19 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Công thức biến đổi lượng giác

Câu 1:

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. $\tan (\frac{π}{2} - α) = \cot α$

B. $\tan (- α) = - \tan α$

C. $\tan (π + α) = - \tan α$

D. $\tan (π - α) = - \tan α$

Xem đáp án

Trong các đáp án chỉ có đáp án C sai, công thức đúng:

tan(π+α) = tanα

Đáp án cần chọn là: C

Câu 2:

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. $\cos a + \cos b = 2 \cos \frac{a + b}{2} . \cos \frac{a - b}{2}$

B. $\sin a - \sin b = 2 \cos \frac{a + b}{2} . s i n \frac{a - b}{2}$

C. $\cos a - \cos b = 2 \sin \frac{a + b}{2} . s i n \frac{a - b}{2}$

D. $\sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a + b}{2} . \cos \frac{a - b}{2}$

Xem đáp án

Ta có:

$\cos a - \cos b = - 2 \sin \frac{a + b}{2} . s i n \frac{a - b}{2}$

Vậy C sai.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 3:

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. sin 2a = 2 sina

B. cos 2a = cos⁴a – sin⁴a

C. (sin a + cos a)² = 1 + 2 sin 2a

D. cos 2a = 1 – 2cos²a

Xem đáp án

Ta có:

Cos 2a = cos²a – sin²a

= (cos²a – sin²a) (cos²a + sin²a)

= (cos⁴a – sin⁴a)

Vậy B đúng.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 4:

Cho $\cos α = m$ . Tính $\sin^{2} \frac{α}{2}$

A. $\frac{1 + m}{2}$

B. $\frac{1 - m}{2}$

C. $\frac{1 - m}{5}$

D.m

Xem đáp án

$\sin^{2} \frac{α}{2} = \frac{1 - \cos α}{2} = \frac{1 - m}{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 5:

Cho $\sin α + \cos α = \frac{3}{4}, \frac{π}{2} < α < π$ . Tính $\cos α - \sin α$

A. $\frac{\sqrt{23}}{4}$

B. $\pm \frac{\sqrt{23}}{4}$

C. $\frac{- \sqrt{30}}{4}$

D. $\frac{- \sqrt{23}}{4}$

Xem đáp án

$\sin α + \cos α = \frac{3}{4} \to \cos α = \frac{3}{4} - \sin α$

Lại có: $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$

$\Rightarrow \sin^{2} α + {(\frac{3}{4} - \sin α)}^{2} = 1$

$\Rightarrow 2 \sin^{2} α - \frac{3}{2} \sin α - \frac{7}{16} = 0$

$\Rightarrow \sin α = \frac{3 + \sqrt{23}}{8}$ (vì với $\frac{π}{2} < α < π$ thì $\sin α > 0$ )

$\Rightarrow \cos α = \frac{3}{4} - \sin α = \frac{3}{4} - \frac{3 + \sqrt{23}}{8} = \frac{3 - \sqrt{23}}{8}$

$\Rightarrow \cos α - \sin α = - \frac{\sqrt{23}}{4}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 6:

sin4xcos5x − cos4xsin5x có kết quả là:

A. Sinx

B. −sinx

C. −sin9x

D. sin9x

Xem đáp án

sin4xcos5x − cos4xsin5x = sin(4x − 5x) = sin(−x)

Đáp án cần chọn là: B

Câu 7:

Cho

\cos α = \frac{3}{4}; \sin α > 0

. Tính

\cos 2 α, \sin α

A. $\sin α = \frac{\sqrt{7}}{4}; \cos 2 α = \frac{1}{8}$

B. $\sin α = - \frac{\sqrt{7}}{4}; \cos 2 α = \frac{1}{8}$

C. $\sin α = \frac{\sqrt{5}}{4}; \cos 2 α = \frac{\sqrt{11}}{4}$

D. $\sin α = \frac{\sqrt{7}}{4}; \cos 2 α = - \frac{1}{8}$

Xem đáp án

Ta có: $\cos α = \frac{3}{4}; \sin α > 0$

$\Rightarrow \sin^{2} α = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

$\Rightarrow \sin α = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\cos 2 α = 1 - 2 \sin^{2} α = 1 - 2. \frac{7}{16} = \frac{1}{8}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 8:

Cho

\cos α = \frac{3}{4}; \sin α > 0; \sin β = \frac{3}{4}; \cos β < 0

. Tính

\cos (α + β)

A. $- \frac{3 \sqrt{7}}{8}$

B. $- \frac{\sqrt{7}}{8}$

C. $\frac{3 \sqrt{7}}{8}$

D. $\frac{\sqrt{7}}{8}$

Xem đáp án

Ta có: $\cos α = \frac{3}{4}; \sin α > 0$

$\Rightarrow \sin^{2} α = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

$\Rightarrow \sin α = \frac{\sqrt{7}}{4}$

Ta có: $\sin β = \frac{3}{4}; \cos β < 0$

$\Rightarrow \cos^{2} β = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

$\Rightarrow \cos β = - \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β$

$\Rightarrow \cos (α + β) = \frac{3}{4} . (- \frac{\sqrt{7}}{4}) - \frac{3}{4} . (\frac{\sqrt{7}}{4})$

$\Rightarrow \cos (α + β) = - \frac{3 \sqrt{7}}{8}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 9:

Thu gọn biểu thức $\frac{\sin α + \sin 2 α}{1 + \cos α + \cos 2 α}$ ta được kết quả:

A. $\cot α$

B. $\tan \frac{α}{2}$

C. $\sin 2 α$

D. $\tan α$

Xem đáp án

Ta có:

$\frac{\sin α + \sin 2 α}{1 + \cos α + \cos 2 α} = \frac{\sin α + 2 \sin α \cos α}{1 + \cos α + 2 \cos^{2} α - 1}$

$\frac{\sin α (1 + 2 \cos α)}{\cos α (1 + 2 \cos α)} = \tan α$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 10:

Thu gọn $\sin^{2} α + \sin^{2} β + 2 \sin α \sin β . \cos (α + β)$ ta được:

A. $\sin^{2} (α + β)$

B. $\cos^{2} (α + β)$

C. $t a n^{2} (α + β)$

D. $\sin (α + β)$

Xem đáp án

$A = \sin^{2} α + \sin^{2} β + 2 \sin α \sin β . \cos (α + β)$

$= \sin^{2} α + \sin^{2} β + 2 \sin α \sin β . (\cos α . \cos β - \sin α \sin β)$

$= \sin^{2} α + \sin^{2} β - 2 \sin^{2} α \sin^{2} β + 2 \sin α \sin β \cos α . \cos β$

$= \sin^{2} α (1 - \sin^{2} β) + \sin^{2} β (1 - \sin^{2} α) + 2 \sin α \sin β \cos α . \cos β$

$= \sin^{2} α \cos^{2} β + \sin^{2} β \cos^{2} α + 2 \sin α \sin β \cos α . \cos β$

$= {(\sin α \cos β + \sin β \cos α)}^{2}$

$= \sin^{2} (α + β)$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 11:

Tính

\frac{2 \sin α + 3 \cos α}{4 \sin α - 5 \cos α}

biết

\tan α = 3

A. $\frac{9}{7}$

B.1

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{3}{5}$

Xem đáp án

Ta có:

$\frac{2 \sin α + 3 \cos α}{4 \sin α - 5 \cos α} = \frac{2 \tan α + 3}{4 \tan α - 5} = \frac{2.3 + 3}{4.3 - 5} = \frac{9}{7}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 12:

Biết $\cos (α + β) = 0$ thì $\sin (α + 2 β)$ bằng:

A. sinα

B. 3

C. 1

D. Cosα

Xem đáp án

Ta có:

$\sin (α + 2 β) = \sin α . \cos 2 β + \cos α . \sin 2 β$

$= \sin α . (1 - 2 \sin^{2} β) + 2 \cos α . \sin β \cos β$

$= \sin α + 2 \sin β \cos (α + β)$

= sinα

Đáp án cần chọn là: A

Câu 13:

Tính

\frac{\sin α + \sin β \cos (α + β)}{\cos α - \sin β \sin (α + β)}

A. tan(α + β)

B. cot(α + β)

C. sin(α + β)

D. cos(α + β)

Xem đáp án

Ta có: $\frac{\sin α + \sin β \cos (α + β)}{\cos α - \sin β \sin (α + β)}$

$= \frac{\sin α + \frac{1}{2} [\sin (α + 2 β) + \sin (- α)]}{\cos α + \frac{1}{2} [\cos (α + 2 β) - \cos (- α)]}$

$= \frac{\sin α + \frac{1}{2} [\sin (α + 2 β) - \sin (α)]}{\cos α + \frac{1}{2} [\cos (α + 2 β) - \cos (α)]}$

$= \frac{\sin α + \frac{1}{2} \sin (α + 2 β) - \frac{1}{2} \sin α}{\cos α + \frac{1}{2} \cos (α + 2 β) - \frac{1}{2} \cos α}$

$= \frac{\frac{1}{2} \sin α + \frac{1}{2} \sin (α + 2 β)}{\frac{1}{2} \cos α + \frac{1}{2} \cos (α + 2 β)}$

$= \frac{\sin (α + 2 β) + \sin α}{\cos (α + 2 β) + \cos α}$

$= \frac{2 \sin \frac{(α + 2 β + α)}{2} \cos \frac{(α + 2 β - α)}{2}}{2 \cos \frac{(α + 2 β + α)}{2} \cos \frac{(α + 2 β - α)}{2}}$

$= \frac{2 \sin (α + β) \cos β}{2 \cos (α + β) \cos β}$

$= \tan (α + β)$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 14:

Giá trị của biểu thức

\cos \frac{5 x}{2} \cos \frac{3 x}{2} + \sin \frac{7 x}{2} \sin \frac{x}{2} - \cos x \cos 2 x

bằng:

A. 2

B. 3

C. 0

D. 4

Xem đáp án

Thực nghiệm $\cos \frac{5 π}{2} \cos \frac{3 π}{2} + \sin \frac{7 π}{2} \sin \frac{π}{2} - \cos π \cos 2 π = 0$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 15:

Biết rằng $\sin^{4} x + \cos^{4} x = m \cos 4 x + n (m, n \in Q)$ . Tính tổng S = m + n.

A. S = 1

B. $S = \frac{5}{4}$

C. S = 2

D.

S = \frac{7}{4}

Xem đáp án

Ta có:

$\sin^{4} x + \cos^{4} x = {(\sin^{2} x + \cos^{2} x)}^{2} - 2 \sin^{2} x \cos^{2} x$

$= 1 - 2 {(\sin x \cos x)}^{2}$

$= 1 - 2 {(\frac{1}{2} \sin 2 x)}^{2}$

$= 1 - 2. \frac{1}{4} \sin^{2} 2 x$

$= 1 - \frac{1}{2} \sin^{2} 2 x$

$= 1 - 2. \frac{1}{4} \sin^{2} 2 x$

$= 1 - \frac{1}{2} . \frac{1 - \cos 4 x}{2}$

$= 1 - \frac{1}{4} . (1 - \cos 4 x)$

$= 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos 4 x$

$= \frac{1}{4} \cos 4 x + \frac{3}{4}$

⇒ S = m + n = 1

Đáp án cần chọn là: A

Câu 16:

biểu thức $B = \tan α (\frac{1 + \cos^{2} α}{\sin α} - \sin α)$ được

A. Tanα

B. Cotα

C. 2sinα

D. 2cosα

Xem đáp án

$B = \tan α (\frac{1 + \cos^{2} α}{\sin α} - \sin α)$

$= \frac{\sin α}{\cos α} . \frac{\cos^{2} α + \sin^{2} α + \cos^{2} α - \sin^{2} α}{\sin α}$

$= \frac{2 \cos^{2} α}{\cos α}$

= 2 cosα

Đáp án cần chọn là: D

Câu 17:

Khi $A = \frac{\cos B + \cos C}{\sin B + \sin C}$ thì tam giác ABC là tam giác gì?

A. Tam giác đều

B. Tam giác cân

C. Tam giác vuông

D. Tam giác thường

Xem đáp án

Ta có:

$\sin A = \frac{\cos B + \cos C}{\sin B + \sin C}$

$= \frac{2 \cos \frac{B + C}{2} + \cos \frac{B - C}{2}}{2 \sin \frac{B + C}{2} . c o s \frac{B - C}{2}}$

$= \frac{\cos \frac{B + C}{2}}{\sin \frac{B + C}{2}}$ $= \frac{\cos (\frac{π}{2} - \frac{A}{2})}{\sin (\frac{π}{2} - \frac{A}{2})}$ $= \frac{\sin \frac{A}{2}}{\cos \frac{A}{2}}$

$\Rightarrow \sin A = \frac{\sin \frac{A}{2}}{\cos \frac{A}{2}}$

$\Rightarrow 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} = \frac{\sin \frac{A}{2}}{\cos \frac{A}{2}}$

$\Rightarrow 2 \cos^{2} \frac{A}{2} = 1$

$\Rightarrow \cos A = 0$

$\Rightarrow A = 90 °$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 18:

Nếu $\sin (2 α + β) = 3 \sin β; \cos α \neq 0; \cos (α + β) \neq 0$ thì $\tan (α + β)$ bằng:

A. $\sin α + \sin β$

B. 2 tanα

C. 2

D. 2 cotα

Xem đáp án

Ta có:

$\sin (2 α + β) = 3 \sin β$

$\Rightarrow \sin 2 α \cos β + \cos 2 α \sin β = 3 \sin β$

$\Rightarrow 2 \sin α \cos α \cos β + (2 \cos^{2} α - 1) \sin β = 3 \sin β$

$\Rightarrow 2 \sin α \cos α \cos β + 2 \cos^{2} α \sin β = 4 \sin β$

$\Rightarrow 2 \cos α (s i n α \cos β + \sin β \cos α) = 4 \sin β$

$\Rightarrow \cos α \sin (α + β) = 2 \sin β$

Lại có:

$\sin (2 α + β) = 3 \sin β$

$\Rightarrow \sin 2 α \cos β + \cos 2 α \sin β = 3 \sin β$

$\Rightarrow 2 \sin α \cos α \cos β + (1 - 2 \sin^{2} α) \sin β = 3 \sin β$

$\Rightarrow 2 \sin α \cos α \cos β - 2 s i n^{2} α \sin β = 2 \sin β$

$\Rightarrow 2 \sin α (\cos α \cos β - \sin β \sin α) = 2 \sin β$

$\Rightarrow \sin α \cos (α + β) = \sin β$

Từ đó suy ra $\frac{\cos α \sin (α + β)}{\sin α \cos (α + β)} = \frac{2 \sin β}{\sin β}$

Hay $\cot α \tan (α + β) = 2$

$\Rightarrow \tan (α + β) = 2 \tan α$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 19:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\sin^{6} α + \cos^{6} α$

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{4}$

C. $\frac{1}{6}$

D. $\frac{1}{8}$

Xem đáp án

$A = \sin^{6} α + \cos^{6} α$

$A = {(\sin^{2} α + \cos^{2} α)}^{3} - 3 \sin^{2} α \cos^{2} α (\sin^{2} α + \cos^{2} α)$

$A = 1 - 3 \sin^{2} α \cos^{2} α$

$A = 1 - \frac{3}{4} \sin^{2} 2 α$

Vì $0 \leq \sin^{2} 2 α \leq 1 \Rightarrow A \geq \frac{1}{4}$

Nên $m i n A = \frac{1}{4}$ khi $\sin^{2} 2 α = 1$

Đáp án cần chọn là: B