31 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 2: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có đáp án

Câu 1:

Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Góc giữa AC và (BCD) là góc ACB

B. Góc giữa AD và (ABC) là góc ADB

C. Góc giữa AC và (ABD) là góc CAB

D. Góc giữa CD và (ABD) là góc CBD

Xem đáp án

Chọn A.

Từ giả thiết ta có $\{\begin{cases} A B ⊥ B C \\ A B ⊥ C D \end{cases} \Rightarrow A B ⊥ (B C D)$

Do đó $(A C, (B C D)) = \hat{A C B}$

Câu 2:

Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC = a. Trên đường thẳng qua A vuông góc với (ABC) lấy điểm S sao cho

S A = \frac{a \sqrt{6}}{2}

. Tính số đo góc giữa đường thẳng SA và (ABC)

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

Xem đáp án

Chọn D.

Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC = a. Trên đường thẳng qua A vuông góc với (ABC) lấy điểm S sao cho (ảnh 1)

S A ⊥ (A B C) \Rightarrow (S A, (A B C)) = 90 °

Câu 3:

Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. Góc giữa CD và (ABD) là góc

\hat{C B D}

B. Góc giữa AC và (BCD) là góc

\hat{A C B}

C. Góc giữa AD và (ABC) là góc

\hat{A D B}

D. Góc giữa AD và (ABD) là góc

\hat{C B A}

Xem đáp án

Chọn B

Do AB, BC, BD vuông góc với nhau từng đôi một nên $A B ⊥ (B C D)$ , suy ra BC là hình chiếu của AC lên $(B C D)$

Câu 4:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC).

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 75°

Xem đáp án

Chọn C.

Gọi H là trung điểm của BC suy ra $A H = B H = C H = \frac{1}{2} B C = \frac{a}{2}$

Ta có: $S H ⊥ (A B C) \Rightarrow S H = \sqrt{S B^{2} - B H^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$\hat{(S A, (A B C))} = \hat{S A H} = α \Rightarrow \tan α = \frac{S H}{A H} = \sqrt{3} \Rightarrow α = 60 °$

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và $S A ⊥ (A B C D)$ . Biết $S A = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ . Tính góc giữa SC và (ABCD)

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 75°

Xem đáp án

Chọn A.

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA vuông góc mp ABCD. Biết SA = a căn bậc hai 6/3 . (ảnh 1)

Ta có: $S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ A C$

$\Rightarrow \hat{(S C; (A B C D))} = \hat{S C A} = α$

ABCD là hình vuông cạnh a

\Rightarrow A C = a \sqrt{2}, S A = \frac{a \sqrt{6}}{3} \Rightarrow \tan α = \frac{S A}{A C} = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow α = 30 °

Câu 6:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC)

A. 60°

B. 75°

C. 45°

D. 30°

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. (ảnh 1)

Do H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) nên $S H ⊥ (A B C)$

Vậy AH là hình chiếu của SH lên mp(ABC)

$\Rightarrow (S A; (A B C)) = (S A; A H) = \hat{S A H}$

Ta có: $S H ⊥ (A B C) \Rightarrow S H ⊥ A H$

Mà: $△ A B C = △ S B C \Rightarrow S H = A H$

Vậy tam giác SAH vuông cân tại H $\Rightarrow \hat{S A H} = 45^{0}$

Câu 7:

Cho hình thoi ABCD có tâm O, AC = 2a, BD = 2AC. Lấy điểm S không thuộc (ABCD) sao cho

S O ⊥ (A B C D)

. Biết

\tan \hat{S B O} = \frac{1}{2}

. Tính số đo của góc giữa SC và (ABCD)

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 75°

Xem đáp án

Chọn B.

Cho hình thoi ABCD có tâm O, AC = 2a, BD = 2AC. Lấy điểm S không thuộc (ABCD) sao cho SO vuông góc mp ABCD (ảnh 1)

Ta có: $A C = 2 a; B D = 2 A C = 4 a \Rightarrow O B = 2 a$

$\Rightarrow \tan \hat{S B O} = \frac{S O}{O B} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow S O = \frac{1}{2} O B = a$

Mặt khác $\hat{(S C, (A B C D))} = \hat{S C O}; \frac{S O}{O C} = \frac{a}{a} = 1$

Suy ra số đo của góc giữa SC và (ABCD) bằng 45°

Câu 8:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC)

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 75°

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $S H ⊥ (A B C) \Rightarrow S H ⊥ A H \Rightarrow \hat{(S A; (A B C))} = \hat{S A H} = α$

$Δ A B C$ và $Δ S B C$ là hai tam giác đều cạnh a $\Rightarrow A H = S H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow A H = S H = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow Δ S H A$ vuông cân tại H $\Rightarrow α = 45 °$

Câu 9:

Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình vuông cạnh a,

S A ⊥ (A B C D), S A = a \sqrt{6} .

Gọi

α

là góc giữa SC và mp (ABCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?

A. $α = 30^{0} .$

B. $\cos α = \frac{\sqrt{3}}{3} .$

C. $α = 45^{0} .$

D. $α = 60^{0} .$

Xem đáp án

Chọn D

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mp (ABCD), SA = a căn bậc hai 6. Gọi anpha là góc giữa SC và mp (ABCD). (ảnh 1)

Vì $S A ⊥ (A B C D)$ nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD)

=> Góc giữa giữa SC và mp (ABCD) bằng góc SC và SA $\Rightarrow α = \hat{S C A} .$

Xét tam giác SAC vuông tại A có: $\tan α = \frac{S A}{A C} = \frac{a \sqrt{6}}{a \sqrt{2}} = \sqrt{3} \Rightarrow α = 60^{0} .$

Câu 10:

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và

S A ⊥ (A B C D) .

Biết

S A = \frac{a \sqrt{6}}{3}

. Tính góc giữa SC và (ABCD)

A. 30°

B. 60°

C. 75°

D. 45°

Xem đáp án

Chọn A

Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a nên $A C = a \sqrt{2.}$

$S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow A C$ là hình chiếu vuông góc của SC lên $(A B C D) \Rightarrow \hat{S C A}$ là góc giữa SC và (ABCD)

Tam giác SAC vuông tại A nên $\tan \hat{S C A} = \frac{S A}{A C} = \frac{a \sqrt{6}}{3} . \frac{1}{a \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \hat{S C A} = 30^{0} .$

Câu 11:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi

α

là góc giữa AC' và mp (A'BCD'). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. $α = 30^{0} .$

B. $\tan α = \frac{2}{\sqrt{3}} .$

C. $α = 45^{0} .$

D. $\tan α = \sqrt{2} .$

Xem đáp án

Chọn D

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi anpha là góc giữa AC' và mp (A'BCD'). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? (ảnh 1)

Gọi $\{\begin{cases} A' C \cap A C' = I \\ C' D \cap C D' = H \end{cases}$

mà

\{\begin{cases} C' D ⊥ C D' \\ C' D ⊥ A' D' \end{cases} \Rightarrow C' D ⊥ (A' B C D') \Rightarrow I H

là hình chiếu vuông góc của AC' lên

(A' B C D') \Rightarrow \hat{C' I H}

là góc giữa AC' và (A'BCD')

Mà

\tan \hat{C' I H} = \frac{C' H}{I H} = \frac{1}{\sqrt{2}} .2 = \sqrt{2} .

Câu 12:

Cho hình chóp S.ABC có

S A ⊥ (A B C)

và tam giác ABC không vuông, gọi H, K lần lượt là trực tâm các

Δ A B C

và

Δ S B C

. Số đo góc tạo bởi HK và mp(SBC) là?

A. 65°

B. 90°

C. 45°

D. 120°

Xem đáp án

Chọn B

Gọi $I = A H \cap B C$ . Ta có $\{\begin{cases} B C ⊥ S A \\ B C ⊥ A I \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A I) \Rightarrow (S B C) ⊥ (S A I)$ và $K \in S I$

Ta lại có $\{\begin{cases} S B ⊥ C K \\ S B ⊥ C H \end{cases} \Rightarrow S B ⊥ (C H K) \Rightarrow (S B C) ⊥ (C H K)$

Mà

H K = (S A I) \cap (S H K)

, suy ra

H K ⊥ (S B C)

Câu 13:

Cho hình chóp S.ABC thỏa mãn SA = SB = SC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mp(ABC). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. H là trực tâm tam giác ABC

B. H là trọng tâm tam giác ABC

C. H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

D. H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình chóp S.ABC thỏa mãn SA = SB = SC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mp(ABC). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? (ảnh 1)

Do hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và nên SH là trục của hình chóp S.ABC. => HA = HB = HC. Nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Câu 14:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a.Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a.Tính số đo của góc giữa SA và (ABC)

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 75°

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a.Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC. (ảnh 1)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a.Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC. (ảnh 2)

Có nên AM là hình chiếu của SA lên mp(ABC)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a.Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC. (ảnh 4)

Áp dụng định lý Pytago

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a.Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC. (ảnh 5)

Xét tam giác SAM có

Câu 15:

Cho hình chóp S.ABC có

S A ⊥ (A B C)

và tam giác ABC vuông ở B. AH là đường cao của tam giác SAB. Khẳng định nào sau đây sai ?

A. $S A ⊥ B C .$

B. $A H ⊥ B C .$

C. $A H ⊥ A C .$

D. $A H ⊥ S C .$

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc mp ABC và tam giác ABC vuông ở B. AH là đường cao của tam giác SAB. Khẳng định nào sau đây sai ? (ảnh 1)

Do nên . Nên Phương án A đúng.

Có . Phương án D đúng.

Suy ra , . Phương án B, D đúng.

Phương án C sai. Thật vậy với , ta có (vô lý).

Câu 16:

Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho.

B. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng (P) khi a và b song song (hoặc a trùng với b).

C. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q)

D. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng (P) thì a song song với b

Xem đáp án

Chọn B.

Câu 17:

Cho góc tam diện Sxyz với

\hat{x S y} = 120^{0}, \hat{y S z} = 60^{0}, \hat{z S x} = 90^{0},

Trên các tia Sx, Sy, Sz lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho SA = SB = SC = a. Tam giác ABC có đặc điểm nào trong các số các đặc điểm sau :

A. Vuông cân.

B. Đều.

C. Cân nhưng không vuông.

D. Vuông nhưng không cân.

Xem đáp án

Chọn D

Xét $Δ S A B$ có $A B^{2} = S A^{2} + S B^{2} - 2 S A . S B . \cos \hat{A S B} = 3 a^{2} \Rightarrow A B = a \sqrt{3}$

$Δ S B C$ đều => BC = a

$Δ S A C$ có $A B = \sqrt{S A^{2} + S C^{2}} = a \sqrt{2}$

Từ đó tam giác ABC vuông tại C

Câu 18:

Cho hình chóp S.ABCD có

S A ⊥ (A B C D)

và đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi O là tâm của ABCD và I là trung điểm của SC. Khẳng định nào sau đây sai ?

A.

I O ⊥ (A B C D) .

B.

B C ⊥ S B .

C. (SAC) là mặt phẳng trung trực của đoạn BD

D. Tam giác SCD vuông ở D

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc ABCD và đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi O là tâm của ABCD và I là trung điểm của SC. Khẳng định nào sau đây sai ? (ảnh 1)

Có IO là đường trung bình tam giác SAC nên IO // SA nên . Phương án A đúng.

Có $\{\begin{cases} B C ⊥ A B \\ B C ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ S B$ . Phương án B đúng

Và $\{\begin{cases} C D ⊥ A D \\ C D ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow C D ⊥ S D$ nên phương án D đúng.

Phương án C sai. Thật vậy nếu (SAC) là mặt phẳng trung trực của $\Rightarrow B D ⊥ A C$ (vô lý).

Câu 19:

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?

A. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

C. Với mỗi điểm

A \in (α)

và mỗi điểm

B \in (β)

thì ta có đường thẳng AB vuông góc với giao tuyến d của

(α)

và

(β)

D. Nếu hai mặt phẳng

(α)

và

(β)

đều vuông góc với mặt phẳng

(γ)

thì giao tuyến d của

(α)

và

(β)

nếu có sẽ vuông góc với

(γ) .

Xem đáp án

Chọn D

Phương án A sai vì nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

Phương án B sai vì còn trường hợp hai mặt phẳng cắt nhau.

Phương án C sai.

Câu 20:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

S A ⊥ (A B C D)

,

S A = a \sqrt{6}

. Gọi

α

là góc giữa SC và mp(SAB). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. $\tan α = \frac{1}{\sqrt{8}} .$

B. $\tan α = \frac{1}{\sqrt{7}} .$

C. $α = 30^{0} .$

D. $\tan α = \frac{1}{\sqrt{6}} .$

Xem đáp án

Chọn B

Do $B C ⊥ (S A B)$ nên SB là hình chiếu của SC lên (SAB)

$\Rightarrow (S C, (S A B)) = (S C, S B) = \hat{B S C}$

Xét tam giác SBC có $\tan \hat{B S C} = \frac{B C}{S B} = \frac{a}{a \sqrt{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}} .$

Câu 21:

Cho hình chóp S.ABCD, với đáy ABCD là hình bình hành tâm O, AD, SA, AB đôi một vuông góc AD = 8, SA = 6. (P) là mặt phẳng qua trung điểm của AB và vuông góc với AB. Thiết diện của (P) và hình chóp có diện tích bằng?

A. 20

B. 16

C. 17

D. 36

Xem đáp án

Chọn D

Thiết diện là hình thang vuông đi qua trung điểm các cạnh AB, CD, CS, SB nên diện tích thiết diện là

$d t = \frac{(B C + \frac{1}{2} B C) . \frac{1}{2} S A}{2} = \frac{(8 + 4) 6}{2} = 36$

Câu 22:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Độ dài SG là:

A. $\frac{\sqrt{9 b^{2} + 3 a^{2}}}{3}$

B. $\frac{\sqrt{b^{2} - 3 a^{2}}}{3}$

C. $\frac{\sqrt{9 b^{2} - 3 a^{2}}}{3}$

D. $\frac{\sqrt{b^{2} + 3 a^{2}}}{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Theo bài ra hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều. Gọi H là trung điểm của BC, ta có $S G ⊥ (A B C), G \in A H$

Mặt khác ta có:

$A H = \frac{a \sqrt{3}}{2}, S H = \sqrt{b^{2} - \frac{a^{2}}{4}} \to S G = S A . \sin \overset{⏜}{S A G} = b . \sqrt{1 - {(\frac{A G}{S A})}^{2}} = b \sqrt{1 - \frac{\frac{a^{2}}{3}}{b^{2}}} = \sqrt{\frac{3 b^{2} - a^{2}}{3}}$