16 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc và các bài toán liên quan có đáp án

Câu 1:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có thể sai?

A. $A^{'} C^{'} ⊥ B D$

B. $B B^{'} ⊥ B D$

C. $A^{'} B ⊥ D C^{'}$

D. $B C^{'} ⊥ A^{'} D$

Xem đáp án

Chọn B.

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có thể sai? (ảnh 1)

Chú ý: Hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau còn gọi là hình hộp thoi.

A đúng vì: $\{\begin{cases} A^{'} C^{'} ⊥ B^{'} D^{'} \\ B^{'} D^{'} // B D \end{cases} \Rightarrow A^{'} C^{'} ⊥ B D$

C đúng vì: $\{\begin{cases} A^{'} B ⊥ A B^{'} \\ A B^{'} // D C^{'} \end{cases} \Rightarrow A^{'} B ⊥ D C^{'}$

D đúng vì: $\{\begin{cases} B C^{'} ⊥ B^{'} C \\ B^{'} C // A^{'} D \end{cases} \Rightarrow B C^{'} ⊥ A^{'} D$

Câu 2:

Cho tứ diện ABCD . Chứng minh rằng nếu $\vec{A B} . \vec{A C} = \vec{A C} . \vec{A D} = \vec{A D} . \vec{A B}$ thì $A B ⊥ C D, A C ⊥ B D, A D ⊥ B C$ . Điều ngược lại đúng không?

Sau đây là lời giải:

Bước 1: $\vec{A B} . \vec{A C} = \vec{A C} . \vec{A D} \Leftrightarrow \vec{A C} . (\vec{A B} - \vec{A D}) = 0 \Leftrightarrow \vec{A C} . \vec{D B} = 0 \Leftrightarrow A C ⊥ B D$

Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC.AD = AD.AB ta được $A D ⊥ B C$ và AB.AC = AD.AB ta được $A B ⊥ C D$ .

Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến đổi tương đương.

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?

A. Đúng.

B. Sai từ bước 1.

C. Sai từ bước 1.

D. Sai ở bước 3.

Xem đáp án

Chọn A.

Câu 3:

Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD . Mặt phẳng (P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC, DB, AD, AC tại M, N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. Hình thang.

B. Hình bình hành.

C. Hình chữ nhật.

D. Tứ giác không phải là hình thang.

Xem đáp án

Chọn C.

Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD . Mặt phẳng (P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC, DB, AD, AC tại M, N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì? (ảnh 1)

Ta có: $\{\begin{cases} (M N P Q) // A B \\ (M N P Q) \cap (A B C) = M Q \end{cases} \Rightarrow M Q // A B .$

Tương tự ta có: $M N // C D, N P // A B, Q P // C D$

Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành lại có $M N ⊥ M Q (d o A B ⊥ C D)$

Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Câu 4:

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD, AD, BC và AC .

a) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?

A.

M N ⊥ R P, M N ⊥ R Q

B.

M N ⊥ R P,

MN cắt RQ

C. MN chéo RP; MN chéo RQ

D. Cả A, B, C đều sai

Xem đáp án

Chọn A

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD, AD, BC và AC . a) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất? (ảnh 1)

a) Ta có $M C = M D = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ nên tam giác MCD cân tại M , do đó $M N ⊥ C D$

Lại có $R P ∥ C D \Rightarrow M N ⊥ R Q$

Câu 5:

b) Tính góc của hai đường thẳng AB và CD?

A. $\hat{(A B, C D)} = 60^{0}$

B. $\hat{(A B, C D)} = 30^{0}$

C. $\hat{(A B, C D)} = 45^{0}$

D. $\hat{(A B, C D)} = 90^{0}$

Xem đáp án

b) Tương tự ta có $Q P ⊥ A D$

Trong tam giác vuông PDQ ta có $Q P^{2} = Q D^{2} - D P^{2} = {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2} = \frac{a^{2}}{2}$

Ta có $R Q^{2} + R P^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} = a^{2} = Q P^{2}$

Do đó tam giác RPQ vuông tại R , hay $R P ⊥ R Q$

Vì vậy $\{\begin{cases} A B ∥ R Q \\ C D ∥ R P \\ R P ⊥ R Q \end{cases} \Rightarrow A B ⊥ C D$

Câu 6:

Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC' có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC' và C'A . Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. Hình bình hành.

B. Hình chữ nhật.

C. Hình vuông.

D. Hình thang.

Xem đáp án

Chọn B.

Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC' có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. (ảnh 1)

Vì M, N, P, Q nên dễ thấy tứ giác MNPQ là hình bhình hành.

Gọi H là trung điểm của AB.

Vì hai tam giác ABC và ABC' nên $\{\begin{cases} C H ⊥ A B \\ C^{'} H ⊥ A B \end{cases}$

Suy ra $A B ⊥ (C H C^{'})$ . Do đó $A B ⊥ C C^{'}$

Ta có: $\{\begin{cases} P Q // A B \\ P N // C C^{'} \\ A B ⊥ C C^{'} \end{cases} \Rightarrow P Q ⊥ P N$

Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Câu 7:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với AB = a, AD = 2a .

Tam giác SAB vuông cân tại A ,M M là một điểm trên cạnh AD ( M khác A và D ). Mặt phẳng $(α)$ đi qua và song song với (SAB) cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q .

a) MNPQ là hình gi?.

A. MNPQ là hình thang vuông.

B. MNPQ là hình vuông.

C. MNPQ là hình chữ nhật.

D. MNPQ là hình bình hành.

Xem đáp án

Chọn A

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với AB = a, AD = 2a . Tam giác SAB vuông cân tại A ,M M là một điểm trên cạnh AD ( M khác A và D ). (ảnh 1)

a) Ta có $\{\begin{cases} (α) ∥ (S A B) \\ (S A B) \cap (A B C D) = A B \\ (α) \cap (A B C D) = M N \end{cases}$

Tương tự $\{\begin{cases} (α) ∥ (S A B) \\ (S B C) \cap (S A B) = S B \\ (α) \cap (S B C) = N P \end{cases} \Rightarrow N P ∥ S B$

$\{\begin{cases} (α) ∥ (S A B) \\ (S A D) \cap (S A B) = S A \\ (α) \cap (S A D) = M Q \end{cases} \Rightarrow M Q ∥ S A$

Dễ thấy $M N ∥ P Q ∥ A B ∥ C D$ nên MNPQ là hình bình hành

Lại có $\{\begin{cases} M N ∥ A B \\ M Q ∥ S A \\ A B ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow M N ⊥ M Q$

Vậy MNPQ là hình thang vuông.

Câu 8:

b)Tính diện tích của MNPQ theo a

A. $S_{M N P Q} = \frac{3 a^{2}}{8}$

B. $S_{M N P Q} = \frac{a^{2}}{8}$

C. $S_{M N P Q} = \frac{3 a^{2}}{4}$

D. $S_{M N P Q} = \frac{a^{2}}{4}$

Xem đáp án

Chọn A

b) Ta có $M N = A B = a, M Q = \frac{S A}{2} = \frac{a}{2}, P Q = \frac{C D}{2} = \frac{a}{2}$

Vậy $S_{M N P Q} = \frac{1}{2} (M N + P Q) . M Q = \frac{1}{2} (a + \frac{a}{2}) \frac{a}{2} = \frac{3 a^{2}}{8}$

Câu 9:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a . Trên các cạnh DC và BB' lấy các điểm M và N sao cho $M D = N B = x (0 \leq x \leq a)$ .

a) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

A C' ⊥ B' D'

B. AC’ cắt B’D’

C. AC’và B’D’ đồng phẳng

D. Cả A, B, C đều đúng

Xem đáp án

Chọn A

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a . Trên các cạnh DC và BB' lấy các điểm M và N sao cho MD = NB = x (0 nhỏ hơn bằng x nhỏ hơn băng a)a) Khẳng định nào sau đây là đúng? (ảnh 1)

Đặt $\vec{A A'} = \vec{a}, \vec{A B} = \vec{b}, \vec{A D} = \vec{c}$

a) Ta có $\vec{A C'} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}, \vec{B' D'} = \vec{c} - \vec{b}$

nên $\vec{A C'} . \vec{B' D'} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) (\vec{c} - \vec{b})$

$= \vec{a} (\vec{c} - \vec{b}) + {\vec{c}}^{2} - {\vec{b}}^{2} = a^{2} - a^{2} = 0 \Rightarrow A C' ⊥ B' D'$

Câu 10:

b) khẳng định nào sau đây là đúng ?

A.

A C' ⊥ M N

B. AC’ và MN cắt nhau

C. AC’ và MN đồng phẳng

D. Cả A, B, C đều đúng

Xem đáp án

Chọn A

b) $\vec{M N} = \vec{A N} - \vec{A M} = (\vec{A B} + \vec{B N}) - (\vec{A D} + \vec{D M})$

$= (\vec{b} + \frac{x}{a} \vec{a}) - (\vec{c} + \frac{x}{a} \vec{b}) = \frac{x}{a} \vec{a} + (1 - \frac{x}{a}) \vec{b} - \vec{c}$

Từ đó ta có $\vec{A C'} . \vec{M N} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) [(\vec{b} + \frac{x}{a} \vec{a}) - (\vec{c} + \frac{x}{a} \vec{b}) = \frac{x}{a} \vec{a} + (1 - \frac{x}{a}) \vec{b} - \vec{c}]$

$= \frac{x}{a} {\vec{a}}^{2} + (1 - \frac{x}{a}) {\vec{b}}^{2} - {\vec{c}}^{2} = x . a + (1 - \frac{x}{a}) a^{2} - a^{2} = 0$

Vậy $A C' ⊥ M N$

Câu 11:

Cho tứ diện ABCD có AC = a , BD = 3a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Biết AC vuông góc với BD . Tính MN .

A. $M N = \frac{a \sqrt{10}}{2}$

B. $M N = \frac{a \sqrt{6}}{3}$

C. $M N = \frac{3 a \sqrt{2}}{2}$

D. $M N = \frac{2 a \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Chọn A.

Cho tứ diện ABCD có AC = a , BD = 3a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Biết AC vuông góc với BD . Tính MN . (ảnh 1)

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD .

Ta có: $\{\begin{cases} E N // A C \\ N F // B D \end{cases} \Rightarrow (A C, B D) = (N E, N F) = 90 ° \Rightarrow N E ⊥ N F$ (1).

Mà: $\{\begin{cases} N E = F M = \frac{1}{2} A C \\ N F = M E = \frac{1}{2} B D \end{cases}$ (2).

Từ (1), (2) => MENF là hình chữ nhật.

Từ đó ta có: $M N = \sqrt{N E^{2} + N F^{2}} = \sqrt{{(\frac{A C}{2})}^{2} + {(\frac{B D}{2})}^{2}} = \sqrt{{(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{3 a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{10}}{2}$

Câu 12:

Trong không gian cho ba điểm A, B, C bất kỳ, chọn đẳng thức đúng?

A. $2 \vec{A B} . \vec{A C} = A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}$

B. $2 \vec{A B} . \vec{A C} = A B^{2} + A C^{2} - 2 B C^{2}$

C. $\vec{A B} . \vec{A C} = A B^{2} + A C^{2} - 2 B C^{2}$

D. $\vec{A B} . \vec{A C} = A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}$

Xem đáp án

Chọn A.

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 A B . A C . \cos (A B, A C) = A B^{2} + A C^{2} - 2. \vec{A B} . \vec{A C}$

Câu 13:

Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Tính

\vec{A B} . \vec{E G}

A. $a^{2} \sqrt{3}$

B. $a^{2}$

C. $\frac{a^{2} \sqrt{2}}{2}$

D. $a^{2} \sqrt{2}$

Xem đáp án

Chọn B.

Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a . Tính vectoAB. vectoEG A. a^2 căn bậc hai 3 (ảnh 1)

Ta có $\vec{A B} . \vec{E G} = \vec{A B} . \vec{A C}$ , mặt khác $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D}$

Suy ra

\vec{A B} . \vec{E G} = \vec{A B} . \vec{A C} = \vec{A B} (\vec{A B} + \vec{A D}) = \vec{A B^{2}} + \vec{A B} . \vec{A D} = a^{2}

Câu 14:

Cho tứ diện ABCD có AB = a, BD = 3a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Biết AC vuông góc với BD . Tính MN

A. $M N = \frac{a \sqrt{6}}{3}$

B. $M N = \frac{a \sqrt{10}}{2}$

C. $M N = \frac{2 a \sqrt{3}}{3}$

D. $M N = \frac{3 a \sqrt{2}}{2}$

Xem đáp án

Chọn B.

Cho tứ diện ABCD có AB = a, BD = 3a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Biết AC vuông góc với BD . Tính MN (ảnh 1)

Kẻ $N P //A C (P \in A B)$ , nối MP

NP là đường trung bình $Δ A B C \Rightarrow P N = \frac{1}{2} A C = \frac{a}{2}$

MP là đường trung bình $Δ A B D \Rightarrow P M = \frac{1}{2} B D = \frac{3 a}{2}$

Lại có $(A C, B D) = (P N, P M) = \vec{N P M} = 90 °$

=> tam giác MNP vuông tại P

Vậy $M N = \sqrt{P N^{2} + P M^{2}} = \frac{a \sqrt{10}}{2}$

Câu 15:

Cho tứ diện ABCD trong đó AB = 6, CD = 3, góc giữa AB và CD là 60^o và điểm M trên BC sao cho BM = 2MC. Mặt phẳng (P) qua M song song với AB và CD cắt BD, AD, AC lần lượt tại M, N, Q. Diện tích MNPQ bằng:

A. $2 \sqrt{2}$

B. 2

C. $2 \sqrt{3}$

D. $\frac{3}{2}$

Xem đáp án

Chọn C.

Cho tứ diện ABCD trong đó AB = 6, CD = 3, góc giữa AB và CD là 60 độ và điểm M trên BC sao cho BM = 2MC. Mặt phẳng (P) qua M (ảnh 1)

Thiết diện MNPQ là hình bình hành.

Ta có $(A B, C D) = (Q M, M P) = \hat{Q M P} = 60 °$

Suy ra $S_{M P N Q} = Q N . Q N . \sin 60 °$

Lại có

$Δ C M Q \neq Δ C B A \Rightarrow \frac{C M}{A B} = \frac{M O}{A B} = \frac{1}{3} \Rightarrow M Q = 2 Δ A Q N ≠ Δ A C D \Rightarrow \frac{A Q}{A C} = \frac{Q N}{C D} = \frac{2}{3} \Rightarrow Q N = 2$

Do đó $S_{M P N Q} = Q M . Q N . \sin 60 ° = 2.2. \sin 60 ° = 2 \sqrt{3}$

Câu 16:

Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD, AB = 4, CD = 6. M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC = 2BM. Mặt phẳng (P) đi qua M song song với AB và CD. Diện tích thiết diện của (P) với tứ diện là?

A. 5

B. 6

C.

\frac{17}{3}

D.

\frac{16}{3}

Xem đáp án

Chọn D

Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD, AB = 4, CD = 6. M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC = 2BM. Mặt phẳng (P) đi qua M (ảnh 1)

Ta có

Suy ra thiết diện MNPQ là hình chữ nhật.

Lại có:

Suy ra S_M_NPQ= MN.NP = $\frac{16}{3}$