21 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài toán tiếp tuyến của đồ thị và sự tiếp xúc của hàm số

Câu 1:

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} - 1

tại điểm có hoành độ

x = - 1

là:

A.0

B.2

C.−2

D.3

Xem đáp án

Ta có $y^{'} = x^{3} + x$

⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x = - 1$ là $k = y^{'} (- 1) = - 2$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 2:

Đồ thị hàm số nào sau đây có tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị và trục tung có hệ số góc âm?

A. $y = \frac{5 x + 1}{x + 1}$

B. $y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$

C. $y = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + 4 x + 1$

D. $y = \frac{1}{x + 1}$

Xem đáp án

Đối với hàm số $y = \frac{5 x + 1}{x + 1}$ thì $y^{'} = \frac{4}{{(x + 1)}^{2}} > 0, \forall x \neq - 1$

⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến luôn dương.

Đối với hàm số: $y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ thì $y^{'} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} > 0, \forall x \neq - 1$

⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến luôn dương.

Đối với hàm số

$y = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + 4 x + 1 = > y^{'} = x^{2} + 2 x + 4 = {(x + 1)}^{2} + 3 > 0, \forall x$

⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến luôn dương.

Xét hàm số $y = \frac{1}{x + 1}$ Có giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là: A(0;1)

Có $y^{'} = \frac{- 1}{{(x + 1)}^{2}} < 0 \forall x \neq 1 \Rightarrow y^{'} (0) < 0$
⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến tại A có hệ số âm.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 3:

Biết đồ thị các hàm số $y = x^{3} + \frac{5}{4} x - 2$ và $y = x^{2} + x - 2$ tiếp xúc nhau tại điểm $M (x_{0}; y_{0})$ Tìm $x_{0}$ .

A. $x_{0} = \frac{3}{2}$

B. $x_{0} = \frac{1}{2}$

C. $x_{0} = - \frac{5}{2} .$

D. $x_{0} = \frac{3}{4} .$

Xem đáp án

Hoành độ tiếp điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{matrix} f (x) = g (x) \\ f' (x) = g' (x) \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x^{3} + \frac{5}{4} x - 2 = x^{2} + x - 2 \\ 3 x^{2} + \frac{5}{4} = 2 x + 1 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} x^{3} - x^{2} + \frac{1}{4} x = 0 \\ 3 x^{2} - 2 x + \frac{1}{4} = 0 \end{matrix} \{\begin{matrix} [\begin{matrix} x = 0 \\ x = \frac{1}{2} \end{matrix} \\ [\begin{matrix} x = \frac{1}{2} \\ x = \frac{1}{6} \end{matrix} \end{matrix} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$

Vậy $x = \frac{1}{2}$ là hoành độ điểm tiếp xúc.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 4:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = - 2 x^{3} + 4 x + 2$ tại điểm có hoành độ bằng 0.

A. $y = - 2 x^{3} + 4 x + 2$

B. $y = 4 x + 2.$

C. $y = 2 x .$

D. $y = 2 x + 2.$

Xem đáp án

Bước 1: Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số là A(0;2).

Bước 2: Phương trình tiếp tuyến tại điểm A có dạng $y = y^{'} (0) (x - 0) + 2.$

Ta có $y^{'} = - 6 x^{2} + 4 \Rightarrow y^{'} (0) = 4.$ Do đó phương trình tiếp tuyến là $y = 4 x + 2.$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 5:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y = - x^{4} + 6 x^{2} - 5

tại điểm cực tiểu của nó.

A. $y = 5$

B. $y = - 5$

C. $y = 0$

D. $y = x + 5$

Xem đáp án

Ta có: $y^{'} = - 4 x^{3} + 12 x \Rightarrow y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \sqrt{3}$ hoặc $x = - \sqrt{3}$

Ta có bảng biến thiên

Quan sát bảng biến thiên ta thấy tiếp điểm là (0;−5) và $y' (0) = 0$ .

Vậy phương trình đường tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $y = - 5$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 6:

Có bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị $(C) : y = x^{4} - 2 x^{2}$ đi qua gốc tọa độ O?

A.0

B.1

C.2

D.3

Xem đáp án

Giả sử $(x_{0}; y_{0})$ là điểm thuộc đồ thị hàm số (C) có tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ O

Ta có: $y^{'} = 4 x^{3} - 4 x$

Ta có phương trình đường thẳng tiếp tuyến tại điểm $(x_{0}; y_{0})$

$y = (4 x_{0}^{3} - 4 x_{0}) (x - x_{0}) + y_{0} \Leftrightarrow y = (4 x_{0}^{3} - 4 x_{0}) (x - x_{0}) + {x_{0}}^{4} - 2 x_{0}^{2}$

Thay (0;0) vào phương trình trên ta được:

$0 = (4 x_{0}^{3} - 4 x_{0}) (0 - x_{0}) + x_{0}^{4} - 2 x_{0}^{2}$

$\Leftrightarrow - 3 x_{0}^{4} + 2 x_{0}^{2} = 0 \Leftrightarrow x_{0}^{2} (- 3 x_{0}^{2} + 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x_{0} = 0 \\ x_{0} = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} \end{matrix}$
Vậy có ba điểm có tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 7:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + x + 2

song song với đường thẳng

y = - 2 x + 5

có phương trình là:

A. $2 x + y - \frac{10}{3} = 0$ và $2 x + y - 2 = 0$

B. $2 x + y + \frac{4}{3} = 0$ và $2 x + y + 2 = 0$

C. $2 x + y - 4 = 0$ và $2 x + y - 1 = 0$

D. $y = 2 x + y - 3 = 0$ và $2 x + y + 1 = 0$

Xem đáp án

Tiếp tuyến (d) song song với đường thẳng $y = - 2 x + 5$ nên có hệ số góc .

Suy ra $y^{'} = - 2$ hay $x^{2} - 4 x + 1 = - 2 \Leftrightarrow (x - 1) (x - 3) = 0$

$\Rightarrow [\begin{matrix} x = 1, y = \frac{4}{3} \\ x = 3, y = - 4 \end{matrix}$

Với $x = 1; y = \frac{4}{3}$ thì $d_{1} : y = - 2 (x - 1) + \frac{4}{3}$ hay $d_{1} : y = - 2 x + \frac{10}{3}$
Với $x = 3; y = - 4$ thì $d_{2} : y = - 2 (x - 3) - 4$ hay $d_{2} : y = - 2 x + 2$
Đáp án cần chọn là: A

Câu 8:

Giả sử tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = 2 x^{3} - 6 x^{2} + 18 x + 1$ song song với đường thẳng $d : 12 x - y = 0$ có dạng $y = a x + b$ . Khi đó tổng $a + b$ là:

A.15

B.−27

C.12

D.11

Xem đáp án

Ta có: $y^{'} = 6 x^{2} - 12 x + 18$

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $(x_{0}; y_{0})$ có hệ số góc $k = y^{'} (x_{0})$

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = 12 x$ nên:

$k = 12 \Leftrightarrow 6 x_{0}^{2} - 12 x_{0} + 18 = 12 \Leftrightarrow {(x_{0} - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} = 15$

$\Rightarrow y = 12 (x - 1) + 15 \Rightarrow y = 12 x + 3$

Vậy $a = 12, b = 3 \Rightarrow a + b = 15$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 9:

Cho hàm số

y = x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2

có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ nhất.

A. $y = 2 x - 2$

B. $y = 2 x - 1$

C. $y = - 2 x$

D. $y = - 2 x + 1$

Xem đáp án

Xét hàm số: $y = x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2$ trên R

Có $y^{'} = 3 x^{2} - 6 x + 5 = 3 {(x - 1)}^{2} + 2 ⩾ 2.$

Dấu “=” xảy ra $x = 1.$

Với $x = 1 \Rightarrow y = 1.$

Vậy đường thẳng cần tìm là: $y - 1 = 2 (x - 1) \Leftrightarrow y = 2 x - 1.$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 10:

Cho hàm số: $y = x^{3} - x^{2} + 1$ . Tìm điểm nằm trên đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại điểm đó có hệ số góc nhỏ nhất.

A. $(0; 1)$

B. $(\frac{2}{3}; \frac{23}{27})$

C. $(\frac{1}{3}; \frac{24}{27})$

D. $(\frac{1}{3}; \frac{25}{27})$

Xem đáp án

Giả sử M(a;b) là điểm thuộc đồ thị hàm sao cho tiếp tuyến $(Δ)$ tại đó có hệ số góc nhỏ nhất là k.

$\Rightarrow (Δ) : y = y^{'} (a) . (x - a) + b$

Do $k_{\min} \Rightarrow (3 a^{2} - 2 a) \min$

Xét $3 (a^{2} - 2. \frac{1}{3} a + \frac{1}{9}) = 3 {(a - \frac{1}{3})}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow 3 a^{2} - 2 a + \frac{1}{3} \geq 0 \Leftrightarrow 3 a^{2} - 2 a \geq \frac{- 1}{3}$

$\Rightarrow k = - \frac{1}{3}$ khi $a = \frac{1}{3} \Rightarrow b = \frac{25}{27}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 11:

Cho hàm số

y = x^{4} - 2 (m + 1) x^{2} + m + 2

có đồ thị (C). Gọi

Δ

là tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ bằng 1. Với giá trị nào của tham số mm thì

Δ

vuông góc với đường thẳng

d : y = - \frac{1}{4} x - 2016

A. $m = - 1$

B. $m = 0$

C. $m = 1$

D. $m = 2$

Xem đáp án

Ta có: $y^{'} = 4 x^{3} - 4 (m + 1) x \Rightarrow y^{'} (1) = - 4 m$

Vì tiếp tuyến $Δ$ vuông góc với đường thẳng d nên

$k . (- \frac{1}{4}) = - 1 \Leftrightarrow k = 4 = y^{'} (1) = - 4 m$

Vậy m thỏa mãn đề bài là $m = - 1$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 12:

Cho hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x - 1} (C)$ Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M và hai trục tọa độ tạo thành tam giác cân.

A. $M (- 2; \frac{5}{3})$ hoặc $M (0; 1)$

B. M(2;3) hoặc M(0;1)

C. $M (- 2; \frac{5}{3})$ hoặc $M (3; \frac{5}{2})$

D. M(2;3) hoặc $M (3; \frac{5}{2})$

Xem đáp án

TXĐ: $D = R ∖ \{1\}$

Ta có: $y^{'} = \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Gọi $M (x_{o}; y_{o})$ là điểm thuộc đồ thị hàm số (C). Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm M là:

$Δ : y = y^{'} (x_{o}) (x - x_{o}) + y_{o} = \frac{- 1}{{(x_{o} - 1)}^{2}} (x - x_{o}) + \frac{2 x_{o} - 1}{x_{o} - 1}$

Gọi $A (x_{A}; 0)$ là giao điểm của $Δ$ và trục $O x; B (0; y_{B})$ là giao điểm của $Δ$ và trục Oy.

$\Rightarrow \{\begin{matrix} x_{A} = 2 x_{0}^{2} - 2 x_{o} + 1 \\ y_{B} = \frac{2 x_{0}^{2} - 2 x_{o} + 1}{{(x_{o} - 1)}^{2}} \end{matrix}$

Theo đề bài ta có tiếp tuyến tại M và hai trục tọa độ tạo thành tam giác cân

⇒ tam giác OAB cân tại O

$\Leftrightarrow O A = O B \Leftrightarrow |x_{A}| = |y_{B}|$

$\Leftrightarrow |2 x_{0}^{2} - 2 x_{o} + 1| = |\frac{2 x_{0}^{2} - 2 x_{o} + 1}{{(x_{o} - 1)}^{2}}| = 0$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} |2 x_{0}^{2} - 2 x_{o} + 1| = 0 \\ 1 - \frac{1}{{(x_{o} - 1)}^{2}} {(x_{o} - 1)}^{2} = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {(x_{o} - 1)}^{2} = 1$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x_{0} = 0 (t m) \\ x_{0} = 2 (t m) \end{matrix}$

Khi đó ta có hai điểm M là: M(0;1) và M(2;3)

Đáp án cần chọn là: B

Câu 13:

Cho hàm số $y = f (x) = \frac{x^{3}}{3} - m x^{2} - 6 m x - 9 m + 12$ có đồ thị hàm số (Cm). Khi tham số m thay đổi, các đồ thị (Cm) đều tiếp xúc với một đường thẳng cố định. Đường thẳng này có phương trình:

A. $y = - 9 x + 9$

B. $y = - 9 x + 15$

C. $y = 9 x + 9$

D. $y = 9 x + 30$

Xem đáp án

Ta có: $y^{'} = x^{2} - 2 m x - 6 m$

Gọi điểm M(x;y) là điểm cố định của đồ thị hàm số.

Khi đó:

$y = f (x) = \frac{x^{3}}{3} - m x^{2} - 6 m x - 9 m + 12 \Leftrightarrow - (x^{2} + 6 x + 9) . m + \frac{x^{3}}{3} + 12 - y = 0, \forall m$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} - (x^{2} + 6 x + 9) = 0 \\ \frac{x^{3}}{3} + 12 - y = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} {(x + 3)}^{2} = 0 \\ \frac{x^{3}}{3} + 12 - y = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = - 3 \\ y = 3 \end{matrix}$

Do đó M(−3;3) là điểm cố định thuộc đồ thị (Cm).

$\Rightarrow y^{'} (- 3) = 9$

Vậy phương trình tiếp tuyến cố định của đồ thị hàm số (Cm) tại M là:

$y = 9 (x + 3) + 3 = 9 x + 30$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 14:

Cho hàm số $y = f (x) = x^{3} + 6 x^{2} + 9 x + 3 (C)$ Tồn tại hai tiếp tuyến của (C) phân biệt và có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox,Oy tương ứng tại A và B sao cho OA=2017.OB. Hỏi có bao nhiêu giá trị của k thỏa mãn yêu cầu bài toán?

A.0

B.1

C.2

D.3

Xem đáp án

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} + 12 x + 9; y^{''} = 6 x + 12 = 0 \Leftrightarrow x = - 2$

Điểm uốn của đồ thị hàm số là U(−2;1)

Xét đường thẳng d đi qua U(−2;1) có phương trình $y = k_{d} (x + 2) + 1$ hay $y = k_{d} x + 2 k_{d} + 1$

d cắt Ox,Oy lần lượt tại $A (- \frac{2 k_{d} + 1}{k_{d}}; 0), B (0; 2 k_{d} + 1)$

$O A = 2017. O B \Leftrightarrow |\frac{2 k_{d} + 1}{k_{d}}| = 2017 |2 k_{d} + 1| \Leftrightarrow k_{d} = \pm \frac{1}{2017}; k_{d} = - \frac{1}{2}$

Nếu $k_{d} = - \frac{1}{2}$ thì $y = - \frac{1}{2} x$ nên $A \equiv B$ (loại)

Khi đó ta có hệ số góc của d là $k_{d} = \pm \frac{1}{2017}$
Do đó có 2 đường thẳng d thỏa mãn

Từ đó suy ra có 2 giá trị k thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 15:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng $y = - 2 x + m$ cắt đồ thị (H) của hàm số $y = \frac{2 x + 3}{x + 2}$ tại hai điểmA, B phân biệt sao cho $P = k_{1}^{2018} + k_{2}^{2018}$ đạt giá trị nhỏ nhất (với $k_{1}, k_{2}$ là hệ số góc của tiếp tuyến tại A, B của đồ thị (H).

A. $m = - 3$

B. $m = - 2$

C. $m = 3$

D. $m = 2$

Xem đáp án

Ta có: $y^{'} = \frac{1}{{(x + 2)}^{2}}$

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d đã cho và (H)

$\begin{array}{l} - 2 x + m = \frac{2 x + 3}{x + 2} \\ \Leftrightarrow (x + 2) (- 2 x + m) = 2 x + 3 \\ \Leftrightarrow - 2 x^{2} + (m - 4) x + 2 m = 2 x + 3 \\ \Leftrightarrow 2 x^{2} + (6 - m) x + 3 - 2 m = 0 (*) \end{array}$

d cắt (H) tại 2 điểm phân biệt ⇔ Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác −2

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} Δ = {(6 - m)}^{2} - 8 (3 - 2 m) > 0 \\ 2. {(- 2)}^{2} + (6 - m) . (- 2) + 3 - 2 m \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m^{2} + 4 m + 12 > 0 \\ - 1 \neq 0 \end{matrix}$ (luôn đúng)

Gọi hoành độ giao điểm hai điểm A,B lần lượt là $x_{1}, x_{2}$ khi đó: $\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = \frac{m - 6}{2} \\ x_{1} x_{2} = \frac{3 - 2 m}{2} \end{matrix}$

Ta có:

$k_{1} . k_{2} = \frac{1}{{(x_{1} + 2)}^{2}} . \frac{1}{{(x_{2} + 2)}^{2}} = \frac{1}{{[(x_{1} + 2) (x_{2} + 2)]}^{2}}$

$= \frac{1}{{[x_{1} x_{2} + 2 (x_{1} + x_{2}) + 4]}^{2}} = \frac{1}{{[\frac{3 - 2 m}{2} + 2. \frac{m - 6}{2} + 4]}^{2}}$

$= \frac{1}{{(\frac{3 - 2 m + 2 m - 12 + 8}{2})}^{2}} = 4$

Khi đó $P = k_{1}^{2018} + k_{2}^{2018} \geq 2 {|k_{1} k_{2}|}^{1009} = {2.4}^{1009} = 2^{2019}$

Dấu “=” xảy ra khi $k_{1} = k_{2} = 2$ hay hai tiếp tuyến tại hai giao điểm song song.

Điều này chỉ xảy ra khi hai giao điểm này đối xứng với nhau qua tâm đối xứng I của đồ thị (H) hay dd đi qua I(−2;2) là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

$\Leftrightarrow I \in d \Leftrightarrow 2 = - 2. (- 2) + m \Leftrightarrow m = - 2$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 16:

Cho hàm số $(C_{m}) : y = x^{3} + m x^{2} - 9 x - 9 m .$ Tìm mm để (Cm) tiếp xúc với Ox:

A. $m = \pm 3$

B. $m = \pm 4$

C. $m = \pm 1$

D. $m = \pm 2$

Xem đáp án

Để đồ thị hàm số (Cm) tiếp xúc với trục Ox thì phương trình hoành độ giao điểm phải có hai nghiệm phân biệt.

Ta có: $y = 0 \Leftrightarrow x^{3} + m x^{2} - 9 x - 9 m = 0 (1)$

\Leftrightarrow (x + m) (x^{2} - 9) = 0

\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - m \\ x = \pm 3 \end{matrix}

Để (1) có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m = \pm 3.$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 17:

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của m để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^{3} - (m - 1) x^{2} + (m - 1) x + 5$ đều có hệ số góc dương. Số phần tử của tập S là:

A.Vô số

B.4

C.3

D.2

Xem đáp án

Gọi $M (x_{0}; y_{0})$ thuộc đồ thị hàm số.

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} - 2 (m - 1) x + m - 1$

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M là

$k = y^{'} (x_{0}) = 3 x_{0}^{2} - 2 (m - 1) x_{0} + m - 1$

Theo bài ra ta có:

$k > 0 \forall x \in ℝ$

$\Leftrightarrow 3 x_{0}^{2} - 2 (m - 1) x_{0} + m - 1 > 0 \forall x \in ℝ$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} 3 > 0 (l u o n d u n g) \\ Δ' = {(m - 1)}^{2} - 3 (m - 1) < 0 \end{matrix} \forall x \in ℝ$

$\Leftrightarrow m^{2} - 2 m + 1 - 3 m + 3 < 0$

$\Leftrightarrow m^{2} - 5 m + 4 < 0$

$\Leftrightarrow 1 < m < 4$

Mà $m \in ℤ \Rightarrow S = \{2; 3\}$

Vậy tập hợp S có 2 phần tử.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 18:

Cho hàm số $y = \frac{2 x - 2}{x - 2}$ có đồ thị là(C), Mlà điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại Mcắt hai đường tiệm cận của (C) tại hai điểm A, B thỏa mãn $A B = 2 \sqrt{5}$ . Gọi S là tổng các hoành độ của tất cả các điểm Mthỏa mãn bài toán. Tìm giá trị của S.

A.6

B.5

C.8

D.7

Xem đáp án

TXĐ: $D = ℝ ∖ \{2\}$ Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận là x = 2 và y = 2

Ta có $y^{'} = \frac{- 2}{{(x - 2)}^{2}}$ . Gọi $M (m; \frac{2 m - 2}{m - 2})$ thuộc đồ thị hàm số.

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại $M : y = \frac{- 2}{{(m - 2)}^{2}} (x - m) + \frac{2 m - 2}{m - 2}$

Cho $x = 2 \Rightarrow y = \frac{- 2}{{(m - 2)}^{2}} (2 - m) + \frac{2 m - 2}{m - 2}$

$\Leftrightarrow y = \frac{2}{m - 2} + \frac{2 m - 2}{m - 2} = \frac{2 m}{m - 2}$

⇒ Giao điểm của d và đường thẳng x = 2 là $A (2; \frac{2 m}{m - 2})$

Cho $y = 2 \Rightarrow \frac{- 2}{{(m - 2)}^{2}} (x - m) + \frac{2 m - 2}{m - 2} = 2$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 2 (x - m) + (2 m - 2) (m - 2) = 2 {(m - 2)}^{2} \\ \Leftrightarrow - 2 x + 2 m + 2 m^{2} - 6 m + 4 = 2 m^{2} - 8 m + 8 \\ \Leftrightarrow 2 x = 4 m - 4 \Leftrightarrow x = 2 m - 2 \end{array}$

⇒ Giao điểm của d và đường thẳng $y = 2$ là $B (2 m - 2; 2)$

Ta có: $A B = 2 \sqrt{5} \Leftrightarrow {(2 m - 4)}^{2} + {(2 - \frac{2 m}{m - 2})}^{2} = 20$

$\Leftrightarrow 4 {(m - 2)}^{2} + \frac{16}{{(m - 2)}^{2}} = 20$

$\Leftrightarrow {(m - 2)}^{4} - 5 {(m - 2)}^{2} + 4 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} {(m - 2)}^{2} = 1 \\ {(m - 2)}^{2} = 4 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 3 \\ m = 1 \\ m = 4 \\ m = 0 \end{matrix}$

Vậy $S = 3 + 1 + 4 + 0 = 8$
Đáp án cần chọn là: C

Câu 19:

Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2 m^{2} x^{2} + m^{4} + 3$ có ba điểm cực trị đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác nội tiếp.

A. $S = \{\frac{- 1}{\sqrt{3}}; 0; \frac{1}{\sqrt{3}}\}$

B. $S = \{- 1; 1\}$

C. $S = \{\frac{- 1}{\sqrt{3}}; \frac{1}{\sqrt{3}}\}$

D. $S = \{\frac{- 1}{\sqrt{2}}; \frac{1}{\sqrt{2}}\}$

Xem đáp án

$y^{'} = 4 x^{3} - 4 m^{2} x; y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm m \end{matrix}$

Để hàm số có 3 cực trị thì phương trình $y^{'} = 0$ có 3 nghiệm, hay $m \neq 0$

Không mất tính tổng quát giả sử 3 điểm cực trị có tọa độ $A (0; m^{4} + 3); B (m; 3); C (- m; 3)$

Ta có $\vec{A C} (- m; - m^{4}); \vec{O C} (- m; 3)$

Tứ giác OBAC có $\{\begin{matrix} A B = A C \\ O B = O C \end{matrix}$

Suy ra OA là đường trung trực của BC.

Để tứ giác OBAC nội tiếp đường tròn thì điểm B, C phải nhìn cạnh OA dưới góc 90⁰.

Khi đó $\vec{A C} . \vec{O C} = 0 \Leftrightarrow m^{2} - 3 m^{4} = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 0 : L \\ m = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} : T / m \end{matrix}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 20:

Cho hàm số $y = x^{4} - 2 m x^{2} + m$ , có đồ thị (C) với m là tham số thực. Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng 1. Tìm m để tiếp tuyến Δ với đồ thị (C) tại A cắt đường tròn $(γ) : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất

A. $\frac{16}{13}$

B. $- \frac{13}{16}$

C. $\frac{13}{16}$

D. $- \frac{16}{13}$

Xem đáp án

Đường tròn $(γ) : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ có tâm $I (0; 1), R = 2$

Ta có $A (1; 1 - m); y^{'} = 4 x^{3} - 4 m x \Rightarrow y^{'} (1) = 4 - 4 m$

Suy ra phương trình $Δ : y = (4 - 4 m) (x - 1) + 1 - m$

Dễ thấy $Δ$ luôn đi qua điểm cố định $F (\frac{3}{4}; 0)$ và điểm F nằm trong đường tròn $(γ)$

Giả sử $Δ$ cắt $(γ)$ tại M, N. Thế thì ta có:

M N = 2 \sqrt{R^{2} - d^{2} (I; Δ)} = 2 \sqrt{4 - d^{2} (I; Δ)}

Do đó MN nhỏ nhất $\Leftrightarrow d (I; Δ)$ lớn nhất $\Leftrightarrow d (I; Δ) = I F \Rightarrow Δ ⊥ I F$

Khi đó đường $Δ$ có 1 vectơ chỉ phương $\vec{u} ⊥ \vec{I F} = (\frac{3}{4}; - 1); \vec{u} = (1; 4 - 4 m)$ nên ta có: $\vec{u} . \vec{I F} = 0 \Leftrightarrow 1. \frac{3}{4} - (4 - 4 m) = 0 \Leftrightarrow m = \frac{13}{16}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 21:

Cho hàm số $y = \frac{1}{6} x^{4} - \frac{7}{3} x^{2}$ có đồ thị hàm số (C). Có bao nhiêu điểm A thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt $M (x_{1}; y_{1}), N (x_{2}; y_{2}) (M, N \neq A)$ thỏa mãn $y_{1} - y_{2} = 4 (x_{1} - x_{2})$ ?

A.3

B.0

C.1

D.2

Xem đáp án

Gọi $A (x_{0}; y_{0}) \in (C) .$

Khi đó tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt

$M (x_{1}; y_{1}), N (x_{2}; y_{2}) (M, N \neq A)$ có hệ số góc là: $k = \frac{y_{1} - y_{2}}{x_{1} - x_{2}} = 4.$

Mặt khác:

$k = f' (x_{0}) \Rightarrow 4 = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{14}{3} x \Leftrightarrow x_{0}^{3} - 7 x_{0} - 6 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x_{0} = - 2 \\ x_{0} = - 1 \\ x_{0} = 3 \end{matrix}$

Kiểm tra lại từng trường hợp $x_{0} = - 2; - 1; 3$ ta thấy trường hợp $x_{0} = 3$ thì tiếp tuyến chỉ có duy nhất 1 điểm chung với đồ thị nên loại.

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D