10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 3: Nhận biết góc phẳng của góc nhị diện và tính góc phẳng nhị diện có đáp án

Câu 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc phẳng nhị diện [S, BC, A] là

A. $\hat{S B A}$

B. $\hat{S C A}$

C. $\hat{A S C}$

D. $\hat{A S B}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc phẳng nhị diện [S, BC, A] là (ảnh 1)

Vì SA ^ (ABCD) ⇒ SA ^ BC.

Ta có: $\{\begin{cases} B C ⊥ A B \\ B C ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A B) \Rightarrow B C ⊥ S B$ .

Khi đó:

\{\begin{cases} (S B C) \cap (A B C) = B C \\ S B ⊥ B C \\ A B ⊥ B C \end{cases} \Rightarrow [S, B C, A] = \hat{S B A}

.

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABC có SA ^ (ABC), đáy ABC là tam giác đều cạnh a và $S A = \frac{3 a}{2}$ . Tính số đo góc phẳng nhị diện [S, BC, A].

A. 60°;

B. 90°;

C. 30°;

D. 45°.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Cho hình chóp S.ABC có SA ^ (ABC), đáy ABC là tam giác đều cạnh a (ảnh 1)

Gọi I là trung điểm BC ⇒ AI ^ BC (vì ABC là tam giác đều) (1).

Vì SA ^ (ABC) ⇒ SA ^ BC (2).

Từ (1) và (2) ⇒ BC ^ (SAI) ⇒ BC ^ SI.

Khi đó: $\{\begin{cases} (S B C) \cap (A B C) = B C \\ S I ⊥ B C \\ A I ⊥ B C \end{cases} \Rightarrow [S, B C, A] = \hat{S I A}$ .

Mà DABC đều cạnh a nên $A I = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Xét DSAI vuông tại A, ta có: $tan \hat{S I A} = \frac{S A}{A I} = \sqrt{3} \Rightarrow \hat{S I A} = 60 °$ .

Câu 3:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao hình chóp bằng $\frac{a}{2 \sqrt{3}}$ . Số đo của góc phẳng nhị diện [S, BC, A] bằng

A. 60°;

B. 75°;

C. 30°;

D. 45°.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao hình chóp (ảnh 1)

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và I là trung điểm của BC. Suy ra OI ^ BC.

Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ^ (ABCD) và $S O = \frac{a}{2 \sqrt{3}}$ .

Và SC = SB nên tam giác SBC cân tại S ⇒ SI ^ BC.

Ta có: $S O = \frac{a}{2 \sqrt{3}} \Rightarrow [S, B C, A] = \hat{S I O}$ .

Ta có: OI là đường trung bình tam giác ABC nên $\Rightarrow [S, B C, A] = \hat{S I O}$ .

Xét DSIO vuông tại O, ta có: $\tan \hat{S I O} = \frac{S O}{O I} = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \hat{S I O} = 30 °$ .

Vậy số đo góc phẳng nhị diện [S, BC, A] bằng 30°.

Câu 4:

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau và $O B = O C = a \sqrt{6}$ , OA = a. Tính số đo của góc phẳng nhị diện [O, BC, A].

A. 60°;

B. 30°;

C. 45°;

D. 90°.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau và OB=OC= a căn 6 , OA = a. Tính số đo của góc phẳng nhị diện [O, BC, A]. (ảnh 1)

Gọi I là trung điểm của BC.

Vì DOBC vuông cân tại O ⇒ OI ^ BC (1).

Vì OA ^ OB và OA ^ OC nên OA ^ (OBC) ⇒ OA ^ BC (2).

Từ (1) và (2), suy ra BC ^ (AOI) ⇒ BC ^ AI

Khi đó: $\{\begin{cases} (O B C) \cap (A B C) = B C \\ B C ⊥ A I \\ B C ⊥ O I \end{cases} \Rightarrow [O, B C, A] = \hat{O I A}$ .

Và $O I = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} \sqrt{O B^{2} + O C^{2}} = a \sqrt{3}$ .

Xét DOAI vuông tại O, ta có: $O I = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} \sqrt{O B^{2} + O C^{2}} = a \sqrt{3}$ .

Vậy [O, BC, A] = 30°.

Câu 5:

Hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính cosin của góc phẳng nhị diện [S, BC, A].

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{\sqrt{6}}{3}$

C. $\frac{\sqrt{6}}{3}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính cosin của góc phẳng nhị diện [S, BC, A]. (ảnh 1)

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và I trung điểm của BC. Suy ra OI ^ BC.

Khi đó: SO ^ (ABCD) ⇒ SO ^ BC mà OI ^ BC nên BC ^ (SOI) ⇒ BC ^ SI.

Ta có: $\{\begin{cases} (S B C) \cap (A B C) = B C \\ B C ⊥ S I \\ B C ⊥ O I \end{cases} \Rightarrow [S, B C, A] = \hat{S I O}$ .

Và DSCD đều cạnh a ⇒ $S I = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

OI là đường trung bình của DACB ⇒ $O I = \frac{a}{2}$ .

Xét DSOI vuông tại O, ta có: $\cos \hat{S I O} = \frac{O I}{S I} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Câu 6:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, AD = a, DSAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi j là góc phẳng nhị diện [S, BC, A]. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. j = 60°;

B.

\tan φ = \frac{\sqrt{3}}{4}

;

C. j = 30°;

D.

\tan φ = \frac{\sqrt{3}}{4}

.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, AD = a, DSAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đá (ảnh 1)

Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AD, BC.

Vì DSAD đều nên SH ^ AD mà (SAD) ^ (ABCD) ⇒ SH ^ (ABCD) ⇒ SH ^ BC.

Lại có HK ^ BC nên BC ^ (SHK) ⇒ BC ^ SK.

Ta có: $\{\begin{cases} (S B C) \cap (A B C) = B C \\ H K ⊥ B C \\ S K ⊥ B C \end{cases} \Rightarrow [S, B C, A] = \hat{S K H} = φ$ .

Vì DSAD đều cạnh a nên $S H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ và HK = AB = 2a

Xét DSHK vuông tại H, ta có:

$\tan φ = \tan \hat{S K H} = \frac{S H}{H K} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

Câu 7:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông cân tại B, AB = BC = a, $S A = a \sqrt{3}$ , SA ^ (ABC). Số đo của góc phẳng nhị diện [S, BC, A] là

A. 90°;

B. 30°;

C. 45°;

D. 60°.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông cân tại B, AB = BC = a, SA= a căn3 , SA ^ (ABC). Số đo của góc phẳng nhị diện [S, BC, A] là (ảnh 1)

Vì SA ^ (ABC) ⇒ SA ^ BC.

Mà BC ^ AB (do DABC vuông cân tại B). Suy ra BC ^ (SAB) ⇒ BC ^ SB.

Khi đó: $\{\begin{cases} (S B C) \cap (A B C) = B C \\ B C ⊥ A B \\ B C ⊥ S B \end{cases} \Rightarrow [S, B C, A] = \hat{S B A}$

Xét DSAB vuông tại A, ta có: $\tan \hat{S B A} = \frac{S A}{A B} = \frac{a \sqrt{3}}{a} = \sqrt{3} \Rightarrow \hat{S B A} = 60 °$ .

Câu 8:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy và $S A = \frac{a \sqrt{6}}{6}$ . Khi đó số đo của góc phẳng nhị diện [S, BD, A] là

A. 30°;

B. 75°;

C. 60°;

D. 45°.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy và SA= a căn 6/6. Khi đó số đo của góc phẳng nhị diện [S, BD, A] là (ảnh 1)

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Suy ra O là trung điểm của AC và BD.

Vì ABCD là hình vuông nên AO ^ BD.

Vì SA ^ (ABCD) ⇒ SA ^ BD mà AO ^ BD nên BD ^ (SOA) ⇒ BD ^ SO.

Khi đó: $\{\begin{cases} (S B D) \cap (A B D) = B D \\ O A ⊥ B D \\ S O ⊥ B D \end{cases} \Rightarrow [S, B D, A] = \hat{S O A}$ .

Xét DABC vuông tại B, có $A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = a \sqrt{2} \Rightarrow A O = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Xét DSOA vuông tại A, ta có: $\tan \hat{S O A} = \frac{S A}{O A} = \frac{\frac{a \sqrt{6}}{6}}{\frac{a \sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \hat{S O A} = 30 °$

Vậy góc phẳng nhị diện [S, BD, A] bằng 30°.

Câu 9:

Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi j là góc phẳng nhị diện [B, SD, C]. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $\tan φ = \sqrt{2}$

B. $\tan φ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $\tan φ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

D. $\tan φ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Câu 10:

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 4a, AD = 3a. Các cạnh bên đều có độ dài 5a. Góc nhị diện [S, BC, A] có số đo là

A. 75°46';

B. 71°21';

C. 68°31';

D. 65°12'.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 4a, AD = 3a. Các cạnh bên đều có độ dài 5a. Góc nhị diện [S, BC, A] có số đo là (ảnh 1)

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Suy ra O là trung điểm của AC và BD.

Vì SA = SC nên DSAC cân tại S, SO là trung tuyến nên SO ^ AC (1).

Vì SB = SD nên DSBD cân tại S, SO là trung tuyến nên SO ^ BD (2).

Từ (1) và (2), suy ra SO ^ (ABCD).

Gọi M là trung điểm của BC.

Ta có OM là đường trung bình của DABC ⇒ $O M = \frac{A B}{2} = 2 a$ .

Xét DABC vuông tại B, có $A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{16 a^{2} + 9 a^{2}} = 5 a$ .

Vì O là trung điểm AC nên $A O = C O = \frac{A C}{2} = \frac{5 a}{2}$ .

Xét DSOA vuông tại O, có $S O = \sqrt{S A^{2} - A O^{2}} = \sqrt{25 a^{2} - \frac{25 a^{2}}{4}} = \frac{5 \sqrt{3} a}{2}$ .

Vì SO ^ (ABCD) ⇒ SO ^ BC mà OM ^ BC ⇒ BC ^ (SOM) ⇒ BC ^ SM.

Khi đó $\begin{array}{l} (S B C) \cap (A B C) = B C \\ O M ⊥ B C \\ S M ⊥ B C \end{array}\} \Rightarrow [S, B C, A] = \hat{S M O}$ .

Xét DSOM vuông tại O,

\tan \hat{S M O} = \frac{S O}{O M} = \frac{\frac{5 \sqrt{3} a}{2}}{2 a} = \frac{5 \sqrt{3}}{4} \Rightarrow \hat{S M O} = 65 ° 12^{'}

.