36 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 3: Thiết diện và các bài toán liên quan có đáp án

Câu 1:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều,

S A ⊥ (A B C)

. Gọi (P) là mặt phẳng qua B và vuông góc với SC. Thiết diện của (P) và hình chóp S.ABC là:

A. Hình thang vuông.

B. Tam giác đều.

C. Tam giác cân.

D. Tam giác vuông.

Xem đáp án

Chọn D

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA vuông góc mp ABC. Gọi (P) là mặt phẳng qua B và vuông góc với SC. Thiết diện của (P) và hình chóp S.ABC là: (ảnh 1)

Gọi I là trung điểm của AC, kẻ $I H ⊥ S C$

Ta có $B I ⊥ A C, B I ⊥ S A \Rightarrow B I ⊥ S C$

Do đó $B I ⊥ A C, B I ⊥ S A \Rightarrow B I ⊥ S C$ hay thiết diện là tam giác BIH

Mà $B I ⊥ (S A C)$ nên $B I ⊥ I H$ hay thiết diện là tam giác vuông.

Câu 2:

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a = 12, gọi (P) là mặt phẳng qua B và vuông góc với AD. Thiết diện của (P) và hình chóp có diện tích bằng

A. $36 \sqrt{2}$

B. 40

C. $36 \sqrt{3}$

D. 36

Xem đáp án

Chọn A

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a = 12, gọi (P) là mặt phẳng qua B và vuông góc với AD. Thiết diện của (P) và hình chóp có diện tích bằng (ảnh 1)

Thiết diện là tam giác BCE, với E là trung điểm của AD. Gọi F là trung điểm của BC

Ta có:

$B E = C E = \frac{12 \sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3} E F = \sqrt{B E^{2} - B F^{2}} = 6 \sqrt{2}$

Diện tích thiết diện là: $S = \frac{1}{2} E F . B C = 36 \sqrt{2}$

Câu 3:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên

S A ⊥ (A B C) .

Mặt phẳng (P) đi qua trung điểm M của AB và vuông góc với SB cắt AC, SC, SB lần lượt tại N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì ?

A. Hình thang vuông.

B. Hình thang cân.

C. Hình bình hành.

D. Hình chữ nhật.

Xem đáp án

Chọn A

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc mp ABC Mặt phẳng (P) đi qua trung điểm M của AB và vuông góc với SB cắt AC, SC, SB (ảnh 1)

Ta có: $\{\begin{cases} A B ⊥ B C \\ S A ⊥ B C \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ S B .$

Vậy $\{\begin{cases} B C ⊥ S B \\ (P) ⊥ S B \end{cases} \Rightarrow (P) / / B C (1) .$

Mà $(P) \cap (A B C) = M N (2) .$

Từ $(1); (2) \Rightarrow M N / / B C$

Tương tự ta có PQ // BC, PN // SA

Mà $S A ⊥ B C \Rightarrow P N ⊥ N M .$

Vậy thiết diện là hình thang MNPQ vuông tại N

Câu 4:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, O là trung điểm của đường cao AH của tam giác ABC, SO vuông góc với đáy. Gọi I là điểm tùy ý trên OH (không trùng với O và H). mặt phẳng (P) qua I và vuông góc với OH. Thiết diện của (P) và hình chóp S.ABC là hình gì?

A. Hình thang cân

B. Hình thang vuông

C. Hình bình hành

D. Tam giác vuông

Xem đáp án

Chọn A

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, O là trung điểm của đường cao AH của tam giác ABC, SO vuông góc với đáy. Gọi I là điểm tùy ý trên OH (không trùng với O và H) (ảnh 1)

Mặt phẳng (P) vuông góc với OH nên (P) song song với SO

Suy ra (P) cắt (SAH) theo giao tuyến là đường thẳng qua I và song song với SO cắt SH tại K

Từ giả thiết suy ra (P) song song BC, do đó (P) sẽ cắt (ABC), (SBC) lần lượt là các đường thẳng qua I và K song song với BC cắt AB, AC, SB, SC lần lượt tại M, N, P, Q. Do đó thiết diện là tứ giác MNPQ

Ta có MN và PQ cùng song song BC suy ra I là trung điểm của MN và K là trung điểm của PQ

Lại có các tam giác ABC đều và tam giác SBC cân tại S suy ra IK vuông góc với MN và PQ dó đó MNPQ là hình thang cân.

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b (

a > b \sqrt{2}

). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SC tại điểm C₁ nằm giữa S và C. Diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P) là

A. $S = \frac{a^{2} \sqrt{3 b^{2} - a^{2}}}{4 b}$

B. $S = \frac{a^{2} \sqrt{3 b^{2} - a^{2}}}{2 b}$

C. $S = \frac{a^{2} \sqrt{3 b^{2} + a^{2}}}{2 b}$

D. $S = \frac{a^{2} \sqrt{3 b^{2} + a^{2}}}{4 b}$

Xem đáp án

Chọn A

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b ( a > b căn bậc hai 2). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SC (ảnh 1)

Kẻ $A I ⊥ S C \Rightarrow (A I B) ⊥ S C$ . Thiết diện là tam giác AIB

Ta có $A I = A C \sin \hat{A C S} = a \sqrt{1 - \cos^{2} \hat{A C S}} = a \sqrt{1 - (\frac{a^{2} + b^{2} - b^{2}}{2 a b})} = \frac{a}{2 b} \sqrt{4 b^{2} - a^{2}}$

Gọi J là trung điểm của AB. Dễ thất tam giác AIB cân tại I , suy ra $I J ⊥ A B$

$I J = \sqrt{A I^{2} - A J^{2}} = \frac{a}{2 b} \sqrt{3 b^{2} - a^{2}}$

Do đó: $S = \frac{1}{2} A B . I J = \frac{a^{2} \sqrt{3 b^{2} - a^{2}}}{4 b}$

Câu 6:

Tam giác ABC có BC = 2a, đường cao

A D = a \sqrt{2}

. Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại A, lấy điểm S sao cho

S A = a \sqrt{2}

. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của SB và SC. Diện tích tam giác AEF bằng?

A. $\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{6} a^{2}$

C. $\frac{1}{2} a^{2}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{2} a^{2}$

Xem đáp án

Chọn C

Tam giác ABC có BC = 2a, đường cao AD = a căn bậc hai 2. Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại A, lấy điểm S sao cho . (ảnh 1)

Do $A D ⊥ B C, S A ⊥ B C \Rightarrow B C ⊥ (S A D)$

$\Rightarrow B C ⊥ A H \Rightarrow E F ⊥ A H \Rightarrow S_{Δ A E F} = \frac{1}{2} E F . A H$

Mà $E F = \frac{1}{2} B C = a$ . Do H là trung điểm $S D \Rightarrow A H = a \Rightarrow S_{Δ A E F} = \frac{1}{2} a^{2}$

Câu 7:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh $2 a, S A ⊥ (A B C), S A = a \frac{\sqrt{3}}{2} .$ Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC. Thiết diện của hình chóp S.ABC được cắt bởi (P) có diện tích bằng?

A. $\frac{3 a^{2}}{8} .$

B. $\frac{3 a^{2}}{2} .$

C. $\frac{3}{4} a^{2} .$

D. $\frac{2 a^{2}}{3} .$

Xem đáp án

Chọn C

Gọi M là trung điểm của BC thì $B C ⊥ A M (1) .$

Hiển nhiên $A M = a \sqrt{3} .$

Mà $S A ⊥ (A B C) \Rightarrow B C ⊥ S A (2) .$

Từ (1) và (2) suy ra $B C ⊥ (S A M) \Rightarrow (P) \equiv (S A M)$

Khi đó thiết diện của hình chóp S.ABC được cắt bởi (P) chính là $Δ S A M$

$Δ S A M$ vuông tại A nên $S_{Δ S A M} = \frac{1}{2} S A . A M = \frac{1}{2} \frac{a \sqrt{3}}{2} . a \sqrt{3} = \frac{3 a^{2}}{4} .$

Câu 8:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh $a, S A ⊥ (A B C), S A = a$ . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua S và vuông góc với BC. Thiết diện của (P) và hình chóp S.ABC có diện tích bằng ?

A. $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

B. $\frac{a^{2}}{6}$

C. $\frac{a^{2}}{2}$

D. $a^{2}$

Xem đáp án

Chọn A

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc mp ABC, SA = a. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua S và vuông góc với BC. (ảnh 1)

Kẻ $A E ⊥ B C, S A ⊥ B C \Rightarrow B C ⊥ (S A E) \equiv (P)$

Thiết diện của mặt phẳng (P) và hình chóp (S.ABC) là tam giác SAE có diện tích:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc mp ABC, SA = a. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua S và vuông góc với BC. (ảnh 2)

Câu 9:

Cho tứ diện SABC có hai mặt (ABC) và (SBC) là hai tam giác đều cạnh

a, S A = a \frac{\sqrt{3}}{2} .

M là điểm trên AB sao cho AM = b (0 < b < a). (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với BC. Thiết diện của (P) và tứ diện SABC có diện tích bằng?

A. $\frac{3 \sqrt{3}}{4} . {(\frac{a - b}{a})}^{2} .$

B. $\frac{\sqrt{3}}{4} . {(\frac{a - b}{a})}^{2} .$

C. $\frac{3 \sqrt{3}}{16} {(\frac{a - b}{a})}^{2} .$

D. $\frac{3 \sqrt{3}}{8} {(\frac{a - b}{a})}^{2} .$

Xem đáp án

Chọn C

Cho tứ diện SABC có hai mặt (ABC) và (SBC) là hai tam giác đều cạnh a, SA = a căn bậc hai 3/2 M là điểm trên AB sao cho AM = b (0 < b < a). (ảnh 1)

Gọi N là trung điểm của BC

$\{\begin{cases} S B = S C \\ A B = A C \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} B C ⊥ S N \\ B C ⊥ A N \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A N) .$

Theo bài ra $B C ⊥ (P) \Rightarrow \{\begin{cases} M \in (P) \\ (P) / / (S A N) \end{cases}$

Kẻ MI // AN, MK // SA => Thiết diện của (P) và tứ diện SABC là tam giác KMI

\{\begin{cases} Δ A B C \\ Δ S B C \end{cases}

là hai tam giác đều cạnh

a \Rightarrow A N = S M = \frac{a \sqrt{3}}{2} = S A \Rightarrow Δ S A N

là tam giác đều cạnh

\frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow Δ K M I

là tam giác đều cạnh

\frac{\sqrt{3}}{2} . \frac{a - b}{a} \Rightarrow S_{Δ K M I} = \frac{3 \sqrt{3}}{16} . {(\frac{a - b}{a})}^{2} .

Câu 10:

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a = 12, AP là đường cao của tam giác ACD. Mặt phẳng (P) qua B vuông góc với AP cắt mp(ACD) theo đoạn giao tuyến có độ dài bằng ?

A. 9

B. 6

C. 8

D. 7

Xem đáp án

Chọn C

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a = 12, AP là đường cao của tam giác ACD. Mặt phẳng (P) qua B vuông góc với AP cắt mp(ACD) theo đoạn giao tuyến có độ dài bằng ? (ảnh 1)

Ta có: $C D ⊥ A P, C D ⊥ B P \Rightarrow C D ⊥ (A P B) \Rightarrow B G ⊥ C D$

Tương tự: $A D ⊥ C M, A D ⊥ B M \Rightarrow A D ⊥ (B C M) \Rightarrow A D ⊥ B G$

Suy ra: $B G ⊥ (A B C) \Rightarrow B G ⊥ A P$

Kẻ KL đi qua trọng tâm G của tam giác ACD và song song với CD $\Rightarrow A P ⊥ K L$

=> (P) chính là mặt phẳng (BKL)

$\Rightarrow (A C D) \cap (B K L) = K L = \frac{2}{3} C D = 8$

Có thể nói nhanh theo tính chất tứ diện đều:

Gọi G là trọng tâm tam giác ACD thì G là tâm tam giác ACD và $B G ⊥ (A C D)$

Trong mp(ACD) kẻ qua G đường thẳng song song với CD cắt AC, AD lần lượt tại K, L

Ta có $(B K L) ⊥ (A C D), A P ⊥ K L \Rightarrow A P ⊥ (B K L)$ . Vậy $(P) \equiv (B K L)$

$\Rightarrow (A C D) \cap (B K L) = K L = \frac{2}{3} C D = 8$

Câu 11:

Cho hình chóp S.ABCD, với đáy ABCD là hình thang vuông tại A, đáy lớn AD = 8, BC = 6, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = 6. Gọi M là trung điểm AB. (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB. Thiết diện của (P) và hình chóp có diện tích bằng?

A. 10

B. 20

C. 15

D. 16

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình chóp S.ABCD, với đáy ABCD là hình thang vuông tại A, đáy lớn AD = 8, BC = 6, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = 6. Gọi M là trung điểm AB. (ảnh 1)

Do $(P) ⊥ A B \Rightarrow (P) ∥ S A$

Gọi I là trung điểm của $S B \Rightarrow M I ∥ S A \Rightarrow M I \subset (P)$

Gọi N là trung điểm của $C D \Rightarrow M N ⊥ A B \Rightarrow M N \subset (P)$

Gọi K là trung điểm của $S C \Rightarrow I K ∥ B C$ , mà $M N ∥ B C \Rightarrow M N ∥ I K$

$\Rightarrow I K \subset (P)$

Vậy thiết diện của (P) và hình chóp là hình thang MNKI vuông tại M

Ta có:

MI là đường trung bình của tam giác SAB $\Rightarrow M I = \frac{1}{2} S A = 3$

IK là đường trung bình của tam giác SBC $\Rightarrow I K = \frac{1}{2} B C = 3$

MN là đường trung bình của hình thang ABCD

Khi đó $S_{M N K I} = \frac{I K + M N}{2} . M I = \frac{3 + 7}{2} .3 = 15$

Câu 12:

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Kẻ $O H ⊥ (A B C)$

a) Khẳng định nào đúng nhất?

A. H là trực tâm của tam giác ABC

B. H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC

C. H là trọng tâm của tam giác ABC

D. H là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

Xem đáp án

Chọn A

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Kẻ OH vuông góc mp ABC a) Khẳng định nào đúng nhất? (ảnh 1)

a) Ta có

Lại có

Vậy

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Kẻ OH vuông góc mp ABC a) Khẳng định nào đúng nhất? (ảnh 5)

Tương tự

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Kẻ OH vuông góc mp ABC a) Khẳng định nào đúng nhất? (ảnh 6)

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Kẻ OH vuông góc mp ABC a) Khẳng định nào đúng nhất? (ảnh 7)

Từ (1) và (2) suy ra H là trực tâm của tam giác ABC

Câu 13:

b) Tam giác ABC là tam giác gì?

A. Tam giác ABC là tam giác nhọn.

B. Tam giác ABC là tam giác tù

C. Tam giác ABC là tam giác vuông

D. Tam giác ABC là tam giác cân

Xem đáp án

b) Đặt

Ta có

Tương tự

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có

b) Tam giác ABC là tam giác gì? A. Tam giác ABC là tam giác nhọn. B. Tam giác ABC là tam giác tù (ảnh 4)

b) Tam giác ABC là tam giác gì? A. Tam giác ABC là tam giác nhọn. B. Tam giác ABC là tam giác tù (ảnh 5)

suy ra góc A nhọn.

Tương tự các góc B, C nhọn.

Câu 14:

c) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?

A.

B.

c) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất? A. S^2 ABC = 1/2S^2 OAB + 1/2S^2 OBC + 1/2S^2OCA (ảnh 5)

C.

c) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất? A. S^2 ABC = 1/2S^2 OAB + 1/2S^2 OBC + 1/2S^2OCA (ảnh 6)

D.

c) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất? A. S^2 ABC = 1/2S^2 OAB + 1/2S^2 OBC + 1/2S^2OCA (ảnh 7)

Xem đáp án

Chọn D

c) Ta có

c) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất? A. S^2 ABC = 1/2S^2 OAB + 1/2S^2 OBC + 1/2S^2OCA (ảnh 1)

c) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất? A. S^2 ABC = 1/2S^2 OAB + 1/2S^2 OBC + 1/2S^2OCA (ảnh 2)

c) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất? A. S^2 ABC = 1/2S^2 OAB + 1/2S^2 OBC + 1/2S^2OCA (ảnh 3)

Câu 15:

d) Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho

A. M thuộc mặt phẳng đi qua I và vuông góc với OG, trong đó I là điểm cách đều 4 điểm O, A, B, C và G là trọng tâm của tam giác ABC

B. M thuộc mặt phẳng đi qua I và song song với OG, trong đó I là điểm cách đều 4 điểm O, A, B, C và G là trọng tâm của tam giác ABC

C. M thuộc mặt phẳng đi qua O và vuông góc với OG, trong đó G là trọng tâm của tam giác ABC

D. M thuộc mặt phẳng đi qua O và song song với OG, trong đó G là trọng tâm của tam giác ABC

Xem đáp án

Chọn A

d) Gọi I là điểm cách đều 4 điểm O, A, B, C và G là trọng tâm của tam giác ABC thì ta có :

d) Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3MO^2 (ảnh 3)

(do )

Vậy M thuộc mặt phẳng đi qua I và vuông góc với OG.

Câu 16:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $S A ⊥ (A B C D)$ và SA = a . Gọi I, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB và SC. Tính IK.

A.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mp ABCD và SA = a . Gọi I, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB và SC. Tính IK. (ảnh 9)

B.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mp ABCD và SA = a . Gọi I, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB và SC. Tính IK. (ảnh 10)

C.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mp ABCD và SA = a . Gọi I, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB và SC. Tính IK. (ảnh 11)

D.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mp ABCD và SA = a . Gọi I, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB và SC. Tính IK. (ảnh 12)

Xem đáp án

Chọn A

Ta có

Tương tự suy ra IS = ID = IC nên I thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SCD

Mặt khác

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mp ABCD và SA = a . Gọi I, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB và SC. Tính IK. (ảnh 5)

vuông tại D, lại có K là trung điểm của SC nên K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SCD, do đó

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mp ABCD và SA = a . Gọi I, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB và SC. Tính IK. (ảnh 6)

Ta có

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mp ABCD và SA = a . Gọi I, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB và SC. Tính IK. (ảnh 8)

Câu 17:

Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng 2a. Trên đường thẳng qua O vuông góc với (ABCD) lấy điểm S. Biết góc giữa SA và (ABCD) có số đo bằng 45^o. Tính độ dài SO.

A.

Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng 2a. Trên đường thẳng qua O vuông góc với (ABCD) lấy điểm S. (ảnh 3)

B.

Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng 2a. Trên đường thẳng qua O vuông góc với (ABCD) lấy điểm S. (ảnh 4)

C.

Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng 2a. Trên đường thẳng qua O vuông góc với (ABCD) lấy điểm S. (ảnh 5)

D.

Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng 2a. Trên đường thẳng qua O vuông góc với (ABCD) lấy điểm S. (ảnh 6)

Xem đáp án

Chọn B

Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng 2a. Trên đường thẳng qua O vuông góc với (ABCD) lấy điểm S. (ảnh 1)

Do

Do đó tam giác SAO vuông cân tại O nên

S O = A O = a \sqrt{2}

Câu 18:

Cho tứ diện ABCD có DA, DB, DC đôi một vuông góc. Gọi lần lượt là góc giữa các đường thẳng DA, DB, DC với mặt phẳng (ABC)

Tìm giá trị nhỏ nhất của

C. 64

B. 8

C. 1

D.

Cho tứ diện ABCD có DA, DB, DC đôi một vuông góc. Gọi anpha, beta, gama lần lượt là góc giữa các đường thẳng DA, DB, DC với mặt phẳng (ABC) (ảnh 13)

Xem đáp án

Chọn A

Cho tứ diện ABCD có DA, DB, DC đôi một vuông góc. Gọi anpha, beta, gama lần lượt là góc giữa các đường thẳng DA, DB, DC với mặt phẳng (ABC) (ảnh 3)

Gọi H là hình chiếu của D trên (ABC)

Khi đó H là trực tâm của tam giác ABC

Và

Đặt DA = a, DB = b, DC = c

Gọi thì là đường cao của tam giác DBC nên

Cho tứ diện ABCD có DA, DB, DC đôi một vuông góc. Gọi anpha, beta, gama lần lượt là góc giữa các đường thẳng DA, DB, DC với mặt phẳng (ABC) (ảnh 7)

Cho tứ diện ABCD có DA, DB, DC đôi một vuông góc. Gọi anpha, beta, gama lần lượt là góc giữa các đường thẳng DA, DB, DC với mặt phẳng (ABC) (ảnh 8)

Vậy

Tương tự và

Nhân theo vế các BĐT (1), (2), (3) ta được ( đpcm)

Câu 19:

Trong mặt phẳng $(α)$ cho đường tròn đường kính cố định BC và M là điểm di động trên đường tròn này. Trên đường thẳng d vuông góc với $(α)$ tại B lấy một điểm A.

a) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. các mặt của tứ diện ABMC là tam giác vuông

B. các mặt của tứ diện ABMC là tam giác vuông cân

C. tam giác ACM vuông tại A.

D. tam giác ACM vuông cân tại M

Xem đáp án

Chọn A

a) Ta có suy ra các tam giác ABM và ABC vuông tại B.

Tiếp theo ta có

Trong mặt phẳng anpha cho đường tròn đường kính cố định BC và M là điểm di động trên đường tròn này. Trên đường thẳng d vuông góc với (ảnh 4)

hay tam giác ACM vuông tại M

Câu 20:

b) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B trên AM và AC. Khẳng định nào sau đây là sai?

A.

B.

b) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B trên AM và AC. Khẳng định nào sau đây là sai? (ảnh 5)

C. A, B đều đúng

D. A, B đều sai

Xem đáp án

Chọn D

b) Ta có

b) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B trên AM và AC. Khẳng định nào sau đây là sai? (ảnh 2)

Vậy

Câu 21:

c) Tìm tập hợp điểm H khi M di động.

A. H thuộc đường tròn đường kính BK

B. H thuộc đường tròn đường kính AC

C. H thuộc đường tròn đường kính BM

D. H thuộc đường tròn đường kính AB

Xem đáp án

Chọn A

c) Dễ thấy BK cố định và nên điểm H thuộc đường tròn đường kính BK. Từ đó ta có tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính BK.

Câu 22:

d) Tìm vị trí của M để đoạn AM lớn nhất.

A.

B.

d) Tìm vị trí của M để đoạn AM lớn nhất. A. M trùng C B. M trùng B C. M trùng H D. M trùng K (ảnh 4)

C.

d) Tìm vị trí của M để đoạn AM lớn nhất. A. M trùng C B. M trùng B C. M trùng H D. M trùng K (ảnh 5)

D.

d) Tìm vị trí của M để đoạn AM lớn nhất. A. M trùng C B. M trùng B C. M trùng H D. M trùng K (ảnh 6)

Xem đáp án

Chọn A

d) mà AB không đỏi nên AM lớn nhất khi MB lớn nhất

Câu 23:

e) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác BHK lớn nhất.

A. M là các giao điểm của đường tròn đường kính BC với đường tròn tâm B bán kính e) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác BHK lớn nhất. D. M là các giao điểm của đường tròn đường kính BC (ảnh 10)

B. M là các giao điểm của đường tròn đường kính BC với đường tròn tâm B bán kính e) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác BHK lớn nhất. D. M là các giao điểm của đường tròn đường kính BC (ảnh 11)

C. M là các giao điểm của đường tròn đường kính BC với đường tròn tâm B bán kính e) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác BHK lớn nhất. D. M là các giao điểm của đường tròn đường kính BC (ảnh 12)

D. M là các giao điểm của đường tròn đường kính BC với đường tròn tâm B bán kính e) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác BHK lớn nhất. D. M là các giao điểm của đường tròn đường kính BC (ảnh 13)

Xem đáp án

Chọn D

e) Ta có không đổi nên

e) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác BHK lớn nhất. D. M là các giao điểm của đường tròn đường kính BC (ảnh 2)

, lúc này

△ H B K

vuông cân tại H nên

e) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác BHK lớn nhất. D. M là các giao điểm của đường tròn đường kính BC (ảnh 3)

Ta có

nên

e) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác BHK lớn nhất. D. M là các giao điểm của đường tròn đường kính BC (ảnh 6)

Vậy <=> M là các giao điểm của đường tròn đường kính BC với đường tròn tâm B bán kính

Câu 24:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, BC = $\sqrt{3}$ , mặt bên SBC là tam giác vuông tại B, mặt bên SCD vuông tại D và SD = a $\sqrt{5}$

a) Tính SA.

A.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, BC = a căn bậc hai 3, mặt bên SBC là tam giác vuông tại B, (ảnh 9)

B.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, BC = a căn bậc hai 3, mặt bên SBC là tam giác vuông tại B, (ảnh 10)

C.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, BC = a căn bậc hai 3, mặt bên SBC là tam giác vuông tại B, (ảnh 11)

D.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, BC = a căn bậc hai 3, mặt bên SBC là tam giác vuông tại B, (ảnh 12)

Xem đáp án

Chọn A

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, BC = a căn bậc hai 3, mặt bên SBC là tam giác vuông tại B, (ảnh 1)

a) vuông tại mà

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, BC = a căn bậc hai 3, mặt bên SBC là tam giác vuông tại B, (ảnh 5)

Tương tự ta có nên

Ta có

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, BC = a căn bậc hai 3, mặt bên SBC là tam giác vuông tại B, (ảnh 8)

Vậy SA = a

Câu 25:

b) Đường thẳng qua A vuông góc với AC cắt CB, CD lần lượt tại I, J. Gọi H là hình chiếu của A trên SC. Gọi K, L là các giao điểm của SB, SD với (HIJ)

Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?

A.

b) Đường thẳng qua A vuông góc với AC cắt CB, CD lần lượt tại I, J. Gọi H là hình chiếu của A trên SC. Gọi K, L là các giao điểm của SB, SD với (HIJ) (ảnh 6)

B.

b) Đường thẳng qua A vuông góc với AC cắt CB, CD lần lượt tại I, J. Gọi H là hình chiếu của A trên SC. Gọi K, L là các giao điểm của SB, SD với (HIJ) (ảnh 7)

C.

b) Đường thẳng qua A vuông góc với AC cắt CB, CD lần lượt tại I, J. Gọi H là hình chiếu của A trên SC. Gọi K, L là các giao điểm của SB, SD với (HIJ) (ảnh 8)

D. Cả A, B, C đều đúng

Xem đáp án

Chọn B

b) Do

Lại có

Dế thấy

Từ (1), (2) suy ra

Lập luận tương tự ta có

Câu 26:

Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng 2a. Trên đường thẳng qua O vuông góc với (ABCD) lấy điểm S. Biết góc giữa SA và (ABCD) có số đo bằng 45^o. Tính độ dài SO.

A.

Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng 2a. Trên đường thẳng qua O vuông góc với (ABCD) lấy điểm S. Biết góc giữa SA và (ABCD) (ảnh 4)

B.

Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng 2a. Trên đường thẳng qua O vuông góc với (ABCD) lấy điểm S. Biết góc giữa SA và (ABCD) (ảnh 5)

C.

Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng 2a. Trên đường thẳng qua O vuông góc với (ABCD) lấy điểm S. Biết góc giữa SA và (ABCD) (ảnh 6)

D.

Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng 2a. Trên đường thẳng qua O vuông góc với (ABCD) lấy điểm S. Biết góc giữa SA và (ABCD) (ảnh 7)

Xem đáp án

Chọn B

Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng 2a. Trên đường thẳng qua O vuông góc với (ABCD) lấy điểm S. Biết góc giữa SA và (ABCD) (ảnh 1)

Do

Do đó tam giác SAO vuông cân tại O nên

Câu 27:

Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc và AB = a, BC = b, CD = c. Độ dài AD:

A.

B.

Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc và AB = a, BC = b, CD = c. Độ dài AD: (ảnh 6)

C.

Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc và AB = a, BC = b, CD = c. Độ dài AD: (ảnh 7)

D.

Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc và AB = a, BC = b, CD = c. Độ dài AD: (ảnh 8)

Xem đáp án

Chọn A

Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc và AB = a, BC = b, CD = c. Độ dài AD: (ảnh 1)

Ta có:

Mặt khác:

Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc và AB = a, BC = b, CD = c. Độ dài AD: (ảnh 4)

Câu 28:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, và

. Giả sử tồn tại tiết diện của hình chóp với mặt phẳng

(α)

đi qua A vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện.

A.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mp ABCD và SA = a căn bậc hai 2. Giả sử tồn tại tiết diện của hình chóp với mặt phẳng (ảnh 18)

B.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mp ABCD và SA = a căn bậc hai 2. Giả sử tồn tại tiết diện của hình chóp với mặt phẳng (ảnh 19)

C.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mp ABCD và SA = a căn bậc hai 2. Giả sử tồn tại tiết diện của hình chóp với mặt phẳng (ảnh 20)

D.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mp ABCD và SA = a căn bậc hai 2. Giả sử tồn tại tiết diện của hình chóp với mặt phẳng (ảnh 21)

Xem đáp án

Chọn A

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mp ABCD và SA = a căn bậc hai 2. Giả sử tồn tại tiết diện của hình chóp với mặt phẳng (ảnh 3)

Gọi K là hình chiếu của A trên SC thì .Trong (SAC) gọi

Ta có

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mp ABCD và SA = a căn bậc hai 2. Giả sử tồn tại tiết diện của hình chóp với mặt phẳng (ảnh 7)

, mặt khác

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mp ABCD và SA = a căn bậc hai 2. Giả sử tồn tại tiết diện của hình chóp với mặt phẳng (ảnh 8)

nên

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mp ABCD và SA = a căn bậc hai 2. Giả sử tồn tại tiết diện của hình chóp với mặt phẳng (ảnh 9)

Vậy

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mp ABCD và SA = a căn bậc hai 2. Giả sử tồn tại tiết diện của hình chóp với mặt phẳng (ảnh 11)

Thiết diện là tứ giác AHKL

Do

Ta có cân tại., mà nên K là trung điểm của SC

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mp ABCD và SA = a căn bậc hai 2. Giả sử tồn tại tiết diện của hình chóp với mặt phẳng (ảnh 15)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mp ABCD và SA = a căn bậc hai 2. Giả sử tồn tại tiết diện của hình chóp với mặt phẳng (ảnh 16)

Vậy

Câu 29:

Cho tam giác ABC tại Ccó cạnh huyền nằm trên mặt phẳng (P) và các cạnh góc vuông tạo với (P) các góc $α, β$ . Giả sử là độ lớn góc giữa đường cao CK với (P). Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?

A.

Cho tam giác ABC tại Ccó cạnh huyền nằm trên mặt phẳng (P) và các cạnh góc vuông tạo với (P) các góc anpha, beta (ảnh 12)

B.

Cho tam giác ABC tại Ccó cạnh huyền nằm trên mặt phẳng (P) và các cạnh góc vuông tạo với (P) các góc anpha, beta (ảnh 13)

C.

Cho tam giác ABC tại Ccó cạnh huyền nằm trên mặt phẳng (P) và các cạnh góc vuông tạo với (P) các góc anpha, beta (ảnh 14)

D.

Cho tam giác ABC tại Ccó cạnh huyền nằm trên mặt phẳng (P) và các cạnh góc vuông tạo với (P) các góc anpha, beta (ảnh 15)

Xem đáp án

Chọn B

Kẻ thì là góc giữa CK và (P) và dễ thấy

Cho tam giác ABC tại Ccó cạnh huyền nằm trên mặt phẳng (P) và các cạnh góc vuông tạo với (P) các góc anpha, beta (ảnh 5)

Đặt CH = h, ta có

Cho tam giác ABC tại Ccó cạnh huyền nằm trên mặt phẳng (P) và các cạnh góc vuông tạo với (P) các góc anpha, beta (ảnh 7)

Cho tam giác ABC tại Ccó cạnh huyền nằm trên mặt phẳng (P) và các cạnh góc vuông tạo với (P) các góc anpha, beta (ảnh 8)

Xét tam giác ABC có CK.AB = CA.CB

Cho tam giác ABC tại Ccó cạnh huyền nằm trên mặt phẳng (P) và các cạnh góc vuông tạo với (P) các góc anpha, beta (ảnh 10)

Ta có

Câu 30:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, , đường thẳng SA tạo với hai mặt phẳng (ABCD) và (SBC) các góc bằng nhau. Gọi H là hình chiếu của A trên (SBC)