 7 x + 4}{x - 1} k h i x < 1 \end{cases}$ tại $x_{0} = 1$ .

A. 0

B. 4

C. 5

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 13:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{3 - \sqrt{4 - x}}{4} k h i x ≢ 0 \\ \frac{1}{4} k h i x = 0 \end{cases}$ . Khi đó đạo hàm của hàm số tại điểm x = 0 là kết quả nào sau đây?

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{16}$

C. $\frac{1}{32}$

D. Không tồn tại

Xem đáp án

Đáp án B

Xét giới hạn sau:

$\lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 - \sqrt{4 - x}}{4} - \frac{1}{4}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 - \sqrt{4 - x}}{4 x}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{(2 - \sqrt{4 - x}) (2 + \sqrt{4 - x})}{4 x (2 + \sqrt{4 - x})} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{4 x (2 + \sqrt{4 - x})} \lim_{x \to 0} \frac{1}{4 (2 + \sqrt{4 - x})} = \frac{1}{16}$

Do đó, đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm x = 0 là $\frac{1}{16}$

Câu 14:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} K h i x \leq 2 \\ - \frac{x^{2}}{2} + b x - 6 k h i x > 2 \end{array}$ . Để hàm số này có đạo hàm tại x= 2 thì giá trị của b là

A. b=-3

B. b= -6

C. b=1

D. b=6

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: f(2) = 4

$\lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} x^{2} = 4$

$\lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} (\frac{- x^{2}}{2} + b x - 6) = 2 b - 8$

Vì hàm số có đạo hàm tại x= 2 nên hàm số liên tục tại x = 2

$\Leftrightarrow \lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} f (x) \Leftrightarrow 4 = 2 b - 8 \Leftrightarrow b = 6$