22 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 4. Phương trình lượng giác đối xứng

Câu 1:

Giải phương trình sinx-cosx+14sinxcosx=1

Đặt $t = \sin x - \cos x (- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}) \Rightarrow \sin x \cos x = \frac{1 - t^{2}}{2} .$

Khi đó phương trình (1) trở thành $t + 7 (1 - t^{2}) = 1 \Leftrightarrow 7 t^{2} - t - 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - \frac{6}{7} \end{array} .$

- Nếu $t = 1$ thì $\sin x - \cos x = 1 \Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{4}) = \sin \frac{π}{4} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k 2 π \\ x = π + k 2 π \end{array} (k \in ℤ) .$

- Nếu $t = - \frac{6}{7}$ thì $\sin x - \cos x = \frac{- 6}{7}$

$\Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{- 3 \sqrt{2}}{7} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + \arcsin \frac{- 3 \sqrt{2}}{7} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{4} - \arcsin \frac{- 3 \sqrt{2}}{7} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ) .$

Vậy phương trình đã cho có 4 họ nghiệm $x = \frac{π}{2} + k 2 π; x = π + k 2 π$

$x = \frac{π}{4} + \arcsin \frac{- 3 \sqrt{2}}{7} + k 2 π; x = \frac{5 π}{4} - \arcsin \frac{- 3 \sqrt{2}}{7} + k 2 π (k \in ℤ) .$

Câu 2:

Giải phương trình $\sin^{3} x + \cos^{3} x + 1 = \frac{3}{2} \sin 2 x . (2)$

Xem đáp án

$(2) \Leftrightarrow 1 + (\sin x + \cos x) (\sin^{2} x - \sin x \cos x + \cos^{2} x) = 3 \sin x \cos x$

$\Leftrightarrow 1 + (\sin x + \cos x) (1 - \sin x \cos x) = 3 \sin x \cos x . (*)$

Đặt $t = \sin x + \cos x (- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}) \Rightarrow \sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2} .$

Khi đó phương trình (*) trở thành $1 + t (1 - \frac{t^{2} - 1}{2}) = 3. \frac{t^{2} - 1}{2}$

$\Leftrightarrow t^{3} + 3 t^{2} - 3 t - 5 = 0 \Leftrightarrow (t + 1) (t^{2} + 2 t - 5) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 \\ t = - 1 - \sqrt{6} < - \sqrt{2} \\ t = - 1 + \sqrt{6} > \sqrt{2} \end{array} \Rightarrow t = - 1.$

Suy ra $\sin x + \cos x = - 1 \Leftrightarrow \sqrt{2} c o s (x - \frac{π}{4}) = - 1$

$\Leftrightarrow c o s (x - \frac{π}{4}) = c o s \frac{3 π}{4} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = π + k 2 π \\ x = \frac{- π}{2} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ) .$

Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm $x = π + k 2 π; x = \frac{- π}{2} + k 2 π (k \in ℤ) .$

Câu 3:

Cho phương trình $- \sqrt{2} (\sin x + \cos x) + 2 \sin x \cos x + 1 = 0$ . Đặt $t = \sin x + \cos x,$ ta được phương trình nào dưới đây?

A.

t^{2} + \sqrt{2} t = 0.

B.

t^{2} + \sqrt{2} t + 2 = 0.

C.

t^{2} - \sqrt{2} t = 0.

D.

t^{2} - \sqrt{2} t - 2 = 0.

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình $- \sqrt{2} (\sin x + \cos x) + 2 \sin x \cos x + 1 = 0 (1)$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Đặt $t = \sin x + \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) .$

Ta có

\sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2} \Rightarrow (1) \Leftrightarrow t^{2} - \sqrt{2} t = 0.

Câu 4:

Nếu $(1 + \sin x) (1 + \cos x) = 2$ thì $c o s (x - \frac{π}{4})$ nhận giá trị là

A. -1

B. 1.

C.

- \frac{\sqrt{2}}{2} .

D.

\frac{\sqrt{2}}{2} .

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình $(1 + \sin x) (1 + \cos x) = 2$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $(1 + \sin x) (1 + \cos x) = 2 \Leftrightarrow \cos x + \sin x + \sin x \cos x = 1.$

Đặt $t = \sin x + \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) .$

Ta có $\sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2} (1) \Rightarrow t^{2} + 2 t - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - 3 \end{array} .$

Do $|t| \leq \sqrt{2}$ nên $t = 1.$

Với $t = 1,$ ta có $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \cos (x - \frac{π}{4}) = 1 \Leftrightarrow \cos (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Câu 5:

Phương trình sinx-cosx+2sin2x+1=0 có nghiệm là

A.

[\begin{array}{l} x = k 2 π \\ x = \frac{3 π}{2} + k 2 π \end{array}, k \in ℤ .

B.

[\begin{array}{l} x = k π \\ x = \frac{3 π}{2} + k π \end{array}, k \in ℤ .

C.

x = \frac{3 π}{2} + k 2 π, k \in ℤ .

D. Vô nghiệm.

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình $\sin x - \cos x + 2 \sin 2 x + 1 = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $\sin x - \cos x + 2 \sin 2 x + 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x - \cos x + 4 \sin x \cos x + 1 = 0. (1)$

Đặt $t = \sin x - \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) .$

Ta có $\sin x \cos x = \frac{1 - t^{2}}{2} \Rightarrow (1) \Leftrightarrow t + 2 (1 - t^{2}) + 1 = 0 \Leftrightarrow 2 t^{2} - t - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 \\ t = \frac{3}{2} \end{array} .$

Do $|t| \leq \sqrt{2}$ nên $t = - 1.$

Với $t = - 1,$ ta có $t = \sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = - 1 \Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin \frac{- π}{4}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - \frac{π}{4} = - \frac{π}{4} + k 2 π \Leftrightarrow x = k 2 π \\ x - \frac{π}{4} = π - \frac{- π}{4} + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{3 π}{2} + k 2 π \end{array}, k \in ℤ .$

Câu 6:

Cho phương trình sin2x-2(sinx-cosx)-2=0 Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là

A.

x = \frac{π}{2} .

B. x=0

C.

x = \frac{3 π}{2} .

D.

x = \frac{5 π}{6} .

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình $\sin 2 x - 2 (\sin x - \cos x) - 2 = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $\sin 2 x - 2 (\sin x - \cos x) - 2 = 0 \Leftrightarrow 2 (\sin x - \cos x) - 2 \sin x \cos x + 2 = 0. (1)$

Đặt $t = \sin x - \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) .$ Ta có $\sin x \cos x = \frac{1 - t^{2}}{2}$

$\Rightarrow (1) \Leftrightarrow 2 t - (1 - t^{2}) + 2 = 0 \Leftrightarrow t^{2} + 2 t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - 1.$

Với $t = - 1,$ ta có $t = \sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = - 1 \Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin \frac{- π}{4}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - \frac{π}{4} = - \frac{π}{4} + k 2 π \Leftrightarrow x = k 2 π \\ x - \frac{π}{4} = π - \frac{- π}{4} + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{3 π}{2} + k 2 π \end{array}, k \in ℤ .$

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là $x = \frac{3 π}{2} .$

Câu 7:

Phương trình sin2xx+2(cosx-sinx)-1=0 có nghiệm là

A.

x = \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ .

B.

x = \frac{π}{4} + k 2 π, k \in ℤ .

C.

x = - \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ .

D. Vô nghiệm.

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình $\sin 2 x + 2 (\cos x - \sin x) - 1 = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $\sin 2 x + 2 (\cos x - \sin x) - 1 = 0 \Leftrightarrow 2 \sin x \cos x - 2 (\sin x - \cos x) - 1 = 0. (1)$

Đặt $t = \sin x - \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) .$ Ta có $\sin x \cos x = \frac{1 - t^{2}}{2}$

$\Rightarrow (1) \Leftrightarrow 1 - t^{2} - 2 t - 1 = 0 \Leftrightarrow t^{2} + 2 t = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 0 \\ t = - 2 \end{array} .$

Do $|t| \leq \sqrt{2}$ nên $t = 0.$

Với $t = 0,$ ta có $t = \sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 0 \Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{4}) = 0 \Leftrightarrow x - \frac{π}{4} = k π \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ .$

Câu 8:

Cho phương trình $\sqrt{2} (\sin x + \cos x) = \tan x + \cot x .$ Nếu $t = \sin x + \cos x$ thì giá trị của t thỏa mãn $|t| \leq \sqrt{2}$ là

A. -1

B.

\sqrt{2} .

C.

- \sqrt{2} .

D.

- \frac{\sqrt{2}}{2} .

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình $\sqrt{2} (\sin x + \cos x) = \tan x + \cot x$ có nghĩa $\Leftrightarrow \{\begin{cases} \cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{π}{2} + k π \\ \sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k π \end{cases} \Leftrightarrow x \neq k \frac{π}{2} .$

Ta có $\sqrt{2} (\sin x + \cos x) = \tan x + \cot x$

$\Leftrightarrow \sqrt{2} (\sin x + \cos x) = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} \Leftrightarrow \sqrt{2} (\sin x + \cos x) = \frac{1}{\sin x \cos x} . (1)$

Đặt $t = \sin x + \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) .$ Ta có $\sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2}$

$\Rightarrow (1) \Leftrightarrow \sqrt{2} t = \frac{2}{t^{2} - 1} \Leftrightarrow \sqrt{2} t^{3} - \sqrt{2} t - 2 = 0 (t \neq 1) \Leftrightarrow t = \sqrt{2} .$

Câu 9:

Cho phương trình sin2x+4(sinx-cosx)-5 Số nghiệm của phương trình thỏa mãn

0 < x < π

là

A. 1.

B. 0.

C. 2.

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình $\sin 2 x + 4 (\sin x - \cos x) - 5 = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $\sin 2 x + 4 (\sin x - \cos x) - 5 = 0 \Leftrightarrow 4 (\sin x - \cos x) + 2 \sin x \cos x - 5 = 0. (1)$

Đặt $t = \sin x - \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) .$ Ta có $\sin x \cos x = \frac{1 - t^{2}}{2}$

$\Rightarrow (1) \Leftrightarrow 4 t + 1 - t^{2} - 5 = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 4 t + 4 = 0 \Leftrightarrow t = 2$ (loại).

Vậy phương trình vô nghiệm hay không có nghiệm thỏa mãn $0 < x < π .$

Câu 10:

Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A. $\sqrt{3} \sin 2 x - c o s 2 x = 2.$

B. $\sin 2 x - \sin x + \cos x = 1.$

C.

\sin x = c o s \frac{π}{4} .

D. $\sqrt{3} \sin x - \cos x = - 3.$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình $\sqrt{3} \sin x - \cos x = - 3$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có ${(\sqrt{3})}^{2} + {(- 1)}^{2} < (- 3^{2}) .$

Vậy phương trình vô nghiệm.

Câu 11:

Cho x thỏa mãn phương trình

\sin 2 x + \sin x - \cos x = 1.

Giá trị lớn nhất tìm được của

\sin (x - \frac{π}{4})

là

A. 0.

B.

\frac{\sqrt{2}}{2} .

C.

\frac{1}{2} .

D. 1.

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình $\sin 2 x + \sin x - \cos x = 1$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $\sin 2 x + \sin x - \cos x = 1 \Leftrightarrow \sin x - \cos x + 2 \sin x \cos x - 1 = 0. (1)$

Đặt $t = \sin x - \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) .$ Ta có $\sin x \cos x = \frac{1 - t^{2}}{2}$

$\Rightarrow (1) \Leftrightarrow t + 1 - t^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow t^{2} - t = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = 0 \end{array} .$

Với $t = 1,$ ta có $t = \sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 1 \Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Với $t = 0,$ ta có $t = \sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 0 \Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{4}) = 0.$

Vậy giá trị lớn nhất của $\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Câu 12:

Số họ nghiệm của phương trình sin2x-sinx+cosx-1=0 là

A. 4.

B. 3.

C. 2.

D. 1

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình $\sin 2 x - \sin x + \cos x - 1 = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $\sin 2 x - \sin x + \cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x - \cos x - 2 \sin x \cos x + 1 = 0. (1)$

Đặt $t = \sin x - \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) .$ Ta có $\sin x \cos x = \frac{1 - t^{2}}{2}$

$\Rightarrow (1) \Leftrightarrow t - (1 - t^{2}) + 1 = 0 \Leftrightarrow t^{2} + t = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 \\ t = 0 \end{array} .$

Với $t = - 1,$ ta có $t = \sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = - 1 \Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin \frac{- π}{4}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - \frac{π}{4} = - \frac{π}{4} + k 2 π \Leftrightarrow x = k 2 π \\ x - \frac{π}{4} = π - \frac{- π}{4} + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{3 π}{2} + k 2 π \end{array}, k \in ℤ .$

Với $t = 0,$ ta có $t = \sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 0 \Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{4}) = 0 \Leftrightarrow x - \frac{π}{4} = k π \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ .$

Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.

Câu 13:

Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A.

4 (\sin x - \cos x) + \sin 2 x - 5 = 0.

B. $2 \cos^{2} x - \cos x - 1 = 0.$

C.

2 (\sin x - \cos x) - \sin 2 x + 2 = 0.

D. $3 \sin x - 2 = 0.$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình $4 (\sin x - \cos x) + \sin 2 x - 5 = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $4 (\sin x - \cos x) + \sin 2 x - 5 = 0 \Leftrightarrow 4 (\sin x - \cos x) + 2 \sin x \cos x - 5 = 0.$ (1)

Đặt $t = \sin x - \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) .$ Ta có $\sin x \cos x = \frac{1 - t^{2}}{2}$

$\Rightarrow (1) \Leftrightarrow 4 t + 1 - t^{2} - 5 = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 4 t + 4 = 0 \Leftrightarrow t = 2$ (loại).

Vậy phương trình vô nghiệm.

Câu 14:

Nghiệm âm lớn nhất của phương trình

\sin x + \cos x = 1 - \frac{1}{2} \sin 2 x

là

A.

x = - \frac{π}{6} .

B.

x = - \frac{π}{2} .

C.

x = - \frac{3 π}{2} .

D.

x = - \frac{5 π}{6} .

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình $\sin x + \cos x = 1 - \frac{1}{2} \sin 2 x$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $\sin x + \cos x = 1 - \frac{1}{2} \sin 2 x \Leftrightarrow \sin x + \cos x + \sin x \cos x - 1 = 0. (1)$

Đặt $t = \sin x + \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) .$ Ta có $\sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2}$

$\Rightarrow (1) \Leftrightarrow t + \frac{t^{2} - 1}{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow t^{2} + 2 t - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - 3 \end{array} .$

Do $|t| \leq \sqrt{2}$ nên $t = 1.$

Với $t = 1,$ ta có $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) = 1 \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin \frac{π}{4}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + k 2 π \Leftrightarrow x = k 2 π \\ x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π \end{array}, k \in ℤ .$

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là $x = - \frac{3 π}{2} .$

Câu 15:

Số nghiệm của phương trình

2 \sqrt{2} (\sin x + \cos x) - \sin 2 x - 3 = 0

thỏa mãn điều kiện

π < x < 5 π

là

A. 1.

B. 0.

C. 3.

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình $2 \sqrt{2} (\sin x + \cos x) - \sin 2 x - 3 = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $2 \sqrt{2} (\sin x + \cos x) - \sin 2 x - 3 = 0 \Leftrightarrow 2 \sqrt{2} (\sin x + \cos x) - 2 \sin x \cos x - 3 = 0. (1)$

Đặt $t = \sin x + \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) .$ Ta có $\sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2}$

$\Rightarrow (1) \Leftrightarrow 2 \sqrt{2} t - (t^{2} - 1) - 3 = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 2 \sqrt{2} t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = \sqrt{2} .$

Với $t = \sqrt{2},$ ta có $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{4}) = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k 2 π, k \in ℤ$ .

Do $x \in [π; 5 π]$ nên $x = \frac{9 π}{4}; x = \frac{17 π}{4} .$

Vậy có 2 nghiệm thỏa mãn đề bài.

Câu 16:

Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm?

A.

\sqrt{3} \sin x = 2.

B.

\frac{1}{4} c o s 4 x = \frac{1}{2} .

C.

2 \sqrt{2} (\sin x + \cos x) + \sin 2 x + 3 = 0.

D.

\cot^{2} x - \cot x + 5 = 0.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\sqrt{3} \sin x = 2 \Leftrightarrow \sin x = \frac{2}{\sqrt{3}} > 1 \Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm.

Ta có $\frac{1}{4} \cos 4 x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos 4 x = 2 > 1 \Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm.

Ta có

Δ = {(- 1)}^{2} - 4.1.5 = - 19 < 0 \Rightarrow

Phương trình vô nghiệm.

Câu 17:

Điều kiện để phương trình $\sqrt{2} (\sin x + \cos x) + m - 2 = 0$ có nghiệm là

A.

m \leq 0.

B. Không có giá trị nào của m.

C.

m \geq 4.

D.

0 \leq m \leq 4.

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình $\sqrt{2} (\sin x + \cos x) + m - 2 = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $\sqrt{2} (\sin x + \cos x) + m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = - \sqrt{2} (\sin x + \cos x) + 2.$

Có $- \sqrt{2} \leq \sin x + \cos x \leq \sqrt{2} \Leftrightarrow - 2 \leq \sqrt{2} (\sin x + \cos x) \leq 2$

$\Leftrightarrow - 2 \leq - \sqrt{2} (\sin x + \cos x) \leq 2 \Leftrightarrow 0 \leq - \sqrt{2} (\sin x + \cos x) + 2 \leq 4 \Leftrightarrow 0 \leq m \leq 4.$

Câu 18:

Phương trình $3 (\sin x + \cos x) + \frac{1}{2} \sin 2 x = - 3$ có nghiệm là

A.

x = - \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ .

B.

[\begin{array}{l} x = - \frac{π}{2} + k 2 π \\ x = π + k 2 π \end{array}, k \in ℤ .

C.

x = - \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ .

D. Vô nghiệm.

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình $3 (\sin x + \cos x) + \frac{1}{2} \sin 2 x = - 3$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $3 (\sin x + \cos x) + \frac{1}{2} \sin 2 x = - 3 \Leftrightarrow 3 (\sin x + \cos x) + \sin x \cos x + 3 = 0. (1)$

Đặt $t = \sin x + \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) .$

Ta có $\sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2} \Rightarrow (1) \Leftrightarrow 3 t + \frac{t^{2} - 1}{2} + 3 = 0 \Leftrightarrow t^{2} + 6 t + 5 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 \\ t = - 5 \end{array} .$

Do $|t| \leq \sqrt{2}$ nên $t = - 1.$

Với $t = - 1,$ ta có $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) = - 1 \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin \frac{- π}{4}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + \frac{π}{4} = - \frac{π}{4} + k 2 π \Leftrightarrow x = - \frac{π}{2} + k 2 π \\ x + \frac{π}{4} = π - \frac{- π}{4} + k 2 π \Leftrightarrow x = π + k 2 π \end{array}, k \in ℤ .$

Câu 19:

Nghiệm của phương trình 2(sinx+cosx)sin2x+1=0 thỏa mãn điều kiện

0 < x < π

là

A.

x = \frac{3 π}{4} .

B.

x = \frac{- π}{2} .

C.

x = π .

D.

x = \frac{- π}{4} .

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình $2 (\sin x + \cos x) + \sin 2 x + 1 = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $2 (\sin x + \cos x) + \sin 2 x + 1 = 0 \Leftrightarrow 2 (\sin x + \cos x) + 2 \sin x \cos x + 1 = 0. (1)$

Đặt $t = \sin x + \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) .$

Ta có $\sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2} \Rightarrow (1) \Leftrightarrow 2 t + t^{2} - 1 + 1 = 0 \Leftrightarrow t^{2} + 2 t = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 0 \\ t = - 2 \end{array} .$

Do $|t| \leq \sqrt{2}$ nên $t = 0.$

Với $t = 0,$ ta có $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) = 0 \Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

$\Leftrightarrow x + \frac{π}{4} = k π \Leftrightarrow x = - \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ .$

Do $x \in (0; π)$ nên $x = \frac{3 π}{4} .$

Câu 20:

Từ phương trình

\sin^{3} x + \cos^{3} x + 1 = \frac{3}{2} \sin 2 x

ta tìm được

c o s (x + \frac{π}{4})

có giá trị bằng

A. -1

B.

\pm \frac{\sqrt{2}}{2} .

C.

- \frac{\sqrt{2}}{2} .

D.

\frac{\sqrt{2}}{2} .

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình $\sin^{3} x + \cos^{3} x + 1 = \frac{3}{2} \sin 2 x$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $\sin^{3} x + \cos^{3} x + 1 = \frac{3}{2} \sin 2 x \Leftrightarrow (\sin x + \cos x) (\sin^{2} x + \sin x \cos x + \cos^{2} x) + 1 = 3 \sin x \cos x$

$\Leftrightarrow (\sin x + \cos x) (1 + \sin x \cos x) + 1 = 3 \sin x \cos x . (1)$

Đặt $t = \sin x + \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) .$

Ta có $\sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2} \Rightarrow (1) \Leftrightarrow t (1 + \frac{t^{2} - 1}{2}) + 1 = 3 \frac{t^{2} - 1}{2} \Leftrightarrow t^{3} - 3 t^{2} + t + 5 = 0 \Leftrightarrow t = - 1.$

Với $t = - 1,$ ta có $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \cos (x - \frac{π}{4}) = - 1 \Leftrightarrow \cos (x - \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \cos (x + \frac{π}{4}) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Câu 21:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình xcosx-sinx-cosx+m=0 có nghiệm?

A. 1

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình $\sin x \cos x - \sin x - \cos x + m = 0 (1)$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Đặt $t = \sin x + \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) .$

Ta có $\sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2} \Rightarrow (1) \Leftrightarrow \frac{t^{2} - 1}{2} - t + m = 0 \Leftrightarrow - 2 m = t^{2} - 2 t - 1 \Leftrightarrow {(t - 1)}^{2} = - 2 m + 2.$

Do $- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2} \Rightarrow - \sqrt{2} - 1 \leq t - 1 \leq \sqrt{2} - 1 \Rightarrow 0 \leq {(t - 1)}^{2} \leq 3 + 2 \sqrt{2} .$

Để phương trình có nghiệm thì $0 \leq - 2 m + 2 \leq 3 + 2 \sqrt{2} \Leftrightarrow - \frac{1 + 2 \sqrt{2}}{2} \leq m \leq 1.$

Vì $m \in ℤ$ nên $m \in \{- 1; 0; 1\} .$

Câu 22:

Giá trị của m để phương trình m(sinx+cosx)+sin2x=0 có nghiệm là

A. Không có giá trị nào của m

B.

\forall m .

C.

m = - 1.

D. Cả A, B, C đều sai.

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình $m (\sin x + \cos x) + \sin 2 x = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $m (\sin x + \cos x) + \sin 2 x = 0 \Leftrightarrow m (\sin x + \cos x) + 2 \sin x \cos x = 0$ . (1)

Đặt $t = \sin x + \cos x (- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}) .$

Ta có $\sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2} \Rightarrow (1) \Leftrightarrow t^{2} + m t - 1 = 0.$

$Δ = m^{2} + 4 > 0 \Rightarrow$ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $t_{1}; t_{2} .$

Theo Vi-ét ta có $t_{1} . t_{2} = - 1.$

Suy ra luôn có ít nhất một nghiệm thỏa mãn $- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$ .

Vậy phương trình luôn có nghiệm.