33 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 3: Chứng minh đẳng thức đạo hàm, tìm giới hạn, giải phương trình và bất phương trình chứa đạo hàm.

Câu 1:

Cho hàm số $y = - 3 x^{3} + 25 x - 20$ .

Giải phương trình $y^{'} = 0$ .

Xem đáp án

Ta có: $y^{'} = - 9 x^{2} + 25.$

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow - 9 x^{2} + 25 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{5}{3}$ .

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt $x = - \frac{5}{3}$ và $x = \frac{5}{3}$

Câu 2:

Tính $A = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 - x} - 1}{x}$ .

Xem đáp án

Đặt $f (x) = \sqrt[3]{1 - x} \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{- 1}{3 \sqrt[3]{{(1 - x)}^{2}}}$ và $f (0) = 1$ .

Suy ra $A = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = f^{'} (0) = - \frac{1}{3}$ .

Câu 3:

Cho hàm số $f (x) = \sqrt{x + \sqrt{1 + x^{2}}}$ . Chứng minh rằng $2 \sqrt{1 + x^{2}} . y^{'} = y$ .

Xem đáp án

$y^{'} = {(\sqrt{x + \sqrt{1 + x^{2}}})}^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x + \sqrt{1 + x^{2}}}} . {(x + \sqrt{1 + x^{2}})}^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x + \sqrt{1 + x^{2}}}} . (1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

$= \frac{1}{2 \sqrt{x + \sqrt{1 + x^{2}}}} . \frac{\sqrt{1 + x^{2}} + x}{\sqrt{1 + x^{2}}} = \frac{\sqrt{\sqrt{1 + x^{2}} + x}}{2 \sqrt{1 + x^{2}}} = \frac{y}{2 \sqrt{1 + x^{2}}} \Rightarrow 2 \sqrt{1 + x^{2}} . y^{'} = y .$

Câu 4:

Cho hàm số $f (x) = \sqrt{x^{2} - 2 x}$ . Giải bất phương trình $f^{'} (x) \leq f (x)$ .

Xem đáp án

Ta có $f^{'} (x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2 x}}$ . Khi đó $f^{'} (x) \leq f (x) \Leftrightarrow \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2 x}} \leq \sqrt{x^{2} - 2 x} (1)$

Điều kiện xác định: $x \in (- \infty; 0) \cup (2; + \infty)$ .

$(1) \Rightarrow x - 1 \leq x^{2} - 2 x \Leftrightarrow x^{2} - 3 x + 1 \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \geq \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \\ x \leq \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \end{array}$

Kết hợp với điều kiện trên suy ra $x < 0$ hoặc $x \geq \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ .

Câu 5:

Cho hàm số $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - m x^{2} + (m + 2) x - 7$ . Tìm giá trị của tham số m để $f^{'} (x) \geq 0$ với mọi $x \in ℝ$ .

Xem đáp án

Ta có $f^{'} (x) = x^{2} - 2 m x + m + 2$

$f^{'} (x) \geq 0, \forall x \in ℝ \Leftrightarrow x^{2} - 2 m x + m + 2 \geq 0, \forall x \in ℝ$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 > 0 \\ Δ^{'} = m^{2} - (m + 2) \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m^{2} - m - 2 \leq 0 \Leftrightarrow - 1 \leq m \leq 2$

Vậy $- 1 \leq m \leq 2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 6:

Giải phương trình f'(x) trong các trường hợp sau

f(x)= sin3x-3sinx+7

Xem đáp án

$f (x) = \sin 3 x - 3 \sin x + 7 \Rightarrow f^{'} (x) = 3 \cos 3 x - 3 \cos x$

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 3 \cos 3 x - 3 \cos x = 0 \Leftrightarrow \cos 3 x = \cos x$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 3 x = x + k 2 π \\ 3 x = - x + k 2 π \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = k π \\ x = \frac{k π}{2} \end{array}$

$\Leftrightarrow x = \frac{k π}{2} (k \in ℤ)$

Câu 7:

Giải phương trình trong các trường hợp sau

f(x)=cos2x+2sinx-1

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow - 2 \sin 2 x + 2 \cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x (- 2 \sin x + 1) = 0$

Xem đáp án

$f (x) = \cos 2 x + 2 \sin x - 1 \Rightarrow f^{'} (x) = - 2 \sin 2 x + 2 \cos x$

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow - 2 \sin 2 x + 2 \cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x (- 2 \sin x + 1) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = 0 \\ \sin x = \frac{1}{2} \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k π \\ x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = π - \frac{π}{6} + k 2 π \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k π \\ x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

Câu 8:

Tính giới hạn sau: $A = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x^{2}} - \sqrt[3]{1 + 3 x^{2}}}{1 - \cos x}$

Xem đáp án

Ta có: $A = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sqrt{1 + 2 x^{2}} - \sqrt[3]{1 + 3 x^{2}}}{x^{2}}}{\frac{2 \sin^{2} \frac{x}{2}}{x^{2}}} = \lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{\frac{2 \sin^{2} \frac{x}{2}}{x^{2}}}$

Mà $\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^{2} \frac{x}{2}}{x^{2}} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} {(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}})}^{2} = \frac{1}{2}$ .

Đặt $t = x^{2}$ , sử dụng phương pháp liên hợp ta có

$\lim_{x \to 0} f (x) = \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 t} - \sqrt[3]{1 + 3 t}}{t} = 0$ .

Vậy $A = 0.$

Câu 9:

Cho hàm số $y = \sqrt[3]{1 - x}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

3 y^{'} y^{2} + 1 = 0

.

B.

y^{'} y^{2} + 1 = 0

C.

3 y^{'} y^{2} - 1 = 0

D.

y^{'} y^{2} - 1 = 0

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $y = \sqrt[3]{1 - x} \Rightarrow y^{3} = 1 - x \Rightarrow 3 y^{2} y^{'} = - 1 \Rightarrow 3 y^{'} y^{2} + 1 = 0$

Câu 10:

Cho hàm số

f (x) = \frac{x^{3}}{x - 1}

. Tập nghiệm của phương trình f'(x)=0 là

A.

\{0; \frac{2}{3}\} .

B.

\{0; - \frac{2}{3}\} .

C.

\{0; \frac{3}{2}\} .

D.

\{0; - \frac{3}{2}\} .

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $f^{'} (x) = \frac{3 x^{2} (x - 1) - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{2 x^{3} - 3 x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ . Xét phương trình $f^{'} (x) = 0 \Rightarrow 2 x^{3} - 3 x^{2} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \frac{3}{2} \end{array}$ (thỏa mãn)

Câu 11:

Cho hàm số $y = x + \sqrt{x^{2} + 1}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

y \sqrt{1 + x^{2}} - y^{'} = 0.

B.

y^{'} \sqrt{1 + x^{2}} - y = 0.

C.

y \sqrt{1 + x^{2}} + y^{'} = 0.

D.

y^{'} \sqrt{1 + x^{2}} + y = 0.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $y^{'} = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + 1}} \Rightarrow y^{'} \sqrt{1 + x^{2}} = y \Rightarrow y^{'} \sqrt{1 + x^{2}} - y = 0$

Câu 12:

Cho $f (x) = (m - 1) x^{3} + 2 (m - 1) x^{2} + m x$ . Tập hợp các giá trị của m để $f^{'} (x) > 0, \forall x \in ℝ$ là

A.

(1; 4]

.

B.

(1; 4)

.

C.

[1; 4]

.

D.

[1; 4)

.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $f^{'} (x) = 3 (m - 1) x^{2} + 4 (m - 1) x + m$

Với $m = 1 : f^{'} (x) = 1 > 0, \forall x \in ℝ$ nên $m = 1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với $m \neq 1 : f^{'} (x) > 0, \forall x \in ℝ \Leftrightarrow \{\begin{cases} a > 0 \\ Δ^{'} < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m - 1 > 0 \\ m^{2} - 5 m + 4 < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > 1 \\ 1 < m < 4 \end{cases} \Leftrightarrow 1 < m < 4$

Vậy $m \in [1; 4)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 13:

Cho hàm số $f (x) = k \sqrt[3]{x} + \sqrt{x} (k \in ℝ)$ . Giá trị của k để $f^{'} (1) = \frac{3}{2}$ là

A.

k = 1.

B.

k = - 3.

C. k=3

D.

k = \frac{9}{2} .

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $f (x) = k \sqrt[3]{x} + \sqrt{x} \Rightarrow f^{'} (x) = {(k \sqrt[3]{x} + \sqrt{x})}^{'} = k {(\sqrt[3]{x})}^{'} + {(\sqrt{x})}^{'}$

Đặt $y = \sqrt[3]{x} \Rightarrow y^{3} = x \Rightarrow 3 y^{2} y^{'} = 1 \Rightarrow y^{'} = \frac{1}{3 y^{2}} = \frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}}$

$f^{'} (x) = k {(\sqrt[3]{x})}^{'} + {(\sqrt{x})}^{'} = \frac{k}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ . Vậy để $f^{'} (1) = \frac{3}{2}$ thì $\frac{k}{3} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow k = 3$ .

Câu 14:

Cho hàm số

y = \sqrt{2 x - x^{2}}

. Khi đó y.y' bằng

A. $\frac{1}{2} .$

B.

2 - 2 x .

C.

1 - x .

D.

\frac{2 x - x^{2}}{2} .

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} - 6 x - 9$ . Xét phương trình $y^{'} = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 x - 9 = 0 \Leftrightarrow x = - 1; x = 3$

Câu 15:

Cho hàm số

f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x - 1

. Để f'(x) thì x có giá trị thuộc tập hợp

A.

\{- 3; 2\} .

B.

\{3; - 2\} .

C.

\{- 6; 4\} .

D.

\{4; - 6\} .

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $f^{'} (x) = {(2 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x - 1)}^{'} = 6 x^{2} + 6 x - 36$

Suy ra $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 6 x^{2} + 6 x - 36 = 0 \Leftrightarrow x^{2} + x - 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - 3 \end{array}$

Câu 16:

Cho hàm số $f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 7 x + 3$ . Để $f^{'} (x) \leq 0$ thì x có giá trị thuộc tập hợp

A. .

[- \frac{7}{3}; 1]

B.

[- 1; \frac{7}{3}]

C.

(- \frac{7}{3}; 1)

D.

\{- \frac{7}{3}; 1\}

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $f^{'} (x) = {(x^{3} + 2 x^{2} - 7 x + 3)}^{'} = 3 x^{2} + 4 x - 7$ , suy ra $f^{'} (x) \leq 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} + 4 x - 7 \leq 0 \Leftrightarrow - \frac{7}{3} \leq x \leq 1$

Câu 17:

Cho hàm số $y = \frac{- 2 x^{2} + x - 7}{x^{2} + 3}$ . Tập nghiệm của phương trình $y^{'} = 0$ là

A.

\{- 1; 3\}

.

B.

\{1; 3\}

.

C.

\{- 3; 1\}

.

D.

\{- 3; - 1\}

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $y^{'} = \frac{- x^{2} + 2 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ . Do đó $y^{'} = 0 \Rightarrow - x^{2} + 2 x + 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 3 \end{array}$

Câu 18:

Cho hàm số $y = \frac{x^{2} + 3 x + 3}{x + 1}$ . Tất cả các nghiệm của phương trình $y^{'} = 0$ là

A.

x = 0.

B.

x = 2.

C.

x = - 2.

D.

x = 0; x = - 2.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y^{'} = {(\frac{x^{2} + 3 x + 3}{x + 1})}^{'} = \frac{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{'} (x + 1) - (x^{2} + 3 x + 3) {(x + 1)}^{'}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(2 x + 3) (x + 1) - (x^{2} + 3 x + 3)}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Suy ra $y^{'} = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + 2 x = 0 \\ x + 1 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 2 \end{array} \\ x \neq - 1 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 2 \end{array}$ .

Câu 19:

Cho hàm số $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$ . Đạo hàm của hàm số $f (x)$ nhận giá trị âm khi x thuộc tập hợp nào dưới đây?

A.

(- \infty; 0) .

B.

(0; + \infty) .

C.

(- \infty; 1] \cup [1; + \infty) .

D.

[- 1; 1] .

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $f^{'} (x) = \frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ . Khi đó $f^{'} (x) < 0 \Leftrightarrow 4 x < 0 \Leftrightarrow x < 0$ .

Câu 20:

Cho hàm số $f (x) = x^{3} - x^{2} - x + 5$ . Với giá trị nào của x thì âm?

A.

- 1 < x < \frac{1}{3} .

B.

\frac{1}{3} < x < 1.

C.

- \frac{1}{3} < x < 1.

D.

- \frac{2}{3} < x < 2.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2 x - 1$ . Khi đó $f^{'} (x) < 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 2 x - 1 < 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{3} < x < 1$ .

Câu 21:

Cho hàm số $f (x) = 2 \cos^{2} (4 x + 1) + 2 π - 2020$ . Giá trị nhỏ nhất của $f^{'} (x)$ là bao nhiêu?

A...

\min f^{'} (x) = - 8

B.

\min f^{'} (x) = 8

C.

\min f^{'} (x) = 4

D.

\min f^{'} (x) = - 4

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $f^{'} (x) = - 8 \sin (8 x + 2) \geq - 8, \forall x \in ℝ$

Câu 22:

Cho hàm số $y = \sqrt{3} \sin x + \cos x - 2 x + 2019$ . Số nghiệm của phương trình $y^{'} = 0$ trên đoạn $[0; 2020 π]$ là

A. 2019.

B. 2020.

C. 1011.

D. 1010.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y^{'} = {(\sqrt{3} \sin x + \cos x - 2 x + 2020)}^{'} = \sqrt{3} \cos x - \sin x - 2$

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3} \cos x - \sin x - 2 = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3} \cos x - \sin x = 2 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x = 1$

$\Leftrightarrow \cos (x + \frac{π}{6}) = 1 \Leftrightarrow x + \frac{π}{6} = k 2 π \Leftrightarrow x = - \frac{π}{6} + k 2 π, (k \in ℤ)$

$x \in [0; 2020 π] \Leftrightarrow 0 \leq - \frac{π}{6} + k 2 π \leq 2020 π \Leftrightarrow \frac{1}{12} \leq k \leq \frac{12121}{12}$

Mà

k \in ℤ

nên

k \in \{1; 2; ..; 1010\}

. Vậy có 1010 nghiệm thỏa mãn yêu cầu

Câu 23:

Cho hàm số

f (x) = \sin 2 x

. Hỏi có bao nhiêu điểm phân biệt trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm của phương trình

3 f (x) + 2 f^{'} (x) = 5

?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $f^{'} (x) = 2 \cos 2 x$ , suy ra $3 f (x) + 2 f^{'} (x) = 5 \Leftrightarrow 3 \sin 2 x + 4 \cos 2 x = 5 \Leftrightarrow \sin (2 x + α) = 1$

$\Leftrightarrow x = \frac{π}{2} - \frac{α}{2} + k . π (k \in ℤ)$ , với là một cung thỏa mãn $\{\begin{cases} \cos α = \frac{3}{5} \\ \sin α = \frac{4}{5} \end{cases}$ .

Vậy có hai điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cho các nghiệm của $3 f (x) + 2 f^{'} (x) = 5$

Câu 24:

Cho

f (x) = x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 4 x

. Tìm x sao cho f'(x)<0 .

A.

x > \frac{4}{3}

hoặc

x < - 1

.

B.

- 1 < x < \frac{4}{3} .

C.

x \geq \frac{4}{3}

hoặc

x \leq - 1

.

D. $- 1 \leq x \leq \frac{4}{3}$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $f^{'} (x) = 3 x^{3} - x - 4$ , suy ra $f^{'} (x) < 0 \Leftrightarrow 3 x^{3} - x - 4 < 0 \Leftrightarrow - 1 < x < \frac{4}{3}$

Câu 25:

Cho hàm số $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 \sqrt{2} x^{2} + 8 x - 1$ . Để $f^{'} (x) = 0$ thì x có giá trị bằng

A.

- 2 \sqrt{2}

.

B.

2 \sqrt{2}

.

C. 2.

D. Không tồn tại.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có

f^{'} (x) = {(\frac{1}{3} x^{3} - 2 \sqrt{2} x^{2} + 8 x - 1)}^{'} = x^{2} - 4 \sqrt{2} x + 8 \Rightarrow f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 4 \sqrt{2} x + 8 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \sqrt{2}

.

Câu 26:

Cho hàm số $f (x) = \frac{m x^{3}}{3} - \frac{m x^{2}}{2} + (3 - m) x - 2$ . Tìm m để $f^{'} (x) > 0, \forall x \in ℝ$ .

A.

0 \leq m \leq \frac{12}{5}

.

B.

0 < m < \frac{12}{5}

C.

0 \leq m < \frac{12}{5}

D. $0 < m \leq \frac{12}{5}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $f^{'} (x) = m x^{2} - m x + (3 - m)$

+ Nếu $m = 0$ thì $f^{'} (x) = 3 > 0, \forall x \in ℝ$ (thỏa mãn).

+ Nếu $m \neq 0$ thì $f^{'} (x) = m x^{2} - m x + (3 - m)$ là tam thức bậc hai.

$f^{'} (x) > 0, \forall x \in ℝ \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > 0 \\ Δ = m^{2} - 4 m (3 - m) < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > 0 \\ 5 m^{2} - 12 m < 0 \end{cases} \Leftrightarrow 0 < m < \frac{12}{5}$

. Vậy $0 \leq m < \frac{12}{5}$

Câu 27:

Cho hàm số $f (x) = - x^{3} + 3 m x^{2} - 12 x + 3$ với m là tham số thực, số giá trị nguyên của m để $f^{'} (x) \leq 0$ với $\forall x \in ℝ$ là

A. 1.

B. 5.

C. 4.

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án B

$f (x) = - x^{3} + 3 m x^{2} - 12 x + 3 \Rightarrow f^{'} (x) = - 3 x^{2} + 6 m x - 12$ .

$f^{'} (x) \leq 0, \forall x \in ℝ \Leftrightarrow - 3 x^{2} + 6 m x - 12 \leq 0$ với $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow \{\begin{cases} a < 0 \\ Δ^{'} \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 3 < 0 \\ 9 m^{2} - 36 \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 2$

Vì $m \in ℤ$ nên $m \in \{- 2; - 1; 0; 1; 2\}$ . Vậy có 5 giá trị nguyên m thỏa mãn.

Câu 28:

Giá trị của $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x) (1 + 2 x) (1 + 3 x) ... (1 + 2018 x) - 1}{x}$ bằng

A.

2018.2019.

B. 2019

C. 2018.

D. 1009.2019.

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt $f (x) = (1 + x) (1 + 2 x) (1 + 3 x) ... (1 + 2018 x)$

$f (x)$ là hàm số đa thức nên nó liên tục và có đạo hàm trên tập số thực .

Ta có $f (0) = 1$ và $f^{'} (x) = 1. (1 + 2 x) ... (1 + 2018 x) + 2 (1 + x) ... (1 + 2018 x) + ... + 2018 (1 + x) ... (1 + 2017 x)$

$\Rightarrow f^{'} (0) = 1 + 2 + 3 + ... + 2018 = 2018. \frac{2018 + 1}{2} = 1009.2019$ .

Khi đó ta có: $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x) (1 + 2 x) (1 + 3 x) ... (1 + 2018 x) - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = f^{'} (0)$ .

Câu 29:

Cho $f (x) = 2 x^{3} + 3 (a + 2) x^{2} + 6 a^{2} x$ . Biết $f^{'} (x) > 0$ luôn đúng với mọi x và $f^{'} (- 1) = 6$ . Tìm a

A.

a = - 1.

B.

a = 2.

C.

a = 1.

D.

a = 3.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $f^{'} (x) = 6 [x^{2} + (a + 2) x + a^{2}]$ nên $f^{'} (x) > 0, \forall x \in ℝ \Leftrightarrow x^{2} + (a + 2) x + a^{2} > 0, \forall x \in ℝ$

$\Leftrightarrow {(a + 2)}^{2} - 4 a^{2} < 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a > 2 \\ a < - \frac{2}{3} \end{array}$ .

Mặt khác $f^{'} (- 1) = 6 \Leftrightarrow 6 [{(- 1)}^{2} + (a + 2) (- 1) + a^{2}] = 6 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = - 1 \\ a = 2 \end{array}$ . Vậy $a = - 1$ .

Câu 30:

Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm

y^{'} = f^{'} (x)

liên tục trên R và hàm số y=g(x) với

g (x) = f (4 - x^{3})

. Biết rằng tập các giá trị của x để f'(x)<0 là (-4;3) . Tập các giá trị của x để

g^{'} (x) > 0

là

A.

(1; 2) .

B.

(8; + \infty) .

C.

(- \infty; 8) .

D.

(1; 8) .

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $g^{'} (x) = - 3 x^{2} . f^{'} (4 - x^{3})$ .

Ta có: $g^{'} (x) > 0 \Leftrightarrow - 3 x^{2} . f^{'} (4 - x^{3}) > 0 \Leftrightarrow x^{2} . f^{'} (4 - x^{3}) < 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 0 \\ f^{'} (4 - x^{3}) < 0 \end{cases}$

\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 0 \\ - 4 < 4 - x^{3} < 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 0 \\ - 8 < - x^{3} < - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 0 \\ 1 < x^{3} < 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 0 \\ 1 < x < 2 \end{cases} \Leftrightarrow 1 < x < 2

.

Câu 31:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} a \sqrt{x} khi 0 < x < x_{0} \\ x^{2} + 12 khi x \geq x_{0} \end{cases}$ . Biết rằng ta luôn tìm được một số dương $x_{0}$ và một số thực a để hàm số f có đạo hàm liên tục trên khoảng $(0; x_{0}) \cup (x_{0}; + \infty)$ . Tính giá trị $S = x_{0} + a$ .

A.

S = 2 (3 - 2 \sqrt{2})

.

B.

S = 2 (1 + 4 \sqrt{2})

.

C.

S = 2 (3 - 4 \sqrt{2})

D.

S = 2 (3 + 2 \sqrt{2})

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 32:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm tại điểm $x_{0} = 2$ . Tìm $\lim_{x \to 2} \frac{2 f (x) - x f (2)}{x - 2}$ .

A. 0.

B.

f^{'} (2) .

C.

2 f^{'} (2) - f (2)

.

D.

f (2) - 2 f^{'} (2)

Xem đáp án

Đáp án C

Do hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm tại điểm $x_{0} = 2$ suy ra $\lim_{x \to 2} \frac{f (x) - f (2)}{x - 2} = f^{'} (2)$ .

Ta có $I = \lim_{x \to 2} \frac{2 f (x) - x f (2)}{x - 2} \Leftrightarrow I = \lim_{x \to 2} \frac{2 f (x) - 2 f (2) + 2 f (2) - x f (2)}{x - 2} \Leftrightarrow I = \lim_{x \to 2} \frac{2 (f (x) - f (2))}{x - 2} - \lim_{x \to 2} \frac{f (2) (x - 2)}{x - 2}$

$\Leftrightarrow I = 2 f^{'} (2) - f (2)$ .

Câu 33:

Giá trị của

\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[n]{1 + 3 x} - 1}{x}

bằng

A.

\frac{n}{3} .

B.

\frac{3}{n} .

C.

\frac{1}{n} .

D. $\sqrt[n]{3} .$

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt $f (x) = \sqrt[n]{1 + 3 x} \Rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[n]{1 + 3 x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x} = f^{'} (0) = \frac{3}{n}$ .