42 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Câu 1:

[1; 3]

là M = −2. Chọn khẳng định đúng:

A. $f (x) ⩾ - 2, \forall x \in [1; 3]$

B. $f (1) = f (3) = - 2$

C. $f (x) < - 2, \forall x \in [1; 3]$

D. $f (x) ⩽ - 2, \forall x \in [1; 3]$

Xem đáp án

Nếu M = −2 là GTLN của hàm số y = f(x) trên $[1; 3]$ thì $f (x) ⩽ - 2, \forall x \in [1; 3]$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 2:

Cho hàm số f(x) xác định trên $[0; 2]$ và có GTNN trên đoạn đó bằng 5. Chọn kết luận đúng:

A. $f (0) < 5$

B. $f (2) ⩾ 5$

C. $f (1) = 5$

D. $f (0) = 5$

Xem đáp án

GTNN của f(x) trên $[0; 2]$ bằng 5 nên $f (x) ⩾ 5, \forall x \in [0; 2] \Rightarrow f (2) ⩾ 5$ .

Đáp án cần chọn là: B

Câu 3:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2 x + \cos x$ trên đoạn $[0; 1]$ là :

A.−1

B.1

C.π

D.0

Xem đáp án

Ta có $y^{'} = 2 - \sin x > 0 \forall x \in R \Rightarrow$ Hàm số luôn đồng biến trên $[0; 1]$

$\Rightarrow \min_{[0; 1]} y = y (0) = 1$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 4:

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = s i n x$ trên đoạn $[- \frac{π}{2}; - \frac{π}{3}]$ lần lượt là

A. $- \frac{1}{2}; - \frac{\sqrt{3}}{2}$

B. $- \frac{\sqrt{3}}{2}; - 1$

C. $- \frac{\sqrt{3}}{2}; - 2$

D. $- \frac{\sqrt{2}}{2}; - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Ta có $y^{'} = \cos x \Rightarrow y^{'} = 0 \Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π (k \in ℤ)$

Do $x \in [- \frac{π}{2}; - \frac{π}{3}]$ nên $k = - 1$ hay $x = - \frac{π}{2}$

Suy ra

$y (- \frac{π}{2}) = - 1; y (- \frac{π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\{\begin{matrix} \max_{[- \frac{π}{2}; - \frac{π}{3}]} y = - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \min_{[- \frac{π}{2}; - \frac{π}{3}]} y = - 1 \end{matrix}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 5:

Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x - 1 + \frac{4}{x - 1}$ trên khoảng $(1; + \infty)$ . Tìm m?

A. $m = 2$

B. $m = 5$

C. $m = 3$

D. $m = 4$

Xem đáp án

$x > 1 \Leftrightarrow x - 1 > 0$

$\Rightarrow y = x - 1 + \frac{4}{x - 1} \geq 2 \sqrt{(x - 1) . \frac{4}{x - 1}} = 2.2 = 4$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x - 1 = \frac{4}{x - 1} \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} = 4 \Leftrightarrow x = 3$

Vậy GTNN của hàm số là m = 4 khi x = 3.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 6:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ, chọn kết luận đúng:

Media VietJack

A. $\max_{[- 3; 0]} f (x) = f (- 3)$

B. $\min_{[1; 3]} f (x) = - 7$

C. $\min_{(- \infty; 2]} f (x) = - 7$

D. $\max_{[- 1; 1]} f (x) < - 3$

Xem đáp án

Ta có:

$\underset{[- 3; 0]}{+) \max} f (x) = f (0) = - 3$ nên A sai.

+) $\min_{[1; 3]} f (x) = f (2) = - 7$ nên B đúng.

+) Vì $\lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty$ nên không tồn tại $\min_{(- \infty; 2]} f (x)$ nên C sai.

+) $\max_{[- 1; 1]} f (x) = f (0) = - 3$ nên D sai.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 7:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Media VietJack

A. $\max_{x \in ℝ} f (x) = 3$

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 3)$

C. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 2

D. $\min_{x \in [0; 4]} f (x) = - 1$

Xem đáp án

A sai vì y = 3 là giá trị cực đại của hàm số, không phải giá trị lớn nhất.

B sai vì hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; 0), (2; + \infty)$

C sai vì x = 2 là điểm cực tiểu của hàm số không phải giá trị cực tiểu.

D đúng vì trên đoạn $[0; 4]$ thì hàm số đạt GTNN (cũng là giá trị cực tiểu) bằng −1 đạt được tại x = 2.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 8:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau:

Media VietJack

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A.Hàm số đạt cực đại tại x = 3

B.GTNN của hàm số bằng giá trị cực tiểu của hàm số.

C.Hàm số không có GTNN.

D.Hàm số có GTLN là 3.

Xem đáp án

Đáp án A: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y = 3 là giá trị cực đại của hàm số nên A sai.

Đáp án B: GTNN và giá trị cực tiểu của hàm số là y = 0 nên B đúng và C sai.

Đáp án D: Hàm số không có GTLN vì $\lim_{x \to \pm \infty} y = + \infty$ .

Đáp án cần chọn là: B

Câu 9:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định và liên tục trên $ℝ$ , có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số $y = f (x)$ trên đoạn $[- 2; 2]$

A. $m = - 5, M = - 1$

B. $m = - 1, M = 0$

C. $m = - 2, M = 2$

D. $m = - 5, M = 0$

Xem đáp án

Dựa vào đồ thị hàm số ta có: $\{\begin{matrix} m = \underset{[- 2; 2]}{m i n} f (x) = - 5 \\ M = \underset{[- 2; 2]}{m a x} f (x) = - 1 \end{matrix}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 10:

Gọi M,N lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = |x - 3| \sqrt{x + 1}$ trên đoạn $[0; 4]$ . Tính $M + 2 N$ .

A. $\frac{16 \sqrt{3}}{9}$

B. $\frac{256}{27}$

C. 3

D. $\sqrt{5}$

Xem đáp án

Hàm số xác định trên $[0; 4]$

Ta có: $f (x) = |x - 3| \sqrt{x + 1} = \sqrt{(x + 1) {(x - 3)}^{2}}$

Xét hàm số $g (x) = (x + 1) {(x - 3)}^{2}$ trên đoạn $[0; 4]$ ta có:

$g' (x) = {(x - 3)}^{2} + (x + 1) .2 (x - 3)$

$g' (x) = (x - 3) (x - 3 + 2 x + 2)$

$g' (x) = (x - 3) (3 x - 1)$

$g' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 3 \in [0; 4] \\ x = \frac{1}{3} \in [0; 4] \end{matrix}$

Ta có: $g (0) = 9, g (\frac{1}{3}) = \frac{256}{27}, g (3) = 0, g (4) = 5$

Vậy $\{\begin{matrix} M = max_{[0; 4]} f (x) = \sqrt{g (\frac{1}{3})} = \frac{16 \sqrt{3}}{9} \\ N = \underset{[0; 4]}{m i n} f (x) = \sqrt{g (0)} = 0 \end{matrix} \Rightarrow M + 2 N = \frac{16 \sqrt{3}}{9}$
Đáp án cần chọn là: A

Câu 11:

Hàm số nào dưới đây có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định?

A. $y = x^{3} - 3 x + 2$

B. $y = - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 1$

C. $y = x^{4} - 2 x^{2} - 1$

D. $y = - x^{4} + 4 x^{2}$

Xem đáp án

Các hàm số đã cho đều có TXĐ: $D = ℝ$

Ta có:

$\begin{array}{l} \lim_{x \to - \infty} (x^{3} - 3 x + 2) = - \infty \\ \lim_{x \to + \infty} (- 2 x^{3} + 3 x^{2} - 1) = - \infty \\ \lim_{x \to \pm \infty} (x^{4} - 2 x^{2} - 1) = + \infty \\ \lim_{x \to \pm \infty} (- x^{4} + 4 x^{2}) = - \infty \end{array}$

Do đó, hàm số có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định là $y = x^{4} - 2 x^{2} - 1$
Đáp án cần chọn là: C

Câu 12:

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101

Trên đoạn $[0; 3],$ hàm số $y = - x^{3} + 3 x$ đạt giá trị lớn nhất tại điểm

A. $x = 0$

B. $x = 3$

C. $x = 1$

D. $x = 2$

Xem đáp án

Khảo sát hàm số $y = - x^{3} + 3 x$ trên $[0; 3]$

$y^{'} = - 3 x^{2} + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$

+ BBT:

⇒ Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 1.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 13:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ:

Media VietJack

Tìm điều kiện của tham số mm để $m < f (x) + x^{2}$ với mọi $x \in (1; 2) .$

A. $m \leq f (2) + 4$

B. $m < f (1) + 1$

C. $m < f (2) + 4$

D. $m \leq f (1) + 1$

Xem đáp án

Đặt $g (x) = f (x) + x^{2}$ ta có $m < g (x) \forall x \in (1; 2) \Leftrightarrow m \leq \min_{[1; 2]} g (x)$

Ta có $g^{'} (x) = f^{'} (x) + 2 x$ với $x \in (1; 2)$

Ta có $\{\begin{matrix} f' (x) > 0 \\ 2 x > 0 \end{matrix} \Rightarrow g' (x) > 0 \forall x \in (1; 2)$

⇒ hàm số g(x) đồng biến trên (1;2).

$\Rightarrow \min_{[1; 2]} g (x) = g (1) = f (1) + 1$

Vậy $m \leq f (1) + 1$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 14:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x - 1$ trên đoạn $[2; 4]$

A.M = −10

B.M = −7

C.M = −5

D.M = 1

Xem đáp án

$y' = 3 x^{2} - 10 x + 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 3 \in [2; 4] \\ x = \frac{1}{3} \notin [2; 4] \end{matrix}$

$f (2) = - 7, f (3) = - 10, f (4) = - 5$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x - 1$ trên đoạn $[2; 4]$ là M = −5

Đáp án cần chọn là: C

Câu 15:

Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = x^{5} - 5 x^{4} + 5 x^{3} + 1$ trên đoạn $[- 1; 2]$

A. $\min_{x \in [- 1; 2]} y = - 10, \max_{x \in [- 1; 2]} y = 2$

B. $\min_{x \in [- 1; 2]} y = - 2, \max_{x \in [- 1; 2]} y = 10$

C. $\min_{x \in [- 1; 2]} y = - 10, \max_{x \in [- 1; 2]} y = - 2$

D. $\min_{x \in [- 1; 2]} y = - 7, \max_{x \in [- 1; 2]} y = 1$

Xem đáp án

Ta có:

$y' = 5 x^{4} - 20 x^{3} + 15 x^{2} = 0 \Leftrightarrow 5 x^{2} (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \in [- 1; 2] \\ x = 1 \in [- 1; 2] \\ x = 3 \notin [- 1; 2] \end{matrix}$

$f (- 1) = - 10, f (0) = 1, f (1) = 2, f (2) = - 7$

Vậy giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm trên $[- 1; 2]$ lần lượt là 22 và −10

Đáp án cần chọn là: A

Câu 16:

Giá trị lớn nhất của hàm số $f (x) = \frac{6 - 8 x}{x^{2} + 1}$ trên tập xác định của nó là:

A. -2

B. $\frac{2}{3}$

C. 8

D. 10

Xem đáp án

TXĐ: $D = R$

Ta có: $f^{'} (x) = \frac{8 x^{2} - 12 x - 8}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = - \frac{1}{2}$

$\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to - \infty} y = 0$

Bảng biến thiên

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là y = 8 tại $x = - \frac{1}{2}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 17:

Gọi giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y = x^{4} + 2 x^{2} - 1$ trên đoạn $[- 1; 2]$ lần lượt là M và m. Khi đó giá trị của M.m là:

A.−2

B.46

C.−23

D.23

Xem đáp án

TXĐ: $D = R$

Ta có: $y^{'} = 4 x^{3} + 4 x \Rightarrow y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 0 \in [- 1; 2]$

$f (- 1) = 2, f(0) = - 1, f(2) = 23$
Ta thấy GTLN và GTNN lần lượt là $M = 23, m = - 1 \Rightarrow M . m = 23. (- 1) = - 23$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 18:

Cho hàm số

y = x + \frac{1}{x} .

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng

(0; + \infty)

là:

A.2

B.−3

C.5

D.10

Xem đáp án

TXĐ: $R ∖ \{0\}$

$y^{'} = 1 - \frac{1}{x^{2}} = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow \frac{x^{2} - 1}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 (t m)$ hoặc $x = - 1 (k t m)$

Bảng biến thiên:

$\Rightarrow \underset{x \in (0; + \infty)}{M i n} y = f (1) = 2$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 19:

Cho hàm số $y = \frac{2 m x + 1}{m - x} .$ . Giá trị lớn nhất của hàm số trên $[2; 3]$ bằng $\frac{- 1}{3}$ khi m bằng:

A.−5

B.0

C.5

D.

\frac{5}{2}

Xem đáp án

$D = ℝ ∖ \{m\} \Rightarrow m \notin [2; 3]$

$\begin{array}{l} y = \frac{2 m x + 1}{- x + m} \\ \Rightarrow y^{'} = \frac{2 m (- x + m) + 1. (2 m x + 1)}{{(- x + m)}^{2}} = \frac{2 m^{2} + 1}{{(- x + m)}^{2}} > 0, \forall x \in [2; 3] \end{array}$

Hàm số luôn đồng biến trên $[2; 3]$

$\begin{array}{l} \Rightarrow M a x y = f (3) = \frac{6 m + 1}{m - 3} \\ M a x y = \frac{- 1}{3} \Leftrightarrow \frac{6 m + 1}{m - 3} = \frac{- 1}{3} \Leftrightarrow 18 m + 3 = - m + 3 \Leftrightarrow 19 m = 0 \Leftrightarrow m = 0 (T M D K) \end{array}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 20:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 6$ , giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $[0; 3]$ bằng 2 khi:

A. $m = 2$

B. $m = \frac{31}{27}$

C. $m > \frac{3}{2}$

D. $m = 1$

Xem đáp án

TXĐ: $D = ℝ$

$y^{'} = 3 x^{2} - 6 m x .$

Ta có: $y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y = 6 \\ x = 2 m \Rightarrow y = - 4 m^{3} + 6 \end{matrix}$

Xét TH1: m=0. Hàm số đồng biến trên $[0; 3] \Rightarrow \underset{[0; 3]}{M i n} y = y (0) = 6 \Rightarrow$ loại.

Xét TH2: $m ⩾ \frac{3}{2} \Rightarrow 2 m \geq 3 > 0$ Khi đó, hàm số nghịch biến trên $[0; 3] \subset [0; 2 m]$
$\Rightarrow \underset{[0; 3]}{M i n} y = y (3) = 33 - 27 m = 2 \Rightarrow m = \frac{31}{27} < \frac{3}{2}$ (loại)

Xét TH3: $\frac{3}{2} > m > 0 \Rightarrow 3 > 2 m > 0$ thì đồ thị hàm số có điểm cực đại là (0;6) và điểm cực tiểu là $(2 m, - 4 m^{3} + 6) .$
Khi đó , GTNN trên $[0; 3]$ là $y (2 m) = - 4 m^{3} + 6$

$\Rightarrow - 4 m^{3} + 6 = 2 \Leftrightarrow m^{3} = 1 \Leftrightarrow m = 1$ (thỏa mãn)

Xét TH4: $m < 0 \Rightarrow (0; 6)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số và trên $[0; 3]$ hàm số đồng biến.
$\Rightarrow y_{m i n} = 6 \Rightarrow$ loại.

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 21:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $ℝ$ và có đồ thị như hình dưới. Gọi a,A lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của f(x+1) trên đoạn $[- 1; 0] .$ Giá trị $a + A$ bằng:

Media VietJack

A.−1

B.2

C.0

D.3

Xem đáp án

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: $\{\begin{matrix} a = \underset{[0; 1]}{M i n} f (t) = 0 k h i t = 0 \Rightarrow x = - 1 \\ A = \underset{[0; 1]}{M a x} f (t) = 3 k h i t = 1 \Rightarrow x = 0 \end{matrix}$

$\Rightarrow a + A = 0 + 3 = 3.$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 22:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên đoạn $[- 1; 4]$ và có đồ thị như hình vẽ

Media VietJack

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn $[- 10; 10]$ để bất phương trình $| f (x) + m | < 2 m$ đúng với mọi x thuộc đoạn $[- 1; 4] ?$

A.6

B.5

C.7

D.8

Xem đáp án

Ta có: $|f (x) + m| < 2 m$

$\Leftrightarrow - 2 m < f (x) + m < 2 m$

$\Leftrightarrow - 3 m < f (x) < m$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} - 3 m < \underset{[- 1; 4]}{m i n} f (x) \\ \underset{[- 1; 4]}{m a x} f (x) < m \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} - 3 m < - 2 \\ 3 < m \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m > \frac{2}{3} \\ m > 3 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow m > 3$

Kết hợp điều kiện đề bài $\Rightarrow m \in (3; 10], m \in ℤ \Rightarrow m \in \{4; 5; 6; 7; 8; 9; 10\}$

Vậy có 7 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 23:

Một sợi dây kim loại dài a(cm) . Người ta cắt sợi dây đó thành hai đoạn, trong đó một đoạn có độ dài x(cm) được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông $(a > x > 0) .$ Tìm x để hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất.

Media VietJack

A. $x = \frac{a}{π + 4} (cm)$

B. $x = \frac{2 a}{π + 4} (cm)$

C. $x = \frac{π a}{π + 4} (cm)$

D. $x = \frac{4 a}{π + 4} (cm)$

Xem đáp án

Do x là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn $(0 < x < a) .$ Suy ra chiều dài đoạn còn lại là a − x.

Gọi r là bán kính của đường tròn. Chu vi đường tròn: $2 π r = x \Rightarrow r = \frac{x}{2 π}$
Do đó diện tích hình tròn là: $S_{1} = π . r^{2} = \frac{x^{2}}{4 π}$

Chu vi hình vuông là $a - x \Rightarrow$ Cạnh hình vuông là $\frac{a - x}{4}$ Do đó diện tích hình vuông:

$S_{2} = {(\frac{a - x}{4})}^{2}$

Tổng diện tích hai hình:

$\begin{array}{l} S = \frac{x^{2}}{4 π} + {(\frac{a - x}{4})}^{2} \\ = \frac{4 x^{2} + π {(a - x)}^{2}}{16 π} \\ = \frac{(4 + π) . x^{2} - 2 a π x + π a^{2}}{16 π} \end{array}$

Xét hàm số $S (x) = \frac{(4 + π) . x^{2} - 2 a π x + π a^{2}}{16 π}$ ta có:

$S^{'} (x) = \frac{2 (4 + π) . x - 2 a π}{16 π} = \frac{(4 + π) . x - a π}{8 π}$

Cho $S^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow (4 + π) x - a π = 0 \Leftrightarrow x = \frac{a π}{4 + π}$ Ta có BBT như sau :

Suy ra hàm S chỉ có một cực trị và là cực tiểu tại $x = \frac{a π}{4 + π}$

Do đó S đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = \frac{a π}{4 + π}$
Đáp án cần chọn là: C

Câu 24:

Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2 s i n^{2} x - c o s x + 1$ . Khi đó, giá trị của tổng $M + m$ bằng:

A. $\frac{25}{8}$

B. $\frac{25}{6}$

C. $\frac{25}{2}$

D. $\frac{25}{4}$

Xem đáp án

$\begin{array}{l} y = 2 \sin^{2} x - \cos x + 1 \\ \Rightarrow y = 2 (1 - \cos^{2} x) - \cos x + 1 \\ \Rightarrow y = - 2 \cos^{2} x - \cos x + 3 \end{array}$

Đặt $\cos x = t (- 1 \leq t \leq 1)$ hàm số trở thành: $y = - 2 t^{2} - t + 3.$

Bảng biến thiên:

Media VietJack

Từ BBT ta suy ra $M = \frac{25}{8}, m = 0$

Vậy $M + m = \frac{25}{8}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 25:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $ℝ$ có đồ thị $y = f' (x)$ như hình vẽ. Đặt $g (x) = 2 f (x) - x^{2}$ . Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số g(x) trên đoạn $[- 2; 4]$ là:

Media VietJack

A.g(−2).

B.g(2).

C.g(4).

D.g(0).

Xem đáp án

Ta có $g (x) = 2 f (x) - x^{2} \Rightarrow g^{'} (x) = 2 f^{'} (x) - 2 x$

Cho $g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow f^{'} (x) = x (1)$

Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

$y = f^{'} (x); y = x .$

Vẽ đường thẳng $y = x$ và đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ trên cùng hệ trục tọa độ:

Media VietJack

Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hai hàm số

y = f^{'} (x); y = x

cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ là

- 2; 2; 4.

\Rightarrow g' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - 2 \\ x = 2 \\ x = 4 \end{matrix}

Bảng biến thiên đồ thị hàm số $y = g (x)$

Media VietJack

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số g(x) trên đoạn $[- 2; 4]$ là g(2).

Đáp án cần chọn là: B

Câu 26:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên $ℝ$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Xét hàm số $g (x) = f (x^{3} + 2 x) + m$ . Giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số g(x) trên đoạn $[0; 1]$ bằng 9 là:

Media VietJack

A.m=10

B.m=6

C.m=12

D.m=8

Xem đáp án

Ta có : $g^{'} (x) = (3 x^{2} + 2) . f^{'} (x^{3} + 2 x)$

$g' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} 3 x^{2} + 2 = 0 \\ f' (x^{3} + 2 x) = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow f' (x^{3} + 2 x) = 0$ (Do phương trình $3 x^{2} + 2 = 0$ vô nghiệm).

Từ đồ thị hàm số f(x) đã cho ta có

$f' (x^{3} + 2 x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x^{3} + 2 x = 0 \\ x^{3} + 2 x = 2 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = x_{0} \approx 0, 77 \end{matrix}$

Hàm số g(x) trên đoạn $[0; 1]$ có :

$\begin{array}{l} g (0) = f (0) + m = m + 1 \\ g (x_{0}) = f (2) + m = m - 3 \\ g (1) = f (3) + m = m + 1 \end{array}$

Do đó, $\max_{[0; 1]} g (x) = g (0) = g (1) = m + 1$

Theo giả thiết, giá trị lớn nhất của hàm số g(x) trên $[0; 1]$ bằng 9 nên $m + 1 = 9 \Leftrightarrow m = 8$

Vậy m = 8.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 27:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f (1 - 2 c o s x)$ trên Giá trị của M + m bằng

Media VietJack

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{3}{2}$

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Đặt $t = 1 - 2 \cos x$ Với $x \in [0; \frac{3 π}{2}]$ thì $\cos x \in [- 1; 1] \Rightarrow 1 - 2 \cos x \in [- 1; 3] \Rightarrow t \in [- 1; 3] .$

Khi đó ta có $y = f (t)$ với $t \in [- 1; 3]$

Quan sát đồ thị hàm số

y = f (t)

trên đoạn

[- 1; 3]

ta thấy GTLN của hàm số là 2,

GTNN của hàm số là $- \frac{3}{2}$

$\Rightarrow M = 2, m = - \frac{3}{2} \Rightarrow M + m = \frac{1}{2}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 28:

Có bao nhiêu số nguyên $m \in [- 5; 5]$ để $\underset{[1; 3]}{m i n} ∣ x^{3} - 3 x^{2} + m ∣ \geq 2.$

A.6

B.4

C.3

D.5

Xem đáp án

Xét hàm số $y = f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + m$ trên $[1; 3]$ có

f' (x) = 3 x^{2} - 6 x, f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 (L) \\ x = 2 \end{matrix}

Bảng biến thiên:

Media VietJack

$\underset{[1; 3]}{m i n} ∣ x^{3} - 3 x^{2} + m ∣ \geq 2 \Rightarrow [\begin{matrix} m - 4 > 0 \\ m < 0 \end{matrix}$

TH1: $m - 4 > 0 \Leftrightarrow m > 4$

$\min_{[1; 3]} |x^{3} - 3 x^{2} + m| \geq 2 \Leftrightarrow m - 4 \geq 2 \Leftrightarrow m \geq 6$

Mà: $m \in [- 5; 5] \Rightarrow m \in \emptyset$

TH2: m < 0

$\min_{[1; 3]} |x^{3} - 3 x^{2} + m| \geq 2 \Leftrightarrow - m \geq 2 \Leftrightarrow m \leq - 2$

Mà $m \in [- 5; 5], m \in ℤ \Rightarrow m \in \{- 5; - 4; - 3; - 2\}$ :4 giá trị

Đáp án cần chọn là: B

Câu 29:

Cho hai số thực x,y thỏa mãn

x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 4 + \sqrt{y^{2} + 6 y + 10} = \sqrt{6 + 4 x - x^{2}}

. Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T = |\sqrt{x^{2} + y^{2}} - a| .

Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn

[- 10; 10]

của tham số aa để

M \geq 2 m

?

A.17.

B.16.

C.15.

D.18.

Xem đáp án

Ta có $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 4 + \sqrt{y^{2} + 6 y + 10} = \sqrt{6 + 4 x - x^{2}}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 4 + \sqrt{y^{2} + 6 y + 10} - \sqrt{6 + 4 x - x^{2}} = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 4 + \frac{(\sqrt{y^{2} + 6 y + 10} - \sqrt{6 + 4 x - x^{2}}) (\sqrt{y^{2} + 6 y + 10} + \sqrt{6 + 4 x - x^{2}})}{\sqrt{y^{2} + 6 y + 10} + \sqrt{6 + 4 x - x^{2}}} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 4 + \frac{y^{2} + 6 y + 10 - 6 - 4 x + x^{2}}{\sqrt{y^{2} + 6 y + 10} + \sqrt{6 + 4 x - x^{2}}} = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 4 + \frac{x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 4}{\sqrt{y^{2} + 6 y + 10} + \sqrt{6 + 4 x - x^{2}}} = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow (x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 4) (1 + \frac{1}{\sqrt{y^{2} + 6 y + 10} + \sqrt{6 + 4 x - x^{2}}}) = 0$

$1 + \frac{1}{\sqrt{y^{2} + 6 y + 10} + \sqrt{6 + 4 x - x^{2}}} > 0$

$\Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$

Phương trình ${(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$ là phương trình đường tròn (C) tâm I(2;−3) và bán kính $R = 3.$

Gọi $N (x; y) \in (C)$ ta suy ra $O N = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ suy ra $T = |O N - a|$

Gọi A,B là giao điểm của đường tròn (C) và đường thẳng OI.

Khi đó $O A = O I - R = \sqrt{13} - 3$ và $O B = O I + R = \sqrt{13} + 3$

Suy ra $\sqrt{13} - 3 \leq \sqrt{x^{2} + y^{2}} \leq \sqrt{13} + 3$

TH1: Nếu

\sqrt{13} - 3 \leq a \leq \sqrt{13} + 3

thì

|\sqrt{x^{2} + y^{2}} - a| \geq 0 \Rightarrow \min T = 0 \Rightarrow M \geq 2 m \Rightarrow a \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}

TH2: Nếu

a < \sqrt{13} - 3 \Rightarrow a < \sqrt{13}

nên

|\sqrt{13} + 3 - a| > |\sqrt{13} - 3 - a|

, do đó

M = |\sqrt{13} + 3 - a|; m = |\sqrt{13} - 3 - a|

Vì

M \geq 2 m \Rightarrow |\sqrt{13} + 3 - a| \geq 2 |\sqrt{13} - 3 - a|

\Leftrightarrow {(\sqrt{13} + 3 - a)}^{2} - {(2 \sqrt{13} - 6 - 2 a)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow \sqrt{13} - 9 \leq a \leq \sqrt{13} - 1 \Rightarrow a \in \{- 5; - 4; - 3; - 2; - 1; 0\}

TH3: Nếu

a > \sqrt{13} + 3 \Rightarrow a > \sqrt{13}

nên

|\sqrt{13} + 3 - a| < |\sqrt{13} - 3 - a|

do đó

m = |\sqrt{13} + 3 - a|; M = |\sqrt{13} - 3 - a|

Vì

M \geq 2 m \Rightarrow |\sqrt{13} - 3 - a| \geq 2 |\sqrt{13} + 3 - a|

\Leftrightarrow {(\sqrt{13} - 3 - a)}^{2} - {(2 \sqrt{13} + 6 - 2 a)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow \sqrt{13} + 1 \leq a \leq \sqrt{13} + 9 \Rightarrow a \in \{7; 8; 9; 10\}

Vậy có 16 giá trị của a thỏa mãn đề bài.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 30:

Cho f(x) mà đồ thị hàm số $y = f' (x)$ như hình vẽ bên

Media VietJack

Bất phương trình $f (x) > s i n \frac{π x}{2} + m$ nghiệm đúng với mọi $x \in [- 1; 3]$ khi và chỉ khi:

A. $m < f (0)$

B. $m < f (1) - 1$

C. $m < f (- 1) + 1$

D. $m < f (2)$

Xem đáp án

$f (x) > s i n \frac{π x}{2} + m \forall x \in [- 1; 3] \Leftrightarrow g (x) = f (x) - s i n \frac{π x}{2} > m \forall x \in [- 1; 3] \Rightarrow m < \underset{[- 1; 3]}{m i n} g (x)$

Từ đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ ta suy ra BBT đồ thị hàm số $y = f (x)$ như sau:

Dựa vào BBT ta thấy $f (x) \geq f (1) \forall x \in [- 1; 3]$

$\begin{array}{l} x \in [- 1; 3] \Rightarrow \frac{π x}{2} \in [- \frac{π}{2}; \frac{3 π}{2}] \Rightarrow - 1 \leq \sin \frac{π x}{2} \leq 1 \\ \Leftrightarrow - 1 \leq - \sin \frac{π x}{2} \leq 1 \end{array}$

$\Rightarrow f (1) - 1 \leq f (x) - \sin \frac{π x}{2} \Leftrightarrow g (x) \geq f (1) - 1 \Rightarrow \min_{[- 1; 3]} g (x) = f (1) - 1$

Vậy $m < f (1) - 1$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 31:

Cho $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 4 x + 5} - \frac{x^{2}}{4} + x$ Gọi $M = \underset{x \in [0; 3]}{M a x} f (x); m = \underset{x \in [0; 3]}{M i n} f (x)$ Khi đó M − m bằng:

A. 1

B. $\frac{3}{5} .$

C. $\frac{7}{5} .$

D. $\frac{9}{5} .$

Xem đáp án

Ta có:

$\begin{array}{l} f (x) = \frac{1}{x^{2} - 4 x + 5} - \frac{x^{2}}{4} + x \\ f (x) = \frac{1}{x^{2} - 4 x + 5} - \frac{x^{2} - 4 x}{4} \end{array}$

Đặt $t = x^{2} - 4 x + 5$ với $x \in [0; 3]$ ta có $t^{'} = 2 x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in [0; 3]$

Ta có: $t (0) = 5; t (2) = 1, t (3) = 2$

⇒ Với $x \in [0; 3]$ thì $t \in [1; 5]$ khi đó hàm số trở thành $f (t) = \frac{1}{t} - \frac{t - 5}{4}$ với $t \in [1; 5]$

Ta có: $f^{'} (t) = - \frac{1}{t^{2}} - \frac{1}{4} < 0 \forall t \in [1; 5]$

⇒ Hàm số $y = f (t)$ nghịch biến trên $[1; 5]$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} \underset{[0; 3]}{m a x} f (x) = \underset{[1; 5]}{m a x} f (t) = f (1) = 2 = M \\ \underset{[0; 3]}{m i n} f (x) = \underset{[1; 5]}{m i n} f (t) = f (5) = \frac{1}{5} = m \end{matrix}$

Vậy $M - m = 2 - \frac{1}{5} = \frac{9}{5}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 32:

Cho hàm số f(x). Biết hàm số f′(x) có đồ thị như hình dưới đây. Trên đoạn $[- 4; 3],$ hàm số $g (x) = 2 f (x) + {(1 - x)}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm Media VietJack

A.x = −1.

B.x = −4.

C.x = −3.

D.x = 3.

Xem đáp án

Ta có: $g^{'} (x) = 2 f^{'} (x) - 2 (1 - x) = 2 [f^{'} (x) - (1 - x)]$

Xét $g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow f^{'} (x) = 1 - x$ số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ và đường thẳng $y = 1 - x$

Ta biểu diễn đường thẳng $y = 1 - x$ trên hình vẽ:

Media VietJack

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f' (x) = 1 - x \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - 4 \\ x = - 1 \\ x = 3 \end{matrix}$

Từ đó, ta suy ra bảng xét dấu g′(x) như sau:

Vậy hàm số đạt GTNN tại x=−1

Đáp án cần chọn là: A

Câu 33:

Cho hàm số

y = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (m^{2} - 1) x + 2020

. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng

(0; + \infty) .

A.2

B.1

C.Vô số

D.3

Xem đáp án

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} - 6 m x + 3 (m^{2} - 1)$

Cho $y^{'} = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 m x + 3 (m^{2} - 1) = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1 = 0$

Ta có

= m^{2} - m^{2} + 1 = 1 > 0

khi đó phương trình

y^{'} = 0

có 2 nghiệm phân biệt

[\begin{matrix} x_{1} = m + 1 \\ x_{2} = m - 1 \end{matrix}

Ta có BBT:

Media VietJack

Ta có:

$\begin{array}{l} f (m - 1) = m^{3} - 3 m + 2022 \\ f (m + 1) = m^{3} - 3 m + 2018 \end{array}$

TH1: $0 < m - 1 \Leftrightarrow m > 1$

Ta có: $f (0) = 2020$

Để hàm số có GTNN trên $(0; + \infty)$ thì

$f (m + 1) \leq f (0) \Leftrightarrow m^{3} - 3 m + 2018 \leq 2020 \Leftrightarrow m^{3} - 3 m - 2 \leq 0$

Xét hàm số $f (m) = m^{3} - 3 m - 2$ ta có $f^{'} (m) = 3 m^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1$

BBT:

Media VietJack

Dựa vào BT ta thấy $f (m) \leq 0 \Leftrightarrow m \leq 2$

Kết hợp điều kiện $\Rightarrow 1 < m \leq 2$

TH2: $m - 1 \leq 0 < m + 1 \Leftrightarrow - 1 < m \leq 1$ khi đó hàm GTNN của hàm số trên $(0; + \infty)$ là $f (m + 1)$

Kết hợp 2 trường hợp ta có:

[\begin{matrix} 1 < m \leq 2 \\ - 1 < m \leq 1 \end{matrix}

.Mà

m \in ℤ \Rightarrow m \in \{0; 1; 2\}

Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 34:

Cho x,y là các số thực thỏa mãn $2^{x + y - 1} (3^{x + y} + 1) = 3 x + 3 y + 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x^{2} + x y + y^{2}$ .

A. 1

B. $\frac{3}{4}$

C. $- \frac{3}{4}$

D. 0

Xem đáp án

Ta có:

$\begin{array}{l} 2^{x + y - 1} (3^{x + y} + 1) = 3 x + 3 y + 1 \\ \Leftrightarrow 2^{x + y} (3^{x + y} + 1) = 6 x + 6 x + 2 \\ \Leftrightarrow 6^{x + y} + 2^{x + y} = 6 (x + y) + 2 \end{array}$

Đặt $x + y = t$ phương trình trở thành $6^{t} + 2^{t} = 6 t + 2 \Leftrightarrow 6^{t} + 2^{t} - 6 t - 2 = 0$

Xét hàm số $f (t) = 6^{t} + 2^{t} - 6 t - 2$ ta có:

$\begin{array}{l} f^{'} (t) = 6^{t} . \ln 6 + 2^{t} . \ln 2 - 6 \\ f^{''} (t) = 6^{t} \ln^{2} 6 + 2^{t} . \ln^{2} 2 > 0 \forall t \in ℝ \end{array}$

Do đó hàm số $y = f^{'} (t)$ đồng biến trên $ℝ$ , suy ra phương trình f′(t)=0f′(t)=0 có nhiều nhất 1 nghiệm.

Suy ra phương trình $f (t) = 0$ có nhiều nhất 2 nghiệm.

Ta lại có: $\{\begin{matrix} f (0) = 6^{0} + 2^{0} - 6.0 - 2 = 0 \\ f (1) = 6^{1} + 2^{1} - 6.1 - 2 = 0 \end{matrix}$ do đó phương trình $f (t) = 0$ có đúng hai nghiệm $t = 0, t = 1$

$\Leftarrow [\begin{matrix} x + y = 0 \\ x + y = 2 \end{matrix}$

TH1: $x + y = 0 \Rightarrow y = - x$

Thay vào P ta có: $P = x^{2} + x y + y^{2} = x^{2} \geq 0$

TH2: $x + y = 1 \Leftrightarrow y = 1 - x$

Thay vào P ta có:

$\begin{array}{l} P = x^{2} + x (1 - x) + {(1 - x)}^{2} \\ = x^{2} - x + 1 \\ = {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} \end{array}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 0, đạt được khi $x + y = 0$
Đáp án cần chọn là: D

Câu 35:

Cho các số thực x,y thay đổi thỏa mãn $x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y = 1$ và hàm số $f (t) = t^{4} - t^{2} + 2$ . Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $Q = f (\frac{x + y + 1}{x + 2 y - 2})$ Tính M+m?

A. $8 \sqrt{3} - 2$

B. $\frac{303}{2}$

C. $\frac{303}{4}$

D. $4 \sqrt{3} + 2$

Xem đáp án

Ta có: $x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y = 1 \Leftrightarrow {(x + y)}^{2} + y^{2} = 1$

Đặt $\{\begin{matrix} x + y = s i n α \\ y = c o s α \end{matrix}$ Ta có $Q = f (\frac{x + y + 1}{x + 2 y - 2}) = f (\frac{\sin α + 1}{\sin α + cos α - 2})$

Đặt $t = \frac{\sin α + 1}{\sin α + cos α - 2}$ Ta có $Q = f (\frac{\sin α + 1}{\sin α + cos α - 2}) = f (t)$

$\begin{array}{l} t = \frac{\sin α + 1}{\sin α + cos α - 2} (α \in ℝ) \\ \Leftrightarrow t \sin α + t cos α - 2 t = \sin α + 1 \Leftrightarrow (t - 1) \sin α + t cos α = 2 t + 1 \end{array}$ (*)

Để phương trình (*) tồn tại nghiệm $α$ thì ${(t - 1)}^{2} + t^{2} \geq {(2 t + 1)}^{2}$

$\Leftrightarrow t^{2} - 2 t + 1 + t^{2} \geq 4 t^{2} + 4 t + 1 \Leftrightarrow 2 t^{2} + 6 t \leq 0 \Leftrightarrow - 3 \leq t \leq 0$

Xét $Q = f (t) = t^{4} - t^{2} + 2$ trên đoạn $[- 3; 0]$ có:

$f' (t) = 4 t^{3} - 2 t, f' (t) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} t = 0 \\ t = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} \end{matrix}$

Hàm số $f (t)$ liên tục trên $[- 3; 0]$ có $f (- 3) = 74, f (- \sqrt{\frac{1}{2}}) = \frac{7}{4}, f (0) = 2$

$\Rightarrow \min_{[- 3; 0]} f (t) = \frac{7}{4}, \max_{[- 3; 0]} f (t) = 74$

⇒M + m

= \frac{7}{4} + 74 = \frac{303}{4}

Đáp án cần chọn là: C

Câu 36:

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ có đồ thị là (C). Gọi $M (x_{M}; y_{M})$ là một điểm bất kỳ trên (C). Khi tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất,

tính tổng $x_{M} + y_{M}$ .

A. 1

B. $2 - 2 \sqrt{2}$

C. $2 \sqrt{2} - 1$

D. $2 - \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đặt $M (x; \frac{x + 1}{x - 1}) \in (C) .$

Khi đó ta có: $\{\begin{matrix} d (M; O x) = | y M | = |\frac{x + 1}{x - 1}| \\ d (M; O y) = | x M | = | x | \end{matrix}$

Tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là $S = |x| + |\frac{x + 1}{x - 1}| \geq |x + \frac{x + 1}{x - 1}| .$

Dấu bằng xảy ra khi $x . \frac{x + 1}{x - 1} \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x > 1 \\ - 1 \leq x \leq 0 \end{matrix}$

Đặt $f (x) = x + \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x^{2} + 1}{x - 1}$

$\Rightarrow f' (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x - 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 - \sqrt{2} \\ x = 1 + \sqrt{2} \end{matrix}$

Bảng biến thiên:

Media VietJack

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $|x + \frac{x + 1}{x - 1}| \geq |2 - 2 \sqrt{2}| = 2 \sqrt{2} - 2.$

Dấu bằng xảy ra khi $x = 1 - \sqrt{2} \Rightarrow y = 1 - \sqrt{2} \Rightarrow x_{M} + y_{M} = 2 - 2 \sqrt{2} .$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 37:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị $y = f' (x)$ như hình vẽ. Xét hàm số $g (x) = f (x) - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x + 2018$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Media VietJack

A. $\min_{[- 3; 1]} g (x) = g (- 1)$

B. $\min_{[- 3; 1]} g (x) = g (1)$

C. $\min_{[- 3; 1]} g (x) = g (- 3)$

D. $\min_{[- 3; 1]} g (x) = \frac{g (- 3) + g (1)}{2}$

Xem đáp án

Ta có:

$g (x) = f (x) - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x + 2018 \Rightarrow g^{'} (x) = f^{'} (x) - x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{3}{2}$

Căn cứ vào đồ thị $y = f^{'} (x)$ ta có: $\{\begin{matrix} f' (- 1) = - 2 \\ f' (1) = 1 \\ f' (- 3) = 3 \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} g' (- 1) = 0 \\ g' (1) = 0 \\ g' (- 3) = 0 \end{matrix}$

Media VietJack

Ngoài ra, vẽ đồ thị (P) của hàm số $y = x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{3}{2}$ trên cùng hệ trục tọa độ như hình vẽ bên (đường nét đứt), ta thấy (P) đi qua các điểm $(- 3; 3), (- 1; - 2), (1; 1)$ với đỉnh $I (- \frac{3}{4}; - \frac{33}{16})$

- Trên khoảng (−1;1) thì $f^{'} (x) > x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{3}{2}$ nên $g^{'} (x) > 0 \forall x \in (- 1; 1)$

- Trên khoảng (−3;−1) thì $f^{'} (x) < x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{3}{2}$ nên $g^{'} (x) < 0 \forall x \in (- 3; - 1)$

Từ những nhận định trên, ta có bảng biến thiên của hàm $y = g^{'} (x)$ trên $[- 3; 1]$ như sau:

Media VietJack

Vậy $\min_{[- 3; 1]} g (x) = g (- 1)$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 38:

Hàm số $y = {(x + m)}^{3} + {(x + n)}^{3} - x^{3}$ (tham số m;n) đồng biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 4 (m^{2} + n^{2}) - m - n$ bằng

A. -16

B. 4

C. $\frac{- 1}{16}$

D. $\frac{1}{4}$

Xem đáp án

Ta có

$y^{'} = 3 {(x + m)}^{2} + 3 {(x + n)}^{2} - 3 x^{2} = 3 [x^{2} + 2 (m + n) x + m^{2} + n^{2}]$

Hàm số đồng biến trên $(- \infty; + \infty) \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a > 0 \\ Δ' \leq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow m n \leq 0$

TH1: $m n = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 0 \\ n = 0 \end{matrix}$

Do vai trò của m,n là như nhau nên ta chỉ cần xét trường hợp m = 0

$\Rightarrow P = 4 n^{2} - n = {(2 n - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16} \geq - \frac{1}{16} (1)$

TH2: $m n < 0 \Leftrightarrow m > 0; n < 0$ (do vai trò của m,n như nhau).

Ta có: $P = {(2 m - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16} + 4 n^{2} + (- n) > - \frac{1}{16} (2)$

Từ (1),(2) ta có $P_{\min} = - \frac{1}{16}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $m = \frac{1}{8}; n = 0$ hoặc $m = 0; n = \frac{1}{8}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 39:

Nhà xe khoán cho hai tài xế ta-xi An và Bình mỗi người lần lượt nhận 32 lít và 72 lít xăng. Hỏi tổng số ngày ít nhất là bao nhiêu để hai tài xế chạy tiêu thụ hết số xăng của mình được khoán, biết rằng chỉ tiêu cho hai người một ngày tổng cộng chỉ chạy đủ hết 10 lít xăng?

A.20 ngày.

B.15 ngày.

C.10 ngày

D.25 ngày

Xem đáp án

Gọi x là số lít xăng mà An đã dùng trong một ngày. Với $0 < x < 10$

⇒10 − x là số lít xăng mà Bình đã dùng trong một ngày.

Khi đó

+ Để An tiêu thụ hết 32 lít xăng cần $\frac{32}{x}$ ngày.

+ Để Bình tiêu thụ hết 72 lít xăng cần $\frac{72}{10 - x}$ ngày.

Vậy tổng số ngày chạy xe của hai tài xế là

$y = \frac{32}{x} + \frac{72}{10 - x} \Rightarrow y^{'} = - \frac{32}{x^{2}} + \frac{72}{{(10 - x)}^{2}} \Rightarrow y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 4$

Bảng biến thiên:

Media VietJack

Nhìn bảng biến thiên ta thấy tổng số ngày chạy xe ít nhất của hai tài xế là 20 ngày.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 40:

Cô An đang ở khách sạn A bên bờ biển, cô cần đi du lịch đến hòn đảo C. Biết rằng khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là 10km, khoảng cách từ khách sạn A đến điểm B trên bờ gần đảo C nhất là 50km. Từ khách sạn A, cô An có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy để đến hòn đảo C (như hình vẽ bên). Biết rằng chi phí đi đường thủy là 5 USD/km, chi phí đi đường bộ là 3USD/km. Hỏi cô An phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu km để chi phí là nhỏ nhất.

Media VietJack

A. $\frac{15}{2} (km)$

B. $\frac{85}{2} (km)$

C. 50 km

D. $10 \sqrt{26} (km)$

Xem đáp án

Gọi AD là quãng đường cô An đi đường bộ.

Đặt $D B = x (km) (0 \leq x \leq 50) \Rightarrow A D = 50 - x (km)$

Chi phí của cô An: $f (x) = (50 - x) 3 + \sqrt{x^{2} + 10^{2}} .5 (USD)$

f(x) liên tục trên $[0; 50]$

Ta có: $f^{'} (x) = - 3 + 5. \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 100}} = \frac{- 3 \sqrt{x^{2} + 100} + 5 x}{\sqrt{x^{2} + 100}}$

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow - 3 \sqrt{x^{2} + 100} + 5 x = 0 \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x \geq 0 \\ 9 (x^{2} + 100) = 25 x^{2} \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} x \geq 0 \\ x^{2} = \frac{9.100}{16} \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x \geq 0 \\ x = \frac{15}{2} \end{matrix}$

Ta có $f (0) = 200; f (50) = 50 \sqrt{26}; f (\frac{15}{2}) = 190$

Để chi phí ít nhất thì $x = \frac{15}{2}$

Vậy cô An phải đi đường bộ một khoảng: $A D = 50 - \frac{15}{2} = \frac{85}{2} (km)$ để chi phí ít nhất.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 41:

Ông Bình đặt thợ làm một bể cá, nguyên liệu bằng kính trong suốt, không có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật có thể tích chứa được $220500 c m^{3}$ nước. Biết tỉ lệ giữa chiều cao và chiều rộng của bể bằng 3. Xác định diện tích đáy của bể cá để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất.

A. $2220 {cm}^{2}$

B. $1880 {cm}^{2}$

C. $2100 {cm}^{2}$

D. $2200 {cm}^{2}$

Xem đáp án

Gọi $a, b, c > 0$ lần lượt là chiều rộng, dài, cao của hình hộp chữ nhật.

Theo đề $V = a b c = 220500$ và $c = 3 a \Rightarrow 3 a^{2} b = 220500 \Rightarrow a b = \frac{73500}{a}$

Ta có: $S_{t p} = a b + 2 a c + 2 b c = a b + 6 a^{2} + 6 a b = 7 a b + 6 a^{2}$

$= \frac{514500}{a} + 6 a^{2} = 6 (\frac{42875}{a} + \frac{42875}{a} + a^{2})$

$S_{t p} = 6 (\frac{42875}{a} + \frac{42875}{a} + a^{2}) \geq 6.3 \sqrt[3]{\frac{42875}{a} . \frac{42875}{a} . a^{2}} = 22050.$

Suy ra $S_{t p}$ nhỏ nhất khi $\frac{42875}{a} = a^{2} \Leftrightarrow a = 35 \Rightarrow b = 60 \Rightarrow S_{} = 2100 {cm}^{2}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 42:

Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2.000.000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê. Mỗi một căn hộ không thuê nữa (bỏ trống) thì công ty lại phải tăng số tiền thuê của những căn hộ còn lại thêm 50.000 đồng. Công ty đã tìm ra phương án cho thuê đạt lợi nhuận lớn nhất. Hỏi thu nhập cao nhất công ty có thể đạt được trong một tháng là bao nhiêu?

A.115.250.000 đồng

B.101.250.000 đồng

C.100.000.000 đồng

D.100.250.000 đồng

Xem đáp án

Ở tháng thu nhập của công ty cao nhất, gọi số căn hộ bị bỏ trống là x thì số tiền thuê mỗi phòng là $2.000.000 + 50.000 x$ khi đó số tiền thu được là

$f (x) = (2.000.000 + 50.000 x) (50 - x) = - 50.000 x^{2} + 500.000 x + 100.000.000$

Ta cần tìm $x \in (0; 50)$ để f(x) lớn nhất.

Ta có $f^{'} (x) = - 100.000 x + 500.000, f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 5$

Bảng biến thiên:

Media VietJack

Vậy mỗi tháng lợi nhuận cao nhất thu được của công ty là 101.250.000

Đáp án cần chọn là: B